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• Armando García

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INTRODUCCIÓN El plano cartesiano nos ayuda a la ubicación de puntos en el espacio representado en sus ejes (x, y), donde cortan las dos perpendiculares, estas

coordenadas

se

definen

en coordenadas

rectangulares o cartesianas. Esta manera de ver las coordenadas y puntos en el plano no es la única, existen otras más como lo son las coordenadas polares que son también llamada polo con una semirrecta que la representa desde el origen o punto 0. Las coordenadas

polares

se

comprenden

como

un sistema

de

coordenadas bidimensional en el que cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo en conjunto, este sistema es ampliamente utilizado en el cálculo, física y trigonometría. El centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con radio 0 se encuentra siempre en el polo. Un punto siempre está limitado a números no negativos r

 ≥ 0 y θ

al intervalo (0, 360°) o (−180°, 180°) en radianes, (0, 2π) o (−π, π). Coordenadas donde los radianes, en general, si tenemos una circunferencia de radio (r),   y un cierto ángulo a subtendiendo un arco de longitud s, el cociente (s/r) nos da el valor de ese ángulo en radianes.   Por otra parte, conocemos que la mitad de la circunferencia corresponde a un arco de longitud (pr), mitad que equivale a un ángulo de 180°, lo cual nos permite hacer transformaciones entre radianes y ángulos

Antecedentes. El sistema polar. El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las coordenadas de un punto geométricamente describen un rectángulo. Si hacemos que este punto represente un vector de magnitud r que parte desde el origen y que tiene ángulo de giro, tendríamos otra forma de definir un punto. Esto es suficiente, para comprender que un punto de valor ( r) tiene un similar ordenado y el valor de esto se lo va a hacer indicando el par ordenado ( ᶿ )

el cual en este caso se puede decir que son las

coordenadas polares del punto. Plano polar. Un plano con estas características se lo llama Sistema Polar o Plano Polar. Consiste de circunferencias concéntricas al origen y rectas concurrentes al origen con diferentes ángulos de inclinación. al eje horizontal se le llama eje polar, al eje vertical se le llama eje π/ 2 y al punto de intersección entre estos dos ejes se le conoce como polo. En dicho plano polar se representa mediante la circunferencia expresada en grados y la cual se puede llevar a radianes mediante las ecuaciones geometrías

conocidas

para

transformaciones necesarias.

la

realización

de

los

cálculos

y

120○



105○

Eje 2

75○ 60○ 45○

135○

150○

30○

15○

165○

Eje Polar

180○ Polo

195○ 345○ 330○

210○

225○

315○ 240○

300○ 255○270○285○

¿Qué son las coordenadas polares? El sistema de coordenadas polares consiste de un punto (0), llamado polo y una semirrecta de origen en (0), definida como eje polar donde cada punto (P) en el plano se representa mediante un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia del punto P al polo y θ es la medida del ángulo entre el eje polar y el segmento 0; P, Se puede observar que desde el punto de origen se traza una paralela con un ángulo (θ) determinado desde el punto p definido por un número real y el ángulo que se forma en la paralela. (Como se denota en la figura inferior).

Ejemplo: Encuentre las coordenadas polares del punto (1; 1) Solución: se representa el plano en un plano cartesiano el punto (1; 1) para representar y definir los puntos y la imagen del mismo. Se define el ángulo en el plano cartesiano y se calcula el arco-tangente como se muestra en la grafico

r

 2

12 12

Utilizando las transformaciones arctg ᶿ= π 4 ¿Qué aplicación tienen? 

Ecuaciones de curvas: esta ecuación en las coordenadas polares ayuda a la simplificación de la expresión en la ecuación de ciertas curvas. Ejemplo de esto, la circunferencia de centro (0;0) y radio   tiene a 

 como

ecuación en coordenadas rectangulares y;  r = 3 como ecuación en polares. Ejemplo. Dibujar la curva de ecuación: r = 3 sen 2ᶿ. Primero estudiaremos intersecciones, simetría y extensión. a) Intersecciones Con el eje polar: para ᶿ= m € y n € Z, r = O Con el eje a 90° Para ᶿ = (2n 2+ 1) 1t y n € Z, r = O Las intersecciones con los ejes se reducen al polo (r = O). El haber obtenido r = O para ᶿ = 0° y 8 = 90° indica que la curva se acerca al polo siguiendo las direcciones de los ángulos polares 0° y 90°. b) Simetrías.- Con respecto al eje polar; cambiamos 8 por -8 y observamos que la ecuación se altera: r = 3 sen 2(-ᶿ) = 3 sen (-2ᶿ) = -3 sen 2ᶿ. Sin embargo esto no indica que no existe la simetría; debemos además verificar la segunda regla, es decir, reemplazar 8 por 1t - 8 Y -r por -r: -r = 3 sen 2(1t - ᶿ) = 3 sen (21t - 2ᶿ) = 3 sen (-2ᶿ) = -3 sen 2ᶿ ~ r = 3 sen 2ᶿ. Luego existe simetría con respecto al eje polar. Con respecto al eje a 90° : Se reemplaza ᶿ por 1t - O ; r = 3 sen 2 (1t - O) = 3 sen (21t - 20) = 3 sen (-20) = -3 sen 2ᶿ.

No cumple. Se reemplaza O por -O y r por -r : -r = 3 sen 2 (-O) = 3 sen (-2ᶿ) = -3 sen 2ᶿ ~ r = 3 sen 20. Existe simetría con respecto al eje a 90°. 205 Con respecto al polo: Se reemplaza r por -r y se observa que no cumple. Se reemplaza (J por 1t + (J . r = 3 sen 2(1t + (J) = 3 sen (21t + 2(J) = 3 sen 2(J . Existe simetría con respecto al polo. c) Extensión: Por la simetría con respecto a los dos ejes y al polo, será suficiente estudiar la extensión para valores de (J correspondientes al primer cuadrante: O (J; 90°) 

Forma polar de un número complejo : el plano con coordenadas rectangulares (x ; y) muestra la representación gráfica del número complejo z=x + iy,  donde representa el numero complejo definido como (binomica del z). esto al ser llevado a polares se obtiene el módulo (r) y el argumento ( ) de  (z) y con ello la forma polar de z

.

Ejemplo: Hallar las coordenadas rectangulares del punto P cuyas coordenadas polares son (-2, 135°). Usando x = cos (ᶿ) = -2cos 135° = (-2) (12) = J2 2 Y = r sen (ᶿ) = -2sen 135° = (-2) (~ 1) Luego: P ({2, - J"2). Al par así escogido se le denomina par principal de coordenadas polares del punto, por estar P en el 3er. cuadrante, su par principal es ({13, 2130 41'). 

Navegación marítima: como la navegación marítima se basa en ángulos y distancias la utilización de las coordenadas polares para simplificar los cálculos necesarios para realizar dicha actividad de allí se desarrolló el

radar, para

determinar la demora y distancia de un objeto. Funciona mediante la emisión de pulsos de microondas y la recepción de los ecos reflejados por el blanco.

Gráfico de ecuaciones en coordenadas polares.

Es una ecuación polar típica que permite mediante inspección describir un lugar geográfico dentro del plano real.

Rectas tales que contienen al polo.

La ecuación cartesiana de una recta tal que el origen pertenece a ella, es de la forma y = mx Al realizando las transformaciones respectivas: y = m.x r. sen   m r. cos  sen = m cos  tg   tg 

Resulta: 

Circunferencias con centro el polo. 2

2

La ecuación cartesiana de una circunferencia es: x + y = a

2

Aplicando transformaciones tenemos: 2

2

x y a

2

r cos 2  r sen 2

a

r2

cos  r sen   a

r2

cos

2

2

2

r a

2

2

2

  sen   a 2

2

2

2

Resultando, finamente: r=a

CONCLUSIÓN. Las coordenadas polares son de gran empleo para la resolución y aplicación de muchas áreas de la matemática así como para la resolución de ejercicios de dobles integrales, figuras cónicas, elípticas cardioides, limacones, lemniscatas y rosas, esto da una amplia capacidad de entendimiento y visión para el manejo de este contenido.

RECOMENDACIÓN. Es recomendable profundizar conocimientos en todas las aplicaciones que se pueda manejar el contenido de coordenadas polares, así mismo generar mayor interés por esta temática mediante presentación de ejercicios y gráficas para ser desarrolladas.

Bibliografía Áreas plana y centro geomético de un área. (s.f.). Capítulo 44. Ciurana, X. (2014). Cálculos prácticos de estabilidad y comportamiento en la mar en el buque escuela de la facultad de náutica de Barcelona. Obtenido de upcommons.upc.edu: https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2099.1/26087/trabajo %20final.pdf Morales, M. (2009). Coordenadas polares: otra forma de ver el plano complejo. Obtenido de www.gaussianos.com: https://www.gaussianos.com/coordenadas-polares-otra-forma-de-ver-elplano-complejo/ Repaso de coordenadas polares. (s.f.). Cálculo integral . Villena, M. (2016). Cap 4 coordenadas polares. introducción al calculo. Obtenido de www.dspace.espol.edu.ec: https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/5241/4/Precalculo %20de%20Villena%20-%2004%20-%20Coordenadas%20Polares.pdf Yendis, E. (2011). Coordenadas polares . Obtenido de www.slideshare.net: https://www.slideshare.net/emy20342/coordenadas-polares-8062991