• Author / Uploaded
• EmmanuelBarboza

Citation preview

Ejercicios para el curso MA–1003: C´alculo III Tomados de los ex´amenes de la C´atedra∗

1

Superficies en el espacio R3

1.1. Hallar la ecuaci´on del cilindro cuya directriz es la curva de intersecci´on de las superficies x2 + y2 = 1 y z = x y cuyas generatrices son paralelas al vector (9, 1, −15). 1.2. Obtener la ecuaci´on de un cilindro cuya directriz est´a dada por la curva x2 + y2 + 2z2 = 8, x − y + 2z = 0, y cuyas generatrices son paralelas a la recta (x, y, z) = (−3, 1, 5) + t(2, 1, −4), t ∈ R. 1.3. Calcular la ecuaci´on del cilindro el´ıptico que tiene por directriz la elipse x2 y2 + = 1, 9 4

z=0

y por generatrices rectas paralelas a la recta de intersecci´on de los planos 9x + y + 4z = 14 y x + y + z = 3. 1.4. Encontrar la ecuaci´on del cilindro cuyas generatrices son paralelas a la recta 2x + y + z − 6 = 0,

x + y = 0,

y cuya directriz es la intersecci´on de la esfera de radio 1 centrada en el punto (1, 0, 1) con el plano x − y = 2. 1.5. Hallar la ecuaci´on del cilindro cuya directriz es la elipse de ecuaciones param´etricas x = cos θ ,

y = sen θ ,

z = cos θ + sen θ

y cuyas generatrices son perpendiculares al plano que contiene dicha elipse. 1.6. Calcular la ecuaci´on de la superficie c´onica que tiene por v´ertice el punto (0, 2, 3) y cuya directriz es la elipse x2 + y2 = 16, x + y + z = 0. 1.7. Calcular la ecuaci´on del cono que tiene por v´ertice el punto (−4, 2, 3) y cuya directriz es la curva de intersecci´on de las superficies x2 y2 + = 1, 9 16 ∗ Recopilado

3x + 2y − z = 0.

por el Prof. Marco Alfaro C. y reeditado por Joseph C. V´arilly en el II Ciclo del 2009

1

Ejercicios para MA–1003: C´alculo III

2

1.8. Calcular la ecuaci´on de la superficie c´onica que tiene por v´ertice el punto (0, 2, 3) y cuya directriz es la curva de intersecci´on del hiperboloide de una hoja x2 + y2 − 4z2 = 16 con el plano x − y + z = 0. 1.9. Encontrar la ecuaci´on del cono cuyo v´ertice se encuentra en el centro del elipsoide x2 y2 z2 + + =1 9 3 4 y cuya directriz es la elipse x2 y2 z2 + + = 1, 9 3 4

x + y + z = 1.

1.10. Hallar la ecuaci´on del cono cuyo v´ertice es el centro de la superficie 2x2 + y2 + z2 = 12 y que tiene por directriz la curva de intersecci´on de esta superficie con el plano x + y + z = 3. 1.11. Encontrar la ecuaci´on del cono que cuyo v´ertice es el centro de la superficie cuadr´atica x2 − y2 + 4x + 6y + z2 = 10 y cuya directriz es el c´ırculo x2 + y2 + z2 = 9, x + y + z = 0. 1.12. Calcular la ecuaci´on de la superficie c´onica que tiene por v´ertice el punto (0, 0, 0) y cuya directriz es la curva alabeada   π π ~r(t) = 3 cost i + 4 sent j + tgt k . − 0,

en el punto P = (x0 , y0 , z0 ) de la superficie, es: A(x0 )x + B(y0 )y +C(z0 )z = D. 4.4. La altura h de un monte se describe aproximadamente mediante la funci´on √ √ √ h(x, y) = 2 2 − 0,0002 2 y2 − 0,0004 2 x2 , donde h es la altura en kil´ometros sobre el nivel del mar mientras x e y miden las coordenadas este-oeste y norte-sur respectivamente. Para el punto (x, y) = (−2, −4), encontrar: (a) ¿Con qu´e rapidez se incrementa la altura en la direcci´on noreste? (b) ¿En qu´e direcci´on va la trayectoria m´as empinada hacia arriba? √ √ √ 2 (c) Si T (x, y, z) = 2 2 − 0,0002 2 y2 − 0,0004 √ 2 x − z representa la temperatura en la monta˜na, calcular en el punto (−2, −4, 1,9952 2) el cambio m´aximo de temperatura. ¿En qu´e direcci´on ocurre? 4.5. Hallar la derivada direccional de la funci´on z = x3 − 2x2 y + xy2 + 1 en el punto (1, 2, 2) y en la direcci´on del vector 3 i + 4 j. Calcular tambi´en el vector tangente a la curva de intersecci´on de esa superficie con el plano 3y − 4x = 0. 4.6.

(a) Calcular la derivada direccional de la funci´on f (x, y) = x2 + xy + y2 en el punto (1, 1) y en la direcci´on de la recta x − y = 0, z = 0, avanzando en el sentido positivo del eje x.

(b) Calcular las ecuaciones de la recta tangente a la curva z = x2 + xy + y2 , x − y = 0 en el punto (1, 1, 3). (c) Si w = x2 + xy + y2 − z, calcular en el punto (1, 1, 3) la derivada direccional m´axima de w y el vector a lo largo del cual ocurre. Edici´on del 2009

Ejercicios para MA–1003: C´alculo III

9

4.7. El punto P = (2, 1, 5) pertenece al paraboloide z = x2 + y2 y al plano z = 3x + y − 2. (a) Calcular la ecuaci´on del plano tangente al paraboloide en el punto P. (b) Hallar un vector tangente en P a la curva de intersecci´on de estas dos superficies. (c) En el mismo punto P, encontrar la derivada direccional de la funci´on w = x3 + y3 + z3 a lo largo de ese vector tangente. 4.8. Sea f (x, y, z) := x2 + y2 − z2 . Calcular en el punto (3, 4, 5) la derivada direccional de esta funci´on f , a lo largo de la curva de intersecci´on de las superficies 2x2 + 2y2 − z2 = 25,

x2 + y2 = z2 .

4.9. Calcular la derivada direccional de la funci´on f (x, y, z) = x3 +y3 −z3 , en el punto (1, 1, 1), a lo largo de la curva de intersecci´on de las superficies: 2x2 + 2y2 − z2 = 3, x2 + y2 = 2z2 . 4.10. Una superficie tiene por ecuaci´on z = x2 y2 + xy + x2 + y2 . (a) Calcular la pendiente de la recta tangente a la curva z = x2 y2 + xy + x2 + y2 , y = 2x en el punto P = (1, 2, 11). (b) Si en cada punto (x, y, z) de la superficie la temperatura es w = x2 y2 + xy + x2 + y2 − z, encontrar la ecuaci´on del plano tangente a la superficie de nivel w = 30 en el punto P. (c) Calcular la derivada direccional de w en el punto P, a lo largo del vector~v = (1, 1, 1). (d) Calcular la derivada direccional m´axima y el vector unitario a lo largo del cual ocurre. 4.11. Encontrar la ecuaci´on del cilindro cuyas generatrices son paralelas a la recta de intersecci´on de los planos x + 2y − z = 2, 3x + 2y + 2z = 7, y cuya directriz √ es la intersecci´on del 2 2 2 plano x = z con la superficie S : x + y − z = 5. En el punto (2, 2, 3), calcular tambi´en la pendiente vertical de la curva de intersecci´on de S con el plano x = y y la ecuaci´on del plano tangente a la superficie S en ese punto. 4.12. Den´otese por D~u f (x0 , y0 ) la derivada direccional de f en la direcci´on del vector unitario ~u evaluada en el punto (x0 , y0 ). Si D~u f (3, 2) = 4 y D~v f (3, 2) = 5, calcular D~w f (3, 2), donde 1 1 ~u = √ i + √ j, 2 2

2 1 ~v = − √ i + √ j, 5 5

2 3 ~w = √ i − √ j. 13 13

4.13. Las tres ecuaciones F(u, v) = 0,

u = xy,

v=

p x2 + y2 ,

donde F es diferenciable, definen una superficie en R3 . Determinar un vector normal a esta √ ∂F ∂F superficie en el punto (1, 1, 3), si se sabe que (1, 2) = 1 y (1, 2) = 2. ∂u ∂v Edici´on del 2009

Ejercicios para MA–1003: C´alculo III

5

10

Regla de la cadena y derivaci´on impl´ıcita

∂ 2z 5.1. La funci´on z = f (x, y) es dos veces derivable. Si x = u2 + v2 , y = u/v, calcular ∂u∂v en t´erminos de u y v y de las derivadas parciales fx , fy , fxx , fxy , fyy . 5.2. Sea z := F(u, v) = f (x, y) donde x = y, y = uv, para u > 0. Calcular la segunda derivada parcial Fuu en t´erminos de las derivadas parciales fx , fy , fxx , fxy , fyy . 5.3. Si z = f (u, v) donde f es una funci´on dos veces derivable y si u = x3 y2 , v = x2 y3 ; ∂ 2z calcular 2 en t´erminos de x, y y las derivadas parciales fu , fv , fuu , fuv , fvv . ∂x 5.4. Dada la ecuaci´on exz + log(y + z) = 0 que define impl´ıcitamente z = f (x, y), calcular ∂2 f en t´erminos de x, y, z. ∂x∂y 5.5. Si w = f (x, y), donde x = er cos θ , y = er sen θ , demostrar que se verifica la identidad  2  ∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w −2r ∂ w + 2 =e + . ∂ x2 ∂y ∂ r2 ∂ θ 2 5.6. Sean r = r(t), θ = θ (t) una parametrizaci´on en coordenadas polares de una curva trazada por una part´ıcula que se mueve en el plano R2 . Si el vector posici´on de la part´ıcula es~r = r~ur , donde ~ur = i cos θ + j sen θ , calcular ~uθ := d~ur /dθ . Enseguida verificar: (a) que ~ur y ~uθ son vectores unitarios ortogonales entre s´ı; d~uθ = −~ur ; y dθ  2    dθ 2  d 2~r d r 1 d  2 dθ  ~ur + ~uθ . (c) que 2 = −r r dt dt 2 dt r dt dt

(b) que

[[ Indicaci´on: Recordar que d~ur /dt = (d~ur /dθ )(dθ /dt). ]] 5.7. Hallar la nueva forma que toma la ecuaci´on diferencial y2

2 ∂ 2z ∂z ∂ 2z ∂z 2∂ z − 2xy − x − x − y =0 ∂ x2 ∂x∂y ∂ y2 ∂x ∂y

despu´es del cambio de variable z = f (φ ) —al ser f una funci´on dos veces diferenciable— donde φ := arctg(y/x). 5.8. Si z = f (r) con r =

p ∂ 2z ∂ 2z x2 + y2 , expresar 2 y en t´erminos de x, y, f 0 (r) y f 00 (r). ∂x ∂x∂y

5.9. Si z = F(u, v, w) y w = g(u, v) donde F y g son dos veces derivables, obtener una f´ormula ∂ 2z para 2 en t´erminos de las derivadas parciales de F y g. ∂u Edici´on del 2009

Ejercicios para MA–1003: C´alculo III

11

5.10. Al suponer que zuv = zvu , transformar la ecuaci´on diferencial    2 2  ∂z ∂z ∂ 2z 2∂ z 2∂ z (x − y) x +y − − 2xy = 2xy , ∂ x2 ∂x∂y ∂ y2 ∂x ∂y si se hacen los cambios de variable u = x + y, v = xy. √ 5.11. Si u = f (xy) + xy g(y/x), donde xy > 0, al ser f y g funciones dos veces diferenciables, probar que se cumple la ecuaci´on diferencial x2

2 ∂ 2u 2∂ u − y = 0. ∂ x2 ∂ y2

5.12. Si z = f (x, y), donde x = r cos θ , y = r sen θ , mostrar que 

∂z ∂r

2

 2  2   1 ∂z 2 ∂z ∂z + 2 = + . r ∂θ ∂x ∂y

p f (t − r) 5.13. Sea W = , donde f es dos veces diferenciable, r = x2 + y2 + z2 y la variable t r no depende de las variables x, y, z. Mostrar que ∂ 2W ∂ 2W ∂ 2W ∂ 2W = + + . ∂t 2 ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 5.14. La funci´on y = f (x) est´a determinada por la ecuaci´on p y log x2 + y2 = a arctg , x donde a 6= 0 es constante. Hallar

dy d 2 y y . dx dx2

5.15. La funci´on z = h(x, y) queda determinada por la ecuaci´on x3 + 2y3 + z3 − 3xyz − 2y + 3 = 0. Hallar

∂z ∂z y . ∂x ∂y

5.16. Sea z una funci´on determinada por la ecuaci´on x2 + y2 + z2 = F(ax + by + cz), donde F es una funci´on diferenciable y a, b, c son constantes. Demostrar que (cy − bz)

∂z ∂z + (az − cx) = bx − ay. ∂x ∂y Edici´on del 2009

Ejercicios para MA–1003: C´alculo III

12

5.17. La relaci´on F(x −y, x −z) = 0 define impl´ıcitamente una funci´on f dada por z = f (x, y). Comprobar que z satisface la ecuaci´on diferencial ∂z ∂z + = 1. ∂x ∂y 5.18. Si h(x/z, y/z) = 0 para alguna funci´on diferenciable h, demostrar que ∂z ∂z +y = z. ∂x ∂y

x

5.19. En cada uno de los casos siguientes, resolver la ecuaci´on diferencial en derivadas parciales, mediante los cambios de variable indicados: (a) Resolver

∂z ∂z = , ∂x ∂y

si u = x + y, v = x − y.

(b) Resolver y

∂z ∂z −x = 0, ∂x ∂y

si u = x, v = x2 + y2 .

(c) Resolver x

∂z ∂z +y = z, ∂x ∂y

si u = x, v = y/x.

5.20. En cada caso que sigue, transformar la ecuaci´on diferencial dada en otra ecuaci´on diferencial en t´erminos de las derivadas parciales de z con respecto a las variables u, v:† (a)

2 ∂ 2z 2 ∂ z (c constante, c 6= 0); = c ∂t 2 ∂ x2

(b) x2

2 ∂ 2z ∂ 2z 2 ∂ z = 0; + 2xy + y ∂ x2 ∂x∂y ∂ y2

(c) x2

2 ∂ 2z 2 ∂ z = 0; − y ∂ x2 ∂ y2

si u = x − ct, v = x + ct. si x = u, y = uv.

si u = xy, v = x/y.

5.21. Determinar la soluci´on de la ecuaci´on diferencial 4

∂f ∂f (x, y) + 3 (x, y) = 0, ∂x ∂y

que satisfaga la condici´on f (x, 0) = sen x para todo x. 5.22. Si f es una funci´on diferenciable de una variable, verificar que la funci´on u definida por h(x, y) := f (xy) satisface la ecuaci´on en derivadas parciales x

∂h ∂h −y = 0. ∂x ∂y 2

Hallar una soluci´on tal que h(x, x) = x4 ex para todo x. † Se

puede asumir la igualdad de derivadas parciales mixtas; por ejemplo, zuv = zvu .

Edici´on del 2009

Ejercicios para MA–1003: C´alculo III

6

13

M´aximos y m´ınimos relativos, puntos cr´ıticos

6.1. Obtener y clasificar los puntos cr´ıticos de las siguientes funciones de dos variables e identificar los extremos de cada funci´on. (a) f (x, y) = x2 + (y − 1)2 .

[[ R/: M´ınimo en (0, 1). ]]

(b) f (x, y) = 1 + x2 − y2 .

[[ R/: Punto de ensilladura (0, 0). ]]

(c) f (x, y) = (x − 1)2 − 2y2 .

[[ R/: Punto de ensilladura (1, 0). ]]

(d) f (x, y) = (x − y + 1)2 .

[[ R/: M´ınimo sobre la recta y = x + 1. ]]

(e) f (x, y) = x2 + xy + y2 − 2x − y.

[[ R/: M´ınimo en (1, 0). ]]

(f) f (x, y) = 2x2 − xy − 3y2 − 3x + 7y.

[[ R/: Punto de ensilladura (1, 1). ]]

(g) f (x, y) = x2 − xy + y2 − 2x + y.

[[ R/: M´ınimo en (1, 0). ]]

(h) f (x, y) = x3 + y3 − 3xy.

[[ R/: Puntos cr´ıticos: (0, 0), (1, 1). ]]

(i) f (x, y) = x3 y2 (6 − x − y) para x > 0, y > 0.

[[ R/: M´aximo en (3, 2). ]]

(j) f (x, y) = e2x+3y (8x2 − 6xy + 3y2 ). [[ R/: Puntos cr´ıticos: (0, 0), (− 14 , − 12 ). ]] r x2 y2 (k) f (x, y) = xy 1 − − . [[ R/: Puntos cr´ıticos: (0, 0), (±1, ±1), (±1, ∓1). ]] 3 3 (l) f (x, y) = ex−y (x2 − 2y2 ). (m) f (x, y) = (x2 + y2 ) e−(x

2 +y2 )

[[ R/: Puntos cr´ıticos: (0, 0), (−4, −2). ]] .

[[ R/: M´ınimo en (0, 0), m´aximo sobre x2 + y2 = 1. ]]

1+x−y . (n) f (x, y) = p 1 + x2 + y2

[[ R/: M´aximo en (1, −1). ]]

(o) f (x, y) = x3 − 3xy2 + y3 .

[[ R/: Punto de ensilladura (0, 0). ]] √ √ [[ R/: Puntos cr´ıticos: (0, 0), (± 2, ∓ 2). ]]

(p) f (x, y) = x4 + y4 − 2x2 + 4xy − 2y2 . (q) f (x, y) = 1 − (x2 + y2 )2/3 .

[[ R/: M´aximo en (0, 0). ]]

6.2. Determinar y clasificar los extremos de la funci´on f (x, y) = x2 − xy + y2 + 3x − 2y + 1, definida en el rect´angulo −2 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ 1. 6.3. Consid´erese la funci´on 2

f (x, y) = (x − y) +

p

2 − x2 −

9 y

2

= 2 + y2 − 2xy +

81 18 p − 2 − x2 . y2 y

(a) Identificar los cuatro puntos cr´ıticos de la funci´on f . (b) Clasificar los puntos cr´ıticos (1, 3) y (1, −3). Edici´on del 2009

Ejercicios para MA–1003: C´alculo III

7

14

Multiplicadores de Lagrange, extremos con ligaduras

7.1. Usando multiplicadores de Lagrange, encontrar los extremos de la funci´on f (x, y) = 6 − 4x − 3y con la condici´on de que las variables x, y satisfagan la ecuaci´on x2 + y2 = 1. Clasificar los extremos obtenidos. 7.2. Encontrar el valor m´ınimo de la funci´on f (x, y) = x4 + 3y4/3 a lo largo de la hip´erbola xy = c, donde c > 0. Enseguida, demostrar que la desigualdad 4ab ≤ a4 + 3b4/3 es v´alida para a > 0, b > 0 cualesquiera. 7.3. Dada la funci´on f (x, y, z) = x2 − y2 + z2 sujeta a la restricci´on x + 2y + 3z = 1: (a) utilizar el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange para obtener los puntos cr´ıticos; (b) si ( 16 , − 13 , 12 ) es un punto cr´ıtico para el multiplicador λ = 31 , determinar, usando hessianos o mediante el desarrollo de Taylor, si se trata de un m´aximo, un m´ınimo, o un punto de ensilladura. 7.4. La suma de tres n´umeros positivos es 120. (a) ¿Cual es el mayor valor posible de su producto? (b) Verificar por el m´etodo de la segunda derivada que este producto es efectivamente un m´aximo. 7.5. Usted debe construir una caja rectangular sin tapa con materiales que cuestan c/ 50000 el metro cuadrado para el fondo y c/ 75000 el metro cuadrado para los otros cuatro lados. La caja debe tener un volumen de 1500 metros c´ubicos. ¿Cu´ales deben ser las dimensiones de la caja para que su costo sea m´ınimo? 7.6. Utilizando el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange, determinar los puntos cr´ıticos de la funci´on f (x, y, z) = 2x+3y+z, sujeta a la restricci´on 4x2 +3y2 +z2 −20 = 0; e identificar su naturaleza. 7.7. Para la funci´on f (x, y, z) = xyz restringida al plano x + y + z = 9, encontrar sus puntos cr´ıticos y clasificarlos en m´aximos y m´ınimos relativos o puntos de ensilladura. 7.8. Usando el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange, determinar los puntos cr´ıticos de f (x, y, z) = −x4 − y4 − z4 sujeta a la restricci´on x − y + z − 6 = 0. Clasificar estos puntos cr´ıticos ligados como m´aximos relativos, m´ınimos relativos o puntos de ensilladura. 7.9. Si la funci´on u = (x + y)z se restringe a la superficie 1 1 1 + 2+ 2 =4 2 x y z

en el octante x > 0, y > 0, z > 0,

encontrar y clasificar todos los valores extremos de u, mediante el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange. Edici´on del 2009

Ejercicios para MA–1003: C´alculo III

15

7.10. Calcular, usando el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange, los puntos cr´ıticos de f (x, y, z) = xyz en la superficie de la esfera x2 + y2 + z2 = 1. Escoger dos de estos puntos y describir su naturaleza. 7.11. Usando multiplicadores de Lagrange, calcular y clasificar los extremos de la funci´on f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 sujeta a la condici´on 14 x2 + 19 y2 + z2 − 1 = 0. 7.12. Determinar los puntos cr´ıticos de la funci´on f (x, y, z) = xy + xz + yz bajo la restricci´on x2 + y2 − z2 − 1 = 0; e identificar su naturaleza (m´aximos, m´ınimos o puntos de ensilladura). 7.13. Encontrar los puntos cr´ıticos de la funci´on f (x, y, z) = xy + 3xz + 3yz, restringida a la superficie 2x2 + 2y2 − 3z2 − 4 = 0. Indicar la naturaleza de esos puntos cr´ıticos. 7.14. La funci´on f (x, y, z) = 4xy + 4xz + 4yz, con la restricci´on 4x2 + 4y2 − z2 = 1, posee exactamente dos puntos cr´ıticos ligados. Encontrar y clasificar esos puntos. 7.15. La intersecci´on de la esfera x2 + y2 + z2 = 81 con el plano x + y + z = 15 es un c´ırculo. Encontrar el m´aximo y el m´ınimo valor de la funci´on f (x, y, z) = xyz en este c´ırculo, identificando todos los puntos en donde xyz alcanza uno de esos extremos. 7.16. Demostrar, usando el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange, que f (1, 1, −1) y f (−1, −1, 1) son valores extremos de la funci´on f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 sujeta a las condiciones z(x + y) = −2, xy = 1. Determinar la naturaleza de estos extremos. 7.17. Encontrar los valores m´aximo y m´ınimo absolutos de la funci´on f (x, y, z) = x + y + z sujeta a las restricciones x2 + y2 = 2, x + z = 1. 7.18. La intersecci´on del cono z2 = x2 + y2 y el plano 3x + 4y + 6z = 11 es una elipse. Usar el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange para hallar los puntos de esta elipse m´as cercanos y m´as lejanos al origen.

8

Integrales dobles ZZ

8.1. Calcular la integral x + y = 4, x + y = 12.

(x + y) dy dx donde R es la regi´on limitada por las curvas y2 = 2x,

R

8.2. Expresar como integral doble y luego calcular el volumen del s´olido T limitado por los paraboloides z = x2 + y2 , z = 4x2 + 4y2 , el cilindro y = x2 , y el plano y = 3x. Z π/2 Z π/2

8.3. Calcular I :=

sen |x + y| dy dx.

−π/2 −π/2

Z πZ π

8.4. Calcular el valor de I := 0

| cos(x + y)| dy dx.

0

Z √π Z √π

8.5. Evaluar la integral doble I = 0

sen(y2 ) dy dx.

x

Edici´on del 2009

Ejercicios para MA–1003: C´alculo III

16

8.6. Con x > 0, evaluar la integral doble Z 2 Z log x

I= 1

p (x − 1) 1 + e2y dy dx.

0

8.7. Dada la expresi´on integral I=

ZZ p

1 + e2y dy dx

=

Z 1Z 4p

1 + e2y dy dx +

0

R

0

Z e4 Z 4 p

1 + e2y dy dx,

1

log x

(a) dibujar la regi´on R de integraci´on; (b) cambiar el orden de integraci´on a dx√dy, luego calcular el valor de I. [[ Indicaci´on: R√ 1 + u2 du = log(u + 1 + u2 ) +C. ]] recordar que Z aZ b

8.8. Dada la integral doble I := c

b a

√ a2 −x2

f (x, y) dy dx donde c < a, dibujar la regi´on de

integraci´on y expresar el resultado que se obtiene al cambiar el orden de integraci´on. Z 2a Z √4ax

8.9. Para la integral doble

√ 2ax−x2

0

f (x, y) dy dx, donde a > 0,

(a) dibujar la regi´on de integraci´on; (b) expresar el resultado obtenido al cambiar el orden de integraci´on. 8.10. Dada la suma de integrales dobles: √ 5 Z Z 3

0

5+ 3

5− 35

9−y2

√

9−y2

f (x, y) dx dy +

Z 0 Z 5+ √25 (y+6) 6 25 (y+6) −6 5− √

f (x, y) dx dy,

6

dibujar la regi´on de integraci´on y luego escribir la nueva expresi´on que resulta de cambiar el orden de integraci´on dx dy en el orden dy dx. 8.11. Dada la siguiente suma de integrales dobles: Z 0Z π

Z 0 Z 2π−arccos y

f (x, y) dx dy + −1 arccos y

Z π Z 3π/2

f (x, y) dx dy + −1 π

f (x, y) dx dy, 0

y+π/2

dibujar la regi´on de integraci´on y mostrar la expresi´on que resulta de cambiar el orden de integraci´on. 8.12. Dada la integral doble Z π Z 4+sen x

I= 0

3− 122 (x− π2 )2

f (x, y) dy dx,

π

(a) dibujar la regi´on de integraci´on; Edici´on del 2009

Ejercicios para MA–1003: C´alculo III

17

(b) escribir la suma de integrales que resulta al cambiar el orden de integraci´on. 8.13. Para la integral doble Z π/2 Z sen 2x

I :=

x2 − π2 x+π−4

0

f (x, y) dy dx,

dibujar la regi´on de integraci´on y expresar el resultado que se obtiene al cambiar el orden de integraci´on. 8.14. En la integral doble Z 2π Z 3+cos 2x

f (x, y) dy dx,

I := 0

cos x

dibujar el a´ rea de integraci´on y luego expresar el resultado de las integrales que resultan al cambiar el orden de integraci´on. 8.15. Evaluar la integral doble Z a Z √ax−x2 0

0

a dy dx p , 2 a − x2 − y2

donde a > 0, con un cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas polares. 8.16. Calcular el a´ rea encerrada por la curva (que se llama cardioide) cuya ecuaci´on en coordenadas polares es r = 1 + cos θ . 8.17. Usando coordenadas polares e integrales dobles, calcular el volumen del “cono de helado” limitado superiormente por la semiesfera x2 + y2 + z2 = 96, z ≥ 0 e inferiormente por el semicono 5x2 + 5y2 − z2 = 0, z ≥ 0. 8.18. Con el uso de coordenadas el´ıpticas x = a r cos θ , y = b r sen θ , calcular la integral I=

R

donde R es el interior de la elipse ZZ

8.19. Calcular I =

y2 + a2 b2

ZZ  2 x

3/2 dx dy,

x2 y2 + = 1. a2 b2

(x+y)ex−y dx dy, donde R es el rect´angulo acotada por las cuatro rectas

R

x + y = 1, x + y = 4, x − y = −1, x − y = 1. ZZ

8.20. Calcular la integral doble

2y dx dy, si R es la regi´on del primer cuadrante limitada R

por las rectas y = 21 x, y = 2x, y por las hip´erbolas xy = 2, xy = 8, mediante el cambio de variable u = xy, v = y/x. Edici´on del 2009

Ejercicios para MA–1003: C´alculo III

18

8.21. Determinar el a´ rea de la regi´on en el primer cuadrante acotada por las curvas y = x2 ,

y = 2x2 ,

x = y2 ,

x = 4y2 ,

mediante el cambio de variables u = y/x2 , v = x/y2 . 8.22. Sea R la regi´on limitada por las cuatro hip´erbolas xy = 2, xy = 5, 4x2 − y2 = 2, 4x2 − y2 = 6. Mediante la transformaci´on de coordenadas u = xy, v = 4x2 − y2 , calcular ZZ

(4x2 + y2 )3 dx dy.

I= R

8.23. Usar el cambio de variables

u = x2 + y2 , ZZ

I :=

v = x2 − y2 para calcular la integral doble

(x5 y − xy5 ) dx dy,

S

donde S es la regi´on determinada por 25 ≤ x2 + y2 ≤ 36, 4 ≤ x2 − y2 ≤ 9 en el primer cuadrante x ≥ 0, y ≥ 0. 8.24. Mediante una transformaci´on conveniente de coordenadas, encontrar el a´ rea de la regi´on limitada por las curvas xy = 4,

xy = 8,

xy3 = 5,

xy3 = 15,

en el primer cuadrante del plano xy. 8.25. Calcular el a´ rea de la regi´on en el primer cuadrante del plano xy, limitada por las dos √ √ 3 rectas y = 3 x, y = 3 x y por las dos hip´erbolas xy = 1, xy = 2. 8.26. Utilizando un cambio de variables adecuado, calcular la integral ZZ

xy(y + 2x2 ) dx dy

R

donde R es la regi´on encerrada por las curvas y = x2 + 1, y = x2 + 3, xy = 1, xy = 3. 8.27. Sea R la regi´on dentro del c´ırculo x2 + y2 = 1, pero fuera del c´ırculo x2 + y2 = 2y, con x ≥ 0, y ≥ 0. (a) Dibujar esa regi´on. (b) Sean u := x2 + y2 , v := x2 + y2 − 2y. Dibujar la regi´on S en el plano uv que corresponde a R bajo ese cambio de coordenadas. ZZ

(c) Calcular

xey dx dy usando ese cambio de coordenadas.

R

8.28. Sea R la regi´on en el primer cuadrante acotada por los c´ırculos x2 + y2 = 2x,

x2 + y2 = 6x,

x2 + y2 = 2y,

x2 + y2 = 8y.

2y 2x Usar la transformaci´on u = 2 ,v= 2 para evaluar la integral 2 x +y x + y2

dx dy

ZZ R

(x2 + y2 )2

.

Edici´on del 2009

Ejercicios para MA–1003: C´alculo III

9

19

Integrales triples

9.1. Expresar mediante una integral triple en coordenadas cartesianas el volumen del s´olido limitado por las superficies x2 + y2 + z2 = 20, z = 0, x − y2 = 0; con z ≥ 0, x ≥ y2 . ZZZ

9.2. Calcular la integral

dz dy dx, donde T es el s´olido limitado por los paraboloides T

z = x2 + y2 , z = −5x2 − 5y2 , los cilindros y = 3x2 , y = −3x2 y el plano y = x. ZZZ

9.3. Calcular el volumen

dx dy dz del s´olido T limitado por el par de paraboloides T

z = x2 + y2 , z = 4x2 + 4y2 , el cilindro y = x2 y el plano y = 3x. 9.4. Calcular la masa del s´olido T cuya densidad es ρ(x, y, z) = x2 y2 z2 , si T es limitado por el cilindro parab´olico x = y2 y los planos x = z, z = 0, x = 1. 9.5. Plantear ZZZcomo suma de integrales iteradas, en cualquier orden de integraci´on, la integral

x2 dV , donde T es la pir´amide limitada por la superficie |x| + |y| + z = 4 y por

triple I = T

el plano z = 0.

9.6. Obtener una integral triple, en el orden dz dx dy, que representa el volumen del poliedro en el primer octante limitado por los planos coordenados x = 0, y = 0, z = 0 y por los planos x + y + z = 11, 2x + 4y + 3z = 36, 2x + 3z = 24. (No es necesario evaluar la integral.) 9.7. Calcular, usando coordenadas cil´ındricas, el volumen del cuerpo limitado por la parte superior de la esfera x2 + y2 + z2 = 2 y el paraboloide x2 + y2 = z. 9.8. Encontrar el volumen del s´olido de revoluci´on z2 ≥ x2 + y2 encerrado por la esfera unitaria x2 + y2 + z2 = 1. [[ Indicaci´on: Usar coordenadas esf´ericas. ]] 9.9. Usando coordenadas esf´ericas, calcular Z √ Z Z √ 9−x2

3

9−x2 −y2

I := 0

0

0

dz dy dx p . 9 − x2 − y2 − z2

9.10. Calcular la integral triple I :=

Z 3 Z √9−x2 Z √9−x2 −y2 p √ −3 − 9−x2 0

z x2 + y2 + z2 dz dy dx,

mediante un cambio de variables a coordenadas cil´ındricas o esf´ericas. 9.11. La integral

Z π Z 4 Z √16−r2

I= 0

2

(16 − r2 − z2 ) r dz dr dθ

0

est´a dada en coordenadas cil´ındricas. Expresarla en coordenadas esf´ericas. Edici´on del 2009

Ejercicios para MA–1003: C´alculo III

20

9.12. Usando coordenadas esf´ericas, calcular la integral

ZZZ p

x2 + y2 dx dy dz, donde T es

T

la bola s´olida x2 + y2 + z2 ≤ 16. 9.13. Usar coordenadas esf´ericas para evaluar ZZZ

I := T

dx dy dz , (x2 + y2 + z2 )3/2

donde T es el s´olido acotado por las dos esferas x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 + z2 = 9 y el semicono x2 + y2 − z2 = 0, z ≥ 0. 9.14. Si el s´olido T limitado por el paraboloide z = x2 + y2 , el cilindro x2 + y2 = 25 y los planos z = 0 y z = 25 tiene densidad constante ρ, encontrar el momento de inercia de T alrededor del eje z. 9.15. Calcular mediante una integral triple el volumen del s´olido limitado por las superficies x2 + y2 = 4, z = 0, z = x − y, con z ≥ 0. 9.16. Usar coordenadas cil´ındricas o esf´ericas para evaluar la integral ZZZ

I :=

(x2 + y2 + z2 ) dx dy dz,

T

donde T es la regi´on determinada por las condiciones ZZZ

9.17. Consid´erese la integral triple I :=

1 2

≤ z ≤ 1, x2 + y2 + z2 ≤ 1.

(x2 + y2 + z2 ) dz dy dx, donde T es la regi´on

T

determinada por las condiciones 1 ≤ z ≤ 2, x2 + y2 + z2 ≤ 4. (a) Expresar la integral I en coordenadas cil´ındricas. (b) Expresar la integral I en coordenadas esf´ericas. (c) Evaluar I por cualquiera de las expresiones (a) o (b). 9.18. Hallar el volumen del s´olido limitado inferiormente por el paraboloide 2az = x2 + y2 , con a > 0; y limitado superiormente por la esfera x2 + y2 + z2 = 3a2 . 9.19. Encontrar el volumen de la porci´on de la bola x2 + y2 + z2 ≤ a2 que queda dentro del cilindro r = a sen θ , usando coordenadas cil´ındricas. 9.20. Calcular el volumen del s´olido encerrado por la esfera x2 + y2 + z2 = 4 y envuelto por el cilindro x2 + y2 = 2x. 2 + y2 = 2x y por el semicono 9.21. Calcular la masa del s´olido acotado por el cilindro xp z2 = x2 + y2 , z ≥ 0, cuya densidad es dada por ρ(x, y, z) = x2 + y2 . Obtener tambi´en las coordenadas de su centro de masa. [[ Indicaci´on: Usar coordenadas cil´ındricas. ]]

Edici´on del 2009

Ejercicios para MA–1003: C´alculo III

21

9.22. Encontrar el volumen del s´olido formado por la intersecci´on de los tubos cil´ındricos x2 + y2 ≤ 36, x2 + z2 ≤ 36. 9.23. Calcular mediante una integral triple el volumen del s´olido limitado por las superficies x2 + 2y2 = 2, z = 0, x + y + 2z = 0. √ 2 9.24. Usar el cambio ZZZde variables x = v cos w, y = v sen w, z = u − v para calcular la integral triple I =

z dx dy dz, donde el s´olido T es la intersecci´on del casco esf´erico T

9 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 16 con el casco cil´ındrico 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, con z ≥ 0. 9.25. En la integral triple

Z aZ yZ z

I= 0

0

3

e(a−x) dx dz dy,

0

con a > 0, cambiar el orden de integraci´on dx dz dy al orden dz dy dx. Luego evaluar I, usando este u´ ltimo orden. 9.26. Calcular la integral triple ZZZ

I := T

dx dy dz , x2 + y2 + (z − 21 )2

donde el s´olido T es la bola unitaria x2 + y2 + z2 ≤ 1.

10

Integrales de l´ınea y de superficie

10.1. Un alambre tiene la forma de un segmento de recta que une los puntos A = (0, 1) con B = (1, 1), seguido de otro segmento que une B con C = (1, 2) y finalmente el segmento de par´abola y = x2 + 1 que va del punto C al punto A. Si la densidad del alambre est´a dada por ρ(x, y) = x, calcular su masa. Z

10.2. Calcular

xy ds, donde s es la longitud de arco y C es el contorno del rect´angulo C

|3x| + |2y| = 12, recorrido una vez en el sentido contrario al reloj. 10.3. Encontrar la masa de un alambre que tiene la forma de la h´elice x = t, y = cost, z = sent, para 0 ≤ t ≤ 2π, si la densidad en cualquier punto del alambre est´a dada por ρ(x, y, z) = |z|. 10.4. Un alambre tiene la forma de la curva x2 + y2 p = 1, z = x + y + 6. Calcular la masa de este alambre, si su densidad est´a dada por ρ(x, y) = 2(1 − xy). 10.5. Un alambre tiene la forma de la curva x2 +p y2 + z2 = 16, x = y. Calcular la masa del alambre, si su densidad est´a dada por ρ(x, y, z) = 2y2 + z2 . 10.6. Hallar la masa de un alambre que sigue la intersecci´on de la esfera x2 + y2 + z2 = 1 y el plano x + y + z = 0, si su densidad est´a dada por ρ(x, y, z) = x2 . Edici´on del 2009

Ejercicios para MA–1003: C´alculo III

22

Z

yz dx + zx dy + xy dz, donde C es la porci´on de la curva dada por las ecua-

10.7. Calcular C

ciones

x2 + y2 + z2 − 2(x + y + z) = 26, xy + xz − x + y − 3z = 13,

que une el punto A = (−1, −2, −3) con el punto B = (3, 4, 5). 10.8. Calcular la integral de l´ınea del campo vectorial ~F(x, y, z) = 2xyz i + x2 z j + x2 y k a lo √ largo de la curva 5 3 2 2 2 (x − 4) + y + z = 16, x + y − z = 0, 3 √ desde el punto O = (0, 0, 0) al punto A = (2, 3, 3). Z

10.9. Calcular curva

~F · d~r, donde ~F(x, y, z) = (3y2 z + yex ) i + (6xyz + ex ) j + 3xy2 k, si C es la

C

~r(t) = (sen 2t + cos 2t − 1) i + t cost j + t 2 sent k que une los puntos A = (0, 0, 0) y B = (1, −π, 0). 10.10. Calcular la integral y x xy dx + dy + dz, 3−z (3 − z)2 C 3−z

I

donde C es la curva cerrada 4x2 + 5y2 = 7, 3x + 2y − 9z = 5. 10.11. Calcular la integral de l´ınea del campo vectorial ~F(x, y, z) = (2x cos y + z sen y) i + (xz cos y − x2 sen y) j + x sen y k a lo largo de la l´ınea poligonal que une los cuatro puntos A = (−1 − 3, 5), B = (−1, 4, 5), C = (−1, 4, 8) y D = (2, 6, −3), en ese orden. 10.12. Calcular el trabajo ejercido por un campo vectorial de fuerzas ~F := 2xy3 z4 i + 3x2 y2 z4 j + 4x2 y3 z3 k, al mover una part´ıcula del punto A = (0, 0, 0) al punto B = (1, 1, 1), a lo largo de la curva de intersecci´on de las superficies 2z3 = x3 + y3 ,

z=

x4 x2 y2 + + . 2 4 4

10.13. Calcular el trabajo ejercido por el campo vectorial de fuerzas ~F(x, y, z) = 2xyz i + x2 z j + x2 y k sobre una part´ıcula que se mueve desde A = (1, −2, 3) al punto B = (2, 4, −5), a lo largo de la intersecci´on de la superficie xy + 2x − 2y = 4 con la superficie 9x2 + 4z2 − x2 z2 = 36. Edici´on del 2009

Ejercicios para MA–1003: C´alculo III

23

10.14. Un campo de fuerzas ~F viene dado por la f´ormula ~F(x, y, z) := (x − y) i + (y − z) j + (x − z) k. Calcular el trabajo realizado al recorrer una vez, en sentido contrario al reloj, el contorno |x| + |y| = 1, z = y. 10.15. Calcular el a´ rea de la elipse recortada del plano 2x + 3y + z = 6 por el cilindro x2 + y2 = 2, z ≥ 0. 10.16. Calcular el a´ rea de la superficie dada por la ecuaci´on z = xy que se encuentra dentro del cilindro x2 + y2 = 8. 10.17. Calcular el a´ rea de la porci´on del cono z2 = x2 + y2 que se encuentra encima del plano xy y dentro de la esfera x2 + y2 + z2 − 4y = 0. 10.18. (a) Calcular el a´ rea de la porci´on del cilindro x2 + y2 = 4y que queda entre los dos embudos del cono x2 + y2 = z2 . (b) Calcular el a´ rea de la parte de la superficie c´onica anterior encerrada por ese cilindro. 10.19. Expresar mediante una integral doble (sin evaluarla), el a´ rea superficial de la intersecci´on de un tubo s´olido de 4 cm de radio que se introduce en a´ ngulo recto en otro de 10 cm de radio. Consid´erese que x2 +z2 = 100 y y2 +z2 = 16 son las ecuaciones de los respectivos tubos. 10.20. Obtener la integral doble (con su integrando y sus cotas de integraci´on, pero sin evaluarla) que representa el a´ rea de la superficie del cilindro y2 + z2 = 4 que queda dentro del cilindro x2 + y2 = 4, con z ≥ 0. 10.21. Si la superficie simple S queda parametrizada por~r(u, v) ∈ R3 , con (u, v) ∈ R ⊂ R2 , comprobar que el a´ rea superficial de S puede calcularse por la f´ormula ZZ p EG − F 2 du dv, Area(S) = R

en donde E = k~ru k2 , F =~ru ·~rv , G = k~rv k2 .

11

Los teoremas de Green, Gauss y Stokes I

(x + y) dx + (y − x) dy, donde C es el c´ırculo

11.1. Usar el teorema de Green para calcular x2 + y2 − 6x = 0.

C

I

11.2. Usar el teorema de Green para calcular

(x2 + y2 ) dx + xy dy, donde C consiste del

C

arco de la par´abola y = x2 desde O = (0, 0) a A = (2, 4), el segmentos rectil´ıneo desde A a B = (0, 4) y el segmento rectil´ıneo desde B a O. Edici´on del 2009

Ejercicios para MA–1003: C´alculo III

24

11.3. Por medio del teorema de Green, calcular y dx + log(1 + x2 ) dy 2 C 1+x

I

en donde C es el borde del cuadrado de v´ertices (0, 0), (1, 0), (1, 1) y (0, 1), recorrido en el sentido antihorario. 11.4. Usando el teorema de la divergencia (teorema de Gauss), evaluar ZZ

~F ·~n dS,

I=

donde ~F(x, y, z) := x3 i + y3 j + z k

S

y S es la esfera unitaria x2 +y2 +z2 = 1 con sus vectores normales apuntando hacia el exterior. ZZ

11.5. Evaluar la integral de superficie

~F ·~n dS, si ~F es el campo vectorial

S

~F := xz2 i + (x2 y − z3 ) j + (2xy + y2 z) k, donde S es la superficie total del s´olido hemisf´erico acotado por z = el plano z = 0.

p 25 − x2 − y2 junto con

11.6. Usar el teorema de la divergencia para calcular ZZ

~F ·~n dS,

I=

donde ~F(x, y, z) := x3 i + y3 j + z3 k

S

y ~n es un vector normal unitario exterior a la esfera S : x2 + y2 + z2 = 1. 11.7. Verificar el teorema de la divergencia para el campo vectorial ~F(x, y, z) = 2x2 y i − y2 j + 4xz2 k definido en el s´olido del primer octante limitado por y2 + z2 = 9 y x = 2. 11.8. Aplicando el teorema de la divergencia, calcular ZZ

~F ·~n dS,

I=

donde ~F(x, y, z) := x3 i + y3 j + z3 k

S

y S es la superficie total del s´olido c´onico x2 + y2 ≤ z2 , 0 ≤ z ≤ H, con H > 0. 11.9. Usar el teorema de la divergencia para calcular ZZ

I=

~F ·~n dS,

donde ~F(x, y, z) := xz i + yz j + z2 k

S

y ~n es el vector unitario exterior a la superficie que limita al recinto comprendido entre el hemisferio superior de la esfera x2 + y2 + z2 = 2z y la superficie c´onica x2 + y2 = z2 . Edici´on del 2009

Ejercicios para MA–1003: C´alculo III

25

11.10. Usar el teorema de la divergencia para evaluar la integral ZZ

I=

~F ·~n dS,

donde ~F = x3 i + x2 y j + x2 z k,

S

si S es la superficie cerrada que se obtiene al unir la porci´on del cono x2 + y2 = z2 que queda 2 + z2 = 2z, con la porci´ dentro de la esfera x2 + yp on de la esfera x2 + y2 + z2 = 2z que queda dentro del semicono z = x2 + y2 . 11.11. Verificar el teorema de la divergencia para el campo vectorial ~F(x, y, z) := xy2 i + y3 j + x2 z k, p definido en el s´olido T determinado por las condiciones 0 ≤ z ≤ x2 + y2 ≤ 1. [[ Indicaci´on: Calcular las integrales de superficie con coordenadas cil´ındricas y la integral de volumen con coordenadas esf´ericas. ]] 11.12. Usar el teorema de la divergencia para calcular ZZ

I=

~F ·~n dS,

donde ~F(x, y, z) := xz2 i + yz2 j + z3 k

S

y ~n es un vector unitario exterior a la superficie que limita al recinto comprendido entre el hemisferio x2 + y2 + z2 = 2x, z ≥ 0 y la superficie c´onica x2 + y2 = z2 . 11.13. Aplicando el teorema de Stokes (´unicamente), calcular ZZ

I=

rot~F ·~n dS,

donde ~F(x, y, z) := y i + x j + (y + z) k,

S

S es la porci´on de la superficie 2x + y + z = 2 situada en el primer octante y ~n es el vector normal unitaria a la superficie, con componente z no negativa. 11.14. Consid´erese el campo vectorial ~F(x, y, z) = x2 i + xy j + z2 k. La curva de intersecci´on del cilindro x2 + y2 = 1 con el plano x + y + z = 1 es el borde de una superficie S. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial ~F sobre esta superficie S. 11.15. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial ~F(x, y, z) = −y3 i + x3 j − z3 k y la curva C formada por la intersecci´on del cilindro x2 + y2 = 1 y el plano x + y + z = 1. La orientaci´on de C corresponde al movimiento antihorario, visto por un observador colocado en el punto (5, 0, 0). 11.16. Calcular, por medio del teorema de Stokes, la integral de superficie ZZ

I=

rot~F ·~n dS,

donde ~F(x, y, z) := 2yz i − (x + 3y − 2) j + (x2 + z) k,

S

la superficie S es la porci´on del cilindro x2 + z2 = 9 dentro del tubo cil´ındrico x2 + y2 ≤ 9 e incluida en el primer octante x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0; y~n es el vector unitario normal a S tal que ~n · k ≥ 0. Edici´on del 2009

Ejercicios para MA–1003: C´alculo III

26

11.17. Usar el teorema de Stokes para calcular I

x dx + (x + y) dy + (x + y + z) dz, C

donde C es la curva: x = 4 sent,

y = 4 cost,

z = 4(sent + cost),

con

0 ≤ t < 2π.

Edici´on del 2009