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304. Calcular el mínimo diámetro de un árbol de acero que, sometido a un momento torsionante de 14 kN×m, no debe experimentar una deformación angular superior a 3° en una longitud de 6 m. ¿Cuál es entonces el esfuerzo cortante máximo que aparecerá en él? Use G = 83 GN/m2? Solución:

Sabemos que: J 

d 4

32TL G



d 4

 4 TL d   32 JG



32 14  10 3 6  0,118m   9   83  10  60 



d = 118 mm

Además:

 máx

Tc Td 14  10 3  118     43,4  J 2J 4 2  118 32



 máx  43,4MN / m 2

313. El árbol de la figura gira a 3 r/s absorbiendo 30 kW en A y 15 kW en B de los 45 kW aplicados en C. Si G = 83 x 109 N/m2, calcular el esfuerzo cortante máximo y el ángulo de torsión de la rueda A respecto de la rueda C. (Material acero.)

Solución: Calculamos los momentos torsionantes:

TB 

B / C 15  10 3 2,5   kN.m ; 2f 2 3 

 B/C 

TA 

16TBC 167,5 /     28,8MN / m 2 ; 3 3 d BC  0,075

 A / B 30  10 3 5   kN.m 2f 2 3 

 A/ B 

El esfuerzo máximo es:  máx   A / B  64,9MN / m 2

16TBC 165 /     64,9MN / m 2 3 3 d AB  0,05

314. Un árbol de acero se encuentra cargado según se muestra en la figura. Usando un módulo G = 83 GN/m2, calcule el diámetro requerido del árbol si el esfuerzo cortante está limitado a 60 MN/m2 y el ángulo de rotación extremo libre no debe exceder de 4o.

Solución:

Del equilibrio tenemos que T = 500N.m Tramo AB: TAB = T = 500 N.m



 AB 

16T 16500   60  10 6 3 3 d d



 BC 

161000  60  10 6 3 d



d≥0,035 m

Tramo BC TBC = 1000 N.m



d≥0,044 m

Para calcular los giros, haremos el diagrama de momento torsionante para ver cómo es el giro en la barra. (+) horario (-) antihorario  todos giran antihorario

C / A  C / B   B / A C / A 

C / A 

TBC LBC TAB L AB 1 TBC LBC  TAB L AB    JG JG JG 1

 4 d 83  10 9  32

d≥0,052 m



10003  5002  4 

tomando el mayor

 180

d = 52 mm

320. En el problema anterior determinar la relación de longitudes b/a que debe existir para que el acero y el bronce trabajen al máximo esfuerzo posible. ¿Qué par torsor T es necesario para ello? b/a = 1.19; T = 6.93 kN×m

Solución:

Bronce: D = 75 mm; máx = 60 MN/m2;

G = 35 GN/m2

máx = 80 MN/m2;

G = 83 GN/m2

Acero: D = 50 mm;

TB 

TA 

J  c

 0,0754 32  4,97kN 0,0375

60  10 6 

 0,054 32  1,96kN 0,025

80  10 6 

 4970,1a   1963,5b  0  0,0754  35  0,054  83

32



b  1,19 a

32

T = TB + TA = 4970,1 + 1963,5



T = 6,93 kN.m

321. Un árbol compuesto, que consta de un segmento de aluminio y uno de acero, está sometido a dos momentos de torsión como se muestra en la figura. Calcule el máximo valor admisible de T de acuerdo con las siguientes condiciones:  ac < 100 MPa, al < 70 MPa, y el ángulo de rotación del extremo libre, limitado a 12°. Use los valores Gac = 83 GPa y Gat = 28 GPa.

Solución: tac  100 MPa Gac = 83 GPa tat  70 MPa Gat = 28 GPa  = 12°

 ac 

2T 0,025  81487,33T  100  10 6  0,054 32

 T  1227,2

 at 

3T 0,0375  36216,59T  70  10 6  4 0,075 32  T  1932,8

322. Un par torsor T se aplica, como indica la figura, a un árbol macizo con extremos empotrados. Demostrar que los momentos torsionantes en los empotramientos son T 1 = Tb/L y T 2 = Ta/L ¿Variarían estos valores si el árbol fuera hueco?

Solución Equilibrio: T1 – T + T2 = 0 … (I)

T1 + T2 = T Sabemos que:

 2 /1  0 

 T1 a  T2 b   0 JG

JP



T1 b  T2 a

… (II)

De (I) y (II)

T2

b  T2  T a

T1  T  T2  T 



aT bT  L L

T2

ba T a 

No variarían estos valores si el árbol es hueco



T1 

bT L

T2 

aT L

l.q.q.d

l.q.q.d

329. Determinar el número de pernos de acero de 10 mm de diámetro que se necesitarían en el círculo exterior del problema anterior para poder trasmitir un par torsor de 8 kN×m. Solución: Sabemos que: T = P1R1n1 + P2R2n2   2 2 8  103  60  106  0,01   0,15  n1  40  10 6  0,01   0,1  4 4  4  n1 = 9,5



n1 = 10 pernos

332. Una placa se sujeta a un elemento fijo y rígido mediante cuatro remaches de 20 mm de diámetro, como se indica en la figura. Determinar el máximo y mínimo esfuerzos cortantes que aparecen en los remaches.

Solución Del gráfico:

T = 16×0,3 = 4,8 kN.m

J   Ai i2  A i2 



 0,022 0,052  0,152  0,152  0,052  0,152 4

J  15,7  10 6 m 4

 max 

Tmax 4,8 103  0,15  J 15,7 106



 = 45,9 MN/m2



 min 

T min 4,8  103  0,15  J 15,7  106



 = 15,4 MN/m2

337. Se aplica un momento torsionante de 600 N×m a un tubo de sección rectangular, como el de la figura. Determinar el espesor t de sus paredes de manera que el esfuerzo cortante no exceda de 60 MPa. Calcular el esfuerzo en los lados cortos. Despreciar la concentración de esfuerzos en las esquinas.

Solución: Sabemos que:  

 

T 2 At

600  60  106 20,018t





A = bh = 0,03×0,06 = 0,0018 m2

t≥2,8mm



t = 3mm