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• Anibal Heredia Pizarro

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EJERCICIOS DE REPASO PARA LA PC3 1. Calcule la siguiente integral ∫ (𝑥 + 2) 𝑑𝑠 𝐶

donde 𝐶 es la curva representada por: 4 3 𝑡2

𝛼(𝑡) = 〈𝑡; 3 𝑡 2 ; 2 〉, 0 ≤ 𝑡 ≤ 4 2. Sea la curva 𝐶, cuyas ecuaciones paramétricas, están dadas por: 𝑥 = cos⁡(𝑡) 𝐶: {𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡) ; ⁡⁡⁡⁡⁡𝑡 ∈ [0; 𝜋] 𝑧=𝑡 Si se proyecta la curva 𝐶 sobre el plano 𝑥𝑦, se obtiene la curva 𝐶𝑥𝑦 . Si 𝑆 representa la forma de una pared limitada inferiormente por 𝐶𝑥𝑦 y superiormente por 𝐶, tal como se observa en la figura adjunta. Si las coordenadas cartesianas están dadas en metros, calcule el área de 𝑆. 3. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerza 𝐹(𝑥; 𝑦) = 〈𝑦 2 + 1; 2𝑥〉 al mover una partícula desde (0; 0) hasta (2; 0) a lo largo de la curva 𝐶 descrita por el conjunto 𝑆 = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ2 ⁄𝑦 = 1 − |1 − 𝑥|} 4. Calcule la integral de línea del campo vectorial dado: 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 〈𝑦 − 𝑥 2 ; 𝑧 − 𝑦 2 ; 𝑥 − 𝑧 2 〉 a lo largo de la curva 𝛼(𝑡) = 〈𝑡; 𝑡 2 ; 𝑡 3 〉, desde (0; 0; 0) hasta (2; 4,8). 5. Dada la curva 𝐶 definida por 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1⁡ 𝑦 =𝑧+1 ⃗⃗ medido en Newton, es El campo de fuerza definido por 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦 − 𝑧)𝑖⃗ + 𝑥𝑗⃗ + 𝑒 𝑧 𝑘 𝐶: {

√2 1

1

aplicado para mover un objeto en el espacio desde el punto 𝐴 = ( 2 ; 2 ; − 2) sobre la curva 𝐶, √2 1

1

hasta el punto 𝐵 = ( 2 ; 2 ; − 2). Si en el sistema de coordenadas, las unidades están medidas en metros, calcule el trabajo realizado por la fuerza 𝐹. 6. Un alambre metálico en la forma de un resorte de 3𝜋⁡𝑐𝑚 de altura y 4⁡𝑐𝑚 de diámetro, se representa como Docente: José G. Suyón Vilcherrez

𝑥 = 2⁡cos⁡(𝑡) {𝑥 = 2⁡sen⁡(𝑡)⁡⁡⁡⁡⁡0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 𝑧 = 3𝑡 a. Calcule la masa total del filamento si la densidad lineal del material es de 0,45𝑔𝑟/𝑐𝑚. b. Compruebe que la curva que representa al filamento está contenida en un cilindro de ecuación: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4. 7. Exprese la integral definida que permite calcular la siguiente integral, ∫ 𝐹 𝑑𝛼 𝐶

Donde ⁡𝐶 es la curva intersección de las superficies, 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 16⁡⁡y⁡⁡𝑥 2 + 𝑦 2 = 4𝑦, 𝑧 ≥ 0 recorrida en sentido horario y el campo vectorial está dado por: 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 〈𝑥 2 ; 𝑦 2 ; 𝑧 2 〉. 8. Una partícula se mueve en el espacio de modo que en cualquier instante⁡𝑡 su posición está dada por 𝑟(𝑡) = 〈2𝑡 cos 𝑡 ; 2𝑡 sen 𝑡 ; −𝑡 2 + 2𝑡〉 a. Si la partícula intersecta al plano 𝑋𝑌 en el instante 𝑡 = 0, calcule la distancia total recorrida por la partícula desde 𝑡⁡ = 0 hasta el instante 𝑡1 en el que la partícula intersecta nuevamente al plano 𝑋𝑌. Considere las unidades en centímetros. 𝜋

b. Si un pedazo de alambre, comprendido entre los puntos 𝐴, para 𝑡 = 6 , y 𝐵 (0; 𝜋;

𝜋(4−𝜋) 4

),

tiene la forma dada por 𝛼 y su densidad, en gramos por centímetro, está dada por 𝜌(𝑥; 𝑦) = 𝑥 + 𝑦, exprese la integral de línea como una integral definida simple que permita calcular la masa de dicho alambre. 9. Calcule el trabajo realizado por el campo vectorial 𝑥 𝑦 〉 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 〈− 2 ; − 𝑥 + 𝑦2 𝑥2 + 𝑦2 Al mover una partícula a lo largo de una recta que va desde 𝐴(2; 1) hasta 𝐵(3; 4). 10. Una agencia de publicidad ofrece, a sus clientes de Cercado de Lima, un panel publicitario 𝑦 vertical de altura variable que viene dada por la función 𝑓(𝑥; 𝑦) = 1 + 6. Si la base del panel publicitario coincide con la trayectoria de la curva 𝐶 dada por: 𝜋 𝛼(𝑡) = 〈3cos3 𝑡 ; 3sen3 𝑡〉,⁡⁡⁡0 ≤ 𝑡 ≤ 2 a. Grafique la curva 𝐶. b. Calcule el ingreso mensual de la agencia de publicidad, si se sabe que el alquiler mensual del panel publicitario es de 80 soles por metro cuadradoDada la región del espacio 𝐸 Docente: José G. Suyón Vilcherrez

11.

Calcule la integral de línea del campo vectorial dado: 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 〈𝑦 − 𝑥 2 ; 𝑧 − 𝑦 2 ; 𝑥 − 𝑧 2 〉 a lo largo de la curva 𝛼(𝑡) = 〈𝑡; 𝑡 2 ; 𝑡 3 〉, donde 0 ≤ 𝑡 ≤ 1, desde (0; 0; 0) hasta (1; 1,1).

12.

Sea la curva: 𝐶 = 𝐶1 ∪ 𝐶2 ∪ 𝐶3 ∪ 𝐶4 en ℝ3 , tal como se muestra en la figura. Sea ⃗⃗ 𝐹⁡(𝑥⁡; 𝑦⁡; 𝑧) = (4⁡𝑥 3 + 9⁡𝑥 2 ⁡𝑦 2 )⁡𝑖⃗ ⁡ + (6𝑥 3 ⁡𝑦 + 6𝑦 5 )⁡𝑗⃗ ⁡ + (𝑧 2 + 2𝑧)⁡𝑘 un campo de fuerzas. Calcule el trabajo realizado por 𝐹⁡al trasladar una particula a lo largo de la curva 𝐶. (5P)

13. Una cerca tiene una altura variable que viene dada por la función 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥𝑦. Si la base de la cerca coincide con la trayectoria de la curva 𝐶 en el primer cuadrante y está dada por: 𝐶: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 16 Calcule el área de la cerca, considere las unidades en metros 14. Sea la curva: 𝐶 en ℝ2 , tal como se muestra en la figura adjunta. Ademas sea campo: 𝐹⁡(𝑥⁡; 𝑦) = (4⁡𝑥 3 + 9⁡𝑥 2 ⁡𝑦 2 )⁡𝑖⃗ ⁡ + (6𝑥 3 ⁡𝑦 + 6𝑦 5 )⁡𝑗⃗⁡ un campo de fuerzas. Calcule el trabajo realizado por 𝐹⁡al trasladar una particula a lo largo de la curva 𝐶 desde el punto 𝐴 hasta el punto 𝐵.

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15. Un motor de tractor tiene una pieza de acero con una base circular representada por la curva 𝑥 2 + 𝑦 2 = 16. Su altura está dada por 𝑧 = 1 − 𝑦 2 (Todas las medidas en centímetros). Calcule el área de la superficie lateral de la pieza. 16. Dado campo vectorial tridimensional 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (𝑦 2 ; 2𝑥𝑦 + 𝑒 3𝑧 ; 3𝑦𝑒 3𝑧 ) a. Compruebe si el campo vectorial 𝐹, es conservativo. b. Calcule la función potencial para el campo vectorial 𝐹. c. Calcule el trabajo realizado por 𝐹⁡al trasladar una particula a lo largo de la curva 𝐶, desde 𝐴 hasta 𝐵, mostrada en la figura adjunta:

17. La altura de un edificio está dada por 𝑧 = 𝑥𝑦, y una de las paredes sigue una trayectoria 2 representada por: 𝑦 = 3 𝑥 3/2 . Si todas las medidas se dan en metros, calcule el área de la superficie de la pared si 0 ≤ 𝑥 ≤ 25. 18. Calcule una parametrización de la curva 𝐶, donde: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4𝑥 𝐶: { 𝑥+𝑦 =𝑧 2 𝑥 𝑥 19. Sea 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (𝑥𝑒 sen 𝑦 + 𝑒 sen 𝑦 ; 𝑥𝑒 𝑥 cos 𝑦 − 2𝑦 2 𝑧; − 3 𝑦 3 ) un campo de fuerzas. Calcule el trabajo realizado por 𝐹⁡al trasladar una particula a lo largo de la curva 𝐶, desde el punto 𝐵 hasta el punto 𝐴.

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20. Sea la curva 𝐶0 en ℝ3 , que esta sobre la superficie de la semiesfera dada por la ecuación 𝑧 = √16 − 𝑥 2 − 𝑦 2 . Calcule la integral ∫ (4𝑥 3 + 9𝑥 2 𝑦 2 )𝑑𝑥 + (6𝑥 3 𝑦 + 6𝑦 5 )𝑑𝑦 + (2𝑧)𝑑𝑧 𝐶0

Desde el punto 𝐴⁡hasta el punto 𝐵, cuya proyección al plano 𝑥𝑦 son (2; 0) y (0; −2), respectivamente. 𝑥

21. La altura de un edificio está dada por 𝑧 = 20 + 10, y una de las paredes sigue una 2

trayectoria representada por: 𝑦 = 3 𝑥 5/2 . Si todas las medidas se dan en metros, calcule el área de la superficie de la pared si 0 ≤ 𝑥 ≤ 9. 22. Sea la curva 𝐶, que resulta de la intersección de las superficies de la esfera de ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 16 y 𝑧 − 𝑥 = 0.⁡Calcule una parametrización de la curva 𝐶. 2

23. Sea 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (𝑥𝑒 𝑥 sen 𝑦 + 𝑒 𝑥 sen 𝑦 ; 𝑥𝑒 𝑥 cos 𝑦 − 2𝑦 2 𝑧; − 3 𝑦 3 ) un campo de fuerzas. Si una partícula sigue la trayectoria dada por 𝐶, mostrada en la figura adjunta, calcule: ∫ 𝐹𝑑𝛼 𝐶

24. Dado campo vectorial tridimensional 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑦 2 𝑖 + (2𝑥𝑦 + 𝑒 3𝑧 )𝑗 + 3𝑦𝑒 3𝑧 𝑘, a. Compruebe si el campo vectorial 𝐹, es conservativo. b. Calcule la función potencial 𝑓, tal que 𝑓(2; 1; 0) = 4, para el campo vectorial 𝐹. Docente: José G. Suyón Vilcherrez

25. Dada la curva 𝐶 definida por 𝑥2 2 𝑦 + + 𝑧 2 = 1⁡ 𝐶={ 4 𝑦 =𝑧+1 ⃗⃗ medido en Newton, El campo de fuerza definido por 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (𝑦 − 𝑧)𝑖⃗ + 𝑥𝑗⃗ + 𝑒 𝑧 𝑘 es aplicado para mover un objeto en el espacio desde el punto 𝐴 = (0; 0; −1) sobre la √2 1

1

curva 𝐶, hasta el punto 𝐵 = ( 2 ; 2 ; − 2). Si en el sistema de coordenadas, las unidades están medidas en metros, a. Calcule una parametrización de la curva 𝐶. b. Calcule el trabajo realizado por la fuerza.

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