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1.

2.

EJEMPLOS MRUV . Dos vehículos están separados 90 m. uno delante del otro y se mueven sobre una pista horizontal. Parten del reposo en el mismo sentido y en el mismo instante, el primero con una aceleración de 5i (m/s2) y el segundo con una aceleración de 7i (m/s2) Al cabo de cuánto tiempo el segundo alcanza al primero y cuál fue el desplazamiento de ellos.

Desde un punto común parten al mismo tiempo dos partículas A y B en la misma dirección y sentido. La partícula A tiene una rapidez de 10 m/s y una aceleración de (2i - 9,8j) m/s2 y la partícula B tiene una rapidez de 20 m/s y una aceleración de (0,4i - 1,96j) m/s2. Hallar donde y cuando se encuentran.

El punto donde se encuentran, las partículas se habrán desplazado una magnitud Δr, en un tiempo t ΔrA = ΔrB Determinamos las aceleraciones:

Dividimos para t:

Calculamos la distancia recorrida por las partículas:

3. Un móvil se desplaza siguiendo una trayectoria recta, a partir del reposo. Durante 10 segundos se mueve con una aceleración (3i+ 2j) m/s2, luego se mueve 3 minutos con velocidad constante y posteriormente frena (-4, 15i - 2,75j) m/s2 hasta detenerse. Determinar: a) La distancia total recorrida b) El desplazamiento total realizado e) El tiempo total empleado.

Dividimos todo el movimiento en tres partes: ·

La distancia total recorrida será:

El tiempo total empleado es: Para determinar el desplazamiento del móvil es necesario determinar su dirección:

4. Una partícula se mueve a lo largo del eje x. Si cuando t = O, x = O y la gráfica indica la variación .de la velocidad en función del tiempo. a) Indique el tipo de movimiento b) Llene la columna 1 con el signo (+) o (-) que tiene la velocidad en el intervalo correspondiente. c) Calcule la aceleración en cada intervalo y llene la columna 2 con el signo respectivo d) Calcule el desplazamiento y la distancia recorrida en cada intervalo e) Realice el gráfico posición- tiempo y aceleración - tiempo f) Determine la velocidad media

5. Dos vehículos A y B se mueven rectilíneamente desde una misma posición inicial, mediante los siguientes gráficos velocidad tiempo

a) Describir el tipo de movimiento de cada móvil.

b) Dibujar la posición de los vehículos en función del tiempo

a)

Considerando todo el recorrido. Cuál será la rapidez media escalar para cada vehículo.

b) Determinar la velocidad media vectorial para cada vehículo

1.

Dos partículas A y B se mueven de acuerdo al siguiente gráfico v – t a lo largo de una trayectoria rectilínea. Si las dos partículas parten del origen en t = 0 s. determinar: a) El tipo de movimiento de las partículas en cada intervalo de tiempo b) Realice el gráfico posición - tiempo para las dos partículas c) En qué tiempo se encuentran las dos partículas

b) Gráfico: posición -tiempo

c) Se encuentran cuando el desplazamiento es el mismo

Si t es el tiempo de encuentro => A1 = A2

7. Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 1 m/s2 durante 15 s; después continúa a velocidad constante durante 30 s, si al finalizar este periodo de 30 s, el conductor aplica los frenos hasta que el auto queda en reposo luego de recorrer 75 m desde que aplica los frenos. Determinar: a) La velocidad alcanzada al finalizar los 15 s b) La distancia total recorrida y el tiempo empleado c) La aceleración que adquiere el auto al aplicar los frenos d) Realizar el gráfico v - t para todo el recorrido, y el grafico a - t

2.

Una partícula con movimiento rectilíneo pasa por el punto A (-5; 3; -2) m con una rapidez de 10 m/s cuando el reloj marca t=0 s y llega al punto B (3; 4; 1) m cuando t = 5 s. A partir de este punto y durante 3s tiene una aceleración cuyo unitario es contrario al de la velocidad y tiene un módulo de 3 m/s2. Durante los 2 s siguientes la aceleración del móvil es de 4 m/s2. Determinar la velocidad final y posición final del móvil.

Para t = 5 s:

Para t = 2 s:

Debido a que muchos estudiantes están más familiarizados con el empleo de herramientas escalares, que son útiles en ejercicios fundamentales, tratándose de problemas con cierto grado de complicación como el que estamos analizando donde se incorporan diferentes etapas con características diversas, se puede utilizar los módulos pero considerando las direcciones respectivas a través de los unitarios, así: Para t = 5 s:

Para t = 3 s:

Para t = 2 s:

PREGUNTAS Nº9 Nombre:…………………………………………………… Carrera/Paralelo:………………………………………… 1. Si la aceleración tangencial que actúa sobre una partícula disminuye, entonces la rapidez de la misma: a) aumenta b) disminuye c) permanece constante d) no se puede conocer 2. En un instante dado una partícula tiene una velocidad 3i + 4j (m/s) y una aceleración de 7i+ 2j (m/s2). El movimiento de la partícula es: ( ) Acelerado ( ) Retardado ( ) Rectilíneo uniformemente variado ( ) Rectilíneo uniforme 3. Si la aceleración tangencial que actúa sobre una práctica disminuye, entonces, la rapidez de ella. a) aumenta · b) disminuye

c) permanece constante d) no se puede determinar 4. El valor de la velocidad media es igual al de la velocidad instantánea solo cuando la partícula a) se encontraba en el origen b) se mueve con MRU c) se mueve con MRUVA d) se mueve con MRUVR 5. En el siguiente gráfico se enfrenta la variación de la velocidad de un móvil.

Se puede opinar que: a) El movimiento es retardado en los tramos AB, CD, DE b) El movimiento es únicamente retardado en AB e) El movimiento es retardado en los tramos AB, CD d) Ninguna.

6. ¿Es necesario que un objeto acelerado se esté moviendo en todo momento? Si o No Explique. De un ejemplo de algún objeto que esté en reposo y a la vez acelerado. SI ( ) NO ( ) Justifique: ………………………………………………………………………………………………………………………………….................... …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Ejemplo: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 7. En el instante t = 0 (s) una partícula tiene una velocidad v = 3i - 5j (m/s) y se desplaza con una aceleración constante de a = 6i (m/s2). Entonces la trayectoria descrita por la partícula es: a) Rectilínea b) Circular c) Parabólica d) Elíptica 8.- En un movimiento uniformemente variado se cumple que: a) La velocidad es constante b) la velocidad varía uniformemente c) La rapidez varia de manera uniforme d) La rapidez es constante. 9. Señale la afirmación correcta. En un movimiento MRUV:

( ( ( (

) Si la velocidad y la aceleración son negativas entonces el movimiento es retardado. ) Si la velocidad es positiva y la aceleración es negativa, el movimiento es acelerado. ) Si la velocidad y la aceleración son negativas, entonces el movimiento es acelerado ) Si la aceleración es constante entonces el movimiento es rectilíneo uniforme

10. Si la resultante de V· a < 0 se tiene: a) Movimiento uniformemente acelerado b) Movimiento uniformemente retardado c) Movimiento uniformemente d) Ninguna

EJERCICIO Nº13 Nombre:…………………………………………………… Carrera/Paralelo:………………………………………… 1. Un móvil se mueve en una carretera recta según la ley mostrada en el gráfico. Halle la rapidez media en los primeros 30 s.

Rpta: Vm = 10,5 m/s

2. En el instante t = 0 una partícula se encuentra en la posición r (3; 2; 0) m y tiene una velocidad instantánea v = 2i + 3j m/s. Se le comunica una aceleración constante de módulo 3 m/s2 durante 1 O s. en el sentido contrario al de la velocidad. Determinar: a) El desplazamiento realizado b) La posición final de la partícula c) La velocidad media d) La velocidad final. e) La distancia recorrida.

Rpta:

3. El siguiente gráfico v - t muestra el movimiento de las partículas A y B que al t = 0s se encuentran en el origen

Determinar: a) la clase de movimiento de cada partícula · b) la posición de A y B a t = 6 s e) se volverán a encontrar A y B. Explique analíticamente su respuesta Rpta: xfA = -18i xfB =27i

4.- Un móvil parte sobre una vía recta desde el punto A, con una aceleración de 2 m/s2. Se traslada hasta alcanzar una rapidez de 72 km/h. Continua moviéndose con esta rapidez hasta cierto punto B, en el cual aplica los frenos deteniéndose 40 m más allá de donde empezó a frenar. El módulo de la velocidad media durante el desplazamiento de A a B es de 54 km/h. Determinar: a) el grafico velocidad - tiempo b) el tiempo que demora en ir de A a B e) el desplazamiento total del auto. Rpta: b) t = 20 s c) Δx = 340 m

5.- Un halcón parte de un risco con dirección a un pino grande desde el reposo. Si en su viaje posee una aceleración cuyo unitario es 0,7i + 0,5j - 0,509k y su módulo es de 2 m/s2 en el intervalo de 0 a 30 segundos, 0 m/s2 en el intervalo de· 30 a 70 segundos, y 4 m/s2 a partir de los 70 segundos. Hallar: a) El diagrama a - t, v - t y t, Δr - t

b) El tiempo en que la rapidez es cero. e) Si parte del punto (400, 500, 3000) m encontrar el punto donde la v = 0 Rpta: t = 85 s rf = 3025i + 2375j + 1091,25k (m)

6. Determinar a) la velocidad media y b) la aceleración media de un punto durante 5 y 10s si su movimiento está dado por el gráfico v - t. e) describir el tipo de movimiento en todo el trayecto d) dibujar el gráfico a - t.

Rpta: Para t = 5 s vm =· 2, 1 m/s am = 0,8 m/s2 Para t = 10 s vm = 2,5 m/s am = 0,2 m/s2

7. Un cuerpo que parte del reposo y se mueve en línea recta con aceleración constante y cubre una distancia de 64 m en 4 s. a) ¿Cuál será su velocidad final? b) ¿Qué tiempo tardó en recorrer la mitad de la distancia total? e) ¿Cuál era su velocidad cuando había recorrido la mitad de la distancia total? d) ¿Cuál fue la distancia recorrida en la mitad del tiempo total?

e) ¿Cuál era la velocidad al cabo de un tiempo igual a la mitad del total? Rpta: vf = 32 m/s t = 2.83 s vd = 22.63 m/s x = 16m vf =16 m/s

8. El diagrama v - t de la figura representa el movimiento de 2 partículas a lo largo de una línea recta y que parten de una misma posición inicial de reposo. ¿Al cabo de que tiempo que partió el primero le alcanzó al segundo? Realice el gráfico posición - tiempo.

Rpta: t = 6,8284 s

9. Dos partículas A y B se desplazan con M.R.U.V. A se acelera a razón de 2 m/s2 pasando por el junto P (2; 3) m con una velocidad de v = 2i + 6j (m/s). En el mismo instante B se desacelera a razón de 3 m/s y pasa por el punto Q (0; 2) m con una velocidad de 30 m/s. El vector unitario del desplazamiento de B es u = 0,6i - 0,8j. Determine: a) La aceleración de cada una de las partículas b) La posición relativa de B respecto a A después de 5 s. Rpta.

10. En el siguiente gráfico velocidad vs. tiempo. a) analizar las características del movimiento b) construir el grafico posición tiempo y aceleración - tiempo e) determinar la distancia recorrida y el desplazamiento realizado.

1.1.1

CAIDA LIBRE

Entonces:

EJEMPLOS: 1. Se abandona un cuerpo en caída libre desde el reposo. Determinar su posición y velocidad al cabo de 1 s, 2 s, 3s.

El signo (-) en la posición significa que se encuentra por debajo del nivel de referencia y en la velocidad, que se encuentra descendiendo. A medida que desciende más, su rapidez se incrementa. 2. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde lo alto de una torre de 20 metros de altura, con una rapidez de 15 m/s. Determinar: a) La rapidez y altura sobre el suelo para cualquier tiempo t b) La máxima altura alcanzada por la pelota y el valor correspondiente de t e) El tiempo en que la pelota tocara el suelo y la velocidad correspondiente d) Dibujar los gráficos velocidad - tiempo y posición – tiempo

3. Un globo que se eleva verticalmente con una rapidez de 4,8 m/s abandona un objeto en el instante en que se encuentra a 19,2 m. sobre el suelo. Calcular: a) La rapidez y posición del objeto en los instantes: 0,25 y 1 s b) Después de cuantos segundos de ser abandonado el objeto llegará a tierra c) ¿Cuál será su rapidez en ese instante? d) Construir los gráficos velocidad - tiempo y posición - tiempo

El tiempo que demora en subir hasta que vf = 0

Cuando t = 0,49 s habrá subido hasta: y= 4,8(0,49) - 4,9(0,49)2 + 19,2 = 20,38 m. Desde esta posición recién comienza su descenso Cuando t = 0,25 s:

El signo positivo de la velocidad me indica que está subiendo y se encuentra a 20,09 m del suelo. Cuando t=1s

El signo negativo de la velocidad me indica que está descendiendo y se encuentra a 19, 1 m. del suelo El tiempo de caída se determina cuando y = 0

La rapidez con la que llega al suelo; esto es, cuando y= 0 v f = 4,8 -9,8(2,53)

PREGUNTAS Nº10 Nombre:…………………………………………………… Carrera/Paralelo:………………………………………… 1. a)

Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba. Cuando alcanza su altura máxima, se cumple que: v = v máxima a=g b) V= 0 a=O c) v = v máxima a=O d) V= 0 a=g 2.

Se arroja un objeto en forma vertical hacia arriba y sube a una altura h antes de caer hacia el punto de partida. Con su estudio desarrolle los gráficos: h - t ; v - t; a- t .

3.

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas: a) un objeto puede tener una velocidad constante aunque su rapidez cambie b) un objeto puede tener una rapidez constante aunque su velocidad cambie c) un objeto puede tener una velocidad cero aunque su aceleración sea distinta de cero d) un objeto sujeto a una aceleración constante puede invertir su velocidad

4.

En la caída libre, se puede afirmar que la aceleración es positiva cuando la partícula va frenando?

5.

Compare la altura que alcanzaría una pelota al ser lanzada verticalmente, con la misma rapidez hacia arriba, tanto en la luna como en la tierra: ………………………………………………………………………………………….

6.

Se arroja un objeto en forma vertical hacia arriba y sube a una altura h antes de caer hacia el punto de partida, luego de t segundos. Su velocidad media en todo el movimiento es: a) cero

b) h/2t

c) h/t

d) 2h/t

7. Un objeto se deja caer desde el reposo. En el primer segundo cae una distancia h 1 y en el siguiente segundo una distancia adicional h2. La relación entre h2/h1 es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 8. Una piedra de masa m se lanza hacia arriba con una velocidad inicial v y alcanza una altura h. Se repite la operación con una piedra de masa 2m con una velocidad inicial 2v. La altura que alcanzará será: a) h/2 b) h c) 2h d) 4h

9. Una esfera de masa m se deja caer desde cierta altura h. Al mismo tiempo, se deja caer una esfera de masa 2m desde una altura de 10 m. debajo de la anterior. La distancia entre las dos esferas durante su caída: a) disminuye · b) permanecerá en 10m. c) aumenta d) depende de la relación entre las masa� de las esferas

10. Una esfera de masa 2m se deja caer desde cierta altura h. Al mismo tiempo, se deja caer una esfera de masa m desde una altura de 10m debajo de la anterior. Cual delas siguientes afirmaciones es correcta: a) la esfera de 2m llega primero al piso y con una rapidez mayor que la de m b) la esfera de 2m llega al mismo tiempo que la de m, pero con mayor rapidez c) la esfera de 2 m llega al mismo tiempo que la de m y con la misma rapidez d) la esfera de 2m llega primero al piso y con una rapidez menor que la de m

EJERCICIO Nº14 Nombre:…………………………………………………… Carrera/Paralelo:………………………………………… 1. Una piedra cae desde un precipicio de 25 m, directamente sobre una persona que se encuentra debajo. Esta se percata después de que la piedra ha caído 15 m. Cuanto tiempo tendrá para quitarse de abajo? Rpta = 0,51 s

2. Se deja caer una piedra desde un elevado precipicio y un segundo más tarde es lanzada otra piedra verticalmente hacia abajo con una rapidez v =18 m/s. ¿A qué distancia, por debajo del punto más alto del precipicio, alcanzara la segunda piedra a la primera? Rpta: Δy = 12,5 m

3. Un cohete parte del reposo, con una aceleración vertical de 20 m/s2 que actúa constantemente durante un minuto. En ese instante se agota el combustible y sigue subiendo como una partícula libre. Determinar a) La máxima altura que alcanza b) el tiempo total transcurrido hasta llegar al suelo y con qué velocidad hace. c) Construya el gráfico velocidad - tiempo para todo el movimiento. Rpta: Δy = 109469,4 m tiempo total= 331,9 s Vf = - 1465,1 m/s

4. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 40 m por el pozo de un ascensor, con una velocidad de 50 m/s. En el mismo instante la plataforma del ascensor situada a una altura de 10 m se mueve hacia arriba con una velocidad constante de 10 m/s..

Determinar: a) Donde y cuando se encuentran b) Distancia recorrida por la pelota. c) Vector velocidad de la pelota respecto a la plataforma en el momento del encuentro.

5. Un perdigón se dispara en dirección recta hacía arriba, a un blanco de vidrio. La rapidez inicial del perdigón es de 31 m/s. Al cabo de 2,51 s se escucha el sonido del vidrio que se rompe. Si la rapidez del sonido en el aire a 20° C es de 343 m/s. A que altura sobre el nivel del suelo se encuentra el blanco? Rpta: 45,43 m

6. Cual será la profundidad de un pozo, si el intervalo de tiempo que demora una piedra en caer desde la superficie hasta cuando se oye al caer al fondo es de 3,15 s. Velocidad del sonido = 343 m/s Rpta: 44,69 m

7. Un hombre sostiene un objeto fuera de una ventana a 12 m del piso. Lo lanza hacia arriba con una rapidez de 5 m/s. Cuánto tarda el objeto en llegar al piso y con qué rapidez lo hace. Rpta: t = 2,15 s v = - 16,1 m/s

8. Desde la terraza de un edificio de 150 m se lanza verticalmente hacia abajo una piedra con una rapidez de 20 m/s. Luego de 2 s se dispara un proyectil desde el suelo verticalmente hacia arriba con una rapidez de 150 m/s. Determine a que altura medida desde el suelo, chocan el proyectil con la piedra. Rpta: y2 = 70,87m

9. Un cuerpo se deja caer libremente y recorre durante los dos últimos segundos de su caída, los 3/5 del camino total. Hallar: a) El tiempo de caída b) La altura total de caída. Rpta: tr2 = 5.442 s h = 145.238 m

10. Se deja caer una piedra desde una terraza. La piedra tarda 0,5 s pasar una ventana de 3 m de altura que se encuentra a una distancia dada de la terraza a) cual era la rapidez de la piedra cuando pasó por la parte superior de la ventana b) cual es la distancia desde la parte superior de la ventana hasta la terraza. Rpta: v = 3,55 m/s h = 0,64 m

ECUACIONES PARAMETRICAS EJEMPLOS 1. Experimentalmente se ha llegado a definir un movimiento por la siguiente relación: x = 2t + 4t 2. Determinar: a) La rapidez inicial b) La aceleración e) La posición en instante 2 s d) El desplazamiento entre el instante 2 y 3 s y la velocidad en los instantes 2 y 3 s.

2. La velocidad de un cuerpo se rige por la siguiente Ley: v = 2 + 2t. Determinar: a) la rapidez inicial b) la aceleración c) la ecuación de la posición d) en qué tiempo la velocidad se duplica y cuál es la posición en ese instante

3. El movimiento del siguiente objeto tiene la siguiente ecuación x = 1/2t2. Determinar: a) la posición iniciar b) La rapidez inicial c) Aceleración d) La rapidez y posición para el instante 3 s y el desplazamiento entre 3 y 4 s.

4. Un móvil que tiene una rapidez de 20 m/s llega a una pendiente. En ese instante comienza a subirla y en 5 s la rapidez es de 10 m/s. Determinar: a) la ecuación particular de la posición b) la posición en el instante 5 s c) en que instante el móvil se detiene d) la posición en ese instante

EJERCICIO Nº15 Nombre:…………………………………………………… Carrera/Paralelo:………………………………………… 1. Un objeto se mueve a lo largo del eje y de acuerdo a la ecuación: y = 30 - 6t. Encontrar gráfica y analíticamente, la velocidad para t=3y6s Rpta: v1 = 2,01 m/s v2 = - 1,98 m/s

2. Un pelota es arrojada desde un puente y cae a una distancia dada por la ecuación y = 3,7t2. a) Cual será la velocidad de la pelota después de 1 ,5 s haber sido soltada b) Cual es su rapidez antes de llegar al agua que se encuentra 25 m debajo del puente Rpta: v = 11, 1 m/s v = 19,2 m/s

3. La velocidad de un auto está dado por v = 3 + 1,5 t. Encontrar: a) la aceleración del auto en t = 4 s b) su aceleración media durante los 5 primeros segundos Rpta: a= 1,5 m/s2 a = 1,5 m/s2

4. Una partícula se mueve a lo largo del eje x con una velocidad dada por v = 4t - 2,5t2. Cuál será su aceleración en: a) 0,5 s b) 3 s Rpta: a1 = 1,25 m/s2 a2 = 7,5 m/s2

5. La posición de un objeto está dado por x = 3 - 2,5t + 0,9t2. Cuál será la velocidad y aceleración para t = 7s

Rpta: v = 10, 1 m/s

a = 1,8 m/s2

6. Una partícula se mueve a lo largo del eje x dada por la siguiente ecuación: x = 2t + 3t 2- 5t3. Cuál será la velocidad y aceleración para t = 0,6 s. Rpta: a = 0 v = 2 m/s 7. La posición de un objeto está dado por: x = 2t + 0,5t4. Utilice el gráfico correspondiente para determinar la velocidad media en este intervalo. Cuál será la velocidad instantánea cuando t = 2 s y la aceleración en este instante Rpta: a= 4 m/s2 v = 10 m/s

8. La posición de un objeto se determina mediante la siguiente ecuación: x = 24t - 2t2. Cuál será la velocidad instantánea cuando t = 2 s y la aceleración en este instante? Utilice el gráfico correspondiente Rpta: a = - 4 m/s2 v = 16 m/s

MOVIMIENTO EN UN PLANO El movimiento de una partícula que acabamos de analizar es un movimiento unidimensional, por la misma naturaleza de ser un movimiento rectilíneo. Ahora debemos considerar la posibilidad de que esta partícula se mueva en un plano, esto es, que ocurra en dos dimensiones, lo que es lo mismo, un movimiento bidimensional. Vamos a considerar dos casos: el movimiento parabólico y el movimiento circular. De la misma manera que lo hemos realizado antes, solo nos interesaremos por considerar sus aspectos relativos a: posición, velocidad y aceleración. 1.3.1

MOVIMIENTO PARABÓLICO

Consideremos el movimiento de una partícula en el plano x - y. El grafico de la posición de la partícula en un instante dado será semejante a:

Y el grafico de la velocidad:

Y el de la aceleración será:

Si la aceleración que adquiere una partícula es constante, entonces sus componentes también lo serán y en consecuencia ella se moverá siguiente una trayectoria curva en un plano, aun cuando una de sus componentes sea cero (a x = 0) puesto que su componente de velocidad no será cero. El movimiento parabólico no necesariamente ocurre en un plano vertical. En el Plano de Packard, cuando este está horizontal, si se lanza una partícula esta se moverá con MRU. Pero, si inclinamos al plano y lanzamos una partícula en dirección paralela a la inclinación, ella desciende con MRUV. Ahora, en este plano inclinado, se lanza una partícula en dirección perpendicular a la inclinación, el resultado será una trayectoria parabólica sobre este plano que no está vertical. Pero si la partícula está sometida a una aceleración g constante hacia abajo, se tiene el movimiento de proyectiles. Las condiciones bajo las cuales se analiza este movimiento son: * La partícula debe tener una rapidez inicial de lanzamiento * Se considere g constante, para ello, la superficie de la tierra debe ser considerada como plana y en consecuencia el movimiento de la partícula deberá ser a pequeña altura y corto alcance.

* El proyectil debe ser de pequeña masa para que no se vea afectada por la viscosidad del aire. Sin embargo, el movimiento actual de proyectiles de largo alcance (misiles, cohetes y otros) queda perfectamente comprendido bajo el presente estudio, solo que en este caso, habría que considerar que g ya no es constante, existe la viscosidad con el aire y además, la curvatura de la tierra. 1.3.1.1 CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO Consideremos el movimiento de una partícula que se lanza con cierto ángulo θ respecto a la horizontal y con cierta rapidez inicial v0.

Si observamos el grafico y ponemos atención a lo que ocurre con la velocidad, podemos darnos cuenta que, siendo ella tangente a la trayectoria, puede ser descompuesta en dos direcciones paralelas a los ejes. La velocidad inicial v 0 tendrá dos componentes: v0x = v0 cos θ y v0y = v0 sen θ. A medida que va ascendiendo la partícula, su velocidad va disminuyendo, debido a la aceleración g que lo va frenando, y de la misma manera tendrá dos componentes vx y vy. Cuando llega a la parte más alta de su trayectoria, la velocidad tiene una sola componente en X, puesto que la componente en Y ha desaparecido. No quiere decir que la aceleración desapareció, sino, su velocidad en el eje Y se anuló. Debido a la presencia permanente de la aceleración g es que comienza a descender. Si consideramos que no existe viscosidad, la curva ascendente es simétrica a la curva descendente. Si analizamos la velocidad de la partícula en una posición equivalente a la curva de ascenso, podemos observar, que su magnitud sigue siendo la misma, pero su dirección y sentido, han cambiado. Tiene dos componentes, la componente de la velocidad en el eje X no se ha alterado ni en magnitud, dirección o sentido, mientras que la componente en el eje Y comienza a incrementarse pero en dirección contraria, ahora apunta hacia abajo. Cuando la partícula llega hacia el eje X (nivel horizontal), la velocidad de la partícula es la misma que cuando partió y sus componentes también son las mismas de la velocidad inicial. Debido a que la componente de la velocidad en el eje X ha permanecido constante durante todo el movimiento nos indica que corresponde a un movimiento sin aceleración, en consecuencia será un movimiento rectilíneo Uniforme (MRU): Mientras que en el eje Y, la velocidad no solo fue variando en magnitud sino también en dirección y sentido, en consecuencia, será un movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV), retardado en el ascenso y acelerado en el descenso. En consecuencia, podemos observar que este movimiento puede analizarse como la composición de dos movimientos. Entonces, sus características serán:

Como:

reemplazamos en la ecuación de la posición en y:

Esta ecuación corresponde a una parábola, de ahí, el nombre de Movimiento Parabólico. Si θ = 0° se tiene entonces el Lanzamiento Horizontal que deberá ser analizado bajo las mismas características del Movimiento Parabólico, solo que, en las ecuaciones respectivas hay que considerar el ángulo de 0°. Desde el punto de vista vectorial, la velocidad inicial de la partícula será:

En una posición cualquiera de la partícula, la velocidad de ella será:

Como en el movimiento de la partícula está presente la aceleración g: v =.vo + gt En consecuencia: Lo cual demuestra que: Como se había indicado anteriormente. En el Movimiento Parabólico, la velocidad varia en módulo, dirección y sentido, por lo que se debe considerar la variación de la velocidad en módulo, lo que da lugar a la aceleración tangencial y el cambio de la velocidad en dirección y sentido, que da lugar a la aceleración centrípeta, radial, central o normal. En consecuencia, la Aceleración Tangencial a t = dv/dt y la Aceleración Centrípeta ac = v2 /r(-ur) serán variables en cada instante, pero su suma siempre es constante e igual a g. ·

En la posición A, la partícula está subiendo, la aceleración tangencial es anti paralela a la velocidad, en consecuencia, es un movimiento retardado, luego: μat = - μv. Entonces: aT = at + ac En la posición B, la partícula se encuentra a la máxima altura, la velocidad es horizontal, la aceleración tangencial es cero, en consecuencia la aceleración centrípeta es igual a g: ac = g = aT Cuando desciende, en la posición C; la aceleración tangencial es paralela a la velocidad en consecuencia, es un movimiento acelerado, luego: μat = - μv. Entonces: aT = at + ac En cualquier posición e instante la aceleración tangencial es la proyección de la aceleración total en la dirección de la velocidad.

1.3.1.2

ALCANCE MÁXIMO Y ALTURA MÁXIMA

EJEMPLOS: 1. Se dispara un proyectil desde la cima de una colina de 150 m de altura con una velocidad de 200 m/s y forma un ángulo de 30° con la horizontal. Sin considerar la resistencia del aire, determinar: · a) La distancia horizontal hasta el punto de impacto b) La altura máxima que alcanza el proyectil.

2 Un proyectil es lanzado horizontalmente por un cañón ubicado a 144 pies sobre un plano horizontal con una velocidad de 800i (pies/s). Determinar: a) Cuanto dura el proyectil en el aíre y cuál es su alcance b) Cual es la velocidad cuando llega al blanco Luego de 2 s de iniciado su recorrido, cual será: c) la aceleración total d) La posición del proyectil e) La distancia horizontal y vertical recorrida f) La aceleración tangencial y centrípeta

Para t = 2 segundos:

3. Una pelota de futbol es pateada con una rapidez de 19,5 m/s y un ángulo de 45° con la horizontal. Un jugador que se encuentra en el mismo plano horizontal a una distancia de 55 m, comienza en el mismo instante, a correr al encuentro de la pelota. ¿Cuál debe ser su aceleración para coger a esta, en el momento que toque el césped?

4. Una pelota se lanza con un ángulo de 60° sobre la horizontal y choca contra un árbol cuando todavía está subiendo con una rapidez de √45 m/s y formando un ángulo de 30° sobre la horizontal. Determinar: a) A qué distancia está ubicado el árbol b) A que altura se estrella la pelota c) El tiempo transcurrido para el impacto

5.- En la pared de una represa de 60 m. de altura, se perfora un orificio pequeño localizado a 50 m. de profundidad, con una inclinación de 40° respecto a la horizontal. El chorro de agua sale por el y alcanza una longitud de 100 m. respecto del plano horizontal del pie de la pared. Determine la velocidad inicial del chorro.

6. Un avión que desciende en picada con un ángulo de 30° y con una velocidad de 1080 Km/hora, lanza una bomba hacia un blanco situado sobre un plano inclinado de 10° (en sentido descendente según el rumbo del avión) en el preciso momento que está a 500 m de altura. Calcular: a) La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto; b): La velocidad con la que la bomba alcanza el blanco e) El ángulo de impacto d) El tiempo que tarda la bomba en llegar al blanco

PREGUNTAS Nº11 Nombre:…………………………………………………… Carrera/Paralelo:…………………………………………

1. El movimiento de una partícula a pequeña altitud sobre la superficie terrestre. Se caracteriza porque: a) Su velocidad es constante. b) Su aceleración es constante c) Su aceleración varía con la posición d) Otra es la respuesta 2. Cuál de las siguientes proposiciones define un movimiento parabólico?

3.

En el movimiento de un proyectil dibuje el vector aceleración media para cualquier intervalo de tiempo. Explique su respuesta: ………………………………………………………………………………………………………………

4.

Dos partículas A y B se lanzan desde lo alto de una torre con velocidades horizontales tales que v A=2vB El alcance horizontal de la partícula A comparada con la de B es: a) la mitad

5.

b) la cuarta parte

c) el doble

d) el cuádruplo

El movimiento de proyectiles es: a) uniformemente variado b) variado e) uniforme Explique …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 6. En un movimiento, la velocidad y la aceleración tiene la misma dirección. Si la rapidez aumenta, se puede concluir que él módulo de la aceleración necesariamente aumenta y permanece constante: Si……..no…………… explique: ……………………………………………………………………………………………………………………… 7. El movimiento de un proyectil que ha sido disparado verticalmente hacia arriba es: a) acelerado todo el tiempo b) retardado todo el tiempo c) uniformemente variado todo el tiempo Explique:……………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 8. Si en un instante la velocidad y la aceleración de una partícula, forman un ángulo menor de 90°, pero diferente de 0 entone.es: a) la velocidad cambia de dirección pero no de modulo' b) la velocidad no cambia de dirección pero si de modulo e) la velocidad cambia de dirección pero aumenta el modulo d) luego de unos instantes el ángulo entre la velocidad y la aceleración será el mismo que en él instante inicial. 9. Si el ángulo que forma 19 velocidad inicial de un proyectil con la aceleración es 90°, la trayectoria será: a) una línea recta b) una parábola e) una circunferencia d) ninguna respuesta es correcta 10. El ángulo con que debe· lanzarse un proyectil para que su alcance horizontal sea 4 veces su altura máxima debe ser: a) 30° b)45° c) 60° d) 90°

EJERCICIO Nº16 Nombre:…………………………………………………… Carrera/Paralelo:…………………………………………

1. Se lanza un proyectil eón una velocidad de 20 mis y un ángulo de 60º con la horizontal. El módulo de la velocidad cuando llegue la altura máxima será: a) 0 m/s . b) 10 m/s c) 20 rn/s d) 17,32 m/s e) ninguna Rpta: 10 m/s

2. Las ecuaciones paramétricas del movimiento de un proyectil que se mueve en el plano X, Y son: X = 40t ; Y=30t - 4,9t2 El ángulo de lanzamiento con respecto al eje X vale: a) cero b) 36,8° c) 53,1° d) 45° Rpta: 36,87°

3. Si un proyectil se lanza bajo un ángulo de 45°, la relación que existe entre el alcance máximo S y la altura H es: a) S = 2H b) S = H/2 c) S = 4H d) ninguno Rpta: S = 2H

4. Hallar el ángulo de tiro para el cual el alcance máximo es igual a la altura máxima del proyectil. Rpta: θ = 75,96° .

5. Al tiempo t = 0, se lanza un proyectil desde el origen de coordenadas con v0 = 100 m/s y un ángulo de 30° con respecto a la horizontal. a) Dibujar las componentes tangencial y normal de la aceleración al tiempo t = 0 s. b) Calcule el vector posición r al tiempo t = 5 s. Rpta: Δr = 433i + 127j ·

6. Desde lo alto de un edificio de 50 m se lanza una pelota con una velocidad de 20 m/s que forma 45° con la horizontal. En qué tiempo y con qué velocidad llegará la pelota al suelo. Rpta: t = 4,95 s Vf = 14, 14 i - 34,37 j (m/s)

7. Una pelota es arrojada horizontalmente desde una ventana con una rapidez de 8 m/s. Si llega al suelo luego de 3 s. La altura de la ventana con respecto al suelo será aproximadamente: a) 20 m b) 24 m c) 44 m d) 68 m Rpta: 44, 1 m

8. Un proyectil es disparado con un ángulo de 37° sobre la horizontal y hace impacto en un punto situado a 200 m de distancia horizontal y a una altura de 20 m del suelo. Calcular: a) la velocidad inicial en términos de i; j; k. b) Que tiempo tarda en hacer impacto Rpta: v = 38,72i + 29,18j b) 5,17 s

9. Cuál debe ser la mínima velocidad con la que debe salir un motociclista de una rampa para obstáculo de 5 m de altura, ubicada a 20 m de distancia.

Ø = 60 °; OB = 20 m; BC = 5 m Rpta: Vo = 20 m/s.

10. Un proyectil es lanzado con una velocidad de 300 m/s en una dirección que forma 30° con el eje X. Calcular: a) La posición del proyectil 10 s después del lanzamiento y la velocidad que tiene en ese instante b) La altura y el alcance máximo · Rpta: V= 259,8 i + 52 j (m/s) Δr = 2598 i + 1010 j (m)