• Author / Uploaded
• Dayana Almagro

• Categories
• Inductor
• Ecuaciones
• Cantidades fisicas
• Cantidad
• Magnetismo

Citation preview

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

PRIMER ORDEN Un circuito RL tiene una fuerza electromotriz de 9 voltios, una resistencia de 30 ohmios, una inductancia de 1 henrio y no tiene la corriente inicial. Hallar la corriente para t=1/5 segundos. 𝑣 = 𝑖𝑅 + 𝐿

𝑑𝑖 𝑑𝑡

9 = 30𝑖 +

𝑑𝑖 𝑑𝑡

Es una ecuación de variable separadas, por lo tanto: ∫

𝑑𝑖 = − ∫ 𝑑𝑡 30𝑖 − 9

1 ln(30𝑖 − 9) = −𝑡 + 𝐶 30 30𝑖 − 9 = −30𝑡 + 𝐶 𝑖(𝑡) =

1 [𝐶𝑒 −30𝑡 + 9] 30

𝑒𝑛 𝑡 = 0 𝑖(0) =

𝑖=0 1 [𝐶𝑒 0 + 9] 30

𝐶 = 21 𝑖(𝑡) =

1 [21𝑒 −30𝑡 + 9] 30

𝑖(𝑡) = 0.7𝑒 −30𝑡 + 0.3 Cuando t= 1/5 𝑖(1/5) = 0.7𝑒 −6 + 0.3 = 0.301𝑎𝑚𝑝

ORDEN SUPERIOR Un circuito RLC en serie tiene una fuerza electromotriz dada por 𝐸(𝑡) = 100𝑆𝑒𝑛10𝑡 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠, un resistor de 7 ohm, un inductor de 1 Henry y un capacitor de o.1 Farad. Sila corriente inicial y la carga inicial son cero, determinar la corriente del circuito. 𝐿

𝑑𝑖 𝑄 𝑑𝑄 + 𝑅𝐼 + = 𝐸(𝑡), 𝐼 = 𝑑𝑡 𝐶 𝑑𝑡

Reemplazando valores: 𝐶𝐶 𝐼′′ + 7𝐼′ + 10𝐼 = 1000𝐶𝑜𝑠 10𝑡 𝑦𝑝: 𝐼′′ + 7𝐼′ + 10𝐼 = 0 𝑚2 + 7𝑚 + 10 = 0 La solución es una ecuación homogénea: 𝐼ℎ (𝑡) = 𝐶1𝑒 −2𝑡 + 𝐶2𝑒 −5𝑡 La solución particular: 𝐼𝑝 (𝑡) =

70 90 𝑠𝑒𝑛10𝑡 − 𝑐𝑜𝑠10𝑡 13 13

La solución: 70 90 𝑠𝑒𝑛10𝑡 − 𝑐𝑜𝑠10𝑡 13 13

𝐼(𝑡) = 𝐶1𝑒 −2𝑡 + 𝐶2𝑒 −5𝑡 + Aplicando condiciones iniciales: 𝐼(0) = 𝑄(0) = 0

𝐼 ′ (0) + 7𝐼(0) + 10𝑄(0) = 100𝑠𝑒𝑛0 → 𝐼 ′ (0) = 0 0 = 𝐶1 + 𝐶2 −

90 90 → 𝐶1 + 𝐶2 = 13 13

0 = 𝐼 ′ (0) = −2𝐶1 − 5𝐶2 +

700 700 → 2𝐶1 + 5𝑐2 = 13 13

La solución de C1, C2: 𝐶2 =

610 39

𝐶1 =

340 39

Por lo tanto: 𝐼(𝑡) =

340 −2𝑡 610 −5𝑡 70 90 𝑒 + 2𝑒 + 𝑠𝑒𝑛10𝑡 − 𝑐𝑜𝑠10𝑡 39 39 13 13