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• roberto rojas

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CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

1 37

• 1.1 Indica si las siguientes expresiones correspon-

den o no a una ecuación diferencial. Justifica tu respuesta.

1.3 En los problemas siguientes, determina el or-

den de las ecuaciones diferenciales e indica si la ecuación es lineal o no.

a) y'= y senx

d2 dz

d dz

a)

z 2 ~+z~+6y=cosz 2

c) dy +xy=O dx

b)

(2+y 3 )+~+xfx+y=e x

d) dy = 4x dx y

c)

dx _+yx 3 =0 dy

d)

dx 2 + sen(x +

d 4 y d 3y d 2y dy dx 4 + dx 3 + dx 2 + dx + Y = 1

3 y x dxy3 -3 dx )4+y=O

x>l

e) x + y cos 2X = O f) (y - x 3)dx + (x - y3)dy = O g)

(X+f)dx+dY

e)

h)

a2u = c2 a2u at ax2

f)

2

+

i) ds = (10t

1) dt

d3

d2

e

d

d

e) = sen e

(d

g) (1+x)y"-2xy'+7y=cosx

h) 3: +4y=6

1.2 Identifica las variables independientes y dependientes en los siguientes problemas. a)

2

d e de ( ) dt 2 + dt + 5 e- 7f = O

d2 d b) x~+~+xy=O 2

dx

c)

dx

dT +kT=O dt

i)

(x 2 -y)dx+5senydy=0

j)

yy'+2y=1+x 2

k)

dy = 2. ( d 2Y dx 2 + dx 2

J

3

1.4 En los problemas siguientes, indica si las funciones son solución de la ecuación diferencial dada. 1

5

a)

y=_e x +_e - 2x de y '+2y=e x 3 3

b)

sen x , y = - - de xy + y = cos x

c)

1 -=3x de y'-3 y 2=0

8u _ 8u =x-2y 8x 8y

d)

3x 2 y 2_X 3 +S=0 de y ' = 2y

d2 d h) ~+~+x=O 2

e)

y 4x 2 _y 2=C de yd -4x=0 dx

d) dP=kP(S_P) dt 8N 8 2 N 18N e) -8 = - 8 2 + - - + kN con k una constante. t I I 81

f) g)

2 8 2u u 0 c 2 -8 = 2 2

8t

dx

x

y

8x

dx

1.5 Utiliza el teorema de existencia y unicidad para indicar si los siguientes problemas de

38 1 ECUACIONES DIFERENCIALES valores iniciales tienen solución; si la tienen, señala si esta es única o no. a) y' = x con y(1) = 1 b) y' = x 3 con y(1) = 1 c) y' = cos x con y(O) = O d) y' = if con y(O) = 1 e) y' = ~ con y(O) = 1 x 1

f) y' = -1- z con y(O) = 1 +x

1.12 Demuestra que

y=

1

es una solución de

C

x

y'+y2 = O para x> O, pero y = - no es una

x

solución de esta ecuación, a menos de que C=OoC=1. 1.13 Demuestra que si g(x) es una solución de y'+p(x)y = O, entonces Cg(x) también es una solución para cualquier constante C. 1.14 Demuestra que y = Cl e- 2X + C2e- 3X es la solución general de y" + 5y' +6y = O.

1.6 La solución general de la ecuación diferencial ,1 C(x-l) Y= es y = ln------'-----'x(x-l) x

1.15 Determina la solución del problema de valores iniciales y" + 5y' +6y = O, y(0)=2 y y' (0)=3.

Encuentra la solución particular que satisface la condición inicial dada y subraya el inciso de la solución correcta.

1.16 Dada la ecuación diferencial, su solución y las condiciones iniciales, determina el valor de las constantes arbitrarias de los problemas siguientes.

a) y(-l) = O

a) y'1_4y"+y'+6y=O, y=C 1e zx +Cze- x +C 3e 3x ,

b) y(1) = O

y(O)=4, y'(O)=-l, y"(O)=O

c) y(3) = O

x

b) 2y "+ y '_y=O, y=C 1e 2 +Cze - x , y(O)=O,

1.7 La solución general del problema con valores

( ) con y(xo) = O x x-a C(x-a) a es y= ln . xa

iniciales y' =

y'(O) = 1

1

c) y'=12x, y=6x Z +C 1 , y(.J2)=-l

d) Y "+ Y = cosx+4, x

¿ Cuál es la solución particular? Sigue el méto-

y = - sen x+C 1 cosx+Czsen x+4, y(O) = 4, 2

do propuesto en el libro .

y'(O) = 1

1.8 Indica para qué valor de a la ecuación diferencial y' + 5y = O tiene soluciones de la forma y=

e ax.

1.9 Indica los valores de a para los cuales la ecuación diferencial y"- 3y' + 2 = O tiene dos soluciones de la forma y = e ax. 1.10 Indica los valores de a para los cuales la ecuación diferencial x 2y"- 3xy' + 2y = Otiene dos soluciones de la forma y =x a. 1.11 Demuestra que y = e- 2x es una solución de y' + 2y = O Y que Y = Ce- 2x también es solución de esta ecuación para cualquier valor de

la constante C.

e) y"=e

X ,

y=ex+C¡+Czx, y(O)=1n2,

y'(1n2) = O 1.17 La función y = Ce- 2x + e-x es la solución general de la ecuación diferencial y' + 2y = e3x. Determina la solución particular para la condición inicial y' (0)=3. 1.18 La función y = Cl eX + C2e 2X es la solución general de la ecuación diferencial d z~ _ dy - 2y = O.

dx

dx

Determina Cl y C2 , de modo que se cumplan las condiciones iniciales y(0)=2 y y' (0)=-3. XZ

- 4x

1.19 La función y = --+C 1 +C Zx +C 3e es 2 la solución general de la ecuación diferencial

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

d 3y d 2y . dx 3 +4 dx 2 +4 = O. Determma CI , C2 y C3 de

1 39

1.29 Calcula las trayectorias ortogonales para la familia de curvas y = X 2 + a.

modo que se cumplan las condiciones iniciales y (0)=2, y' (0)= -3 Y y" (0)=0. .,

1.20 LafunclOn z = e

2x

.J2 X + C 2 sen 2.J2 x

+C I cos 2

1.30 Para diferentes valores de las constantes, traza la gráfica de la familia de curvas y de las trayectorias ortogonales del ejercicio anterior.

es la solución general de la ecuación diferencial 2z" + Z = g2x. Determina CI y C2, de modo que se cumplan las condiciones iniciales

1.31 Calcula las trayectorias ortogonales para la familia de curvas X 2 + y 2 = [ 2.

z(O)=O y z' (0)=0.

1.32 Para diferentes valores de las constantes, traza la gráfica de la familia de curvas y de las trayectorias ortogonales del ejercicio anterior.

1.21 La función

y=i X 3 + C1 +C 2 X+C 3 es la 3

solución general de la ecuación diferencial y"'= 8. Determina CI , C2 y C3 de modo que se cumplan las condiciones iniciales y(O) =0, y' (O) =0 Y y" (O) =0.

1.22 Encuentra los valores de m tales que y = x'" sea solución de la ecuación diferencial X' y" + y = O.

Una solución para una ecuación diferencial se llama singular si no se puede obtener de la solución general al sustituir las constantes por valores, es decir, no es una solución particular.

1.33 Calcula las trayectorias ortogonales para la familia de curvas X 2 - 2y 2 = [ 2. 1.34 Para diferentes valores de las constantes, traza la gráfica de la familia de curvas y de las trayectorias ortogonales del ejercicio anterior. 1.35 Dada la ecuación diferencial, construye el campo direccional, las isóclinas y la familia de curvas solución en los problemas que se presentan ensegUida. a) y' =x - Y

b) y' =x + 3

+x

c) y' = y

y'=~

1.23 Comprueba que una familia de soluciones de la ecuación diferencial y = xy ' + (y ')2 es y = C2 +Cx.

d)

1.24 Determina un valor m tal que y = mx 2 sea una solución singular de la ecuación diferencial dada.

f) dy = 5+2JY

y

e) y' = ye X

dx

g) dy

=

y 2 _x 2

=

y 2 +x 2

dx

1.25 Calcula las trayectorias ortogonales para la fax

milia de curvas Ce

h) dy

dx

2.

1.26 Para diferentes valores de las constantes, traza la gráfica de la familia de curvas y de las trayectorias ortogonales del ejercicio anterior. 1.27 Calcula las trayectorias ortogonales para la familia de curvas X 2 - y 2 = a2 . 1.28 Para diferentes valores de las constantes, traza la gráfica de la familia de curvas y de las trayectorias ortogonales del ejerciCiO anterior.

i)

Y'=3Y+~Y 4 2

1.36 De acuerdo con la teoría del aprendizaje, se supone que la rapidez con que se memoriza algo es proporcional a la cantidad que queda por memorizar. Supóngase que m representa la cantidad total de un tema que se debe memorizar y que A( t) es la cantidad memorizada cuando el tiempo es t. Formula una ecuación diferencial para determinar la cantidad A( t) .

40 I

ECUACIONES DIFERENCIALES

1.37 La cantidad M( t) de cierto medicamento en la corriente sanguínea se mide por su exceso sobre su nivel natural; el medicamento disminuye de forma proporcional a la cantidad excedente actual. Formula una ecuación diferencial para determinar la cantidad M( t).

boliza y elimina del cuerpo a una razón continua aproximada de 17% cada hora. Escribe una ecuación diferencial para la cantidad, A, de cafeína en el cuerpo como una función del número de horas, t, a partir del momento que se consumió el café.

1.38 Un paracaidista parte desde el reposo y se lanza desde las alturas junto con su paracaídas; el peso total es w kilogramos. Sobre el sistema actúa una fuerza debida a la resistencia del aire que es proporcional a la velocidad si la caída es vertical. Formula una ecuación diferencial para determinar su velocidad en cualquier tiempo.

1.44 El alcohol se metaboliza y elimina del cuerpo a una razón aproximada de 1 onza por hora. Si una persona toma alcohol, escribe una ecuación diferencial para la cantidad de alcohol, A (en onzas), que permanece en su cuerpo como una función del tiempo t, en horas, después de que lo consumió.

1.39 La fuerza del resorte es proporcional a su alargamiento. Entonces, supón que un resorte produce una fuerza de 4 N Y un alargamiento de 50 cm, mientras que un peso de 196 N colgado desde el resorte se empuja hacia abajo a partir de la posición de reposo, que está a 1 m. Si se suelta el peso, formula una ecuación diferencial para analizar el movimiento en los siguientes casos:

a) No hay resistencia del aire. b) La resistencia del aire es 8 v. 1.40 El dinero de una cuenta bancaria genera intereses a una razón continua anual de 5% multiplicada por el saldo actual. Escribe una ecuación diferencial para el saldo S ($) en la cuenta como una función del tiempo, t (años) . 1.41 Una población de animales crece a una razón proporcional al tamaño de la población. Escribe una ecuación diferencial para el tamaño de la población, P, como una función del tiempo, t. ¿La constante de proporcionalidad es positiva o negativa? Explica tu respuesta. 1.42 Las sustancias radiactivas decrecen a una razón proporcional a la cantidad presente. Escribe una ecuación diferencial para la cantidad, Q, de una sustancia radiactiva al tiempo t. ¿La constante de proporcionalidad es positiva o negativa? Explica con detalle tu respuesta. 1.43 Una taza de café contiene aproximadamente 100 mg de cafeína. Esta sustancia se meta-

1.45 Una cuenta bancaria que al princIpIO tiene $250000 genera intereses a una razón continua de 10% por año. Al cabo de un tiempo, se realizan retiros de la cuenta a una razón constante de $20000 al año. Escribe una ecuación diferencial para el saldo, S, en la cuenta como una función del número de años, t. 1.46 En un caso médico, se administra morfina a un paciente por vía intravenosa a razón de 2.5 mg por hora. Se comprobó que, aproximadamente, 34.7% de la morfina en el cuerpo de un paciente se metaboliza y elimina del cuerpo cada hora. Escribe una ecuación diferencial para la cantidad de morfina, M, en mg, en el cuerpo como una función del tiempo, t, en horas. 1.47 Las toxinas que hay en los pesticidas pueden entrar en la cadena alimentaria y acumularse en el cuerpo humano mediante el consumo de algunos alimentos. Supón que una persona consume 10 mcg diarios de una toxina que se in gesta a lo largo de un día. La toxina se elirnina del cuerpo a una razón continua de 3% cada día. Formula una ecuación diferencial de la canti dad de toxina, A, en rnicrogramos, en el cuerpo de una persona en función del tiempo (días). 1.48 Un tanque con capacidad de 100 litros está lleno de salmuera, la cual contiene 60 kg de sal disuelta. Al tanque entra agua con un gas-

1 Y la mezcla se conserva um.forto de 12 -.-

mln

me al agitarla; la salmuera sale a la misma velocidad. Formula una ecuación diferencial para la cantidad de sal, S (kg) , en función del tiempo (horas).

CAPÍTULO 1 INTRODUCCI6N A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

1 41

1.49 La sustancia A se transforma en la sustancia B. La velocidad de formación de B varía en forma directamente proporcional a la cantidad de A presente en cada instante. Si al principio hay 10 kg de la sustancia A y después de una hora hay 5 kg de la sustancia B, formula una ecuación diferencial para la cantidad de sustancia B (kg) en función del tiempo (horas).

1.56 En un movimiento rectilíneo, la aceleración de un cuerpo es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia; xy es igual a -1 ID cuando x = 5 m; por su parte, la velo-

1.50 Supón que se encontró el cuerpo de una víctima de asesinato a mediodía, en una habitación con una temperatura de 20 oC. Cerca de las 12:00 p.m., la temperatura del cuerpo era de 35 oC, mientras que dos horas después era de 33 oC. Formula una ecuación diferencial de la temperatura, T (OC), del cuerpo como una función del tiempo t (horas).

1.57 La población actual de tortugas en Puerto Escondido, Oaxaca, es de 140000 individuos, y su tasa de crecimiento es de 15% por mes; sin embargo, sus depredadores matan tres tortugas por día. Escribe la ecuación diferencial que modela la población de tortugas.

1.51 Una pelota de goma de 0.50 g de masa se lanza de forma vertical hacia arriba, con una velocidad de 50 mis. Si se considera que el aire no ofrece ninguna resistencia a la pelota, escribe la ecuación que modela el movimiento de la pelota.

Cid~d es igual a 5

ID,

s

Y la distancia es igual a

10 m cuando t = O. Indica el problema de valores iniciales que modela la velocidad.

1.58 La ecuación diferencial que modela el decreci-

miento de una población Pes dP = -kP, cuya dt

solución general es P = p(O)e- kt . Si por el fenómeno de migración la población de una ciudad del norte del país disminuye a la mitad en 25 años, ¿cuál es el valor de J(?, ¿en cuántos años solo será la tercera parte, si se supone que la razón de decrecimiento es proporcional al número de habitantes?

1.52 Un elemento radiactivo se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente en cualquier instante. Si la mitad de la cantidad original desaparece en 1600 años, determina el problema de valores iniciales que modela el problema.

1.59 Según la ley de Kirchhoff, la fem summlStrada, e, es igual a la caída del voltaje a tra-

1.53 En cierto cultivo de bacterias, la velocidad de aumento de la población es proporcional al número presente en cualquier instante. Si se sabe que el número original se duplicó al cabo de seis horas, determina el problema de valores iniciales que modela el problema.

cir, L = di + iR = é. Si, e = 150 V, R =10 n y dt L = 2 H, formula una ecuación diferencial para calcular el valor de la corriente al tiempo t, ya que no hay corriente inicial.

1.54 Un barco disminuye su movimiento por la acción de la resistencia del agua, que es proporcional a la velocidad del barco. La velocidad

'111@;,;';'·_...-.________

inicial del barco es 15

pero, después des cinco segundos disminuye a 8 ID. Indica el s problema de valores iniciales que modela esta situación. ID ,

1.55 Una masa de 30 g cae desde el reposo bajo la influencia de la gravedad. Indica la ecuación diferencial que modela la velocidad.

vés del inductor, L = di , más la caída del dt voltaje a través de la resistencia, iR; es de-

1. En una granja hay una población de conejos, p, la cual crece a una tasa proporcional a la po-

blación de ese momento; es decir, dp = rp ,cuya dt solución es p(t)= Pae rt. a) Comprueba que p(t)= Paert es su solución. b) Calcula [ si la población se duplica en 30 días y [si la población se triplica en 45 días.