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EJERCICIOS DEL PARCIAL # 2 ECONOMIA II UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL CARIBE FACULTAD DE INGENIERIA GRUPO: AD FORMULAS: 𝑉𝑃 = 𝐴 [

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] (1 + 𝑖)𝑛 𝑖

(1 + 𝑖)𝑛 𝑖 𝐴 = 𝑃[ ] (1 + 𝑖)𝑛 − 1

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑉𝐹 = 𝐴 [ ] 𝑖 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 1 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑉𝐹 = 𝐴 [ ] − 𝐺[ ][ − 𝑛] 𝑖 𝑖 𝑖 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 1 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑛 𝑉𝑃 = 𝐴 [ ] + [ ] + 𝐺 − ]] [𝐴 [ ][ 𝑛 𝑛 𝑛 (1 + 𝑖) 𝑖 (1 + 𝑖) 𝑖 (1 + 𝑖) 𝑖 (1 + 𝑖)𝑛 𝑖

1. En México se anunciaba hace muchos años: "Invierta en Bonos del

Ahorro Nacional, que duplican su valor a los 10 años". ¿Cuál era la tasa de interés anual que pagaban los BAN? n = 10 años. VF = 2VP VP(1 + i)n = 2VP (1 + i)n = 2 n

n

√(1 + i)n = √2 10

1 + i = √2 10

i = √2 − 1 i = (0.071774) ∗ 100 𝐢 = 𝟕. 𝟏𝟕𝟕𝟒% 𝐚𝐧𝐮𝐚𝐥 2. Si en un banco se ahorran $75 cada año, a un tasa de interés de 5%

capitalizada anualmente, ¿cuánto se tendrá al final de 8 años?

i = 5% A = $75 anuales (1 + i)n − 1 VF = A [ ] i (1 + 5%)8 − 1 VF = $75 [ ] 5% VF = $75(7.549) 𝐕𝐅 = $𝟕𝟏𝟔. 𝟏𝟕 3. Una persona ahorró durante cuatro años, al finalizar cada uno de

ellos, $125 en un banco que pagaba 10% de interés anual. Inmediatamente después de hacer su cuarto depósito, el banco bajó la tasa de interés a 8%. Luego de hacer el quinto depósito y hasta el décimo, el banco mantuvo la tasa inicial de 10% anual. ¿De cuánto dispondrá el ahorrador al final de los 10 años, si durante ese tiempo mantuvo constante su ahorro de $125 anual?

VF1−4 = A [

(1 + i)n − 1 (1 + 10%)4 − 1 ] = $125 [ ] = $125[4.641] = $580.125 i 10% VF4−5 = $580.125(1 + 8%) + 125 = $751.535

(1 + 10%)6 − 1 VF5−10 = $125 [ ] = $125[7.716] = $964.500 10% VF = $751.535(1 + 10%)5 + 964.500 VF = $1210.35 + 964.500

𝐕𝐅 = 𝟏𝟗𝟕𝟑. 𝟒𝟗 4. Una persona pide un préstamo hipotecario por $400000 con un

interés de 24% anual con capitalización mensual, para ser pagado en 60 mensualidades iguales, realizando el primer pago un mes después de hacer el trato. Justo después de pagar la mensualidad 24, el interés del préstamo disminuye a 18% anual capitalizado mensualmente y con el nuevo interés paga otras 24 mensualidades. Inmediatamente después de pagar la mensualidad 48, el interés sube nuevamente a 24% anual con capitalización mensual. Calcule el valor de cada una de las últimas 12 mensualidades que se deban pagar con un interés de 24% anual capitalizado mensualmente, para saldar la deuda por completo.

FF=0

(1 + 2%)11 − 1 ] (1 + 1.5%) − 1 2%(1 + 2%)11 [ ] A 24 (1 + 2%) − 1 1.5%(1 + 1.5%)23 (1 + 1.5%)24 400000 = A [ ] + A + (1 + 2%)23 (1 + 2%)24 2%(1 + 2%)24 23

[

400000 = A(19.0125) + A(12.2721) + A(8.2459) 𝐕𝐏 = $𝟏𝟎𝟏𝟏𝟖. 𝟕𝟔

5. Calcule P en el siguiente diagrama de flujo si i = 10%.

Vp =

50 70 90 + + 2 4 (1 + 10%) (1 + 10%) (1 + 10%)6 Vp = 41.3223 + 47.8109 + 50.8026 𝐕𝐩 = 𝟏𝟑𝟗. 𝟗𝟑

6. Calcule B del siguiente diagrama de flujo, si i = 8%

i = 8% (1 + 0.08)3 − 1 (1 + 0.08)3 − 1 1 B(1 + 0.08) + 30 [ ] (1 + 0.08) − B + 40 [ ] 0.08 0.08(1 + 0.08)3 B + =0 (1 + 0.08)4 4

B(1.3604) − B + B(0.7350) = −105.18 − 103.07 B(1.0954) = −208.25 B=−

208.25 1.0954

𝐁 = −𝟏𝟗𝟎. 𝟏𝟏 7.

Un matrimonio fue a una tienda a comprar ropa a crédito por un valor de $5000. La tienda ofrece dos planes de pago: en el primer plan se realizan 50 pagos semanales de $127.57 cada uno, haciendo el primer pago una semana después de la compra. El segundo plan de pago consiste en dar un enganche de 20% del valor de la compra y realizar 38 pagos semanales de $127.05 cada uno, haciendo el primer pago una semana después de haber realizado la compra. El esposo opina que deberían elegir el primer plan de pago, en tanto que la esposa dice que el segundo plan es el más conveniente. Con un interés anual de 52% con capitalización semanal, determine quién tiene la razón, desde el punto de vista económico.

Vp= 5000 N= 50 semanales i = 52%

Cp=semanal (1+1%)50 +1

a. 5000 = 127.57 [1%(1+1%)50 ] = 127.57(39.1961) = 𝟓𝟎𝟎𝟎, 𝟐𝟒𝟖𝟕 (1+1%)38 +1

b. 5000 = 127.05 [1%(1+1%)38 ] + 1000 = 127.05(31.4846) + 1000 = 𝟓𝟎𝟎𝟎, 𝟏𝟐𝟔𝟒 Son equivalentes pero el segundo plan es el mejor por 0.12 centavos. 8. Si i = 5%, calcule D en el siguiente diagrama de flujo

A=20 G=10 (1 + 5%)4 − 1 10 (1 + 5%)4 − 1 Vf1 = [20 [ ]+ [ − 4]] (1 + 5%) 5% 5% 5%

Vf1 = [20(4.3101) + 200(0.3101)](1 + 5%) Vf1 = 148.22(1 + 5%) Vf1 = 155.63 (1 + 5%)3 − 1 10 (1 + 5%)3 − 1 3 Vp1 = 50 [ ] − [ − ] 3 (1 + 5%)3 5%(1 + 5%) 5% 5% Vp1 = 50(2.7266) − 200(0.1318) Vp1 = 109.80 D=155.63+109.80 D=265.44 9. Se depositan $30000 en un banco que paga un interés de 15% anual

con capitalización mensual. Se desea efectuar 12 retiros trimestrales iguales, realizando el primer retiro al final del quinto mes después de haber hecho el depósito. Calcular el valor de cada uno de los doce retiros trimestrales iguales, de forma que con el último retiro se agote totalmente el depósito.

Vp=30000 I= 15% anual= 1.25 mensual Cp= mensual N=12 retiros trimestrales=36 meses 30000 =

x x x x + + + (1 + 1.25%)5 (1 + 1.25%)8 (1 + 1.25%)11 (1 + 1.25%)14 x x x x + + + + (1 + 1.25%)17 (1 + 1.25%)20 (1 + 1.25%)23 (1 + 1.25%)26 x x x x + + + + 29 32 35 (1 + 1.25%) (1 + 1.25%) (1 + 1.25%) (1 + 1.25%)38

30000 = x(0.9397 + 0.9053 + 0.8722 + 0.8403 + 0.8096 + 0.78 + 0.7514 + 0.7239 + 0.6974 + 0.6719 + 0.6474 + 0.6237) 30000 = x(9.2628) 𝐗 = 𝟑𝟐𝟑𝟖. 𝟕𝟔

10. El exclusivo club deportivo Failured Champs ofrece dos opciones a

los posibles socios: un pago de contado de $10000 que da derecho a una membrecía por 10 años, o pagos anuales al inicio de cada año. En el primer año se pagarán $1200 y este monto se incrementará en $100 anualmente. Si se considera una tasa de interés de 12% capitalizado cada año, ¿cuál plan escogería usted en caso de que deseara pertenecer al club por un periodo de 10 años? opcion 1 = 10000 de contado opcion 2 = 1200 + 1300(5.3282) + 100(17.3563)

𝐨𝐩𝐜𝐢𝐨𝐧 𝟐 =9862.29 En mi caso en la opción de plan que escogería sería la segunda porque en al contrario de pagar de contado pago mucho menos entonces es más conveniente porque ahorra 137.71. 11. Una persona compró un televisor en $750 y acordó pagarlo en 24 mensualidades iguales, comenzando un mes después de la compra. El contrato también estipula que el comprador deberá pagar en el mes de diciembre de ambos años anualidades equivalentes a tres pagos mensuales. Si el televisor se adquirió elide enero del año 1, tendrá que pagar, en diciembre del año 1 y diciembre del año 2, cuatro mensualidades en cada periodo (una normal más la anualidad). Si el interés que se cobra es de 1 % mensual, ¿a cuánto ascienden los pagos mensuales?

(1 + 1%)24 − 1 3A 3A 750 = A [ ] + + 1%(1 + 1%)24 (1 + 1%)12 (1 + 1%)24 750 = A(21.2433 + 2.6624 + 2.3627) A=

750 26.2685

𝐀 = 𝟐𝟖. 𝟓𝟓 12. La misma persona del problema anterior decide que en vez de pagar dos anualidades equivalentes a tres mensualidades cada una, pagará una sola en diciembre de 1990 por $200. ¿A cuánto ascienden ahora los 24 pagos mensuales uniformes, si el interés se mantiene igual?

750 = A [

(1 + 1%)24 − 1 200 ]+ 24 1%(1 + 1%) (1 + 1%)12

750 = A(21.2406) + 177.48 𝐀 = 𝟐𝟔. 𝟗𝟓

13. Una universidad local ofrece estudios de licenciatura por una cantidad anual de $4500 pagaderos al principio del año escolar. Otra forma de pagar los estudios es mediante la aportación de 10 mensualidades iguales. La primera se paga el 1 septiembre y la última el l' de julio del siguiente año. En los meses de diciembre y agosto no hay pago porque son vacaciones. ¿A cuánto ascienden los 10 pagos mensuales uniformes para ser equivalentes a un pago de contado de $4500 el 1 de septiembre de cada año, si la universidad aplica una tasa de interés de 2% mensual?

(1 + 2%)7 − 1 (1 + 2%)2 − 1 4500 = A + A [ ] A [ ] (1 + 2%)7 2% (1 + 2%)2 1% 4500 = A(1 + 1.942 + 6.098) 4500 A= 9.04 𝐀 = 𝟒𝟗𝟕. 𝟕𝟖 14. Se depositan $15000 en un banco que paga un interés de 24% anual con capitalización mensual. El primer retiro se realiza hasta el final del mes 25 y a partir de ese mes se realizan retiros iguales de $854.50 mensuales. ¿En qué mes se agota totalmente el depósito?

(1 + 2%)n − 1 ] 2%(1 + 2%)n 15000 = (1 + 2%)24 1 1 28.2347 = [ − ] 2% 2%(1 + 2%)n 1 21.7653 = 2%(1 + 2%)n 0.04594 = 2%(1 + 2%)n ln(2.2972) = nln(1.02) 0.8327 n= 0.01980 n = 42 𝐍 = 𝟐𝟒 + 𝟒𝟐 = 𝟔𝟔 854.50 [

15. Un padre de familia ha pensado en ahorrar $80 al mes durante cierto periodo de la vida de su hijo pequeño, en un banco que paga un interés de 12% anual capitalizado mensualmente. Los ahorros se harían hasta que el hijo cumpliera 17 años. Un año después, es decir, cuando el joven tuviera 18 años, empezaría su educación universitaria, la cual el padre ha calculado que costará $4500. Costará $5000 cuando cumpla 19 años y $5 500 a los 20 años, $6000 a los 21 y $6500 a los 22 años. ¿Qué edad debe tener el hijo para que el padre empiece a ahorrar $80 al mes, desde ese momento y hasta que cumpla 17 años, para que pueda disponer de las cantidades mencionadas en esas fechas?

iN−A = 12% iE−M =

12% = 1% 12

iE−P = (1 + 0.01)12 − 1 = 0.1268 (1 + i)n − 1 1 (1 + i)n − 1 n VP = A [ ]+ G[ ][ − ] n n (1 + i) i i (1 + i) i (1 + i)n (1 + 0.1268)5 − 1 VP = 4500 [ ] (1 + 0.1268)5 (1 + 0.1268)5 1 5 + 500 [ ][ − ] 0.1268 (1 + 0.1268)5 (0.1268) (1 + 0.1268)5 VP = 19037.55 (1 + 0.01)n − 1 19037.55 = 80 [ ] 0.01 2.38 + 1 = (1 + 0.01)n ln(3.38) = ln(1.01)n ln(3.38) = n ln(1.01) ln(3.38) =n ln(1.01) n = 122.4

122.4 meses → 10.2 años 𝟏𝟕 𝐚ñ𝐨𝐬 − 𝟏𝟎. 𝟐 𝐚ñ𝐨𝐬 = 𝟔. 𝟖 𝐚ñ𝐨𝐬 = 𝟔 𝐚ñ𝐨𝐬 𝐲 𝟗. 𝟔 𝐦𝐞𝐬𝐞𝐬

16. El joven futbolista Inocencio del Campo recientemente cumplió 21 años y su futuro en el deporte es muy prometedor. Su contrato con el equipo "Jamelgos" terminó y el mismo equipo ya le ofreció un nuevo contrato durante seis años por la suma de $1.6 millones de dólares, pagaderos al momento de la firma. Por otro lado, él piensa que si eleva continuamente su nivel de juego, puede conseguir contratos anuales, el primero de los cuales sería por $250000 dólares y, con cada contrato sucesivo, pedir una suma adicional de $50000 dólares. En todos los contratos se paga lo convenido a principio de año. Si la tasa de interés que se considera es de 15% anual, ¿qué deberá hacer Inocencio si quiere planear sus próximos seis años de carrera deportiva?

VP VP VPI = A ( , 15%, ,6) + G ( , 15%, , 6) A G VPI = 25000(3.7845) + 50000(7.9368) VPI = 1342965 VPT = VPI (1 + i) VPT = 1342965(1 + 0.15) = 1554409.75 Entonces tenemos que: 1600000 − 1554409.75 = $𝟓𝟓𝟓𝟗𝟎. 𝟐𝟓 Debe elegir el contrato por 6 años. 17. Una persona piensa depositar $150 cada mes durante el siguiente año en un banco que paga una tasa de interés de 1.5% mensual. Considera que después de hacer los 12 depósitos del primer año puede aumentar su ahorro mensual a $180. ¿Cuánto tendrá al final de dos años si no retira ninguna cantidad de dinero durante este tiempo?

i = 1.5% VFI = A [

(1 + i)n − 1 ] i

(1 + 1.5%)12 − 1 VFI = $150 [ ] = $150(13.041) = $1956.182 1.5% VFI = $1956.182 (1 + 1.5%)12 = $2338.847 (1 + i)n − 1 VFII = A [ ] i VFII = $180 [

(1 + 1.5%)12 − 1 ] = $180(13.041) = $2347.38 1.5%

VFT = VFI + VFII = $2338.847 + $2347.38 = $4686.23 𝐕𝐅𝐓 = $𝟒𝟔𝟖𝟔. 𝟐𝟑 18. Hay un depósito de $2 699 en un banco que paga una tasa de interés de 10% anual. Si es necesario retirar una cantidad de $300 dentro de un año y los retiros al final de los años sucesivos se incrementan por $50, ¿en cuántos años se extinguirá totalmente el fondo de $2699?

Para n = 10 VP = A (

VP VP , 10%, ,10) + G ( , 10%, ,10) A G

VP = 300(6.1446) + 50(22.8913)

VP = 2.987 Para n = 6 VP = A (

VP VP , 10%, ,6) + G ( , 10%, ,6) A G

VP = 300(4.3553) + 50(9.6842) VP = 1306.59 + 484.21 = 1790.8 10 − 6 10 − n = 2987 − 1790.8 2987 − 2699 4 10 − n = 1196.2 288 0.0033439(288) = 10 − n 0.9630432 − 10 = −n 𝟗. 𝟎𝟒 = 𝐧 ≈ 𝟗 𝐚ñ𝐨𝐬 19. Una familia cuenta con un fondo de $30000 para remodelar su casa en el futuro. El dinero está depositado en un banco que paga un interés de 7% anual. Si la familia considera que gastará $10 000 al final del segundo año y $15 000 al final del cuarto año, ¿con qué cantidad podrá contar al concluir el quinto año?

i=7 VP = $30000 n=5 VFI = $10000(1 + 7%)3 + $15000(1 + 7%) VFI = $12250.43 + $16050 = $28300.43 VFII = $30000(1 + 7%)5 = $42076.55 VFT = VFII − VFI

VFT = $42076.55 − $28300.43 𝐕𝐅𝐓 = $𝟏𝟑𝟕𝟕𝟔. 𝟏𝟐 20. Una persona adquiere una deuda de $10 015.20 con un banco que cobra un interés de 18% anual con capitalización mensual. Acuerda liquidar la deuda mediante el pago de 24 mensualidades iguales, haciendo el primer pago un mes después de obtener el crédito. El deudor logra pagar hasta la mensualidad 12 y, por tener problemas de dinero, suspende los pagos durante los meses 13, 14, 15 Y 16. A partir del final del mes 17 vuelve a pagar la mensualidad en forma normal, pero decide que en los siguientes meses va a pagar la mensualidad normal más $50, es decir, en el mes 18 pagará la mensualidad normal más $50, en el mes 19 pagará la mensualidad normal más $100, etc. ¿En cuál mes terminará de pagar la deuda? Determine el monto exacto del último pago si no es múltiplo de $50.

(𝟏 + 𝟏. 𝟓%)𝟐𝟒 − 𝟏 𝟏𝟎𝟎𝟏𝟓 = 𝐀 [ ] 𝟏. 𝟓%(𝟏 + 𝟏. 𝟓%)𝟐𝟒 𝐀 = 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 (𝟏 + 𝟏. 𝟓%)𝟏𝟐 − 𝟏 𝐕𝐏𝟏𝟐 = 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 [ ] = 𝟓𝟒𝟓𝟑. 𝟕 𝟏. 𝟓%(𝟏 + 𝟏. 𝟓%)𝟏𝟐 𝐕𝐟𝟏𝟔 = 𝟓𝟒𝟓𝟑. 𝟕(𝟏 + 𝟏. 𝟓%)𝟒 = 𝟓𝟕𝟖𝟖. 𝟒𝟏

21. Calcule P del siguiente diagrama de flujo, si i = 20%

VP VP VP P = A ( , 20%, ,3) + G ( , 20%, ,3) + A ( , 20%, ,4) (1.2)−3 A G A P = 10(2.1065) + 10(1.8519) + 40(2.5887)(1.2)−3

𝐏 = $𝟗𝟗. 𝟓𝟎𝟕𝟔 22. Una persona se propuso ahorrar $1 000 cada fin de año durante 10 años, en un banco que paga un interés de 12% anual. Sin embargo, al final de los años 5 y 7, en vez de ahorrar tuvo que disponer de $500 en cada una de esas fechas. ¿Cuánto acumuló al final de los 10 años, si hizo ocho depósitos de $1000?

VF = A [

(1 + i)n − 1 (1 + i)n − 1 ] + 1000(1 + i)n + A [ ] i i

VF = 1000 [

(1 + 12%)4 − 1 (1 + 12%)3 − 1 ] + 1000(1 + 12%)4 + 1000 [ ] 12% 12%

VFI = 1000[4.779] + 1573.519 + 1000[3.3744] VFI = 4779 + 1573.519 + 3374.4 VFI = 4779(1 + 12%)6 + 1573.519 + 3374.4 VFI = 9432.899 + 2573.519 + 3374.4 VFI = $14380.818 VFII = 500(1 + 12%)5 + 500(1 + 12%)3 VFII = 881.171 + 702.464 VFII = $1583.635 VFT = VFI − VFII VFT = $14380.818 − $1583.635 𝐕𝐅𝐓 = $𝟏𝟐𝟕𝟗𝟕. 𝟏𝟖𝟑 23. Un matrimonio compró una casa de $180000 mediante una hipoteca que cobra 10% de interés anual. Si el matrimonio puede dar pagos de $23 000 cada fin de año, comenzando un año después de a compra, a) ¿cuándo terminarán de pagar la casa? b) si dan un enganche de contado de $35000 y desean pagar la casa en el mismo plazo calculado en el inciso a), ¿a cuánto ascenderán ahora los pagos de fin de año?

VP = $180000 A = $23000 i = 10% anual a) (1 + i)n − 1 VP = A [ ] (1 + i)n i 1 ln [ 1 VP ] [i − A ]i n= ln(1 + i) 1 ln [ ] 1 $180000 [10% − ] (10%) $23000 n= ln(1 + 10%) n=

ln(4.6) ln(1.1)

n=

1.526 0.095

n = 16.06 𝐧 ≈ 𝟏𝟔 𝐚ñ𝐨𝐬 b) VP = $145000 i = 10% anual n = 16

A = VP [

(1 + i)n i ] (1 + i)n − 1

(1 + 10%)16 (10%) A = $145000 [ ] (1 + 10%)16 − 1 A = $145000 [

0.459 ] 3.595

A = $145000[0.1271] 𝐀 = 𝟏𝟖𝟓𝟒𝟓. 𝟓 24. Se han pedido prestados 1 000 a una tasa de interés de 5% anual y se acuerda pagar cada fin de año, iniciando un año después de que fue otorgado el préstamo, de forma que cada pago disminuya $75 cada año, es decir, el segundo pago será menor que el primero por $75, el tercero menor que el segundo por $75, etc. Si se desea liquidar totalmente el préstamo en seis años, cuál será el pago al final del sexto año?

VPT = VPA − VPG VP VP VPT = A ( , i, , n) − G ( , i, , n) A G VP VP 1000 = x ( , 5%, ,6) − 75 ( , 5%, ,6) A G 1000 = x (5,0757) − 75(11,9680) 1000 + 896.600 = x (5,0757) x = $ 373.859 El sexto año sería igual a: 𝐀ñ𝐨𝟔 = 𝐀 − 𝟑𝟕𝟓 = 𝟑𝟕𝟑. 𝟖𝟓𝟗 − 𝟑𝟕𝟓 = −𝟏. 𝟏𝟒𝟏

Como observamos el resultado es negativo lo que nos indica que se terminará de pagar la deuda en el periodo 5, por lo tanto la cuota del sexto año es igual a cero. 25. Durante 10 años una persona ahorró cierta cantidad, de tal forma que el depósito del año siguiente siempre fue superior en $1 000 a la cantidad depositada el año interior. El interés que se pagó por este tipo de ahorros fue de 6% anual. Si al final de los 10 años se contaba con $66 193, ¿cuál fue la cantidad que se depositó el primer año?

i = 6% n = 10 VF = $66193 VF = A [

(1 + i)n − 1 1 (1 + i)n − 1 ] + G[ ][ − n] i i i

(1 + 6%)10 − 1 1 (1 + 6%)10 $66193 = A [ ] + 1000 [ ] [ − 10] 6% 6% 6% $66193 = A[13.181] + 1000[16.667][3.181] $66193 − 53017.727 = A[13.181] A=

13175.273 13.181

A = 999.56 𝐀 ≈ 𝟏𝟎𝟎𝟎

26. Una empresa pide un préstamo por $190288.85 a un banco que cobra un interés mensual de 1.5%. Acordó liquidar la deuda en 24

mensualidades iguales empezando a pagar un mes después de obtener el préstamo. Al momento de realizar el pago 12 decide reducir su pago mensual en $50, es decir, en el mes 13 va a realizar el pago normal menos $50, en el mes 14 pagará la mensualidad normal menos $100, etc. ¿En cuál mes terminará de pagar la deuda? Determine el monto exacto del último pago si no es un múltiplo de $50.

(1 + 1.5%)24 (1.5%) A = 190288.55 [ ] = 9500 (1 + 1.5%)24 − 1 (1 + 1.5%)12 − 1 Vp12 = 9500 [ ] = 103621.3 (1 + 1.5%)12 1.5% (1 + 1.5%)n − 1 103621.3 = 9450 [ ] (1 + 1.5%)n 1.5% 50 (1 + 1.5%)n − 1 1 + [ − n] ( ) (1 + 1.5%)n 1.5% 1.5% N=12 por prueba de error 27. Se depositaron $33000 en un banco que paga un interés anual de 9%. Al final del primer año de haber hecho el depósito y al final de los siguientes cuatro, se hicieron retiros por $4000, es decir, se hicieron cinco retiros de fin de año. Después de estos cinco años se desea, en lo sucesivo, hacer retiros de $3 000 cada fin de año. ¿Cuántos retiros de $3000 se podrán hacer antes de extinguir totalmente la suma depositada?

i = 9% (1 + i)n − 1 (1 + i)n − 1 1 VP = A [ ] + A [ ] [ ] (1 + i)n i(1 + i)n i(1 + i)n

33000 = 4000 [

(1 + 0.09)5 − 1 (1 + 0.09)n − 1 1 ] + 3000 [ ][ ] 5 n (0.09)(1 + 0.09) (0.09)(1 + 0.09) (1 + 0.09)5

(1 + 0.09)n − 1 33000 − 15558.6 = 1949.8 [ ] (0.09)(1 + 0.09)n (1 + 0.09)n − 1 33000 − 15558.6 =[ ] (0.09)(1 + 0.09)n 1949.8 8.9452 =

(1 + 0.09)n 1 − n (0.09)(1 + 0.09) (0.09)(1 + 0.09)n

8.9452 =

1 1 − 0.09 0.09(1 + 0.09)n

1 1 = − 8.9452 n 0.09(1 + 0.09) 0.09 1 ln ( ) = ln 0.195 (1 + 0.09)n ln(1) − ln(1.09)n = −1.63 n ln(1.09) = 1.63 n=

1.63 ln(1.09)

n = 18.91 ≈ 19 años Se hacen exactamente 18 retiros más 5 que se realizan anteriormente lo que da un total de 23 retiros antes de extinguirse totalmente el fondo. (1 + 0.09)5 − 1 (1 + 0.09)18 − 1 1 saldo = 4000 [ ] + 3000 [ ] [ ] (0.09)(1 + 0.09)5 (0.09)(1 + 0.09)18 (1 + 0.09)5 saldo = 15558.6 + 17071.6 = 32630.2 deuda = 33000 − 32630.2 = 369.8 𝐫𝐞𝐭𝐢𝐫𝐨 𝐦𝐞𝐬 𝟐𝟒 = 𝟑𝟔𝟗. 𝟖 (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟗)𝟐𝟒 = 𝟐𝟗𝟐𝟓. 𝟓𝟏 Notamos que en total serian 24 retiros. 28. Un equipo viejo produce una gran cantidad de piezas defectuosas. Se calcula que durante los siguientes cuatro años se producirán 1 200 piezas defectuosas por año y a partir del quinto, éstas aumentarán en 150 unidades anuales. La empresa que tiene este equipo usa como regencia una tasa de interés de 12% anual y está haciendo un estudio para un periodo de ocho años. Si cada pieza defectuosa le cuesta $10, ¿cuánto

estarán dispuestos a pagar ahora por una máquina nueva que evite totalmente este problema?

i = 12% n=8 VP = A [

(1 + i)n − 1 (1 + i)n − 1 1 (1 + i)n − 1 n ] + [A [ ] + G [ ][ − ]] n n n (1 + i) i (1 + i) i (1 + i) i (1 + i)n i

(1 + 12%)8 − 1 VP = 12000 [ ] (1 + 12%)8 (12%) (1 + 12%)5 − 1 + [12000 [ ] (1 + 12%)5 (12%) 3 (1 + 12%)5 − 1 1 5 1 + 1500 [ ][ − ] [ ] ] 12% (1 + 12%)5 (12%) (1 + i)n (1 + 12%) 1 3 VP = 28821.97 + [43257.31 + 9595.52] [ ] 1.12 𝐕𝐏 = 𝟐𝟖𝟖𝟐𝟏. 𝟗𝟕 + 𝟑𝟕𝟔𝟏𝟗. 𝟔𝟎 = 𝟔𝟔𝟒𝟒𝟏. 𝟓𝟕 29. Por medio de la aplicación de técnicas de ingeniería industrial, una empresa logró ahorrar $28000 el primer año, disminuyendo los ahorros en $4000 cada año durante un periodo de cinco anos. A una tasa de interés de 12% anual, ¿a cuánto equivalen los ahorros de los cinco años al final del quinto año?

i = 12% PC = Anual

n = 5 Años (1 + i)n − 1 1 (1 + i)n − 1 VF = VFA − VFG = A [ ]− G[ ][ − n] i i i (1 + 0.12)5 − 1 (1 + 0.12)5 − 1 1 VF = 28000 [ ] − 4000 [ ][ − 5] 0.12 0.12 0.12 VF = 177879.72 − 45094.91 𝐕𝐅 = 𝟏𝟑𝟐𝟕𝟖𝟒. 𝟖𝟏 30. Se compró un equipo de sonido por $1100. se acordó pagarlo en 36 pagos mensuales iguales, que iniciarán un mes después de la compra. La tasa de interés es de 1 % mensual. a) Calcule el pago mensual que deberá hacerse. b) Al final de los meses 12, 24 Y 36 es posible hacer un pago adicional a la mensualidad de $100; si se desea pagar el equipo en 36 mensualidades iguales, ¿a cuánto ascienden ahora estos pagos?

a) i = 1% PC = mensual (1 + i)n i (1 + 0.01)36 (0.01) A = P[ ] = 1100 [ ] = 𝟑𝟔. 𝟓𝟑𝟓 (1 + i)n − 1 (1.01)36 − 1 b) i = 1% PC = mensual (1 + i)n − 1 1 n 1 n 1 n VP = A [ ] + VF12 [ ] + VF24 [ ] + VF36 [ ] (1 + i)n i 1+i 1+i 1+i

12 24 (1 + 0.01)36 − 1 1 1 100 = A [ ] + 100 [ ] + 100 [ ] (1 + 0.01)36 (0.01) 1 + 0.01 1 + 0.01

+ 100 [

36 1 ] 1 + 0.01

1100 − 237.39 = A[30.108] 1100 − 237.39 =A 30.108 𝐀 = $𝟐𝟖. 𝟓𝟏

31. Calcule F del siguiente diagrama de flujo, si i = 15%

F =? i = 15% P. F = 0 1 n 1 n F+F[ ] +F[ ] 1+i 1+i

1 n 1 n 1 n 1 n ] + 50 [ ] + 20 [ ] + 10 [ ] 1+i 1+i 1+i 1+i 1 n 1 n 1 n 1 n + 20 [ ] + 30 [ ] + 40 [ ] + 50 [ ] 1+i 1+i 1+i 1+i = 50 + 40 [

4 8 1 1 F [1 + [ ] +[ ] ] 1 + 0.15 1 + 0.15 1 2 3 1 1 1 = 50 + 40 [ ] + 50 [ ] + 20 [ ] 1 + 0.15 1 + 0.15 1 + 0.15 4 5 6 7 1 1 1 1 + 10 [ ] + 20 [ ] + 30 [ ] + 40 [ ] 1 + 0.15 1 + 0.15 1 + 0.15 1 + 0.15 8 1 + 50 [ ] 1 + 0.15

𝐅=

𝟏𝟖𝟎. 𝟔𝟑 = $𝟗𝟓. 𝟏𝟑𝟖 𝟏. 𝟖𝟗𝟗𝟔

32. Una persona depositó $500 cada mes, de los meses 1 a 17 en un banco que paga un interés de 1 % mensual. A partir del mes 18, el banco subió la tasa de 2% mensual que paga a sus ahorradores, y el ahorrador también incrementó sus depósitos en $50 cada mes, es decir, depositó $550 al final del mes 18, depositó $600 al final del mes 19, etc. ¿Cuánto acumuló en el banco al momento de realizar el depósito número 36?

𝐢𝟏 = 𝟏%, 𝐢𝟐 = 𝟐% (1 + 1%)17 − 1 Vf1 = 500 [ ] = 13424.83 1% (1 + 2%)19 − 1 50 (1 + 2%)19 − 1 Vf2 = 500 [ ]− [ ][ − 19] = 22163.70 2% 2% 2% Vf36 = Vf1 + Vf2 = 13424.83 + 22163.70 = 𝟑𝟓𝟓𝟖𝟖. 𝟓𝟒 33. Un préstamo de $4500 se liquidará pagando $800 al final de los años primero, segundo, cuarto y quinto. Si la tasa que se considera es de 10% de interés anual, ¿cuál debe ser el pago en el tercer año para saldar exactamente el préstamo?

VP =

800 800 X 800 800 + + + + 2 3 4 (1 + 10%) (1 + 10%) (1 + 10%) (1 + 10%) (1 + 10%)5 $4500 = 727.273 + 661.157 +

X + 546.411 + 496.737 1.331

$4500 = 2431.578 +

X 1.331

$4500 − 2431.578 =

X 1.331

X = 2068.422(1.331)

𝐗 = 𝟐𝟕𝟓𝟑. 𝟎𝟕

34. Se compró un equipo de cómputo en $3200 a una tasa de 1 % mensual; el primer pago se hace un mes después de la adquisición. Si la cantidad más alta que se puede pagar al mes es $100 durante los 12 primeros meses y $120 del mes 13 en adelante, ¿cuántos meses tardaría en liquidarse el equipo de cómputo? Si el último pago no es exactamente de $120, ¿a cuánto asciende este último pago?

Deuda en el año 12: VF = VP(1 + i)n VF = 3.200(1 + 1%)12 VF = $ 3.605,84 Abono en el año 12: VF = A (

VF VF , i, , n) → VF = 100.000 ( , 1%, ,12) → VF = 100.000 (12,6825) A A

VF = $ 1.268,25 Saldo de la deuda: 3.605,84 − 1.268,25 = $ 2.337,59

1 ln [ 1 VP ] [i − A ]i n= ln(1 + i)

1 ln [ 1 ] 2.337.59 [i1% − 120.000 ] 1% n= ln(1 + 1%) 𝐧 = 𝟐𝟏, 𝟕𝟔 ~ 𝟐𝟐 Se liquidará la deuda con total de 34 cuotas, donde 12 pagos son de $100.000 y 22 de $120.00, el cual 21 pagos de $120.000 con un último pago de $92,27. 35. Una persona quiere comprar un perro de un mes de nacido. Calcula que los gastos de manutención del animal serán de $20 durante el segundo mes de edad, cantidad que se incrementará $3 cada mes hasta que el perro tenga 12 meses. Después, esta cantidad permanecerá constante a 10 largo de los años, es decir, costará $50 al mes mantener al perro. Si al momento de hacer la adquisición, deposita $3 500 en un banco que paga 1 % de interés mensual, ¿durante cuánto tiempo podrá mantener al perro con el dinero que tiene en el banco sin hacer una inversión adicional?

i = 1% mensual (1 + i)n − 1 (1 + i)n − 1 1 (1 + i)n − 1 n 1 VP = A [ ] + G [ ] [ − ] + A [ ] [ ] (1 + i)n i (1 + i)n i (1 + i)n (1 + i)n i (1 + i)n i (1 + 0.01)n − 1 (1 + 0.01)n − 1 1 n 3500 = 20 [ ] + 3 [ ] [ − ] (1 + 0.01)n (0.01) 0.01 (1 + 0.01)n (0.01) (1 + 0.01)n (1 + 0.01)n − 1 1 + 50 [ ][ ] n (1 + 0.01) (0.01) (1 + 0.01)n (1 + 0.01)n 1 3500 = 207.35 + 152.42 + 50 [ − ] [0.896] n (1 + 0.01) (0.01) (1 + 0.01)n (0.01) 3500 − 359.77 1 1 = − (0.896)(50) 0.01 (0.01)n (0.01) (70.094 − 100)(0.01) = −

1 (1 + 0.01)n

− ln(0.3) = − ln 1 + nln (1.01) 1.20 =n ln(1.01) 𝐧 = 𝟏𝟐𝟎 𝐦𝐞𝐬𝐞𝐬 = 𝟏𝟎 𝐚ñ𝐨𝐬

36. Calcule I del siguiente diagrama de flujo si i = 20%

4I(1 + 20%)10 + 3I(1 + 20%)9 + 2I(1 + 20%)8 + I(1 + 20%)7 = 10(1 + 20%)6 + 10(1 + 20%)5 + 10(1 + 20%)4 + 10(1 + 20%)3 + 20(1 + 20%)2 + 30(1 + 20%)1 + 40 4I(6.192) + 3I(5.160) + 2I(4.300) + I(3.583) = 29.860 + 24.883 + 20.736 + 17.28 + 28.8 + 36 + 40 24.768I + 15.48I + 8.6I + 3.583I = 197.559 I(52.431) = 197.559 I=

197.559 52.431

𝐈 = 𝟑. 𝟕𝟔𝟕 37. Una persona quiere reunir $10270.23 en un banco que paga un interés de 1% mensual. Para lograrlo, deposita $100 cada mes durante los meses 1 a1 36. A partir del mes 37 su depósito se incrementa en $100 cada mes, es decir, deposita $200 en el mes 37, deposita $300 en el mes 38, etc. ¿En cuál mes logrará la cantidad propuesta?

(1 + 1%)36 − 1 10270.23 = 100 [ ] 1% (1 + 1%)n − 1 100 (1 + 1%)n − 1 = (1 + 1%)n + 200 [ ]−[ ][ − n] 1% 1% 1% Por prueba de error encontramos que n=9, acumulando 10237.23 38. Un préstamo de $10 000 se paga con anualidades iguales de $1 200 a una tasa de interés anual de 8%, que comienza a liquidarse un año después de otorgado el préstamo. Después de 5 pagos, por problemas financieros, se suspende el pago y se acuerda liquidar con una sola suma toda la deuda al final del año 10. ¿A cuánto ascenderá este pago único?

i = 8% VP = $10000 n = 10 1200(1 + 8%)9 + 1200(1 + 8%)8 + 1200(1 + 8%)7 + 1200(1 + 8%)6 + 1200(1 + 8%)5 + x = 10000(1 + 8%)10 2398.805 + 2221.116 + 2056.589 + 1904.249 + 1763.194 + x = 21589.250 x = 21589.250 − 10343.953 𝐱 = 𝟏𝟏𝟐𝟒𝟓. 𝟐𝟗𝟕

39. Una empresa depositó $1000 al final de cada año durante cinco años. Al final del año seis depositó $1250, al final del año siete $1500; y al final del octavo año depositó $1 750. Si por estos ahorros le pagaron una tasa de interés de 7.5% anual, ¿cuánto tendrá acumulado al final del año 10?

VFI = A [

(1+i)n −1

(1+7.5%)5 −1

i

7.5%

] = $1000 [

] = $1000[5.808] = $5808>

VFI = $5808(1 + 7.5%)5 = $8338.135 VFII = 1250(1 + 7.5%)4 + 1500(1 + 7.5%)3 + 1750(1 + 7.5%)2 VFII = 1669.336 + 1863.445 + 2022.344 VFII = $5555.125 VFT = VFI + VFII VFT = $8338.135 + $5555.125 VFT = $13893.26 40. El banco A paga un interés de 8% anual capitalizado semestralmente. El banco B paga 7.9% anual capitalizado mensualmente, y el banco e paga una tasa de 7.8% anual capitalizada diariamente. Si usted tiene $500 para invertir, ¿qué banco elegiría si el periodo de depósito es de al menos un año? BANCO A PC = semestral n = 1 año VP = $500 in−A n iE−A = (1 + ) − 1 n 8% 2 iE−A = (1 + ) − 1 2 iE−A = 8,16% VF = $500(1 + 8,16%)1 VF = $540.8

BANCO B PC = mensual n = 1 año = 12 meses VP = $500 in−A n iE−A = (1 + ) − 1 n 7,9% 12 iE−A = (1 + ) − 1 12 iE−A = 8,1924% VF = $500(1 + 8,1924%)1 VF = $540,962

BANCO C PC = diaria n = 1 año = 360 dias VP = $500 in−A n iE−A = (1 + ) − 1 n 7,8% 360 iE−A = (1 + ) − 1 360 iE−A = 8,1113% VF = $500(1 + 8,1113%)1 VF = $540.557

Se debe escoger el BANCO B

41. Una persona depositó $5000 en la institución A, que paga un interés de 10% capitalizado anualmente. También depositó $5000 en la institución B que paga 10% anual capitalizado mensualmente. a) ¿Cuánto dejó de ganar en el primer caso si el dinero permaneció en ambas instituciones por tres años? b) ¿Si dejó el dinero por 3.5 años?