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Ejercicio 18.1 Determine las reacciones y las fuerzas en cada elelmento de la armadura mostrada en la figura siguiente, usando el método de las rigideces matriciales.

E ≔ 100 A ≔ 0.01

SOLUCIÓN Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ

Paso 1: Dibujar un diagrama para identificar los nudos y elementos. Paso 2: Identificar el Sistema de Coordenadas Globales. Paso 3: Identificar las coordenadas locales. Paso 4: Identificar los grados de libertad. (Por tratarce de una armadura plana solo posee grados de libertad para desplazamiento y no para rotación.

Ÿ Paso 5: Determinar la matriz de rigideces S y vector de fuerza en nodo P Ÿ Se utilizan las siguientes formulas por tratarce de una armadura plana. k= T T ⋅ K ⋅ T ⎡ cos 2 ((θ)) cos ((θ)) sen ((θ)) -cos 2 ((θ)) -cos ((θ)) sen ((θ)) ⎤ ⎢ ⎥ 2 EA ⎢ cos ((θ)) sen ((θ)) -cos ((θ)) sen ((θ)) sen ((θ)) -sen 2 ((θ)) ⎥ k= ―― L ⎢ -cos 2 ((θ)) -cos ((θ)) sen ((θ)) cos ((θ)) sen ((θ)) ⎥ cos 2 ((θ)) 2 ⎢⎣ -cos ((θ)) sen ((θ)) ⎥⎦ cos ((θ)) sen ((θ)) -sen ((θ)) sen 2 ((θ)) Ÿ Paso 6: Se calcula la matriz K para el elemento 1, 2 y 3 2 2 ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ L ≔ ((10 - 0)) + ((5 - 0)) = 11.18 Para evaluar con más facilidad se establece que n= cos ((θ)) y m= sen ((θ)) 10 - 0 n ≔ ―― = 0.894 L

5-0 m ≔ ――= 0.447 L

⎡ n2 n ⋅ m -n 2 -n ⋅ m ⎤ ⎡ 0.0716 0.0358 -0.0716 -0.0358 ⎤ ⎢ ⎥ E⋅A ⎢ n⋅m m 2 -n ⋅ m -m 2 ⎥ ⎢ 0.0358 0.0179 -0.0358 -0.0179 ⎥ K1 ≔ ―― =⎢ ⎥ L ⎢ -n 2 -n ⋅ m n 2 n ⋅ m ⎥ ⎢ -0.0716 -0.0358 0.0716 0.0358 ⎥ ⎢⎣ -n ⋅ m -m 2 n ⋅ m m 2 ⎥⎦ ⎣ -0.0358 -0.0179 0.0358 0.0179 ⎦

10 - 0 n ≔ ―― = 0.894 L

5-0 m ≔ ――= 0.447 L

⎡ n2 n ⋅ m -n 2 -n ⋅ m ⎤ ⎡ 0.0716 0.0358 -0.0716 -0.0358 ⎤ ⎢ ⎥ E⋅A ⎢ n⋅m m 2 -n ⋅ m -m 2 ⎥ ⎢ 0.0358 0.0179 -0.0358 -0.0179 ⎥ =⎢ K1 ≔ ―― ⎥ L ⎢ -n 2 -n ⋅ m n 2 n ⋅ m ⎥ ⎢ -0.0716 -0.0358 0.0716 0.0358 ⎥ ⎢⎣ -n ⋅ m -m 2 n ⋅ m m 2 ⎥⎦ ⎣ -0.0358 -0.0179 0.0358 0.0179 ⎦ Para elemento 2 L ≔ 10 10 - 0 n ≔ ―― = 1 L

0-0 m ≔ ――= 0 L

⎡ n2 n ⋅ m -n 2 -n ⋅ m ⎤ ⎡ 0.1 ⎢ ⎥ E⋅A ⎢ n⋅m m 2 -n ⋅ m -m 2 ⎥ ⎢ 0 =⎢ K2 ≔ ―― L ⎢ -n 2 -n ⋅ m n 2 n ⋅ m ⎥ ⎢ -0.1 ⎢⎣ -n ⋅ m -m 2 n ⋅ m m 2 ⎥⎦ ⎣ 0

0 -0.1 0 ⎤ 0 0 0⎥ ⎥ 0 0.1 0 ⎥ 0 0 0⎦

Ÿ Paso 7: Armar la matriz de rigideces S (Se toma solamente la parte de los grados de libertad utiles) 1 2 0 0 ⎡ 0.1716 0.0358 -0.1716 -0.0358 ⎤ 1 ⎢ 0.0358 0.0179 -0.0358 -0.0179 ⎥ 2 S ≔ K1 + K2 = ⎢ ⎥ ⎢ -0.1716 -0.0358 0.1716 0.0358 ⎥ 0 ⎣ -0.0358 -0.0179 0.0358 0.0179 ⎦ 0 ⎡ 0.1716 0.0358 ⎤ S≔⎢ ⎣ 0.0358 0.0179 ⎥⎦ Ÿ Paso 8: Calcular el vector de carga en los Nodos. P1 ≔ 0 P1 = 0

P2 ≔ -24 P2 = -24

⎡ P1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ P≔⎢ = ⎣ P2 ⎥⎦ ⎢⎣ -24 ⎥⎦ Ÿ Paso 9: Calculo del Desplazamiento de los Nodos P=Sd Se despeja, pero ya que en matrices no se puede realizar divisiones, se hace uso de matrices inversas para poder obtener el vector de desplazamiento d= S -1 P

⎡ 10 -20 ⎤ iS ≔ geninv ((S)) = ⎢ ⎣ -20 95.8659 ⎥⎦

⎡ 10 -20 ⎤ iS ≔ geninv ((S)) = ⎢ ⎣ -20 95.8659 ⎥⎦ ⎡ 480 ⎤ d ≔ iS ⋅ P = ⎢ ⎣ -2300.7821 ⎥⎦ Y con esto se encuentran los desplazamientos globales. Ÿ Paso 10: Calculo de los desplazamientos y fuerzas en los estremos de los elementos 1, 2 y3 Para Elemento 1 2 2 ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ ((10 - 0)) + ((5 - 0)) = 11.18 10 - 0 5-0 n ≔ ―― = 0.894 m ≔ ――= 0.447 L L

⎡ ⎤ 480 ⎢ -2300.7821 ⎥ v≔⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥ 0 ⎣ ⎦

L≔

E ⋅ A ⎡ 1 -1 ⎤ k ≔ ――⎢ L ⎣ -1 1 ⎥⎦ u≔T⋅v ⎡ cos ((θ)) sen ((θ)) 0 0 ⎤ T≔⎢ ( ) ((θ)) ⎥⎦ 0 0 cos θ sen ⎣ ( ) ⎡ n m 0 0 ⎤ ⎡ 0.894 0.447 0 ⎤ 0 T≔⎢ =⎢ ⎥ 0 0.894 0.447 ⎥⎦ ⎣ 0 0 n m⎦ ⎣0 ⎡ -599.616 ⎤ u≔T⋅v=⎢ ⎥⎦ 0 ⎣ Calculo de las fuerzas axiales en el elemento 1 ⎡ -53.6313 ⎤ Q≔k⋅u=⎢ ⎣ 53.6313 ⎥⎦ Obtenemos las fuerzas en los extremos en coordenadas globales como F= T T ⋅ Q ⎡n ⎢m tT ≔ ⎢ ⎢0 ⎣0

0 ⎤ ⎡ 0.894 0 ⎥ ⎢ 0.447 ⎥=⎢ n ⎥ ⎢0 m⎦ ⎣0

F ≔ tT ⋅ Q

Para el elemento 2

⎤ 0 ⎥ 0 ⎥ 0.894 ⎥ 0.447 ⎦

⎡ -47.969 ⎤ ⎢ -23.985 ⎥ F=⎢ ⎥ ⎢ 47.969 ⎥ ⎣ 23.985 ⎦

Para el elemento 2 ⎡ ⎤ 480 ⎢ -2300.7821 ⎥ v≔⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥ 0 ⎣ ⎦

L ≔ 10 10 - 0 n ≔ ―― = 1 L

0-0 m ≔ ――= 0 L

E ⋅ A ⎡ 1 -1 ⎤ k ≔ ――⎢ L ⎣ -1 1 ⎥⎦ U≔T⋅v ⎡ cos ((θ)) sen ((θ)) 0 0 ⎤ T≔⎢ 0 cos ((θ)) sen ((θ)) ⎥⎦ ⎣ 0 ⎡n m 0 0 ⎤ ⎡1 0 0 0⎤ T≔⎢ = ⎣ 0 0 n m ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 1 0 ⎥⎦ ⎡ 480 ⎤ u≔T⋅v=⎢ ⎣ 0 ⎥⎦ Calculo de las fuerzas axiales en el elemento 1, para el nodo 1 y 3 ⎡ 48 ⎤ Q≔k⋅u=⎢ ⎣ -48 ⎥⎦ Obtenemos las fuerzas en los extremos en coordenadas globales como F= T T ⋅ Q ⎡n ⎢m tT ≔ ⎢ ⎢0 ⎣0

0 ⎤ ⎡1 0 ⎥ ⎢0 ⎥=⎢ n ⎥ ⎢0 m⎦ ⎣0

F ≔ tT ⋅ Q

0⎤ 0⎥ ⎥ 1⎥ 0⎦

⎡ 48 ⎤ ⎢ 0⎥ F=⎢ ⎥ ⎢ -48 ⎥ ⎣ 0⎦