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• Fernando Smith Torres

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Ejercicios Desarrollados 1. La tabla adjunta muestra los parámetros de los modelos log-normal de 3 parámetros ajustados a las series de intensidades máximas de la estación Miraflores para duraciones entre 10 y 360 minutos. Elabore la curva ID para un período de retorno de 10 años.

parámetro I 10 min I 30 min I 60 min I 120 min I 180 min I 360 min media

2.41

2.08

1.82

1.44

1.09

0.67

desv. est.

0.92

1.07

1.01

1.02

1.18

1.21

a

2.04

2.53

1.71

0.99

0.69

0.23

Solución De la ecuación siguiente se tiene:

F (Q = q) = P(Q £ q) = 1-

1 T

F (Q = q) = 0.9

F (Q = q) = F (Z )

De las tablas de distribución acumulada se tiene por interpolación: Z=1.2816 De la distribución log- normal se tiene que:

Z=

ln I - m s

Donde se tiene que para I10: ln I - 2.41 0.92 I = 38.24mm / hora

1.2816 =

Luego se tiene que para las de más tiempos de duración como se muestra en el recuadro:

I 10 min.

I 30 min.

I 60 min.

I 120 min

I

10

30

60

120

180

360

u

2.41

2.08

1.82

1.44

1.09

0.67

D

0.92

1.07

1.01

1.02

1.18

1.21

a

2.04

2.53

1.71

0.99

0.69

0.23

Tr =

10

10

10

10

10

10

P no exc=

0.9

0.9

0.9

0.9

0.9

0.9

Z

1.2816

1.2816

1.2816

1.2816

1.2816

1.2816

Y

3.59

3.45

3.11

2.75

2.60

2.22

X

38.24

34.07

24.23

16.59

14.18

9.44

180 min

I 360 min.

Con estas intensidades y tiempos de duración se tiene la curva I-D-F

Intensidad (mm/min)

Curvas IDF 45.00 40.00 35.00 30.00 25.00 20.00 15.00 10.00 5.00 0.00

Curvas…

0

100

200 duración (min)

300

400

2. Se quiere diseñar una alcantarilla en una carretera que es cruzada por una quebrada cuya cuenca no urbanizada de 15 Km2 tiene un tiempo de concentración de 1 hora. La serie de las 32 intensidades de lluvia máximas anuales para una hora de duración han sido evaluadas probabilísticamente, ajustándoseles un modelo Gumbel. Esta serie presenta una media de 13,3 mm/h y una varianza de 179,6. Determinar: a) Los parámetros del modelo Gumbel ajustado. b) La intensidad de diseño para un Tr de 50 años. c) El caudal de diseño del colector. Calculo de los parámetros de Gumbel: m= 13.3 s 2 = 179.6

s = 13.40 Numero de parámetros: 32 Luego procedemos a calcular los parámetros Yn y Sn: VALORES GUMBEL Media reducida Yn

n 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0 0.4952 0.523 0.5362 0.5436 0.5485 0.5521 0.5548 0.5569 0.5586

100

0.56

1 0.4996 0.5252 0.5371 0.5442 0.5489 0.5524 0.555 0.557 0.5587

2 0.5035 0.5268 0.538 0.5448 0.5493 0.5527 0.5552 0.5572 0.5589

3 0.507 0.5283 0.5388 0.5453 0.5497 0.553 0.5555 0.5574 0.5591

4 0.51 0.5296 0.5396 0.5458 0.5501 0.5533 0.5557 0.5576 0.5592

5 0.5128 0.5309 0.5402 0.5463 0.5504 0.5535 0.5559 0.5578 0.5593

6 0.5157 0.532 0.541 0.5468 0.5508 0.5538 0.5561 0.558 0.5595

7 0.5181 0.5332 0.5418 0.5473 0.5511 0.554 0.5563 0.5581 0.5596

8 0.5202 0.5343 0.5424 0.5477 0.5515 0.5543 0.5565 0.5583 0.5598

9 0.522 0.5353 0.543 0.5481 0.5518 0.5545 0.5567 0.5585 0.5599

Desviación típica reducida Sn

n 10

0 0.9496

1 2 3 0.9676 0.9833 0.9971

4 1.0095

5 1.0206

6 1.0316

7 1.0411

8 1.0493

9 1.0565

20 30 40 50 60 70 80 90

1.0628 1.1124 1.1413 1.1607 1.1747 1.1854 1.1938 1.2007

1.0696 1.1159 1.143 1.1623 1.1759 1.1863 1.1945 1.2013

1.0864 1.1255 1.1499 1.1667 1.1793 1.189 1.1967 1.2032

1.0915 1.1285 1.1519 1.1681 1.1803 1.1898 1.1973 1.2038

1.0961 1.1313 1.1538 1.1696 1.1814 1.1906 1.198 1.2044

1.1004 1.1339 1.1557 1.1708 1.1824 1.1915 1.1987 1.2049

1.1047 1.1363 1.1574 1.1721 1.1834 1.1923 1.1994 1.2055

1.1086 1.388 1.159 1.1734 1.1844 1.193 1.2001 1.206

100 1.2065

1.0754 1.1193 1.1458 1.1638 1.177 1.1873 1.1953 1.202

1.0811 1.226 1.148 1.1658 1.1782 1.1881 1.1959 1.2026

Yn = 0.538 Sn =1.1193 Luego calculamos los para metros α y U α= Sx / Sn = u = x-yn*a=

11.97 6.86

La intensidad de diseño para un Tr de 50 años. De la ecuación siguiente se tiene:

F (Q = q) = P(Q £ q) = 1-

1 T

F (Q = q) = 0.98 F (Q = q) = F ( y ) - y

F ( y) = e- e = 0.98 Y = 3.9019 Y=

I- m = 3.9019 a

I = 53.57 El caudal de diseño del colector. C*I * A 3.6 Q = 78.13m3 / s Q=

3. Se tiene un terreno de 50 ha de tipo arenoso dedicado al comercio y negocios. Se requiere saber: a) Cuánta será la lluvia efectiva cuando caen en la zona 20 mm durante una noche en pleno FEN. b) Cuánto será el volumen de escorrentía a evacuar. Calculo del volumen de escorrentía:

hep = Ce * P hep = 0.7*20mm = 14mm El valor de Ce se toma de acuerdo a la topografía y uso del terreno, que para este caso se tiene que es 0.7

Calculo del volumen de escorrentía:

Ve = Ce * A *20 Ve = 7000m3 / s 4. Se tiene una cuenca de 1000 m de lado y se quiere diseñar un sistema de drenaje mayor. Para lo que se ha decidido construir un canal que atraviese diagonalmente la cuenca hasta el cuerpo receptor. Tiempo de entrada a “A” es 6 min. i=47*T/(tc+2.5) (mm/hr) ; T es el periodo de retorno en años, tc es el tiempo de concentración en minutos. B=29.5 msnm

A=30 msnm

C= 29.5 m.s.nm

SOLUCIÓN

Aplicando la ecuación de Kirpich tenemos que Tc :

Tc = 0.0195(

L3 0.385 ) H

Donde: L= Longitud de recorrido. H= de elevación entre los puntos extremos. El nivel en el extremo que tiene contacto con el canal será de 29 msnm. Esto se saca del cuadrado, debido a que la diagonal CB se encuentra a un nivel de 29.5 msnm. Tc = 0.0195(

(1000 2 )3 0.385 ) 1

Tc = 84.89min.

Pero el tiempo de entrada a A es de 6 min, por lo tanto concentración total es igual:

Calculo del caudal: Aplicando la ecuación del método racional se tiene que:

Donde: C: coeficiente de escorrentía. I= Intensidad A= Área de la cuenca Pero del dato del problema se tiene que:

T= Periodo de retorno (10 años para dren urbano)

Ahora procedemos calcular el caudal:

Ahora diseñamos el canal colector, el canal será de forma rectangular y será revestido de concreto : Q= 0.71 m3/seg n=0.013

S= H /L 1 S= = 0.001 1000 2

Canal de máxima eficiencia:

Aplicando Manning:

b= 2.80 m

Caudales medios: Ley de Gauss A partir de una larga serie de caudales anuales medios, se han calculado los siguientes parámetros estadísticos: Media aritmética: m= 16,45 m3 /s Desviación típica: s = 5,10 m3/s Se pide: a) Calcular la probabilidad de que se supere un caudal de 30 m3/s. b) Calcular el caudal que se supere el 10% de los años Análogamente, con valores inferiores á la media: c) Calcular la probabilidad de que se supere un caudal de 10 m3/s. d) Calcular el caudal que no se alcance el 5% de años (a sea: que se supere el 95% de años)

Solución

Media aritmética: Desviación típica: Probabilidad de que se supere un caudal de (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Calculo de z para Q=30 ̅

Como:

Entonces de las tablas de distribución normal y interpolando se tiene que: (

)

(

)

0.9961

Luego: (

) (

)

Caudal que se supere el 10% de años Ahora bien calculamos el caudal (

Como:

)

̅

Análogamente, con valores inferiores á la media:

Calcular la probabilidad de que se supere un caudal de 10 m3/s. Un caudal de 1

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Calculo de z para Q=10 ̅

Como:

F (Z = - 1.176) = 1- 0.880 Luego: (

)

(

(

)

)

e) Calcular el caudal que no se alcance el 5% de años (a sea: que se supere el 95% de años) Ahora bien calculamos el caudal (

Como:

)

̅

A partir de una serie de 30 caudales máximos anuales se han calculado los siguientes parámetros estadísticos: Media aritmética Q= 34.7 m3/seg,

y desviación típica

= 7.41 m3/seg.

a) Calcular la probabilidad de que supere un caudal de 55 m3/seg b) Calcular el caudal con un periodo de retorno de 20 años (ósea: con una probabilidad de ser superado del 5%)

c) Calcular la probabilidad de que el caudal calculado en el punto b, se presenta en los próximo 10 años Solución

Calcular la probabilidad de que supere un caudal de 55 m3/seg De la ecuación siguiente se tiene:

F (Q = q) = P(Q £ q) = 1⃗ = 34.7 m3/seg

1 T

= 7.41 m3/seg

Calculamos los parámetros Yn y Sn para n = 30 Yn= 0.5362 y Sn= 1.1124 o Calculando a = Sx / Sn = 7.41/1.1124 = 6.66127 o Calculando u = ⃗ – Yn(a) = 34.7 –(0.5362)(6.66127) = 18.614 Calculando y =( ⃗ – u )/a = (34.7 - 18.614)/ 6.66127

y = 0.9136395912

De Gumbel tenemos que: - y

F ( y ) = 1- e- e

F ( y ) = 1- 0.6696 (

)

Calcular el caudal con un periodo de retorno de 20 años (ósea: con una probabilidad de ser superado del 5%) ⃗ = 34.7 m3/seg Para n = 30

= 7.41 m3/seg

se tiene que Yn= 0.5362 y Sn= 1.1124

1-

= 1/Tr

1-

=

Tr = 20 años 0.05

= 0.95 ln(

) = ln 0.95 = - 0.05129329439 (

) = ln 0.05129329439

y =2.970195249 y =( ⃗ – u )/a 1.05 ⃗ = y.a + u = 2.970195249 (6.66127) + 18.614 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

38.39927251

= 36.5707 m3/seg

Calcular la probabilidad de que el caudal calculado en el punto b, se presenta en los próximo 10 años = 36.5707 m3/seg Tengo que Y=2.97 1-

= 1/Tr = P (Q=q)

P(Q=q) = 0.05 Para 10 años se tiene que: P(Q=q)= 1/10 =0.1 = 0.90

y =( ⃗ – u )/a

⃗ = y.a + u = 2.25 (6.66127) + 18.614 = 33.6 m3/seg