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• Rafa Negrito

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EJERCICIOS DE AJUSTES Y TOLERANCIAS. 1. Encontrar la dimensión que debe tener una chaveta (figura E-10.1) que va a ajustar en un chavetero de un engranaje y en otro de un árbol, si los dos chaveteros son de 10 mm de ancho y de 5 mm de profundidad. Suponer que los chaveteros se hicieron con base en el sistema de agujero normal básico con una calidad IT7. Usar el ajuste H7/h6.

FIGURA 1. Ejercicio1 ANCHO – 10 mm TABLA 1. Tolerancias Fundamentales

Fuente: Prontuario de ajustes y tolerancia (Balboa – Jiménez) Tolerancias fundamentales H7= 15 𝜇𝑚 h6= 9 𝜇𝑚

TABLA 2. Desviaciones Fundamentales para agujeros.

Fuente: Prontuario de ajustes y tolerancia (Balboa – Jiménez)

Desviación inferior (H)=0 TABLA 3. Desviaciones Fundamentales para ejes.

Fuente: Prontuario de ajustes y tolerancia (Balboa – Jiménez)

Desviación inferior (h)=0 PROFUNDIDAD – 5 mm TABLA 4. Tolerancias Fundamentales

Fuente: Prontuario de ajustes y tolerancia (Balboa – Jiménez) Tolerancias fundamentales H7= 12 𝜇𝑚 h6= 8 𝜇𝑚

TABLA 5. Desviaciones Fundamentales para agujeros.

Fuente: Prontuario de ajustes y tolerancia (Balboa – Jiménez)

Desviación inferior (H)=0 TABLA 6. Desviaciones Fundamentales para ejes.

Fuente: Prontuario de ajustes y tolerancia (Balboa – Jiménez) Desviación inferior (h)=0

DIMENSIONES DE LA CHAVETA ANCHO CHAVETERO: +15 10 𝑚𝑚+0

CHAVETA: +0 10 𝑚𝑚−9

PROFUNDIDAD EJE +12 5 𝑚𝑚+0

AGUJERO +0 5 𝑚𝑚−8

RESPUESTA CHAVETA: 𝟏𝟎 𝒎𝒎+𝟎 −𝟗

2. Encontrar la dimensión de un alojamiento para un rodamiento radial de bolas de 100 mm de diámetro exterior. Se recomienda hacer el asiento con tolerancia H7, para este caso en que el alojamiento está fijo. Note que en este montaje el rodamiento es el eje del ajuste.

FIGURA 2. Ejercicio 2 De tabla de posiciones relativas de tolerancia para agujeros se puede observar que no va a haber interferencia en el caso de eje base y utilizando la tolerancia sugerida de H7.

FIGURA 3. Posiciones relativas de tolerancia para agujeros Fuente: Extraído de Jiménez.

FIGURA 4. Ajustes preferentes del sistema de eje base Fuente: Extraído de Jiménez.

En la gráfica a continuación se muestra que existirá un ajuste móvil y se indica posibles posiciones para el eje y flecha.

FIGURA 5. Descripción y aplicaciones de los ajustes preferentes Fuente: Extraído de Jiménez.

Se selecciona una calidad IT6 para el eje y la IT7 para el agujero obteniéndose tolerancias de 22 y 35 respectivamente, aunque la medida del eje no sea utilizada

FIGURA 6. Valor de tolerancias Fuente: Extraído de Jiménez. De la siguiente grafica se puede obtener la desviación inferior del agujero, su valor será de 0

FIGURA 7. Desviaciones fundamentales en milímetros Fuente: Extraído de Jiménez El valor de las tolerancias del agujero será el de la desviación inferior y el del valor de la calidad (35), por lo tanto el valor del agujero será:

3. Se desea hacer el montaje de un rodamiento (de acero) en un árbol de 40 mm de diámetro. El rodamiento es rígido de bolas con las siguientes dimensiones: D = 62 mm, d = 40 mm, B = 12 mm, D1 = 55.2 mm y d1 = 47 mm. Si el árbol se construye de acero y se escoge el ajuste H7/n6, determinar: (a) Dimensión del árbol. (b) Presión máxima y mínima en la zona de contacto. (c) Esfuerzos tangenciales máximos en el árbol (Lamé). (d) Enfriamiento mínimo ( Temp) que debe hacerse al árbol para efectuar el montaje sin requerir fuerza axial.

FIGURA 7. Ejercicio 3

El sistema es agujero base con un ajuste H7/n6 el cual es un ajuste de transición.

FIGURA 8. Tabla de calidades. Fuente: Extraído de Jiménez

FIGURA 9. Desviación inferior. Fuente: Extraído de Jiménez

DESVIACION INFERIOR DE 0mm

FIGURA 10. Desviación inferior. Fuente: Extraído de Jiménez

Desviación inferior de 0.017mm

a) Dimensión del árbol. Agujero 40+0.025 −0.000 Eje 40+0.033 −0.017 b) Cálculo de las presiones en la superficie de contacto:

𝑃𝑐 =

𝑃𝑐𝑚𝑎𝑥 =

𝐴𝑝𝑟 𝐸(𝑑𝑐 2 − 𝑑1 2 )(𝑑𝑜 2 − 𝑑𝑐 2 ) 2𝑑𝑐 3 (𝑑𝑜 2 − 𝑑𝑖 2 )

(0.033)(207𝐺𝑃𝑎)(402 − 02 )(472 − 402 ) 2(40)3 (472 − 02 )

𝑃𝑐𝑚𝑎𝑥 = 23,54 𝑀𝑝𝑎 𝑃𝑐𝑚𝑎𝑥 = 240.04 𝐾𝑔𝑓/𝑐𝑚2 Debido a que no se tiene un apriete mínimo en este caso (0.00-0.025) se toma un apriete mínimo de 0 para los cálculos.

𝑃𝑐𝑚𝑖𝑛

(0.00)(207𝐺𝑃𝑎)(402 − 02 )(622 − 402 ) = 2(40)3 (622 − 02 ) 𝑃𝑐𝑚𝑖𝑛 = 𝑜 𝑀𝑃𝑎

c) Esfuerzos tangenciales máximos en el árbol (Lamé).

𝑆𝑡𝑐𝑜 = −𝑃𝑐 (

𝑑𝑐 2 + 𝑑𝑖 2

402 + 02 ) = −23.54𝑀𝑝𝑎 ( ) = −23.54𝑀𝑝𝑎 402 − 02 𝑑𝑐 2 − 𝑑𝑖 2 = 240.04 𝐾𝑔𝑓/𝑐𝑚2

𝑆𝑡𝑖 =

−2𝑝𝑐 𝑑𝑐 2 𝑑𝑐 2 − 𝑑𝑖 2

=

−2(23.54 𝑀𝑃𝑎)(402 ) 𝐾𝑔𝑓 = 47.08 𝑀𝑃𝑎 = −480.08 2 2 (40 − 0 ) 𝑐𝑚2

d) Enfriamiento mínimo (∆Temp) que debe hacerse al árbol para efectuar el montaje sin requerir fuerza axial. 0.0000126

Con un 𝛼 𝑇 = (

°𝐶

)

∆𝑇𝑒𝑚𝑝 ≥

∆𝑇𝑒𝑚𝑝 ≥

𝐴𝑝𝑚𝑎𝑥 𝛼 𝑇 𝑑𝑐

0.033 0.0000126 ( ) (40) °𝐶

∆𝑇𝑒𝑚𝑝 ≥ 65.47 °𝐶

4. Se ha decidido construir un árbol escalonado ajustando un cilindro hueco de acero de 60 mm de diámetro exterior y 80 mm de longitud en un árbol del mismo material y de sección circular maciza de 50 mm de diámetro y 130 mm de longitud. El módulo de elasticidad, la relación de Poisson y el coeficiente de dilatación térmica lineal del material son 206.8 GPa, 0.28 y 0.0000126/°C, respectivamente. El coeficiente de fricción entre las superficies en contacto es de 0.20. Si el máximo esfuerzo tangencial (tracción o compresión) que debe aplicarse a las piezas de acero es de 60 MPa (Lamé), determine: (a) El aprieto máximo. (b) La fuerza axial máxima que se requiere para montar las piezas. (c) La fuerza axial máxima que se requiere para desmontar las piezas. (d) El par de torsión requerido para hacer girar el cilindro hueco sobre el árbol si el aprieto es el calculado en (a). (e) La temperatura a la cual debe calentarse el buje (elemento externo) para efectuar el montaje sin fuerza axial, si la temperatura ambiente es de 25 °C. Prevea una temperatura 30 °C por encima de la temperatura requerida, con el fin de que el enfriamiento del buje durante el montaje no reduzca el aprieto a un valor indeseable.

FIGURA 11. Ejercicio 4.

Datos: 𝑑𝑜 = 60𝑚𝑚 𝑑𝑐 = 50𝑚𝑚 𝐸 = 206.8 𝐺𝑃𝑎 𝑣 = 0.28 ∝𝑇 =

0.0000126 º𝐶

𝑓 = 0.2 𝑇𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 25°𝐶 𝑇𝑝𝑟𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑖𝑣𝑎 = 30°𝐶 𝑆𝑡𝑐𝑜 = 60𝑀𝑃𝑎 (a) El aprieto máximo. (𝑑𝑜2 + 𝑑𝑐2 ) (𝑑𝑜2 − 𝑑𝑐2 ) (602 + 502 ) 60 ∗ 106 = 𝑝𝑐 (602 − 502 ) 𝑃𝐶 = 10.82𝑀𝑃𝑎 𝑆𝑡𝑐𝑜 = 𝑝𝑐

𝑃𝐶 =

𝐴𝑝𝑟 𝐸(𝑑𝑐2 − 𝑑𝑖2 )(𝑑𝑐2 − 𝑑𝑖2 ) 2𝑑𝑐3 (𝑑𝑜2 − 𝑑𝑖2 )

𝐴𝑝𝑟𝑚𝑎𝑥 ∗ 206.8 ∗ 109 ∗ (502 − 02 )(602 − 502 ) 10.82 ∗ 10 = 2 ∗ 503 (602 − 02 ) 6

𝐴𝑝𝑟𝑚𝑎𝑥 = 0.0171𝑚𝑚 (b) y (c) La fuerza axial máxima que se requiere para montar las piezas. 𝐹𝑎 = 𝑓 ∗ 𝑃𝑐 ∗ 𝜋 ∗ 𝑑𝐶 ∗ 𝐿 𝐹𝑎 = 0.2 ∗ 10.82 ∗ 106 ∗ 𝜋 ∗ 0.05 ∗ 0.08 𝐹𝑎𝑚𝑎𝑥 = 27.194 𝐾𝑁 (d) El par de torsión requerido para hacer girar el cilindro hueco sobre el árbol si el aprieto es el calculado en (a). 𝑇 = 0.5 ∗ 𝑓 ∗ 𝑃𝑐 ∗ 𝜋 ∗ 𝑑𝑐2 ∗ 𝐿 𝑇 = 0.5 ∗ 0.2 ∗ 10.82 ∗ 106 ∗ 𝜋 ∗ 0.052 ∗ 0.08 𝑇 = 679.84 𝑁𝑚 (e) La temperatura a la cual debe calentarse el buje ∆𝑇 =

𝐴𝑝𝑟 ∝𝑇 ∗ 𝑑𝑐

∆𝑇 =

0.0171 0.0000126 ∗ 50

∆𝑇 = 27.15 ∆𝑇𝑇 = ∆𝑇 + 𝑇𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 + 𝑇𝑝𝑟𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑖𝑣𝑎 ∆𝑇𝑇 = 27.15 + 25 + 30 ∆𝑇𝑇 = 82.14°𝐶

5. Se desea montar una polea con ranuras en “V”, de acero SAE 1020 laminado en frío, sobre un árbol, de acero SAE 1050 laminado en frío, con el ajuste H7/k6. El coeficiente de fricción f entre las superficies en contacto es de 0.15. Algunas propiedades de los materiales son: Polea: E = 207 GPa, Sy = 393 MPa, αT = 1.26×10–5/°C. Árbol: E = 207 GPa, Sy = 579 MPa, α T = 1.26×10–5/°C. Determinar: (a) Las dimensiones de la polea y el árbol. (b) Presiones de contacto máxima y mínima. (c) El máximo esfuerzo tangencial en la superficie del árbol. (d) La fuerza axial máxima con la que se garantice que al aplicar ésta no se produzca desplazamiento axial. (e) La temperatura a la cual debe enfriarse el árbol si se quiere garantizar un montaje sin fuerza axial. Asuma que la temperatura ambiente es de 20 °C. (f) La fuerza axial máxima que se podría necesitar en el montaje si se decide calentar la polea 5 °C.

FIGURA 12. Ejercicio 5.

(a) LAS DIMENSIONES DE LA POLEA Y EL ÁRBOL.

FIGURA 12. Descripción y aplicaciones de los ajustes preferentes. Fuente: Extraído de Jiménez

Como el ejercicio trata sobre una polea fija entonces esta será tratada como un sistema de agujero único ya que los diámetros de las poleas ya vienen normalizados, por lo tanto, las calidades tanto para agujero como para eje son: H7/k6 Se escoge las tolerancias fundamentales de acuerdo a las calidades escogidas.

FIGURA 13. Tolerancias fundamentales. Fuente: Extraído de Jiménez

𝑇𝑙𝑎 = 21 𝑢𝑚 = 0.021 { 𝑇𝑙𝑒 = 13 𝑢𝑚 = 0.013 {

𝐶𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 7 𝐺𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 18 − 30

𝐶𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 6 𝐺𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 18 − 30

FIGURA 14. Desviaciones fundamentales ejes. Fuente: Extraído de Jiménez

∆𝑓𝑒 = +0.002 𝑚𝑚 {

𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑘 𝐺𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 18 − 30

FIGURA 15. Desviaciones fundamentales agujeros. Fuente: Extraído de Jiménez

𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝐻 ∆𝑓𝑎 = 0 𝑢𝑚 { 𝐺𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 24 − 30 𝐶𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 7 𝑇𝑙𝑎 = 21 𝑢𝑚 = 0.021 { 𝐺𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 18 − 30

𝐶𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 6 𝑇𝑙𝑒 = 13 𝑢𝑚 = 0.013 { 𝐺𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 18 − 30

𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝐻 ∆𝑓𝑎 = 0 𝑢𝑚 { 𝐺𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 24 − 30

𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑘 ∆𝑓𝑒 = +0.002 𝑚𝑚 { 𝐺𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 18 − 30

∅𝐴𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 = 30+0.000 +0.021 𝑚𝑚

∅𝑒𝑗𝑒 = 30+0.002 +0.015 𝑚𝑚

(b) PRESIONES DE CONTACTO MÁXIMA Y MÍNIMA. ∅𝐴𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 = 30+0.000 +0.021 𝑚𝑚

∅𝑒𝑗𝑒 = 30+0.002 +0.015 𝑚𝑚

𝐴𝑝𝑟𝑚𝑖𝑛 = 0.000 𝑚𝑚

𝐴𝑝𝑟𝑚á𝑥 = 0.015 𝑚𝑚

𝑑𝑐 = 30 𝑚𝑚

𝑑𝑖 = 0 𝑚𝑚

𝑑𝑜 = 95 𝑚𝑚

𝐸𝑜 = 𝐸𝑖 = 𝐸 = 207 𝐺𝑃𝑎

𝑣𝑜 = 𝑣𝑖 = 0.3

Presiones de contacto máxima 𝑃𝑐𝑚á𝑥 = 𝑃𝑐𝑚á𝑥

𝐴𝑝𝑟𝑚á𝑥 𝐸(𝑑𝑐2 − 𝑑𝑖2 )(𝑑𝑜2 − 𝑑𝑐2 ) 2 𝑑𝑐3 (𝑑𝑜2 − 𝑑𝑖2 )

(0.015 𝑚𝑚)(207𝐺𝑃𝑎)(302 − 02 )(952 − 302 )𝑚𝑚4 = 2 (303 ) (952 − 02 )𝑚𝑚5 𝑃𝑐𝑚á𝑥 = 46.59 𝑀𝑃𝑎

Presiones de contacto mínima 𝑃𝑐𝑚𝑖𝑛 = 𝑃𝑐𝑚𝑖𝑛 =

𝐴𝑝𝑟𝑚𝑖𝑛 𝐸(𝑑𝑐2 − 𝑑𝑖2 )(𝑑𝑜2 − 𝑑𝑐2 ) 2 𝑑𝑐3 (𝑑𝑜2 − 𝑑𝑖2 )

(0 𝑚𝑚)(207𝐺𝑃𝑎)(302 − 02 )(952 − 302 )𝑚𝑚4 2 (303 ) (952 − 02 )𝑚𝑚5 𝑃𝑐𝑚𝑖𝑛 = 0 𝑀𝑃𝑎

(c) EL MÁXIMO ESFUERZO TANGENCIAL EN LA SUPERFICIE DEL ÁRBOL. 𝑑𝑐 = 30 𝑚𝑚

𝑑𝑖 = 0 𝑚𝑚

𝑑𝑜 = 95 𝑚𝑚

Por la fórmula de LAME se tiene: 𝑆𝑡𝑐𝑖𝑚á𝑥 = −𝑝𝑐𝑚á𝑥 ( 𝑆𝑡𝑐𝑖𝑚á𝑥 = −46.59 𝑀𝑃𝑎 (

𝑑𝑐 2 + 𝑑𝑖 2 ) 𝑑𝑐 2 − 𝑑𝑖 2

302 + 0 ) 302 − 0

𝑆𝑡𝑐𝑖𝑚á𝑥 = −46.59 𝑀𝑃𝑎

Por la fórmula de BIRNIE se tiene: 𝐸𝑜 = 𝐸𝑖 = 𝐸 = 207 𝐺𝑃𝑎

𝑣𝑜 = 𝑣𝑖 = 0.3

𝑑𝑐 2 + 𝑑𝑖 2 𝑆𝑡𝑐𝑖𝑚á𝑥 = −𝑝𝑐𝑚á𝑥 ( 2 − 𝑉1 ) 𝑑𝑐 − 𝑑𝑖 2 802 + 0 𝑆𝑡𝑐𝑖𝑚á𝑥 = −46.59 𝑀𝑃𝑎 ( 2 − 0.3) 80 − 0 𝑆𝑡𝑐𝑖𝑚á𝑥 = −32.613 𝑀𝑃𝑎 (d) LA FUERZA AXIAL MÁXIMA CON LA QUE SE GARANTICE QUE AL APLICAR ÉSTA NO SE PRODUZCA DESPLAZAMIENTO AXIAL. 𝑓 = 0.15 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑓 = 0 𝑑𝑐 = 30 𝑚𝑚

𝑃𝑐𝑚á𝑥 = 46.59 𝑀𝑃𝑎

𝐿 = 45 𝑚𝑚 𝐹𝑎 = 𝑓 ∗ 𝜋 ∗ 𝑑𝑐 ∗ 𝐿 ∗ 𝑃𝑐𝑚á𝑥 𝐹𝑎 = 0 ∗ 𝜋 ∗ 30𝑚𝑚 ∗ 45𝑚𝑚 ∗ 46.59 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑎 = 0

(e) LA TEMPERATURA A LA CUAL DEBE ENFRIARSE EL ÁRBOL SI SE QUIERE GARANTIZAR UN MONTAJE SIN FUERZA AXIAL. ASUMA QUE LA TEMPERATURA AMBIENTE ES DE 20 °C. 𝑑𝑐 = 30 𝑚𝑚 𝛼 𝑇 = 1.26𝑥10−5 /℃

𝑇𝑎𝑚𝑏 = 20 ℃ 𝐴𝑝𝑟𝑚á𝑥 = 0.015 𝑚𝑚 ∆𝑇𝑒𝑚𝑝 ≥ ∆𝑇𝑒𝑚𝑝 ≥

𝐴𝑝𝑟𝑚á𝑥 𝛼 𝑇 ∗ 𝑑𝑐

0.015 𝑚𝑚 1.26𝑥10−5 /°𝐶 ∗ 30𝑚𝑚

∆𝑇𝑒𝑚𝑝 ≥ 39.68 ℃

𝑇𝑒𝑗𝑒 = 𝑇𝑎𝑚𝑏 − ∆𝑇𝑒𝑚𝑝 𝑇𝑒𝑗𝑒 = 20 − 39.68 𝑇𝑒𝑗𝑒 = −19.68

(f) LA FUERZA AXIAL MÁXIMA QUE SE PODRÍA NECESITAR EN EL MONTAJE SI SE DECIDE CALENTAR LA POLEA 5 °C.

𝑑𝑐 = 30 𝑚𝑚 = 0.03 𝑚 𝑃𝑐𝑚á𝑥 = 46.59 𝑀𝑃𝑎

𝑓 = 0.15

𝐿 = 45 𝑚𝑚 = 0.045 𝑚

∆𝑇𝑒𝑚𝑝 𝑃𝑜𝑙𝑒𝑎 = 5°𝐶

𝐹𝑎 = 𝑓 ∗ 𝜋 ∗ 𝑑𝑐 ∗ 𝐿 ∗ 𝑃𝑐𝑚á𝑥 𝐹𝑎 = 0.15 ∗ 𝜋 ∗ 0.030𝑚 ∗ 0.045𝑚 ∗ 46.59 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑎 = 29.639 𝐾𝑁