Ejemplo y Ejercicio ejemplo metodo del disparo
Ejemplo de método de disparo lineal Se puede utilizar la conservación del calor para desarrollar un balance de calor par
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Ejemplo de método de disparo lineal Se puede utilizar la conservación del calor para desarrollar un balance de calor para una barra larga y delgada. Si la barra no está aislada en toda su longitud y el sistema se encuentra en estado estacionario, la ecuación resultante es (
)
Donde h’ es un coeficiente de transferencia de calor ( ) que parametriza la velocidad con que se disipa el calor en el medio ambiente, y es la temperatura del medio ambiente (°C).
Ejemplo Utilizar el método de disparo lineal para resolver la anterior ecuación, con una barra de 10 metros, con los siguientes datos y las condiciones de frontera:
( ) (
)
Usando el procedimiento para transformar la ecuación diferencial de segundo orden como dos EDO de primer orden, tenemos:
Derivando z con respecto a x,
Reemplazando en la ecuación original, (
)
(
)
Ahora contamos con el siguiente sistema de ecuaciones:
{ (
)
Según lo explicado con anterioridad, para resolver por medio del método de disparo lineal se propone un valor inicial (primer disparo), en nuestro caso va a ser: ( ) Por lo tanto el anterior sistema de ecuaciones queda con los siguientes valores iniciales: { Por medio del método de Runge-Kutta de cuarto orden, con un tamaño de paso de 2 e integrando las dos ecuaciones de forma simultánea, se tiene:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
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( (
(
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) )
(
)
]
Como se puede observar, el valor de T(10)=168.379608 se encuentra por debajo del valor esperado de T(10)=200. Por lo tanto se debe realizar otra suposición, por ejemplo vamos a tomar z(0)=20. Por medio del mismo procedimiento hecho para la primera suposición (Runge-Kutta de cuarto orden), se obtiene el valor para T(10) con la segunda suposición (segundo disparo). Los valores obtenidos quedan de la siguiente manera: ( ) ( )
( (
) )
Como la EDO original es lineal, los valores anteriores están relacionados linealmente. Así, de este modo, se emplea una fórmula de interpolación lineal para obtener el valor correcto de z(0). ( )
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
Este último valor se usa para resolver la ecuación inicial para cualquier valor deseado por medio de alguno de los métodos para la solución de EDO.
Ejercicio Tomando los mismos datos y condiciones de frontera, resuelva el ejemplo explicado con anterioridad, pero tomando dos disparos distintos y resolviendo estos por medio del método de Euler.