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• juanvillalobos2022

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Ejemplo OSCAR Se tiene agua que fluye en un canal excavado en la tierra donde crece maleza, de sección transversal trapezoidal, con un ancho de fondo de 0,8 m, un ángulo del trapezoide de 60º, y una pendiente de fondo de 0,3° de ángulo como se muestra en la figura. Si la profundidad del flujo se mide en 0,52 m, determine la razón del flujo del agua en el canal. ¿Cuál sería la respuesta si el ángulo del fondo fuera 1º?

Solución: 1. Hipótesis de trabajo -

El flujo es estacionario y uniforme. La pendiente del fondo es constante. La rugosidad de la superficie mojada del canal y por tanto el coeficiente de fricción son constantes.

2. Propiedades El coeficiente de Manning para un canal abierto con una superficie cubierta de raíces de maleza es 0.030. 3. Análisis El área de la sección transversal del canal 𝐴𝑐 = 𝑦 (𝑏 +

𝑦 ) 𝑡𝑔𝜃

𝐴𝑐 = 0.52 ∗ (0.8 +

0.52 ) 𝑡𝑔60°

𝐴𝑐 = 0.5721 𝑚2 El perímetro mojado del canal: 𝑝=𝑏+ 𝑝 = 0.8 +

2𝑦 𝑆𝑒𝑛 𝜃 2 ∗ 0.52 𝑆𝑒𝑛 60°

𝑝 = 2.001 𝑚

El radio hidráulico del canal: 𝑅ℎ = 𝑅ℎ =

𝐴𝑐 𝑝

0.5721 2.001

𝑅ℎ = 0.2859 𝑚

La pendiente del fondo del canal: 𝑆0 = 𝑡𝑔 𝛼 𝑆0 = 𝑡𝑔 0.3° 𝑆0 = 0.2859 𝑚 La razón de flujo en el canal: 1

𝑚 2 1 1 𝑠3 𝑉̇ = ∗ 𝐴𝑐 ∗ 𝑅ℎ3 ∗ 𝑆02 𝑛 1

𝑚 1 3 2 1 ̇𝑉 = 𝑠 ∗ (0.5721) ∗ (0.2859)3 ∗ (0.2859)2 0.030 𝑽̇ = 𝟎. 𝟔𝟎 𝒎𝟑 ⁄𝒔 Si el ángulo del fondo fuera 1°: La pendiente del fondo del canal: 𝑆0 = 𝑡𝑔 𝛼 𝑆0 = 𝑡𝑔 1° 𝑆0 = 0.01746 𝑚 La razón de flujo en el canal: 1

𝑚 2 1 1 𝑠3 3 ̇𝑉 = ∗ 𝐴𝑐 ∗ 𝑅ℎ ∗ 𝑆02 𝑛 1

𝑚 1 3 2 1 𝑉̇ = 𝑠 ∗ (0.5721) ∗ (0.2859)3 ∗ (0.01746)2 0.030 𝑽̇ = 𝟏. 𝟏 𝒎𝟑 ⁄𝒔

Ejemplo ALDEHIR Se transporta agua en un canal rectangular de concreto inacabado con un ancho de fondo de 4 ft y un flujo volumétrico de 51 ft3/s. El terreno es tal que el fondo del canal tiene una caída en su elevación de 2 ft por cada 1 000 ft de largo. Determine la altura mínima del canal en condiciones de flujo uniforme. ¿Cuál sería la respuesta si el fondo tuviera una caída de sólo 1 ft por cada 1 000 ft?

Solución 1. Hipótesis -

El flujo es estacionario y uniforme. La pendiente del fondo es constante. La rugosidad de la superficie de las paredes del canal y por tanto el coeficiente de fricción son constantes.

2. Propiedades El coeficiente de Manning para un canal abierto con superficies de concreto inacabado es n=0.014 3. Análisis El área de la sección transversal del canal 𝐴𝑐 = 𝑏𝑦 𝐴𝑐 = 4𝑦 El perímetro mojado del canal: 𝑝 = 𝑏 + 2𝑦 𝑝 = 4 + 2𝑦

El radio hidráulico del canal: 𝑅ℎ = 𝑅ℎ =

𝐴𝑐 𝑝

4𝑦 4 + 2𝑦

La pendiente del fondo del canal: 𝑆0 = 2/1000 𝑆0 = 0.002° La razón de flujo en el canal: 1

𝑚 2 1 1 3 ̇𝑉 = 𝑠 ∗ 𝐴𝑐 ∗ 𝑅 3 ∗ 𝑆 2 0 ℎ 𝑛 1

2 𝑚 1 𝑠3 1 4𝑦 3 51 = ∗ (4𝑦) ∗ ( ) ∗ (0.002)2 0.014 4 + 2𝑦

𝒚 = 𝟐. 𝟓 𝒇𝒕 Si el fondo tuviera una caída de 1ft por cada 1000 ft: La pendiente del fondo del canal: 𝑆0 = 1/1000 𝑆0 = 0.001° La razón de flujo en el canal: 1

𝑚 2 1 1 𝑠3 𝑉̇ = ∗ 𝐴𝑐 ∗ 𝑅ℎ3 ∗ 𝑆02 𝑛 1

2 𝑚 1 𝑠3 1 4𝑦 3 51 = ∗ (4𝑦) ∗ ( ) ∗ (0.001)2 0.014 4 + 2𝑦

𝒚 = 𝟑. 𝟑 𝒇𝒕

Ejemplo JUAN Fluye agua en un canal cuya pendiente de fondo es 0.003. Su sección transversal se muestra en la figura. Las dimensiones y los coeficientes de Manning para las superficies de diferentes subsecciones se muestran en la figura. Determine la razón de flujo en el canal y el coeficiente de Manning eficiente para el canal.

Solución: 1. Hipótesis -

El flujo es estacionario y uniforme. La pendiente del fondo es constante. La rugosidad de la superficie de las paredes del canal y por tanto el coeficiente de fricción son constantes.

2. Análisis a) Razón del flujo del canal  Radio hidráulico en las subsecciones: Subsección 1: 𝐴𝑐1 = 21 𝑚2

𝑝1 = 10.486 𝑚

𝑅ℎ1 =

𝐴𝑐1 𝑝1

21

= 10.486 = 2.00 𝑚

Subsección 2: 𝐴𝑐1 = 16 𝑚2

𝑝1 = 10 𝑚

𝑅ℎ2 =

𝐴𝑐2 𝑝2

=

16 10

= 1.60 𝑚

 Razón total de flujo en el canal: 𝑉̇ = 𝑉1̇ + 𝑉̇2 1

1

𝑚 𝑚 2 1 2 1 1 3 1 3 𝑠 𝑠 3 2 3 ̇𝑉 = ∗ 𝐴𝑐1 ∗ 𝑅ℎ1 ∗ 𝑆0 + ∗ 𝐴𝑐2 ∗ 𝑅ℎ2 ∗ 𝑆02 𝑛1 𝑛2

1

1

𝑚 𝑚 1 3 1 𝑠3 2 1 2 1 ̇𝑉 = 𝑠 ∗ (21) ∗ (2)3 ∗ (0.003)2 + ∗ (16) ∗ (1.60)3 ∗ (0.003)2 0.030 0.050 𝑽̇ = 𝟖𝟒. 𝟖 𝒎𝟑 ⁄𝒔 b) Coeficiente de Manning eficiente para el canal  Cálculo del radio hidráulico 𝐴𝑐 = 37 𝑚2

𝑝1 = 20.486 𝑚

𝑅ℎ =

𝐴𝑐 𝑝

37

= 20.486 = 1.806 𝑚

 Cálculo del coeficiente eficiente de Manning 1

𝑛𝑒𝑓𝑓

𝑚 2 1 1 𝑠3 3 = ∗ 𝐴𝑐 ∗ 𝑅ℎ ∗ 𝑆02 𝑉̇ 1

𝑛𝑒𝑓𝑓

𝑚 1 𝑠3 2 1 = ∗ (37) ∗ (1.806)3 ∗ (0.003)2 84.4 𝒏𝒆𝒇𝒇 = 𝟎. 𝟎𝟑𝟓

Ejemplo CESAR Se transporta agua a razón de 2 m3/s mediante un flujo uniforme en un canal abierto cuyas superficies están revestidas con asfalto. La pendiente del flujo es 0.001. Determine las dimensiones de la mejor sección transversal si la forma del canal es a) rectangular y b) trapezoidal.

Solución: 1. Hipótesis -

El flujo es estacionario y uniforme. La pendiente del fondo es constante. La rugosidad de la superficie de las paredes del canal y por tanto el coeficiente de fricción son constantes.

2. Propiedades El coeficiente de Manning para un canal abierto con superficies con revestimiento de asfalto es n=0.016 3. Análisis A) Para la sección rectangular  Cálculo del radio hidráulico 𝐴𝑐 = 𝑏𝑦 =

𝑏2 2

𝑝 = 𝑏 + 2𝑦 = 2𝑏 𝑅ℎ =

𝐴𝑐 𝑏 = 𝑝 4

 Cálculo de las dimensiones del canal 1

𝑚 2 1 1 𝑠3 𝑉̇ = ∗ 𝐴𝑐 ∗ 𝑅ℎ3 ∗ 𝑆02 𝑛 1

2 𝑚 1 1 𝑠3 𝑏 3 𝑉̇ = ∗ 𝐴𝑐 ∗ ( ) ∗ 𝑆02 𝑛 4

𝑏=

3 8

2 2𝑛𝑉̇ 43

=

1 𝑚3

2 ∗ 0.016 ∗ 2 ∗

2 43

3 8

1

𝑚3 ( 1 𝑠 √0.001 )

(1 𝑠 √𝑆0 )

𝒃 = 𝟏. 𝟖𝟒 𝒎 𝑦=

𝑏 1.84 = 2 2

𝒚 = 𝟎. 𝟗𝟐 𝒎

B) Para la sección transversal  Cálculo del radio hidráulico 𝐴𝑐 = 𝑦(𝑏 + 𝑏 ∗ 𝐶𝑜𝑠 𝜃) = 𝑏 𝐴𝑐 = 𝑏 2

√3 √3 (𝑏 + 𝑏 ∗ 𝐶𝑜𝑠 𝜃) = 𝑏 2 (1 + 𝐶𝑜𝑠 𝜃) 2 2

√3 (1 + 𝐶𝑜𝑠 60°) = 0.75√3𝑏2 2 𝑝 = 3𝑏 𝑅ℎ =

𝐴𝑐 𝑦 √3 = = 𝑏 𝑝 2 4

 Cálculo de las dimensiones del canal 1

𝑚 2 1 1 𝑠3 𝑉̇ = ∗ 𝐴𝑐 ∗ 𝑅ℎ3 ∗ 𝑆02 𝑛 1

2 𝑚 1 1 𝑠3 √3 3 𝑉̇ = ∗ 𝐴𝑐 ∗ ( 𝑏) ∗ 𝑆02 𝑛 4

3 8

0.016 ∗ 2

𝑏=

2

1

3 3 𝑚 0.75√3 ∗ (√4) ∗ 1 𝑠 3 √0.001 ( ) 𝒃 = 𝟏. 𝟏𝟐 𝒎

𝒚=𝑏

√3 √3 = 1.12 ∗ 2 2

𝒚 = 𝟎. 𝟗𝟕𝟑 𝒎 𝜽 = 𝟔𝟎°

Ejemplo DIEGO Fluye agua de manera uniforme en un canal rectangular abierto con superficies inacabadas de concreto. El canal mide 6 m de ancho. La profundidad del flujo es 2 m y la pendiente del fondo es de 0.004. Determine si la pendiente del canal debe clasificarse como suave, crítica o pronunciada para este flujo.

Solución: 1. Hipótesis -

El flujo es estacionario y uniforme. La pendiente del fondo es constante. La rugosidad de la superficie mojada del canal y por lo tanto e coeficiente de fricción son constantes.

2. Propiedades El coeficiente de Manning para un canal abierto con superficie de concreto inacabado es n=0.0014 3. Análisis  Cálculo de radio hidráulico 𝐴𝑐 = 𝑦𝑏 = 2 ∗ 6 = 12 𝑚2 𝑝 = 𝑏 + 2𝑦 = 6 + 2 ∗ 2 = 10 𝑚 𝑅ℎ =

𝐴𝑐 12 = = 1.2 𝑚 𝑝 10

 Cálculo de la razón de flujo 1

𝑚 2 1 1 𝑠3 𝑉̇ = ∗ 𝐴𝑐 ∗ 𝑅ℎ3 ∗ 𝑆02 𝑛

1

𝑚 1 3 2 1 ̇𝑉 = 𝑠 ∗ (12) ∗ (1.2)3 ∗ (0.004)2 0.014 𝑽̇ = 𝟔𝟏. 𝟐 𝒎𝟑 ⁄𝒔 Se observa que el flujo es uniforme, la razón del flujo correspondiente a la profundidad normal y por lo tanto: 𝑦 = 𝑦𝑛 = 2 𝑚 La profundidad critica para este flujo es: (61.2)2 𝑉̇ 2 𝑦𝑐 = = = 2.2 𝑚 𝑔𝐴2𝑐 9.81 ∗ (12)2 La pendiente del canal, con estas condiciones se clasifica como pronunciada, porque se cumple la siguiente relación 𝒚𝒏 < 𝒚𝒄 Además, el flujo es supercrítico.