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• Luis Navarrete Yoza

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EJEMPLO DE CURVAS HORIZONTALES PARA UNA CURVA CIRCULAR SIMPLE A LA IZQUIERDA COMO LA MOSTRADA EN LA FIGURA, SE CONOCEN LOS SIGUIENTES ELEMENTOS. Rumbo de la tangente de entrada = 𝑁72°30′𝐸 Angulo de deflexión principal= ∆= 60°30′ Abscisa del 𝑃𝐼 = 𝐾2 + 226 Coordenadas de 𝑃𝐼 = 10000𝑁, 5000𝐸 Cuerda unidad = 𝑐 = 20𝑚 Grado de curvatura= 𝐺𝑐 = 6°

CALCULAR a) Sus elementos geométricos: radio, tangente, longitud de curva, cuerda larga, externa y ordenada media. b) Las abscisas del PC Y PT c) Las coordenadas del PC Y PT d) Las deflexiones SOLUCIÓN a) Elementos geométricos  Radio: R 𝑅=

𝑐

𝐺𝑐 2𝑠𝑒𝑛 2 20 𝑅= 6° 2𝑠𝑒𝑛 2



𝑅 = 191.073𝑚 Tangente: T 𝑇 = 𝑅𝑡𝑎𝑛

∆ 2

𝑇 = 191.073 (𝑡𝑎𝑛

60°30′ ) 2

𝑇 = 111.430𝑚 

Longitud de curva: Lc 𝑐∆ 𝐺𝑐 20(60°30′) 𝐿𝑐 = 6° 𝐿𝑐 = 201.667𝑚 𝐿𝑐 =



Cuerda larga: CL 𝐶𝐿 = 2𝑅𝑠𝑒𝑛

∆ 2

𝐶𝐿 = 2(191.073)𝑠𝑒𝑛

60°30′ 2

𝐶𝐿 = 192.515𝑚 

Externa: E 𝐸 = 𝑅(

1 ∆ 𝑐𝑜𝑠 2

− 1)

𝐸 = 1911.073 (



1 − 1) 60°30′ 𝑐𝑜𝑠 2

𝐸 = 30.118𝑚 Ordenada media: M ∆ 𝑀 = 𝑅 (1 − 𝑐𝑜𝑠 ) 2 𝑀 = 191.073 (1 − 𝑐𝑜𝑠

60°30′ ) 2

𝑀 = 26.017𝑚 b) Abscisas del PC y PT 𝐴𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎 𝑃𝐶 = 𝐴𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎 𝑃𝐼 − 𝑇 = 𝐾2 + 226 − 111.430 = 𝐾2 + 114.570 𝐴𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎 𝑃𝑇 = 𝐴𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎 𝑃𝐶 + 𝐿𝑐 = 𝐾2 + 114.570 + 201.667 = 𝐾2 + 316.237 c) Coordenadas del PC y PT Coordenadas del: PC 𝑁𝑜𝑟𝑡𝑒 = 10000 − 𝑇𝑐𝑜𝑠72°30′ = 10000 − 111.430(𝑐𝑜𝑠72°30′) = 9966.492

𝐸𝑠𝑡𝑒 = 5000 − 𝑇𝑠𝑒𝑛72°30′ = 5000 − 111.430(𝑠𝑒𝑛72°30′) = 4893.727 Coordenadas del: PT Se debe conocer el rumbo de la tangente de salida, para lo cual en el PI, se tiene: 𝑎 + ∆= 72°30′ 𝑎 = 72°30′ − ∆ 𝑎 = 72°30′ − 60°30` 𝑎 = 12° Esto es, 𝑁12°𝐸, por lo tanto las coordenadas del PT son: 𝑁𝑜𝑟𝑡𝑒 = 10000 + 𝑇𝑐𝑜𝑠𝑎 = 10000 − 111.430(𝑐𝑜𝑠12°) = 10108.995 𝐸𝑠𝑡𝑒 = 5000 + 𝑇𝑠𝑒𝑛𝑎 = 5000 + 111.430(𝑠𝑒𝑛12°) = 5023.168 d) Deflexión Deflexión por metro: La deflexión expresada en grados, minutos y segundos, por metro es: 𝑑°20 =

𝐺𝑐 6° = = 0°09′ 0′′ /𝑚 40𝑚 40𝑚

𝑑°20 = 0°09′ 0′′ /𝑚 Deflexión por cuerda unidad: 𝐺𝑐 6° = = 3°0′ 0′′ /𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 2 2 Deflexión por subcuerda adyacente al: PC 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 = 120 − 114.570 = 5.430𝑚 𝐷𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 = 5.430𝑚(0°9′ 0′′ /𝑚) = 0°48′ 52.20′′ Deflexión por subcuerda adyacente al: PT 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 = 316.237 − 300 = 16.237𝑚 𝐷𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 = 16.237𝑚(0°9′ 0′′ /𝑚) = 2°26′ 7.98′′ Chequeo deflexión al: PT 𝐷𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑙 𝑃𝑇 = 𝐷𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛(𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎𝑠 + 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠) 𝐷𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑙 𝑃𝑇 = 9 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠(3°0′ 0′′ /𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠) + 0°48′ 52.20′′ + 2°26′ 7.98′′ ′′

𝐷𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑙 𝑃𝑇 = 30°15′0.18 ≈

∆ = 30°15′ 2

De esta manera, se elabora la carretera de tránsito para la localización de la curva, tal como se indica en la siguiente tabla: Cartera de tránsito o localización de una curva circular simple izquierda ESTACIÓN ABSCISA DEFLEXIÓN ELEMENTOS RUMBO ANOTACIONES PT K2+316,237 30°15'00,18'' ʘ PT 𝑁12°𝐸 300 27°48'52,20'' ∆= 60°30 280 24°48'52,20'' 𝑐 = 20𝑚 260 21°48'52,20'' 𝐺𝑐 = 6° 240 18°48'52,20'' 𝑅 = 191.073𝑚 220 15°48'52,20'' 𝑇 = 111.430𝑚 200 12°48'52,20'' 𝐿𝑐 = 201.667𝑚 180 9°48'52,20'' 𝐶𝐿 = 192.515𝑚 160 6°48'52,20'' 𝐸 = 30.118𝑚 140 3°48'52,20'' 𝑀 = 26.017𝑚 120 0°48'52,20'' PC K2+114,570 0°00'00,00'' ʘ PC 𝑁72°30′𝐸

EJEMPLO DE CURVAS VERTICALES PARA EL CÁLCULO DE UNA CURVA VERTICAL SIMÉTRICA SE DISPONE DE LA SIGUIENTE INFORMACIÓN: Abscisa del PIV = 𝐾5 + 940 Cota del PIV = 500𝑚 Pendiente de la tangente de entrada = +1% Pendiente de la tangente de salida = +6% Longitud de la curva vertical = 160𝑚

CALCULAR: La curva vertical en abscisas de 20m SOLUCIÓN De acuerdo con la Figura, se tiene: 𝐴𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎 𝑃𝐶𝑉 = 𝐴𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎 𝑃𝐼𝑉 −

𝐿𝑣 = 𝐾5 + 940 − 80 = 𝐾5 + 860 2

𝐴𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎 𝑃𝑇𝑉 = 𝐴𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎 𝑃𝐼𝑉 −

𝐿𝑣 = 𝐾5 + 940 + 80 = 𝐾6 + 020 2

𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑃𝐶𝑉 = 𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑃𝐼𝑉 − 𝑚 (

𝐿𝑣 ) = 500 − 0.01(80) = 499.200𝑚 2

𝐿𝑣 𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑃𝑇𝑉 = 𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑃𝐼𝑉 − 𝑛 ( ) = 500 + 0.06(80) = 504.800𝑚 2 Cotas de las tangentes en puntos intermedios: 𝐶𝑜𝑡𝑎 1 = 𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑃𝐶𝑉 + 𝑚(20) = 499.200 + 0.01(20) = 499.400𝑚 𝐶𝑜𝑡𝑎 2 = 𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑃𝐶𝑉 + 𝑚(40) = 499.200 + 0.01(20) = 499.600𝑚 𝐶𝑜𝑡𝑎 3 = 𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑃𝐶𝑉 + 𝑚(60) = 499.200 + 0.01(20) = 499.800𝑚 𝐶𝑜𝑡𝑎 4 = 𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑃𝐼𝑉 + 𝑛(20) = 500 + 0.06(20) = 501.200𝑚 𝐶𝑜𝑡𝑎 5 = 𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑃𝐼𝑉 + 𝑛(20) = 500 + 0.06(20) = 502.400𝑚 𝐶𝑜𝑡𝑎 6 = 𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑃𝐼𝑉 + 𝑛(20) = 500 + 0.06(20) = 503.600𝑚 Correcciones de pendientes en puntos intermedios: 𝑙 = 𝑚 − 𝑛 = +1% − (+6%) = −5% = −0.05 𝑦=(

𝑖 ) 𝑥2 2𝐿𝑣

𝑦=

0.05 2 𝑥 2(160)

𝑦 = 1.5625(10)−4 𝑥 2 Por lo tanto, las correcciones de pendiente y para los diversos puntos son: Punto 1: 𝐾5 + 880, 𝑥1 = 20𝑚, 𝑦1 = 1.5625(10)−4 (20)2 = 0.063𝑚 Punto 2: 𝐾5 + 900, 𝑥2 = 40𝑚, 𝑦2 = 1.5625(10)−4 (40)2 = 0.250𝑚 Punto 3: 𝐾5 + 920, 𝑥3 = 60𝑚, 𝑦3 = 1.5625(10)−4 (60)2 = 0.563𝑚 PIV: 𝐾5 + 940, 𝑥4 = 80𝑚, 𝑦4 = 1.5625(10)−4 (80)2 = 1.000𝑚 De la misma manera, la corrección de pendiente al PIV es igual al valor de la externa Ev: 𝐸𝑣 =

𝐿𝑣𝑖 160(0.05) = 8 8

𝐸𝑣 = 1.000𝑚 Para obtener las cotas rojas, se deben sumar a las cotas en la tangente, las correcciones de pendiente, ya que se trata de una curva vertical cóncava. Queda así calculada la curva vertical con la información necesaria, tal como se aprecia en la tabla: Cartera de diseño de rasante, curva vertical cóncava PUNTOS ABSCISAS PENDIENTES COTAS EN LA CORRECCION COTAS TANGENTE DE PENDIENTE ROJAS ʘ PCV K5+860 499,200 0,000 499,200 1 880 499,400 +0,063 499,337 +1% 2 900 499,600 +0,250 499,350 3 920 499,800 +0,563 499,237 PIV K5+940 500,000 +1,000 499,000 4 960 501,200 +0,563 500,637 +6% 5 980 502,400 +0,250 502,150 6 K6+000 503,600 +0,063 503,537 PTV K6+020 ʘ 504,800 0,000 504,800