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ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA  SARANGO VELIZ ANDY JUAN  PAJUELO VILLANUEVA MIGUEL ANGEL  GONZALES OCHOA ANGELA  ROJAS ROJAS IVAN EDUARDO  GIRALDO BUSTAMANTE DANIEL

UNIFIEE

UNI

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

INTRODUCCIÓN Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación de la forma: an ( x )

dn y d n−1 y dy ( ) +a x +…+ a1 ( x ) +a0 ( x ) y =f ( x ) … ( 1 ) n−1 n n−1 dx dx dx

Lo cual equivale a:

[

n

an ( x )

]

n−1

d d d + an−1 ( x ) n−1 +…+ a1 ( x ) +a0 ( x ) y=f ( x ) … (2 ) n dx dx dx

O si se desea:

[ a n ( x ) D n+ an−1 ( x ) Dn−1+ …+a1 ( x ) D+a 0 ( x ) ] y=f ( x ) … ( 3 ) Donde

a0 ( x ) , a 1 ( x ) , … , a n ( x )

y

f (x)

son funciones continuas

sobre un intervalo I. A

la

an ( x ) ≠ 0

expresión

n

L=a n ( x ) D + an−1 ( x ) D

n−1

+ …+a1 ( x ) D+a 0 ( x )

,

con

, se le llama operador diferencial lineal de

orden n sobre el intervalo Entonces la expresión (3) puede ponerse como: Ly=f ( x ) … ( 4 )

Que L sea un operador diferencial lineal de orden n significa que cumple con la siguiente propiedad: L ( c 1 y 1 +c 2 y 2 ) =c 1 L y 1+ c 2 L y 2

MATEMÁTICA II

Página 1

UNI

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

La ecuación (1) o cualquiera de sus equivalentes (2), (3), o (4) se dice que es homogénea si f es idénticamente nula sobre I. Es decir, su forma será: Ly=0

En caso contrario, se dice que (1) es no homogénea. Una

y= y ( x )

función

es

una

solución

de (1)

o

cualquiera de sus equivalentes (2), (3), o (4), si y solo si

y (x )

es n veces diferenciable y continua sobre I y

además satisface dicha ecuación en I. TEOREMA La solución general de la ecuación diferencial lineal no Ly=f ( x )

homogénea

, puede encontrarse al sumar

todas las soluciones de la ecuación homogénea asociada:

Ly=f ( x ) .

Es decir, el procedimiento para encontrar la solución Ly=f ( x )

general de

, es:

1.Encontrar la solución de la ecuación homogénea asociada Ly=0 , sea y H ( o y c ) la solución. 2.Encontrar una solución particular de la ecuación Ly=f ( x )

, sea

yp

la solución.

3.La solución general de y= y H + y p

EJEMPLO MATEMÁTICA II

Página 2

Ly=f ( x )

esta dada por:

UNI

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 2

y=c1 +c 2 ln x+ x +

Comprobar que

de

es la solución general

x y n + y , =x +1

de la ecuación: solución

x 4

la

ecuación

donde

y H =c 1+ c 2 ln x

homogénea

es

asociada:

2

x y n + y , =0, y

y p=x +

x 4

es una solución particular de la

ecuación dada. SOLUCIÓN Probaremos

y H =c 1+ c 2 ln x

que

es

solución

de

x y n + y , =0 … ( 1 )

De

y H =c 1+ c 2 ln x → y ,H =

En (1):

−c 2 x2

−x c2 c 2 −c 2 c 2 + = + =0, x x x x2

con lo cual se pruebe que es

una solución de (1). Probaremos que De En

y p=x +

y p=x +

x2 4

es solución de

,,

,

x y + y =x +1 …(2)

x2 x 1 → y ,p=1+ → y ,, = 4 2 2

(2):

x

( 12 )+(1+ 2x )= 2x + 2x +1=x +1,

con

lo

cual

queda

probada. Luego hemos probado que la solución general de la ecuación: MATEMÁTICA II

n

,

x y + y =x +1

es

y= y H + y p → y=c1 +c 2 ln x+ x +

Página 3

x2 4

UNI

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

OBSERVACIONES n

a)

,

La ecuación: x y + y =x +1 es de segundo orden y en su solución general aparecen dos constantes. b) Concretamente las constantes aparecen en y H =c 1+ c 2 ln x ,

asociada:

solución de la ecuación homogénea x y n + y , =0

(esta solución nos da todas las

soluciones de la ecuación homogénea, conforme damos valores a

c1 y c2

).

c)Ligados a las constantes funciones:

c1 y c2

aparecen dos y 1 ( x )=1 y y 2 ( x )=ln x [ ya que y H =c 1 1+c 2 ln x ] las

cuales notamos que son linealmente independientes y además, también son soluciones de: d)

x y , , + y , =0

Luego la solución

yH

de la homogénea es

una combinación lineal de las soluciones ∴ y 1 ( x )=1 y y 2 ( x ) =ln x

CONCLUSION TEOREMA Dada la ecuación diferencial lineal de orden n: decimos que la solución

yH

Ly=f ( x ) ,

de la ecuación diferencial

lineal homogénea asociada: Ly=0 es una combinación lineal de n funciones linealmente independientes:

MATEMÁTICA II

Página 4

UNI

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

y1 , y2 , … , yn

de

la

y H =c 1 y 1 +c 2 y 2 +…+ c n y n ,

forma

( cada y 1 , y 2 , … , y n es solución de Ly=0 )

Donde al conjunto { y 1 , y 2 , … , y n } lo llamaremos sistema o base fundamental de la solución

ECUACIONES LINEALES CON CONSTANTES

yH

DIFERENCIALES COEFICIENTES

Sea la ecuación diferencial de la forma: (n )

an y + an−1 y

Donde

(n−1)

+…+a 0 y =f ( x )

a0 , a1 , … , an

ЄR a

Entonces

(n )

(¿¿ n D + an−1 D

(n−1)

+…+ a0) y=f (x)

¿

Ly=f (x )

L es el operador lineal con coeficientes constantes PROPIEDADES DEL OPERADOR DIFERENCIAL LINEAL L CON COEFICIENTES CONSTANTES 1.Los operadores lineales L con coeficientes constantes pueden ser considerados como polinomios algebraicos en D. Es decir: MATEMÁTICA II

Página 5

UNI

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES (n)

L ( D ) =an D + an−1 D

(n−1)

+…+a 0

.

2.Todo operador diferencial lineal de la forma anterior puede expresarse como un producto de operadores con coeficientes constantes de grado uno y/o de grado 2. EJEMPLO Sea la ecuación diferencial

´ ´´

''

'

y + 4 y +5 y + 2 y =0

D (¿ ¿ 3+ 4 D2+ 5 D+ 2) y=0 ¿ D L ( D ) =(¿ ¿ 3+4 D2 +5 D+2 ) ¿ L ( D ) =( D+1 )2 (D+ 2)

(1ra propiedad) (2da propiedad)

ECUACIONES LINEALES SEGUNDO ORDEN

HOMOGÉNEAS

DE

Partiendo de la ecuación lineal homogénea de orden dos, con coeficientes constantes a2 y ' ' +a 1 y ' + a0 y=0 a (¿¿ 2 D + a1 D+ a0) y=0 ¿ 2

Luego la ecuación característica a2 r 2 +a1 r +a0 =0

Cuyas raíces son MATEMÁTICA II

r1 y r2

. Página 6

UNI

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

Las posibles soluciones de la ecuación característica pueden presentar tres casos:  CASO 1 La ecuación característica tiene dos raíces reales distintas. Si r 1 y r 2 son las dos soluciones reales de la ecuación característica De manera que: r x ⟨ y 1( x)⟩ =e 1

⟨ y 2 ( x)⟩ =e

r2 x

Tenemos que la solución general de la ecuación homogénea es: r1x

y ( x )=C1 e

+

C2 e r x 2

, Con

C2 y C 1

∈ R.

 CASO 2 La ecuación característica tiene dos raíces complejas conjugadas. Suponiendo que r 1=a+ bi , y por tanto r 2=a−bi , se verifica que r x ⟨ y 1( x)⟩ =e cosbx 1

y 2 ( x )=er x senbx 2

La solución general será

y ( x )=C1 er x cosbx+ C2 e r x senbx 1

2

 CASO 3 La ecuación característica tiene una raíz real doble. Se tiene que r 1=r 2 =r . Se verifica: MATEMÁTICA II

⟨ y 1( x)⟩ =e

rx

Página 7

UNI

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

⟨ y 2 ( x)⟩ =xe

rx

y ( x )=C1 erx +C2 ℜrx

La solución general será

PROCEDIMIENTO PARA BUSCAR LA SOLUCIÓN GENERAL DE UNA ECUACIÓN LINEAL HOMOGÉNEA DE ORDEN “n” CON COEFICIENTES CONSTANTES Dada la ecuación diferencial de orden n: an y (n )+ an−1 y (n−1) +…+a 0=0

Donde

a0 , a1 , … , an

Є R con

an ≠ 0

La ecuación es equivalente a a (n )

(¿¿ n D + an−1 D

(n−1)

+…+ a1 D+a 0) y=0

¿

La ecuación característica será: an r n +a n−1 r n−1 +…+ a0=0 r 1 ,r 2 , … . r n ¿

Y

encontramos

sus

.

CASOS a)

RAÍCES REALES Y DIFERENTES r1 x

Para

r1

: ⟨ y 1( x)⟩ =e

Para

r2

: ⟨ y 2 ( x)⟩ =e

Para

rn

: ⟨ y n ( x)⟩ =e

MATEMÁTICA II

r2 x

rnx

Página 8

n

raíces

(

UNI

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES r1 x

r2 x

rn x

Entonces la solución general es:

y=C 1 e C 2 e + …+ Cn e

b)

MULTIPLICIDAD

RAÍCES

IGUALES

DE

k

r (¿ ¿ 1 ,r 2 , … . r k =r ) ¿ rx

Para

r 1=r : ⟨ y 1 ( x) ⟩ =e

Para

r 2 ¿r : ⟨ y 2 (x) ⟩= xe

Para : Para

r 3=r : ⟨ y 3 ( x) ⟩ =x e

rx

2

r k =r : ⟨ y k ( x ) ⟩ =x

rx

k−1 rx

e

Entonces la solución general es: y=C 1 erx +C 2 xerx + C3 x2 e rx +…+ Ck x k−1 e rx

c) RAÍCES COMPLEJAS ax Para r 1=a+ ib: ⟨ y 1 (x)⟩ =e cosbx ax

Para

r 2=a−ib: ⟨ y 2 (x ) ⟩ =e senbx

Para

r 3=c+id : ⟨ y 3 (x ) ⟩ =e cosdx

Para : Para

r 4 =c−id : ⟨ y 3 ( x) ⟩ =e sendx

Para

r 2 m=k−iL : ⟨ y k ( x ) ⟩ =e senLx

cx

cx

kx

r 2 m−1=k + iL : ⟨ y k ( x) ⟩ =e cosLx kx

Entonces la solución general es: ax

ax

cx

cx

kx

kx

y=C 1 e cosbx+ C2 e senbx +C 3 e cosdx+C 4 e sendx +C2 m−1 e cosLx+ …+C2 m e senLx

MATEMÁTICA II

Página 9

UNI

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

También se debe recurrir a la combinación de (a), (b) y (c) para la resolución de ecuaciones diferenciales donde se presenten raíces

ri

que abarquen más de

un solo tipo. PROBLEMA DE ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL HOMOGÉNEA CON COEFICIENTES VARIABLES Sea la siguiente ecuación diferencial 2

´´

´

x y + x y −4 y=0

Halle la solución general de la ecuación diferencial sabiendo que una solución es

y 1(x) =x 2

SOLUCIÓN Sabemos que la siguiente ecuación diferencial es lineal (porque depende de x) y homogénea (porque está igualada a cero) y de orden 2 con coeficientes variables (por el

x2

).

1) Necesitamos las 2 soluciones porque es de orden 2, para hallar la solución general. 2) Necesitamos hallar la otra solución, a la cual llamaremos y 2(x) Hacemos y 2 (x )=z( x) y 1 (x)

Como

y 1 (x )=x

Derivamos MATEMÁTICA II

2

entonces

2

y 2 (x )=z ( x ) x …(1)

y 2(x) :

Página 10

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES ´

´

UNI

2

y 2(x) =z(x) x + z(x) 2 x y ´2´(x )=z ´´( x ) x 2+ z´( x ) 2 x+ z ´( x ) 2 x +2 z ( x )

Sustituimos en la ecuación diferencial x 2 ( z ´( x´) x2 + 4 z ´( x ) x +2 z ( x ) )+ x ( z ´( x ) x2 + z ( x ) 2 x ) −4 z ( x ) x2 =0 x 4 z´( x´) + 4 x 3 z ´(x)+ 2 z (x) x 2 + z ´(x) x 3 +2 z(x) x 2−4 z ( x ) x2 =0 x 4 z´( x´) +5 x 3 z ´( x ) =0

Observamos que

z(x)

siempre se simplificará cuando

usemos este método. Hacemos v =z´(x)

Derivando v ´ =z ´( x´)

Reemplazando 4

´

3

x v −5 x v=0 x4

dv =5 x 3 v dx

dy 5 = dx v x

Integrando

∫

dv 5 =∫ dx v x

MATEMÁTICA II

Página 11

UNI

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

lnv=5 lnx+C 5

v =e ln x eC v =k x5

Dónde K es una constante k>0 ´ z(x) =k x 5 ´ z(x) =¿∫ k x 5

∫¿ 6

z=k

x +C 6

C∈R

Donde 3) (1) y 2(x) =k

Donde

Reemplazando

en

Dando valores:

C

x8 +C x 2 6

C∈R

, k>0

4) =1, k=1 x8 2 y 2 (x )= + x 6

Son linealmente independientes con 5) {x 2 ;

Así: 8

x + x2} 6

MATEMÁTICA II

Página 12

y 1 (x )

UNI

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

Es R-base del conjunto de soluciones de la ecuación diferencial Todas las soluciones se escribirían combinación lineal de estas 2.

como

la

Luego la solución general: c 1 x 2 +c 2

Donde

(

8

x + x2 6

)

c1 y c2 ∈ R

Para calcular soluciones simplemente daremos valores a

c1 y c2

en esta expresión.

PROBLEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS ,, ,

,

3

y −4 y =−x + x … ( 1 )

Resolver la ecuación: SOLUCIÓN Calculo de

yh

Ecuación:

Ecuación característica:

y ,, , −4 y ,=0 r 3−4 r =0 →r ( r 2−4 )=0

→r ( r +2 ) ( r−2 )=0 ∴r 1=0, r 2=−2,r 3 =2 → y h =c 1+ c 2 e−2 x +c 3 e2 x

Calculo de

MATEMÁTICA II

yp

correspondiente a

Página 13

… ( 1)

UNI

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

Vemos que

3

( ¿ polinomio de grado m=3 )

f ( x )=−x + x =Pm ( x )

¿El número cero característica? Sí, de multiplicidad

es

s=1

raíz

de

( aparece 1 vez ) ,

la

entonces

y p=x 1 P3 ( x ) → y p=x ( a x 3+ b x2 +cx + d ) yp

Calculo de los coeficientes de

:

Derivamos y p : y ,p=4 a x3 +3 b x 2 +2 cx+ d → y ,,p=12 a x 2+ 6 bx+2 c → y ,,, p =24 ax+ 6 b

Reemplazamos en

(1):

24 ax +6 b−4 ( 4 a x 3 +3 b x 2+ 2 cx+ d )=−x 3+ x 3

2

3

→−16 a x −12 b x + ( 24 a−8 c ) x + ( 6 b−4 d )=−x + x → Por C . I . −16 a=−1→ a=

1 16

−12 b=0 →b=0 24 a−8 c=1 → c=

1 16

6 b−4 d=0 → d=0

MATEMÁTICA II

Página 14

ecuación

UNI

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

Luego en

yp,

tenemos:

y p=x

( 161 x + 161 x) → y = 161 ( x + x ) 3

4

2

p

y= y h + y p

La solución general es:

y=c1 +c 2 e−2 x + c3 e 2 x +

1 4 2 (x +x ) 16

ECUACION DIFERENCIAL LINEAL HOMOGENEA CON COEFICIENTE CONSTANTE y(4 )−4 y ´ ´´ +6 y ´ ´ −4 y ´ + y=0

1.-

SOLUCION rx y= e

´y

rx =r e

´y

2 rx = r e

⃛y

3 rx = r e

(4 )

y

4 rx = r e

Entonces: rx 3 rx 2 rx rx -4 r e +6 r e -4 ℜ + e =0

r 4 e rx e

rx

4 3 2 ( r −4 r + 6 r −4 r +1 ) = 0

rx → e

diferente de 0

El polinomio característico de la ecuación diferencial es: MATEMÁTICA II

Página 15

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

UNI

4 3 2 P(r)= r −4 r + 6 r −4 r +1=0

De donde, damos solución al polinomio y hallamos sus raíces: r 1=1

r 2=1 r 3=1 r 4 =1

(raíces reales de multiplicidad

4)Luego el sistema fundamental de soluciones es : y 1=e x y 2=x .e x y 3=x 2 . e x y 4 =x3 . e x

Y la solución general es : y g =c 1 e

2.

x

x 2 x 3 x + c2 x . e + c3 x . e + c4 x . e

d6 y +¿ d x6

6

d4 y d2 y +9 +4 y=0 d x4 d x2

SOLUCIÓN: y(6) + 6 y(4) + 9 y(2) +4 y=0 rx y= e

´y

2 rx = r e

y(4 ) =

4

r e

rx

MATEMÁTICA II

Página 16

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

y(6) =

UNI

r 6 e rx

Entonces: r 6 e rx e

rx

4 rx 2 rx +6 r e +9 r e

rx + 4e = 0

6 4 2 ( r +6 r + 9 r + 4 ) = 0

rx → e

diferente de 0

El polinomio característico de la ecuación diferencial es: 6 4 2 P(r) = r +6 r + 9 r + 4=0

De donde, damos solución al polinomio y hallamos sus raíces: r 1=i de multiplicidad 2

r 2=−i de multiplicidad 2r 3 =2i r 4 =−2 i

Luego el sistema fundamental de soluciones es : y 1=cos x y 2=sin x y 3=¿

x cos x

y 4 =x sin x y 5=cos 2 x y 6=sin 2 x

Y la solución general es : MATEMÁTICA II

Página 17

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

y g =¿

c 1 cos x

+ c 2 sin x + c 3 x cos x + c 4 x sin x

UNI +

c 5 cos 2 x

+

c 6 sin2 x

3.-

(4 )

y − y =0

SOLUCIÓN: rx y= e

(4 )

y

4 rx = r e

Entonces: r 4 e rx e rx

−erx

=0

4 ( r −1 ) = 0

rx → e

diferente de 0

El polinomio característico de la ecuación diferencial es: 4 P(r)= r −1=0 De donde, damos solución al polinomio y

hallamos sus raíces: r 1=−1

r 2=1 r 3=i r 4 =−i

Luego el sistema fundamental de soluciones es : y 1=e−x y 2=e x y 3=cos x

MATEMÁTICA II

Página 18

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

UNI

y 4 =sin x

Y la solución general es : y g =c 1 e−x

x + c 2 e + c 3 cos x + c 4 sin x

BIBLIOGRAFÍA 1.Ecuaciones diferenciales 2 – Cesar Saal R. y Félix Carrillo C. 2.Análisis Matemático IV – Eduardo Espinoza Ramos.

MATEMÁTICA II

Página 19