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Métodos de Resolución de Ecuaciones Diofánticas

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIOFÁNTICAS Christam Huertas Ramirez Profesor Académia César Vallejo - ICH

Resumen Mediante las actividades que se desarrollaran en el taller, se busca que los participantes se involucren en la resolución y planteamientos de problemas contextualizados a la realidad del estudiante y que involucren aritmética entera. También en el taller, se pretende construir en forma conjunta una propuesta metodológica con el fin de que se considere como una alternativa a ser incluida dentro del plan de estudios a nivel de secundaria en el área de matemática. Justificación del taller La estrategia basada en la resolución de problemas, se ha convertido desde hace algunas décadas en una importante contribución a la educación matemática en el mundo. Tal vez la obra de Polya, que aunque escrita en los años 40 del siglo XX, fue la pionera en este tipo de propuestas. Él planteó una sucesión de pasos en la resolución de problemas: entender el problema, configurar un plan, ejecutar un plan y mirar hacia atrás. Introducción En la sesión inaugural del 2º Congreso Internacional de Matemáticas, celebrado en París en 1990 David Hilbert planteo una lista de veintitrés problemas, con la intensión de resaltar los más importantes problemas matemáticos no resueltos que el siglo XX iba a heredar del siglo XIX. En dicha lista aparecería un único problema de decisión, el Problema Décimo: Su enunciado original es Entscheidung der Lösbarkeit einer diophantischen Gleichung Eine diophantische Gleichung mit irgendwelchen Unbekannten und mit ganzen rationalen Zahlkoecienten sei vorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchen sich mittels einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden lä t, ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen lösbar ist. Es decir, dada una ecuación diofántica con cualquier número de incógnitas y con coeficientes numéricos racionales enteros: Idear un proceso de acuerdo con el cual puede determinarse, en un número finito de operaciones, si la ecuación es resoluble en números racionales enteros. En términos más modernos, Hilbert solicitaba a sus colegas del futuro un algoritmo capaz de admitir como entrada (input) una ecuación diofántica cualquiera, y de devolver Si como resultado (output) si la ecuación procesada tenia soluciones en los enteros o No si la ecuación procesada carecía de soluciones en los enteros. Por ejemplo, la ecuación x2+y2=z2 obtendría un Si, puesto que tiene soluciones enteras, empezando con x=3, y=4, z=5 y siguiendo con otros infinitos tripletes. En cambio, cualquier ecuación xn+yn=zn con n>2 obtendria un No, puesto que no tiene soluciones enteras. -1-

Métodos de Resolución de Ecuaciones Diofánticas El problema no se resolvió hasta 70 años después, y en sentido negativo. En 1970 Yuri Matiyasevich1 culminó más de veinte años de trabajo de varios matemáticos, entre ellos Martin Davis, Julia Robinson y Hillary Putnam, con la demostración de imposibilidad del décimo problema: ningún algoritmo es capaz de determinar la resolubilidad de cualquier ecuación diofántica. El planteamiento, desarrollo y demostración del problema tienen gran interés en matemática moderna, porque en ellos participan conceptos de teoría de números y de lógica matemática, y se abren nuevos campos de investigación en ambas disciplinas. Definiciones Se llama ecuación diofántica (en recuerdo a Diofanto2 de Alejandría) a cualquier ecuación algebraica con coeficientes enteros, generalmente de varias variables, planteada sobre el conjunto de los números enteros Z o los números naturales N, es decir, se trata de ecuaciones cuyas soluciones son números enteros. Ejemplos • • • • • • • • • •

3x + 8y = 5 x2 + y2 = z2 x4 + y4 = z4 x3 + y3 = z4 x2 + y2 = 7z2 x2 + 1 = y2 x6 + y6 + z6 + u6 + v6= w6 x5 + y5 + z5 = w5 xk + yk = n! zk , k  2, n >1 xn + yb = zc, a, b, c > 2, mcd(a, b,c)=1

Veremos cómo resolver las ecuaciones diofánticas, dividiéndolas en diferentes tipos. Métodos elementales para resolver ecuaciones diofánticas Método de factorización El método de factorización consiste en expresar una de las partes como un producto y teniendo en cuenta el otro lado analizar los casos posibles.

Yuri Matiyasevich (1947) Matemático ruso. En 1964 obtuvo el primer lugar de la 6º Olimpiada Internacional de Matemática que tuvo lugar en Moscú. Es muy conocido por su solución negativa del décimo problema de Hilbert, presentada en su tesis doctoral, en LOMI, el Departamento de Leningrado del Instituto de Matemática Steklov. 2 Diofanto fue un matemático griego famoso en su tiempo, quien estudio especialmente la resolución de ecuaciones en enteros. La mitad de su obra principal, Aritmética, sobrevivió hasta nuestros días. Muy poco se sabe de su vida, excepto unos datos aparecidos en una colección posterior de rompecabezas griegos, que nos dicen que vivió hasta la edad de 84 años y tuvo un hijo que murió cuando Diofanto tenía 42 años. 1

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Métodos de Resolución de Ecuaciones Diofánticas Ejemplo 1 Halle todos los números naturales n y los números primos p que sean soluciones de la siguiente ecuación. n3 + 7n2 + 14n + 8 = 6p Resolución Factorizando el primer miembro

n3 + 7n2 + 14n + 8 = n2 + 6n2 + n2 + 6n + 8n + 8



= n3(n+1)+6n(n+1)+ 8(n+1)



= (n+1) (n2+6n+8)



= (n+1) (n+2) (n+4)

Además 6p=1.2.3.p y n+4>n+2>n+1>1, de donde n+1=2, n+2=3 y n+4=p; por lo cual n=1 y p=5; es decir la solución es (1,5). Ejemplo 2 Halle todas las soluciones enteras de la ecuación diofántica 3xy + 2y =7 Ejemplo 3 Halle todas las soluciones de la ecuación diofántica 2x2 + xy – 3y2 =17 Ejemplo 4 Resuelva la ecuación diofántica (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3=35 Ejemplo 5 Determine los valores enteros positivos de n para que el número n2 – 4n +16 sea el cuadrado de un número natural. Método del cociente La idea básica de este método es similar al método de factorización, solo que ahora en un lado vamos a tener un número en forma de cociente y por otro lado un número entero. Ejemplo 1 Halle todos los valores naturales de n para que n4+2 sea divisible por n+2. Resolución Aplicando el método de Ruffini



1 0 0 0 2 −2 ↓ −2 4 −8 16 1 −2 4 −8 18 -3-

Métodos de Resolución de Ecuaciones Diofánticas 4 Es decir n + 2 = n 3 − 2n 2 + 4n − 8 + 18 n+2 n+2

De donde 18 debe ser un entero y n+2≥3 (pues n≥1); de lo cual se obtiene que n+2 n+2{3,6,9,18} , es decir n  {1,4,7,16}. Ejemplo 2 Halle todos los números de dos cifras que son iguales a tres veces su producto. Método de la suma El método de la suma es similar al método de factorización, solo que ahora en un lado vamos a tener suma de potencias (la mayoría de las veces no negativo) de números enteros, y se discutirá los casos que pueden resultar. Ejemplo 1 Halle dos números con la propiedad de que la suma de sus cuadrados sea igual al doble de de la suma de los números. Resolución Sean x e y los números, entonces se debe cumplir

x2 + y2=2(x + y)

De donde

x2 – 2x + 1+y2 – 2y +1=2



(x – 1)2 + (y – 1)2 =2

La única forma de que 2 se exprese coma la suma de dos cuadrados es que sea la suma de dos unidades, es decir

(x – 1)2 =(y – 1)2=1

De donde x –1=±1 y y – 1=±1, es decir x e y pueden ser 0 o 2, y los números que cumplen con lo requerido son {(0,0), (0,2), (2,0), (2,2)}. Ejemplo 2 Encuentre los números x, y  Z que cumplen

5x2 + 5y4 + 4x + 4xy2 = 5

Método de los últimos dígitos Ejemplo 1 Halle todos los números enteros x e y de modo que x2 + 10y = 1234567 Resolución Se sabe que el cuadrado de un número siempre termina en uno de los dígitos 0,1,4,5,6,9. Como 10y siempre termina en 0, de ello se desprende que x2+10y puede terminar en uno de -4-

Métodos de Resolución de Ecuaciones Diofánticas los digitos 0,1,4,5,6,9. Pero el número 1234567 termina en 7, de lo cual se desprende que la ecuación no tiene soluciones. Ejemplo 2 ¿Existen números enteros m y n que sean soluciones de la siguiente ecuación?

n! + 5m2=147926

Ejemplo 3 Determine las soluciones enteras de la ecuación 5x + y4 = 194482 Método de paridad Ejemplo 1 ¿Existen números enteros m y n que satisfacen la siguiente igualdad?

n4 + 16m =7993

Resolución Si el número n fuese par entonces la ecuación no tendría solución pues 7993 es impar. Por lo tanto, si existe una solución, necesariamente n=2k+1 para un entero k. Entonces reemplazando en la ecuación se tiene (2k+1)4+16m = 7993



(4k2+4k+1)2 +16m = 7993



16k +16k +1+32k3+8k2+8k+16m = 7993





4

2

8(2k4+2k2+4k3+k2+k)+16m = 7992



2(k4+k2+2k3+m)+k(k+1) = 999

Debido a que k(k+1) es el producto de dos números consecutivos, siempre es divisible por 2 y por tanto el número del lado izquierdo es par, mientras que 999 es impar. Esto significa que la ecuación no tiene solución. Método de los restos

Observar los restos que se obtiene en ambos lados de la ecuación en discusión.

Ejemplo 1 Pruebe que la ecuación x2 + y2 = 2006 no tiene solución en los enteros. Resolución En primer lugar, si los números son pares, entonces la suma de cuadrados siempre es divisible por 4(4|4k2=(2k)2 ); y si uno de ellos es impar, entonces la suma de cuadrados deja resto 1 al ser dividido por 4((2k+1)2=4(k2+k)+11(mod4)). La ecuación no tendrá solución pues 2006 deja resto 2 al ser dividido por 4. Falta comprobar cuando x e y son impares. Sea x=2m+1, y=2n+1 (m,n  Z ), reemplazando en la ecuación. -5-

Métodos de Resolución de Ecuaciones Diofánticas



( 2m + 1)2 + ( 2n + 1)2 = 2006 4(m 2 + m + n 2 + n ) = 2004 m m + 1 ) + n(n + 1) = 501 ( par

Vemos que el lado izquierdo y el lado derecho son de diferente paridad, de donde se deduce que la ecuación no tiene solución. Ejemplo 2 ¿Existen números enteros x e y de modo que el resto que se obtiene al dividir x4+y4 por 25 es 3? El método de la desigualdad Este método se utiliza com frecuencia para reducir el conjunto de posibles soluciones, y luego analizar los posibles casos al conjunto reducido. El método de la desigualdad se utiliza a menudo en combinación con otros métodos para resolver ecuaciones diofánticas no lineales. Ejemplo 1 Halle todas las soluciones naturales de la ecuación: a! + b! =c! Resolución Es evidente que ab≥1 no tendría ninguna solución para c>2, y la única solución es c=2, b=1. Entonces a=1, y por tanto tenemos una única solución que es la terna ordenada (1;1;2). Ejemplo 2 Halle todos los números naturales que satisfacen la ecuación a+b+c=abc Ejemplo 3 Halle todos los números naturales a,b,c para que -6-

1 1 1 + + =1 a b c

Métodos de Resolución de Ecuaciones Diofánticas Ecuaciones diofánticas exponenciales Aunque no existe un único método para resolver estos tipos de ecuaciones, veremos a través de diferentes ejemplos como se describen los diferentes enfoques para resolver una ecuación diofántica exponencial. Ejemplo 1 (Método de los factores) Halle todos los números naturales x (si existen) que sean soluciones de la siguiente ecuación. 4x+3.2x=88 Resolución La ecuación es equivalente a 2x (2x+3)=23.11 Como 2x+3 es impar y 2x es una potencia de 2, entonces se debe tener

2x=23 y 2x+3=11

El único número natural que verifica estas dos ecuaciones a la vez es x=3. Por lo tanto, la única solución es 3. Ejemplo 2 (Método de los factores) ¿Existen números naturales x e y que sean soluciones de la siguiente ecuación?

3x

2

+ y −1

− 3x

2

+1

=1944

Ejemplo 3 ¿Existen números naturales x que son soluciones de la siguiente ecuación?

5x+2x+1 . 3x =32x +22x

Resolución La ecuación es equivalente a

5x=32x – 2.3x . 2x + 22x



5x=(3x – 2x )2

Por lo tanto, 5x es un cuadrado perfecto; es decir x=2m, mN. Entonces, en la ecuación

52m=(32m – 22m )2



5m=32m – 22m =(3m – 2m) (3m+2m)

De donde se debe verificar que 3m – 2m=5a y 3m+2m=5b para algunos valores a,bN0, con a2, n>1, que satisfacen la ecuación 2k+1=5n. Si el número k es impar, entonces al dividir 2k entre 5 se obtiene como resto 2 o 3, y al dividir 2k+1 entre 5 se obtiene como resto 3 o 4. Por lo tanto, k debe ser par. Sea k=2l, lN – {1}. Luego 2k=4l es múltiplo de 16. Pero

2k=5n – 1=(4+1)n – 1



n = 4n + n.4n −1 + ... +   .42 + 4n  2

Debe ser múltiplo de 16, de lo cual n=4m, mN. También 2k=5n – 1=54m – 1=(52m – 1)(52m+1) Pero 52m – 1 y 52m+1 son números pares consecutivos, también lo es su producto 2k solo para k=3. Sin embargo k es un número par, lo que genera una contradicción. Así, que no hay otra solución salvo el par ordenado (k;n)=(2;1). Ejemplo 7 Demuestre que no existen números naturales x,y,z,n de tal manera que z≤n, que sean soluciones de la ecuación: xn + yn=zn -8-

Métodos de Resolución de Ecuaciones Diofánticas Ejemplo 8 Halle todos los números naturales n que son soluciones de la siguiente ecuación. 5n + 7n + 11n=6n + 8n + 9n Ejemplo 9 Demuestre que no existen números naturales x,y,z,t de modo que xx + yy + zz=tt Diferentes tareas Ejemplo 10 Demuestre que no existen números naturales x, y y z que verifican la siguiente ecuación. 2x + 5y =19z Resolución Como 19  1 (mód 3), entonces 19z  1 (mód 3). Por otra parte, 2  –1 (mód 3) de donde 2x(–1)x (mód 3). También, 5  –1 (mód 3) del cual 5y (–1)y (mód 3). Por lo tanto

2x + 5y  (–1)x + (–1)y (mód 3)

Si x e y son números pares, entonces 2x + 5y  2 (mód 3), y si son de diferente paridad, entonces 2x + 5y  0 (mód 3). Por lo tanto, en estos casos la ecuación no tiene solución. Si x e y son números impares, entonces 2x + 5y  –2 (mód 3), es decir, 2x + 5y 1 (mód 3). Demostraremos que en este caso tampoco hay solución. Sea x=2k+1, k  N0. Entonces

2x=22k+1=4k . 2  (–1)k . 2 (mód 5)



19z  (–1)z (mód 5)

Además

5y=19z – 2x  (–1)z + (–1)k . 2 (mód 5)



/ 0 (mód 5)

Como 5y  0 (mód 5), entonces la ecuación no tiene solución. Ecuaciones Diofánticas Lineales Ecuaciones con una incógnita La ecuación ax=c con a,c  Z y a≠0 tiene solución entera si y solo si c es múltiplo de a. Ejemplo Resuelva la ecuación diofántica 3x=6 Como 6 es múltiplo de 2, entonces la ecuación 3x=6 tiene solución y es igual a x=2.

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Métodos de Resolución de Ecuaciones Diofánticas Ecuaciones con dos incógnitas

La ecuación ax + by=c



Si a, b y c son enteros y ab≠0, toda ecuación lineal de la forma



ax+by=c,

donde los valores de x e y estan restringidos al conjunto de los enteros, se llama ecuación diofántica lineal en dos variables. El matemático griego Diofanto fue el primero en estudiar tales ecuaciones extensivamente.3 Teorema La ecuación diofántica lineal ax+by=c o Identidad de Bézout3 tiene solución si y solo si d|c, donde d=mcd(a,b). En este caso la ecuación tiene una infinidad de soluciones.

Demostración Sea d=mcd(a,b). Existen enteros a’ y b’ tales que a=da’ y b=db’. Así, da’ x + db’ y = c d(a’ x + b’ y) = c. Si existe una solución de esta ecuación, entonces d|c ya que d es un factor del miembro izquierdo de la ecuación. Recíprocamente, si d|c, entonces existe un entero c tal que c=dc’. Pero se sabe que existen enteros x’ e y’ tales que

ax’ + by’=d.



Entonces, multiplicando ambos miembros de esta ecuación por c’,



ax’ c’ + by’ c’ = dc’



a(x’ c’ ) + b (y’ c’ )=c



a(x0 ) + b(y0 )=c

donde x0 e y0 son enteros. De aquí que la ecuacion diofántica lineal ax+ by=c tiene una solución particular x0 e y0. Teorema Si d=mcd(a,b), d|c, y x0 e y0 es una solución particular de la ecuación diofántica lineal. ax + by = c

…(*)

entonces toda solución x e y esta dada por las ecuaciones x = x0 +

b t y d

y = y0 −

a t d

donde t es un número entero.

Étienne Bézout (1730 - 1783) Matemático francés. Escribió una “Teoría General de Ecuaciones Algebraicas” publicada en París en 1779. Esta obra contiene muchos resultados novedosos y de importancia acerca de la teoría de eliminación y funciones simétricas de las raíces de una ecuación.

3

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Métodos de Resolución de Ecuaciones Diofánticas Demostración Probaremos primero que las expresiones dadas para x e y representan soluciones de la ecuación diofántica lineal. Por sustitución, b  a    a  x 0 + t  + b  y 0 − t  = ax 0 + by 0 = c d  d    ya que x0 e y0 es una solución particular de la ecuación (*). Luego la ecuación (*) es satisfecha.

Sean ahora x e y cualquier solución de la ecuación (*). Entonces



ax + by = c

y

ax0 + by0=c

Por sustitución, ax + by = ax 0 + by 0 ax − ax 0 = by 0 − by a( x − x 0 ) = b( y 0 − y )

a b (x − x0 ) = (y0 − y) d d

Pero, como d=(a,b), entonces  a , b  = 1 ; esto implica que   d d

b a (x − x0 ) y (y0 − y) d d

De donde b a x − x0 = t y y0 − y = t d d Esto es b a x = x0 + t y y = y0 − t d d donde t es un número entero. Ejemplo 1 Determine la solución general de la ecuación diofántica lineal

14x + 22y = 50

Como 28+22=50, se desprende que x0=2 y y0=1 representan una solución particular de la ecuación diofántica dada. También d=(14;22)=2, a=14 y b=22. Luego, la solución general de la ecuación diofántica lineal 14x+22y=50 esta dada por las ecuaciones

x=2+11t

y

y=1 – 7t

Donde t es un número entero.

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Métodos de Resolución de Ecuaciones Diofánticas Geométricamente se tiene algunas soluciones:

Ejemplo 2 Determine una solución particular de la ecuación diofántica lineal

39x + 36y = 105

Como mcd(39,26)=13 y 13×105, entonces la ecuación diofántica lineal 39x+36y=105 no tiene solución. Ejemplo 3 Determinar las soluciones enteras positivas de la ecuación 18x + 5y = 48 Sean a=18 y b=5. Entonces, por el algoritmo de Euclides,

18 = 3.5 + 3



5 = 1.3 + 2



3 = 1.2 + 1



2 = 2.1

Así, (18,1)=1. Usando los pasos del algoritmo de Euclides, 1 puede escribirse como función lineal homogénea de 18 y 5:

3 = 18 + (–3) . 5



2 = 5 + (–1) . 3 = (–1) . 18 + (4) . 5



1 = 3 + (–1) . 2 = (2) . 18 + (–7) . 5

Como 18 . (2) + 5 . (–7)=1, entonces

18 . (96) + 5 . (–336) = 48

Una solución general de la ecuación diofántica lineal 18x+5y=48 esta dada por las ecuaciones

x=96 + 5t e y=–336–18t

Donde t es un entero. Las soluciones enteras positivas pueden ser obtenidas considerando el sistema de desigualdades

 96 + 5t > 0  −336 − 18t > 0 -12-

Métodos de Resolución de Ecuaciones Diofánticas De donde obtenemos t≥–19 y t≤–19; es decir t=–19 y x=1 e y=6.

Por lo tanto, la única solución entera positiva de la ecuación 18x+5y=48 es (1; 6).

Congruencias lineales y ecuaciones diofánticas lineales La teoría de las congruencias lineales puede ser usada para obtener la forma de las soluciones, si ellas existen, de la ecuación diofántica lineal

ax + by = c

…(α)

El determinar las soluciones de esta ecuación diofántica equivale a determinar las soluciones de la congruencia lineal

ax  c (mód b) …(β)

Como se sabe, si d=(a,b), entonces existe una solución de esta congruencia lineal cuando d|c. Toda solución de la congruencia lineal (β) es de la forma b x 0 = t …(γ) d donde x0 es una solución particular y t es un entero. Sustituyendo el entero expresado en (γ) por x en la ecuación (a), podemos obtener la forma de los valores de y que satisfacen la ecuación diofántica. Por lo tanto, b   a  x 0 + t  + by = c d   b   c − a  x0 + t  d   y= b c − ax 0 a = − t b d a = y0 − t d



donde y0 es tal que ax0+by0=c. De aquí que si x0 e y0 satisfacen la ecuación diofántica lineal ax+by=c, entonces toda solución (x; y) está dada por las ecuaciones b a x = x0 + t y y = y0 − t …(∆) d d donde d=(a,b) y t es un entero. Ejemplo 1 Usar congruencias lineales para determinar una solución particular de la ecuación diofántica

48x+7y=17

Como (48;7)=1, existen soluciones de la ecuación diofántica 48x+7y=17. Para determinar una solución particular de la ecuación, determinaremos primeramente una solución de una congruencia lineal equivalente:

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Métodos de Resolución de Ecuaciones Diofánticas

48x  17 (mód 7) –x  17 (mód 7) –x  3 (mód 7) x  –3 (mód 7) x  4 (mód 7) Ahora, sustituyendo 4 por x en la ecuación diofántica dada, obtenemos

48 . (4) + 7y = 17 192 + 7y = 17 7y = –175 y = –25 Por lo tanto, 4 y –25 es una solución particular de la ecuación diofántica lineal 48x+7y=17. Ejemplo 2 Usar congruencias lineales para determinar la solución general de la ecuación diofántica

11x – 30y=29

Como (11,–30)=1, existen soluciones de la ecuación diofántica lineal 11x – 30y=29. Ahora –30y  29 (mód 11) 3y  29 (mód 11) 3y  18 (mód 11) y  6 (mód 11) Sustituyendo 6 por y en la ecuación diofántica dada, 11x – 30 . (6) = 29 11x – 180 = 29 11x = 209 x = 19 Por lo tanto, por (∆), la solución general de la ecuación diofántica lineal 11x–30y=29 esta dada por las ecuaciones

x=19 – 30t y y=6 – 11t

Donde t es un número entero. Ecuaciones con dos incógnitas

La ecuación x2 – y2=a Dada la ecuación x2 – y2=a con a∈Z, se puede escribir como (x+y)(x–y)=a; si hacemos m=x+y y n=x–y se tendría m.n=a; donde m y n deben ser ambos pares o ambos impares, pues la suma de dos números y su diferencia son ambos pares o ambos impares. Entonces al resolver el sistema. m+n   x = 2 x + y = m se obtiene   x − y = n y = m − n  2 -14-

Métodos de Resolución de Ecuaciones Diofánticas Ejemplo 1 Resuelva la ecuación x2 – y2=8. Tenemos m.n=8 de donde m=4 y n=2, entonces x=3 e y=1 Ejemplo 2 Resuelva la ecuación x2 – y2=98 Tenemos m.n=98=2.72 de donde m=2 y n=49, no habría solución. m=14 y n=7, no habría solución. Esto implica que si a∈Z tiene un factor 2 con multiplicidad 1, no puede haber una descomposición como se requiere para la ecuación. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución.

La ecuación de Pell La ecuación de John Pell4 es: x2 – dy2=N donde N y d son enteros. Realmente nunca fue considerada por Pell, sino que fue una equivocación de Euler el que se le haya asociado el nombre de Pell a dicha ecuación. Los primeros matemáticos griegos e hindúes consideraron casos especiales, pero Fermat fue el primero en tratarla sistemáticamente. Este dijo que había demostrado, en el caso especial en que N=1 y d>0 no es un cuadrado perfecto, que existe una infinidad de soluciones enteras x, y; pero como ya es usual, no dió una demostración. Esta ecuación tiene gran importancia ya que cualquier ecuación cuadrática de dos variables se puede reducir a ella. Veámoslo: Sea la ecuación ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 con a,b,c,d,e, f ∈ Z



Si la escribimos como un polinomio en x tenemos ax2 + (by + d)x + (cy2 + ey + f) = 0,



que es una ecuación de segundo grado en x. Tendrá solución si su discriminante es un cuadrado perfecto

(by+d)2 – 4a(cy2+ey+f)=w2 con w∈Z



(b2 – 4ac) y2+(2bd – 4ae) y+(d2 – 4af–w2 )=0

Sea

p=b2– 4ac, q=2bd – 4ae y r=d2– 4af

Y entonces podemos escribir

py2 + qy + r–w2=0

que es una ecuación de 2do grado en y, y tendrá soluciones si su discriminante es una cuadrado perfecto q2– 4p(r–w2 )=z2 con z∈Z 4

John Pell (1611-1685) Matemático ingles. Se dice que Pell introdujo el signo de la división a Inglaterra.

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Métodos de Resolución de Ecuaciones Diofánticas Y la ecuación anterior, escrita como z2– 4pw2=q2– 4pr es una ecuacion de Pell con d=4p y N=q2 – 4pr. En 1768, Lagrange demostró que si N=1 y d no es un cuadrado perfecto con d>0, la ecuación tiene solución no trivial, es decir distinta de x=1 e y=0 (anterior a esta, Euler demostró que existe una infinidad de soluciones si es que existe una). La solución no trivial la calculo mediante fracciones continuas de d . También podría mencionarse que la ecuación de Pell comparte con la ecuación lineal ax+by=c, una posición única entre las ecuaciones diofánticas en dos variables. En 1929 fue demostrado por C. L. Siegel, que estas dos ecuaciones junto con las ecuaciones derivables de ellas por ciertas transformaciones, son las únicas ecuaciones algebraicas en dos variables que tienen una infinidad de soluciones enteras.

La ecuación

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f=0

El término ecuación diofántica significa que las soluciones (x;y) deben ser números enteros. Por ejemplo, la ecuación 4y2 – 20y+25=0 tiene soluciones dadas por la línea horizontal y=2,5, pero como 2,5 no es un número entero, diremos que la ecuación no tiene soluciones. Hay algunos casos que dependen de los valores de a, b y c. Los nombres de estos casos se toman de las figuras que la ecuación representa en el plano XY: una línea, una elipse, una parábola o una hipérbola (o dos líneas). Estas figuras son el conjunto de soluciones reales. En nuestro caso, el conjunto de soluciones está representado por puntos aislados en el plano XY. a) b) c) d) e)

Caso lineal: a=b=c=0. Caso hiperbólico simple: a=c=0; b≠0. Caso elíptico b2 – 4ac0

Ecuaciones con más de dos incógnitas

Método general para resolver ecuaciones diofánticas homogéneas de segundo grado Se descomponen “en cruz” en dos cocientes de funciones lineales, igualados a m/n irreducible y que da lugar, con las dos fracciones, a dos ecuaciones entre las que se elimina m y n. Ejemplo 1 Resuelva la ecuación pitagórica

x2 + y2=z2

(Debido a Pitágoras5) Pitágoras (582 – 500 a.n.e.) Filósofo y matemático griego nacido en la isla de Samos. Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos esta el teorema de la hipotenusa, conocida como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triangulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. 5

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Métodos de Resolución de Ecuaciones Diofánticas Resolución

x2+y2=z2  x2=z2 – y2  x2=(z+y)(z–y)



Acomodando se obtiene

nx = mz − my x z+y m = = → z−y x n mx = nz + ny



 m2z – m2 y=n2z+n2 y



 (m2 – n2 )z=(m2+n2 )y



De donde z=m2+n2, y=m2 – n2 , x=2mn

Hay infinitas soluciones con la libre elección de m y n. Además (x,y) intercambian sus valores. Ejemplo 2 Resuelva la ecuación

x2 – xy + y2=z2.

Resolución

x2 – xy + y2=z2  x(x–y)=z2 – y2



 x(x – y)=(z+y)(z – y)

Es decir

nx = mz − my x z+y m = = → z−y x−y n mx − my = nz + ny



 m2 z – m2 y = n2 z+n2 y+mny



 (m2 – n2 )z = (m2+n2+mn)y

De donde z=m2+n2+mn, y=m2 – n2, x=m2+mn. En forma parecida se resuelven los siguientes ejemplos. Ejemplo 3

x2 + xy + y2=z2

Ejemplo 4

x2 – zy = y2

Ejemplo 5

x2 + y2 = 5z2

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Métodos de Resolución de Ecuaciones Diofánticas Nota Las cinco ecuaciones anteriores son las que se plantean para resolver el problema de hallar los lados enteros de un triangulo en cada uno de los cinco casos siguientes: a) b) c) d) e)

Un ángulo es recto. Un ángulo es de 60º Un ángulo es de 120º Un ángulo es doble de otro. Dos de las medianas son perpendiculares.

Las soluciones a estos problemas han de cumplir la ecuación correspondiente y además las restricciones propias de los lados de un triángulo.

Descenso de Fermat y ecuaciones sin solución Las ecuaciones analizadas arriba son, en un cierto sentido, privilegiadas, pues poseen una infinidad de soluciones. Nuestro próximo ejemplo será el de una ecuación que solo admite la solución entera x=y=z=0. Ella ilustra un método que puede ser extendido a otras ecuaciones, a fin de probar que ellas no poseen soluciones enteras no nulas. Ejemplo Demuestre que la ecuación 3x2 + y2=2z2 no posee soluciones enteras no nulas. Demostración Supongamos lo contrario. Entonces la ecuación posee una solución (x,y,z) en enteros positivos. Entonces, dentro de todas las soluciones (x,y,z), con x,y y z enteros positivos, existe una (x,y,z)=(a,b,c) para el cual z=c es el menor posible. Trabajemos con tal solución. Vamos a usar el siguiente hecho, que se puede probar fácilmente: si un entero u no es múltiplo de 3, entonces u2 deja resto 1 cuando es dividido por 3. Entonces, si b no es múltiplo de 3, tendremos de 3a2+b2=2c2 que c tambien no sería múltiplo de 3. Mirando los restos de cada término de la ecuacion por 3, tenemos que 3a2+b2 deja resto 1 y 2c2 deja resto 2.1=2. Luego, no puede ser 3a2+b2=2c2. Así, b debe ser múltiplo de 3, digamos b=3b1. De ahí se tiene que 3a2+9b12=2c2, y c tambien es múltiplo de 3, digamos c=3c1. Sustituyendo en la ecuación, llegamos a 3b12+a2=6c12. Entonces, a tambien es múltiplo de 3. Siendo a=3a1, la ecuación de arriba nos da b12+3a12=2c12, y (b1,a1,c1) es otra solución de la ecuación original, con c1=c/3 1

salvo la mencionada 32 – 23=1. En su nota el joven profesor de la École Polytechnique de Paris que debe su fama a este problema y a sus aportaciones dentro del campo de la combinatoria, afirmaba creer que era cierta, aunque no podía demostrarla en todos sus casos. El matemático suizo, de origen rumano, Preda Mihailescu la demostró en abril de 2002, con lo que se convierte en teorema (el teorema de Mihailescu). La demostración radica en que las soluciones posibles de la ecuación de Catalan son incompatibles con las propiedades de los cuerpos ciclotómicos. Aplicación Demuestre que la ecuación diofántica

2x + 5y = z2

…(1)

tiene exactamente dos soluciones en los enteros no negativos, que son (x;y;z)∈{(3;0;3),(2;1;3)}. Demostración. Si x=0, entonces la ecuación se reduce a 5y=z2–1 o (z – 1)(z+1)=5y Donde z–1=5u y z+1=5y–u, y>2u, u∈N. De aquí, restando las ecuaciones obtenemos

5y–u – 5y=2 o 5u (5y–2u – 1)=2

Donde u=0 y 5y=3, lo cual es imposible.

Si y=0, entonces la ecuacion se reduce a z2–1=2x o (z – 1)(z + 1)=2x

Donde z–1=2v y z+1=2x – v, x>2v, v∈N. De aquí, restando las ecuaciones obtenemos

2x – v – 2v=2 o 2v (2x –2v – 1)=2

Eugene Charles Catalan (1814-1894) Matemático belga que trabajo en Teoría de Números. Introdujo los números de Catalan para resolver un problema combinatorio.

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Métodos de Resolución de Ecuaciones Diofánticas De donde v=1 y 2x – 2=2, y de aquí x=3. Por tanto, una solución es (3;0;3).

Ahora consideremos x≥1 y y≥1.

Se desprende de (1) que el número z es impar y no es divisible por 5. Si z  1 (mód 5) entonces z2  1 (mód 5) y si z ±2 (mód 5) entonces z2  4 (mód 5)=–1 (mód 5).

Pero, se sabe que



22k=4k=(5 – 1)k  (–1)k (mód 5)



22k+1=2.4k 2.(–1)k (mód 5), k∈N

y

De donde el número x es par. Entonces consideremos x=2k, k∈N. De (1) obtenemos

z2 – 22k=5y o (z – 2k )(z+2k )=5y

Donde z – 2k=5w y z+2k=5y – w, y>2w. De donde se obtiene

5w (5y – 2w –1)=2k+1

Lo que implica w=0 y

5y – 2k+1=1

…(2)

Obteniéndose una ecuación diofántica de tipo Catalan

ab – cd=1



Que tiene por soluciones en números enteros positivos (>1) solo a a=3, b=2, c=2 y d=3.

La ecuación diofántica (2) tiene solución solo si y=1; de donde 2k+1=22, es decir k=1. Por tanto, x=2, y=1, z=3. Esto concluye que la ecuación diofántica (1) tiene las soluciones: (x;y;z)∈{(3;0;3),(2;1;3)}. La ecuación generalizada de Fermat – Catalan y la conjetura de Beal ¿Qué ocurre cuando en la ecuación de Fermat (xn+yn=zn), permitimos que los exponentes sean números cualesquiera superiores a 1 y no necesariamente iguales?, se obtiene la Súper Ecuación de Fermat

xa + yb = zc, a,b,c>1

…

Podemos ver que la ecuación de Catalan es un caso particular de esta última, si la ponemos en la forma xa+1b=zc. Aquí tenemos que hacer una distinción importante que no hacíamos en el caso de la ecuación de Fermat. Si x, y y z comparten un factor común en la ecuación de Fermat, debido a que los tres exponentes son iguales, este factor se puede eliminar. Sin embargo, la ecuación  no es homogénea y este caso no se puede obviar sin más. Desde principios de los años noventa, se han estado buscando ejemplos con el ordenador. En diciembre de 2002, Henri Cohen anunciaba el resultado de una búsqueda sistemática con potencias debajo de 293 que ha encontrado únicamente doce ejemplos que van desde el simple 25+72=34 hasta el mas complicado 438+962223=300429072. En todos los casos, uno de los exponentes es 2, lo que según se afirma, no paso desapercibido desde un principio. No sin cierta polémica entre medias, el matemático aficionado Andrew Beals, propuso la conjetura de que no existe ningún caso en el que todos los exponentes sean superiores a 2, con x, y y -21-

Métodos de Resolución de Ecuaciones Diofánticas z coprimos. Beals, empresario y poseedor de un banco en Texas, hizo algo más. Ofrece 100 000 dólares USA al que encuentre una demostración para su conjetura, que sea aceptada en el mundo académico o para aquel que encuentre un contraejemplo que demuestre su falsedad. Bibliografía 1. ANTHONY J. Pettofrezzo y Donald R. Byrkit. Introducción a la Teoría de los Números. Editorial Prentice / Hall Internacional. 2. BURTON W. Jones. Teoría de las Números. Biblioteca de Matemática Superior. 3. GUELFOND A. O. Resolución de Ecuaciones en Números Enteros. Editorial MIR Moscú. Lecciones populares de matemáticas. 4. IVAN NIVEN y HERBERT S. Zuckerman. Introducción a la Teoría de los Números. Editorial Limusa 5. SAID SIDKI. Introducao a Teoría dos Números. 10º Colóquio Brasileiro de Matemática. Impa. 6. WILLIAM J. LEVEQUE. Teoría Elemental de los Números. Editorial Herrero Hermanos, Sucesores, S.A.

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