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• Jeffre Flores Moreno

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ECUACIONES DIMENSIONALES

1. Si la ecuación dada es dimensionalmente correcta, se pide encontrar la fórmula dimensional de E. P .Q=

{

Rv−aE E(F +Q)

log 4

}

Siendo P=peso, R=trabajo, v=velocidad y a=aceleración DESARROLLO Ya que no conocemos las dimensiones de R, v y a, aplicaremos directamente el principio de homogeneidad dimensional en el numerador de la expresión original para poder determinar las dimensiones de E. veamos:

[ R ][ v ]= [ a ][ E ] → L2 M T −2 . LT −1=LT −2 [ E] ∴ [ E ] =L2 M T −1 Observación: el resto de los términos no son todos conocidos, y su participación no es limitante para el cálculo de nuestra incógnita principal. 2. Sabiendo que la ecuación: F=qE+qvB es dimensionalmente correcta, determinar la formula dimensional de B, siendo E= intensidad de campo eléctrico, y v= velocidad lineal. DESARROLLO Aplicando directamente el principio de homogeneidad dimensional al segundo miembro de la relación dada, tendremos lo siguiente:

[ q ][ E ] =[ q ][ v ] [ B ] → [ B ] =

[E ] … … .∗¿ [v ]

Ahora, utilizando las formulas dimensionales de E y v para luego reemplazarlas en (*), de modo que: FLORES MORENO, JEFFRE

−3 −1

[ B ] = LM T −1I LT

−2 −1

∴ [ B ] =M T I

Observación: La relación original: F=qE+qvB, corresponde a la fórmula de Lorentz para la fuerza (F) que experimenta una carga (q) móvil de velocidad (v) cuando viaja en un el interior de un campo doble: Eléctrico (E) y magnético (B. Así, la formula dimensional obtenida corresponde al campo magnético, llamado también inducción magnética. 3. Determinar la formula dimensional de A en la siguiente ecuación dimensionalmente correcta: A=Bk-Ck3 , siendo B= calor especifico, y C= aceleración angular. DESARROLLO A partir de la ecuación dimensional, primero encontramos las dimensiones de k, y luego las de A. veamos:

[ A ] =[ B ][ k ]− [ C ][ k ]3 → [ A ] =L2 T −2 [ k ] −T −2 [k ]3 [ A ] =α , L2 T −2 [ k ] =β ,T −2 [k ]3=γ Utilizando el principio de homogeneidad dimensional diremos que: a ¿ ( γ )=( β ) → T −2 [k ]3=L2 T −2 [ k ] → [ k ] =L … …(¿) b ¿ ( α )=( β ) → [ A ] =L2 T −2 (L) ∴ [ A ]= L3 T −2

4. La ecuación propuesta es dimensionalmente correcta, siendo: p=presión, B=diámetro, A=área, m y n=adimensionales. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de C, H y D?.

FLORES MORENO, JEFFRE

3

nA 2 2 }D D

( )

p=C ( B−nH ) {m+

DESARROLLO De acuerdo al cuadro (1.4) tenemos:

[ P ] =L−1 MT −2 , [ B ] =L , [ A ] =L2 , [ m ] =[ n ] =1 Luego, en la ecuación dada:

{ ( )}

L−1 MT −2=[ C ] . ( L−1. [ H ] ) . 1+

1 L2 [D]

2

3

. D 2 … … .(1)

2

L2 L−1. [ H ] =α , 1. =β [D ]

( )

Aplicando el principio de homogeneidad dimensional en (1) tenemos: En ( α ) : [ H ]=L … … (2) En ( β ) :(

L2 2 ) =1→ [ D ] =L2 … … (3) [D ]

Reemplazando (2) y (3) en (1): 3

L−1 MT −2=[ C ] . L. { 1 } . (L2)2 −5

∴ [ C ] =L MT

−2

5. De la siguiente ecuación dimensionalmente correcta, hallar ( z− y) E=(x− p) , si: x y ( R n . cosθ n ) −( Rn−1 .cosθ n−1 ) 3 I= . m .{ } z P π ( R n . senθ n ) −( R n−1 . senθ n−1 )

√

FLORES MORENO, JEFFRE

Siendo I= momento de inercia=masa.(longitud) 2 ; m=masa; Rn, Rn-1 =radios; θn ,θ n−1=angulos

DESARROLLO Consiguiendo la ecuación dimensional tendremos:

{

}

( L .1 )x −( L .1 ) y Lx −L y 2 L M =1 M . →L = z … …(1) ( L .1 )z −( L.1 ) P L −LP 2

Lx −L y =α , Lz −LP =β Por el principio de homogeneidad dimensional diremos lo siguiente: De ( α ) : Lx =L y → x= y ……(2) z

P

De ( β ) : L =L → p=z

Luego , de ( 2 ) en ( 1 ) : L2=

Lx =L x− p P L

Comparando exponentes : x− p=2 Pero, de la relación (2) podemos escribir: y-z=2, ó z-y=-2 (z− x) (−2) Finalmente: E=( x−p) =(2) ∴ E=1/4

FLORES MORENO, JEFFRE

UNIVERSIDAD NACIONAL INTERCULTURAL DE LA AMAZONÍA FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS AMBIENTALES CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL

ECUACIONES DIMENSIONALES

CURSO

:

INGENIERIA AGROINDUSTRIAL I

DOCENTE

:

ING. CALEB LEANDRO LAGUNA

ALUMNO

:

FLORES MORENO JEFFRE

FLORES MORENO, JEFFRE

Yarinacocha, 16 de Abril del 2015

FLORES MORENO, JEFFRE