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FÍSICA ECUACIÓN DIMENSIONAL Es aquella igualdad matemática que sirve para relacionar las dimensiones de las magnitudes físicas fundamentales, para obtener las magnitudes derivadas y fijar así sus unidades, además permite verificar si una fórmula o ley física, es o no correcta, dimensionalmente. Notación: Se usa un par de corchetes, así:   se lee “Ecuación Dimensional De” Ejemplo: B : Ecuación dimensional de la magnitud física B 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

ECUACIONES DIMENSIONALES MAS CONOCIDAS AREA = L² VOLUMEN = L3 VELOCIDAD = LT-1 ACELERACION = LT-2 FUERZA = MLT-2 TRABAJO = ML²T-2 POTENCIA = ML2T-3 PRESION = ML-1T-2 CALOR = ML²T-2 ENERGIA = ML²T-2 TORQUE = ML²T-2 MOMENTUM LINEAL = MLT-1 IMPULSO = MLT-1 CAUDAL = L3T-1 VELOCIDAD ANGULAR = T-1 ACELERACION ANGULAR= T-2 CARGA ELECTRICA = IT RESISTENCIA ELECTRICA

19.

POTENCIAL ELÉCTRICO

20.

CAPACIDAD ELÉCTRICA

= ML²T-3I-2 = ML²T-3I-1 =M-1L-2T4I²

FÍSICA PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES 1º

Todo número expresado en cualquiera de sus formas tiene como dimensión a la unidad. Ejemplo: Cos 74º = 1 2 = 1

  5 = 1

   3  2  1   2º Sólo se podrá sumar o restar magnitudes de la misma especie y el resultado de dicha operación será igual a la misma magnitud. Ejm.: 3m + 2m = 5m 3m + 2m = 5m L+L=L Ejemplo: 8S – 5S = 3S 85 - 5S = 3S T–T=T 3º Si una fórmula física es dimensionalmente correcta u homogénea, todos los términos de dicha ecuación deben ser dimensionalmente iguales. Así: sea la fórmula física: P+Q=R–S 

P = Q = R = S

Ejemplos de Aplicación 1.

Si: x = 8mg log 12 Donde m: masa g: aceleración de la gravedad ¿Qué dimensiones tendrá x?

FÍSICA Solución: x = 8mg log 12 Recordemos que: 8 = 1  log 12 = 1 Luego, tendremos: x = mg x = MLT-2 2.

Si: X=

1 A  2 vt cos

Donde: A = área; t = período; v = volumen. Hallar las dimensiones de “x” Solución:



A    2 vt. cos  

x    1 

Recuerde:

1 2  1  



cos  = 1

 = 1 Luego:

 A L2  3  vt  L .T

x =  x =

L  LL3T 1  x = L-2T-1 3 LT

3.

Si:

3 (3a  a )2 P= ( v  6v) log 5 Donde:

FÍSICA a = aceleración; v = velocidad Hallar las dimensiones de “P” Solución: De la 2º propiedad: 3a - a = a = LT-2 6v - v = v = LT-1 Luego:





 a 2  LT  2 L2T  4  P =    LT 1 LT 1 v 2

 P = LT-3 Observación Importante Los exponentes de una magnitud siempre son números Ejemplos: *

Son correctas:

h²; F2t-4; t5; Lcos 30º

* No son correctas: hm; Fq, Mt gF; n * Las siguientes expresiones podrían ser correctas, siempre y cuando “x” sea un número M3x F4xL; será correcta si “XL” es un número En éste caso se cumple:

1 = L-1 L = M²

XL = 1  x = Luego: M2xL 4.

Halle las dimensiones de “K” en la siguiente ecuación dimensionalmente correcta.

3AK = h

 A .f g

. cos  . v

Donde: h : altura ; g : gravedad;

f : frecuencia v : velocidad

Solución: *

Analizamos el exponente

 f g  A.   1  A    f   g

FÍSICA A  LT

2

T 1

 LT 1

Luego, en la expresión inicial: Ak = h-1 . v LT-1 K = L-1 . LT-1



K = L-1 PROBLEMAS RESUELTOS

1.

Hallar x y z en la siguiente ecuación D.C.

tg 

( w  w log 2)  z 3 (g  gsen) x

Donde: w : peso; g = gravedad Solución Aplicamos la 1º propiedad: 1=

(w  w )  z w  z  (g  g ) x gx

Luego: gx = w + z  gx = w = z De (1): z = MLT-2

(1)

Además : gx = w

 w  MLT 2  LT  2 g

x = 

 x = M

FÍSICA 2.

¿Qué valor tiene (x-y), si la siguiente ecuación es D.C.?

f  k2 x .g  y 2

Donde:  : longitud; g: gravedad k : constante numérica Solución f =  k2 x .g y  2

T-1 = 1 . L

2 x 2

T-1 = L

2 x 2 2 x

. (LT-2)-y

. L-y T2y

2

-y T-1 = L . T2y Completamos el primer miembro para tener las mismas magnitudes del segundo miembro, así:

LºT-1 = L 2 x -y T2y 2

Igualamos exponentes: De T : 2y = -1 Y=-½ De L : -2x² - y = 0  - 2x² = y - 2x² = - ½ x² = ¼ x=½ Luego

 1   2

x – y = ½ - 

(x - y) = 1 3.

La ecuación mostrada es D.C. Hallar (x + y)

g = Vtx (4 + k

y-x

)

Donde: t = tiempo; v = velocidad g = gravedad Solución Como es D.C., tenemos: [4] = [Ky-x] = 1 Es decir: y – x = 0  y = x Entonces:

FÍSICA [g] = [ Vtx] LT-2 = LT-1 Tx = LTx-1 Igualando exponentes: x – 1 = -2  x = -1 Luego y = -1  4.

(x + y) = -2

Hallar “” si la ecuación mostrada es D.C.

ta a

v 1  y  x  3  y sen x

Donde: t = tiempo; v = velocidad;  = aceleración angular Solución * [x] = [3 ] = T

-2

LT 1

v

*    [y]  [ y]   2 T x

[y] = LT Luego, en la expresión original: ta

a

y = ()-1 y 1 a

sen

Ta y = (T-2)-1 y

sen

1 a

Ta y = T2 ysen Igualando exponentes: a=2;

1 = sen   = 30º 2