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• Nadir Sánchez

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Ecuaciones Diferenciales UNIVERSIDAD YACAMBÚ FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS BÁSICOS

Recopilación: Ing°Nelis Lucena Enero de 2013

Ecuaciones Diferenciales Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria ordinaria,, por el contrario, si depende de más de una variable, se llama llam parcial. Nuestra atención se centrará sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación diferencial ordinaria entonces es aquella que tiene a y como variable dependiente y a x como variable independiente, se puede expresar como como: F ( x, y, y ' , y ' ' ,....., y ( n ) ) = 0 para algún entero positivo n . Las ecuaciones diferenciales se clasifican en varias categorías, como ya vimos, según su tipo en ordinarias y parciales, o según su orden, o según su grado grado. El ordenn de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación. dy = 2x dx

Por ejemplo:

y' = −

x y

Son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, en estas ecuaciones es posible despejar des la razón de cambio e integrar con facilidad, otro ejemplo de ecuaciones diferenciales es

Esta es una ecuación diferencial al de segundo orden, llamada así por el orden de la derivada. El grado de una ecuación diferencial es el exponente de la derivada da de mayor orden que en ella aparece. Ejercicio: Encuentra el grado de las siguiente ecuaciones diferenciales

Una solución de una ecuación diferencial es una relación entre las variables, que define a una de ellas como función de la otra y que satisface face a la Ecuación Diferencial. Por ejemplo:

y = C1 x Cos( x Lnx) + C 2 x Sen( x Lnx) + x Lnx , es una solución de la Ecuación Diferencial x 2

d2y dy − x + 2 y = x Lnx 2 dx dx

Comprobemos: Elaborado por Ingº Nelis Lucena

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Ecuaciones Diferenciales dy = (C 2 − C1 ) Sen Lnx + (C 2 + C1 )Cos Lnx + Lnx + 1 dx

Sen Lnx Cos Lnx 1 d2y = −(C 2 + C1 ) + (C 2 − C1 ) + 2 x x x dx Sustituyendo los valores en la ecuación diferencial original encontramos que la relación de variables satisface a la Ecuación Diferencial Problemas propuestos Verifica las soluciones de las siguientes ecuaciones diferenciales: a) y 2 − 4 x = 0 es solución de x( y ' ) 2 − 1 = 0 d 2 y 1 dy 2 b) − + = 0 es solución de y = C1 + 2 x + C 2 x 2 2 x dx x dx

En estos ejemplos la solución en a) viene dada en forma implícita y en b) en forma explícita. También se observa que la solución en b) tiene dos constantes arbitrarias C1 y C2. Solucionar, o como dicen algunos autores, integrar una Ecuación Diferencial significa: Encontrar la solución general: Esta solución queda expresada con una o más constantes arbitrarias. En caso de que la ecuación sea lineal de orden “n”, la solución general se logra como combinación lineal de las “n” soluciones (tantas como el orden de la ecuación), por lo tanto contiene “n” constantes arbitrarias. Encontrar la solución particular: Esta solución se consigue a partir de la solución general, en donde la constante arbitraria (o constantes arbitrarias) recibe un valor específico. Se hace fijando cualquier punto P ( x0 , y 0 ) , llamado condición inicial, valor inicial o de Cauchy, o también cualquier otro punto P ( x, y ) , llamado condición de frontera, valor en la frontera o de Dirichlet, por donde debe pasar la solución de la ecuación diferencial y donde existe un único valor para las constantes arbitrarias. Ejemplo. d2y y = C1 Cos x + C 2 Sen x Es la solución general de + y = 0 , encontrar la solución particular si y = 2 y dx 2 dy = −1 cuando x = 0 dx

Solución: La solución general de la función es y = C1 Cos x + C 2 Sen x , sustituyendo x = 0 y y = 2

2 = C1 + 0 ⇒ C1 = 2 Derivando la solución general

dy dy = −C1 Sen x + C 2 Cos x , sustituyendo x = 0 y = −1 dx dx

− 1 = 0 + C 2 ⇒ C 2 = −1 Elaborado por Ingº Nelis Lucena

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Ecuaciones Diferenciales Sustituyendo los valores encontrados de las constantes en la solución general encontramos nuestro resultado y = 2 Cos x − Sen x

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO. La forma estándar de una ecuación diferencial de primer orden y primer grado es:

y' = f ( x, y)

[I ]

La forma diferencial de una ecuación diferencial de primer orden y primer grado es:

M ( x, y) dx + N ( x, y) dy = 0

[II ]

Existen muchos métodos para resolver Ecuaciones Diferenciales de primer orden, sin embargo, durante este curso, sólo se desarrollarán los siguientes: Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables: Si en [II ] , M ( x, y ) = A( x ) y N ( x, y ) = B ( y ) , la ecuación diferencial es separable, o tiene sus variables separadas, adquiriendo la forma:

A( x ) dx + B ( y ) dy = 0

Las cuales se resuelven integrando ambos miembros de la igualdad. Ejemplos: 1.-

Elaborado por Ingº Nelis Lucena

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Ecuaciones Diferenciales 2.-

1 1  ⇒ y = cos −1  sen x cos x + x + c  2 2 

3.-

Elaborado por Ingº Nelis Lucena

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Ecuaciones Diferenciales

4.-

Elaborado por Ingº Nelis Lucena

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Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones diferenciales Exactas: Una ecuación diferencial en la forma diferencial [II ] es exacta si se verifica

∂M ∂N = ∂y ∂x

Estas ecuaciones pueden resolverse mediante el siguiente conjunto de pasos, que algunos autores llaman ALGORITMO EXACTO. Denotar el coeficiente de dx con M(x,y) y el coeficiente de dy con N(x,y). Aplicar el criterio de exactitud Hallar una función auxiliar F. Para ello basta con integrar a M(x,y),con respecto a x. Derivar parcialmente a F e igualar este resultado con N(x,y), es decir:

∂F = N(x,y) ∂y

Despejar el factor f ‘(y) y calcular f(y), integrando la expresión obtenida en el despeje. Sustituir f(y) en la expresión obtenida, anteriormente, para F y realizar las operaciones algebraicas que aparezcan para construir una respuesta lo más simplificada posible.

Elaborado por Ingº Nelis Lucena

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Ecuaciones Diferenciales Ejemplos: 1.-

Observemos que esta ecuación diferencial también es de variables separables, les dejo como ejercicio resolverla como tal y comprobar que por cualquier método se llega a la solución.

Elaborado por Ingº Nelis Lucena

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Ecuaciones Diferenciales 2.-

Elaborado por Ingº Nelis Lucena

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Ecuaciones Diferenciales 3.-

Elaborado por Ingº Nelis Lucena

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Ecuaciones Diferenciales 4.-

Elaborado por Ingº Nelis Lucena

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Ecuaciones Diferenciales 5.-

Ecuaciones diferenciales Lineales: Una ecuación diferencial en la forma estándar [I ] es lineal si f ( x, y ) = − p ( x ) y + q ( x ) , las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y se escriben: y '+ p ( x ) y = q ( x ) (a)

Estas ecuaciones pueden resolverse mediante el uso de un factor de integración (o factor integrante), que convierta el lado izquierdo de la ecuación en un diferencial exacto, este factor de integración viene dado por: Elaborado por Ingº Nelis Lucena

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Ecuaciones Diferenciales F .I . = µ = e ∫

p ( x ) dx

Multiplicando (a) por el factor de integración, el lado izquierdo de la ecuación resultante será

d ( yµ ) , la integración dx

directa de esta ecuación resultante es la solución de (a). Estas ecuaciones pueden resolverse mediante el siguiente conjunto de pasos: Escribir la Ecuación de la forma: y '+ p ( x ) y = q ( x ) Identificar la función p (x ) y determinar el Factor integrante F .I . = µ = e ∫

p ( x ) dx

Multiplicar la Ecuación por el Factor Integrante: y ' µ + p ( x ) yµ = q ( x ) µ Como el lado izquierdo de esta última expresión es la derivada del producto de la variable dependiente y el factor integrante, se escribe:

d ( yµ ) = q ( x ) µ dx

Se separan las variables: d ( yµ ) = q ( x) µ dx Se integran ambos miembros de esta ecuación. Ejemplos: 1.-

Elaborado por Ingº Nelis Lucena

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Ecuaciones Diferenciales 2.-

3.-

Elaborado por Ingº Nelis Lucena

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Ecuaciones Diferenciales 4.-

Ecuaciones diferenciales de Bernoulli ( o reducibles a lineales): Una ecuación diferencial en la forma estándar [I ] es de Bernoulli si f ( x, y ) = − p ( x) y + q ( x) y n , donde n es cualquier número real. Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli se escriben siempre como: y '+ p ( x ) y = q ( x ) y n

(b)

Para solucionar la ecuación de Bernoulli, se hace la sustitución v = y 1− n que la convertirá en lineal y por lo tanto puede resolverse por el método anterior.

Nota: En el siguiente ejemplo la sustitución es diferente a lo que hice en clases, les dejo como tarea desarrollarlo de la manera dada en clases y ustedes deciden cuál aplicar.

Elaborado por Ingº Nelis Lucena

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Ecuaciones Diferenciales

EJERCICIOS. 1) Determine el orden y el grado o linealidad de las siguientes ecuaciones diferenciales: 3

a)

d2y  dy  + x 2   − 15 y = 0 2 dx  dx 

b)

(y )

c)

y' ' = 2 x

iv 4

− x 2 ( y ' ') + 4 xy = xe x 5

d4y  dy  d)  4  − 1 = x 3    dx   dx  2) Verifique si y = 2 x 3 − 5 x + C es solución general (en forma explícita) de y ' = 6 x 2 − 5 y obtenga una solución particular que satisfaga y (0) = 3

Elaborado por Ingº Nelis Lucena

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Ecuaciones Diferenciales 3) Demuestre que la Ecuación Diferencial y ' '−25 y = 0 tiene como solución general (en forma explícita) a y = C1e 5 x + C 2 e −5 x

(

)

4) Demuestre que x 3 + x 2 y − 2 y 3 = C es la solución general (en forma implícita) de x 2 − 6 y 2 y '+3 x 2 + 2 xy = 0 5) Demuestre que y = 4 − x 2 es solución particular de y ' = −

x para toda x ∈ [− 2,2] y

6) Demuestre que y = e − x + x − 1 es solución particular de y '+ y = x para toda x ∈ ℜ 7) Las siguientes ecuaciones se dan en forma estándar y en forma diferencial. Determine (sin resolver) si son separables, lineales, de Bernoulli o exactas.
y' = x y ;

x y dx − dy = 0

2

x ; − x 2 dx + y 2 dy = 0 2 y 2y
y ' = − ; 2 xy dx + x 2 dy = 0 x


y' =

8) Resolver: (Ejercicios con respuestas) respuesta: y = ± k − x 2


x dx + y dy = 0
y' =

x2 y − y ; y (3) = −1 y +1

respuesta:

x3 − x − y − ln y = 7 3


2 x y y' − y 2 = x 2

respuesta: y 2 = x 2 − kx


y ' + 2 xy = 2 x 3 ; y (0) = 1

respuesta: y = 2e − x + x 2 − 1


y ' + xy = 6 x y

respuesta: y = Ce


y' +

2

(

2 y = − x 9 y 5 ; y ( −1) = 2 x

(

)


3 x 2 y 2 dx + 2 x 3 y + 4 y 3 dy = 0




respuesta:

4

+6

)

2

1 31 = − x 8 + 2 x 10 4 16 y

respuesta: x 3 y 2 + y 4 = C

( y Sen x + xy Cos x ) dx + (x Sen x + 1) dy = 0

Elaborado por Ingº Nelis Lucena

− x2

respuesta: xy Sen x + y = C

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Ecuaciones Diferenciales 9) Ejercicios sin respuestas

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