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ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIDAD UNO ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.

Presentado a: Alvaro Javier Cangrejo Tutor(a)

Entregado por: Oscar Fabián Quevedo Márquez Código: 14.396.845 Carlos Rene Cuellar Código: Hollman Eduardo Segura Código: 1.110.557.689 Juan David Cabezas Código: 1.110.498.924

Grupo: 196

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES Septiembre 2019

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo contiene el desarrollo de la tarea 1: resolución de problemas y ejercicios de ecuaciones diferenciales de primer orden, planteado dentro del proceso de formación disciplinar común del curso de ecuaciones diferenciales código: 100412; ofertado por la escuela de ciencias básicas, tecnología e ingeniería – ECBTI de la universidad nacional abierta y a distancia -UNAD para sus diversos programas. Presentándonos una introducción y clasificación de las ecuaciones diferenciales, solución de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y sus aplicaciones en ramas como la ciencia y la ingeniería.

OBJETIVOS

-

Conocer la definición, conceptos, terminología y clasificación de las ecuaciones diferenciales de primer orden.

-

Comprender y aplicar los diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden .

-

Identificar y entender las diferentes aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en la física aplicada o ingeniería mediante el modelamiento matemático para interpretar fenómenos como: las leyes de movimiento de newton , leyes de corriente de Kirchhoff, fenómenos de crecimiento poblacional, movimiento vibratorio de sistemas mecánicos etcétera.

-

Interpretar problemas teóricos y prácticos de la ingeniería a través de las ecuaciones diferenciales de primer orden.

PASO 2 ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE INDIVIDUAL Tabla de elección de ejercicios: Nombre del estudiante Oscar Fabián Quevedo

Rol para desarrollar Compilador

Hollman Eduardo Segura Carlos Rene Cuellar Juan David Cabezas

Entregas

Grupo de ejercicios a desarrollar paso 1. El estudiante desarrolla los ejercicios a en todos los tres tipos propuestos. El estudiante desarrolla los ejercicios b en todos los tres tipos propuestos. El estudiante desarrolla los ejercicios c en todos los tres tipos propuestos. El estudiante desarrolla los ejercicios d en todos los tres tipos propuestos. El estudiante desarrolla los ejercicios e en todos los tres tipos propuestos.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA PASO 3 EJERCICIOS INDIVIDUALES A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3. Recuerde consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 32-45).

EJERCICIOS 1. VARIABLES SEPARABLES Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de variables separables (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado) ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Oscar Fabián Quevedo

𝒂.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Ejercicio propuesto 𝒅𝒚 = 𝒆𝟑𝒙+𝟐𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒚 = 𝒆𝟑𝒙 ∗ 𝒆𝟐𝒚 𝒅𝒙

Utilizamos la propiedad de la potenciación que nos indica 𝑎𝑛 ∗ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 para reescribir la ecuación.

𝒅𝒚 = 𝒆𝟑𝒙 ∗ 𝒅𝒙 𝒆𝟐𝒚

Separamos las variables

𝒆−𝟐𝒚 ∗ 𝒅𝒚 = 𝒆𝟑𝒙 ∗ 𝒅𝒙 ∫ 𝒆−𝟐𝒚 ∗ 𝒅𝒚 = ∫ 𝒆𝟑𝒙 ∗ 𝒅𝒙

Subimos la potencia en el primer termino Integramos en ambas partes Utilizamos la regla de integración

𝟏 −𝟐𝒚 𝟏 𝟑𝒙 𝒆 = 𝒆 +𝒄 −𝟐 𝟑

∫ 𝑒 𝑘𝑢 𝑑𝑢 =

1 𝑘𝑢 𝑒 +𝑐 𝑘

𝟔(

𝟏 −𝟐𝒚 𝟏 𝟑𝒙 𝒆 = 𝒆 + 𝒄) −𝟐 𝟑

Para organizar mejor el resultado nos deshacemos de los fraccionarios por medio del m.c.m.(mínimo común múltiplo)

−𝟑𝒆−𝟐𝒚 = 𝟐𝒆𝟑𝒙 + 𝒄 𝒆 𝒍𝒏(𝒆

−𝟐𝒚

−𝟐𝒚

(𝟐𝒆𝟑𝒙 + 𝒄) = −𝟑

El -3 que está multiplicando lo pasamos a dividir Luego despejamos “y” utilizando la inversa del exponencial que es el logaritmo natural, aplicado en ambos términos.

𝟐𝒆𝟑𝒙 + 𝒄 ) = 𝒍𝒏( ) −𝟑

−𝟐𝒚 = 𝒍𝒏(−

𝒚=−

𝒍𝒏( −

𝟐𝒆𝟑𝒙 − 𝒄 ) 𝟑 𝟐𝒆𝟑𝒙 𝟑

Finalmente despejamos “y”

−𝒄)

𝟐

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Hollman Eduardo Segura

𝒃.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA b)

RAZÓN O EXPLICACIÓN

dx = 4(x 2 + 1), dy

∫

𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑦 4(𝑥 2 + 1)

1 𝑑𝑥 ∫ 2 4 𝑥 +1

1 ∫ 4

𝑆𝑒𝑐 2 (𝜃)𝑑𝜃 2

(√𝑇𝑎𝑛(𝜃) + 1)

π 𝑥( ) = 1 4

1 𝑑𝑥 ∫ 4 (√𝑥 2 + 1)2

1 𝑆𝑒𝑐 2 (𝜃)𝑑𝜃 1 1 ∫ = ∫ 𝑑𝜃 = 𝜃 + 𝐶 4 (𝑆𝑒𝑐 2 (𝜃)) 4 4

𝜃 = 𝑇𝑎𝑛−1 (𝑥)

1 𝑦 = 𝑇𝑎𝑛−1 (𝑥) + 𝐶 4

1 𝑇𝑎𝑛−1 (𝑥) + 𝐶 4

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Carlos Rene Cuellar

𝒄.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA (𝑋 + 1) 𝑑𝑦 =

𝑑𝑦 =𝑋+6 𝑑𝑥

Forma inicial de la ecuación

𝑋+6 𝑑𝑥 𝑋+1

Organizamos la ecuación y separamos términos

∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥+6

∫ 𝑥+1 𝑑𝑥 = ∫

𝑥+1+5 𝑥+1

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝑋+6 𝑑𝑥 𝑋+1 5

𝑑𝑥 = ∫(1 + 𝑥+1)dx

𝑦 = 𝑥 + 5 ln|𝑥 + 1| + 𝑐

Procedemos a integrar en ambos lados de la ecuación Desarrollamos la integral Solución final de la ecuación

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Juan David Cabezas

𝑑.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

(𝒆−𝒚 + 𝟏) 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒅𝒙 = (𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝒙)𝒅𝒚, 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒚 ∫ = ∫ −𝒚 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒆 +𝟏

∫

Sustitución:

−𝒅𝒖 𝒖

=∫

𝟏+𝒆−𝒚 −𝒆−𝒚 𝒆−𝒚 +𝟏

𝒚(𝟎) = 𝟎

𝒅𝒚

𝒖 = 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 1

−∫

𝒅𝒖 = −𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒅𝒙

𝒅𝒖 𝒖

𝒆−𝒚 +𝟏

= ∫(

𝒆−𝒚 +𝟏

−

𝒆−𝒚 𝒆−𝒚 +𝟏

) 𝒅𝒚

−𝒅𝒖 = 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝒆−𝒚

− 𝐥𝐧 𝒖 + 𝒄 = ∫ 𝒅𝒚 − ∫ 𝒆−𝒚 +𝟏 𝒅𝒚 −𝐥𝐧(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) + 𝑪 = 𝒚 + ∫ Sustituciones: 𝒖 = 𝒆−𝒚 + 𝟏 𝒅𝒖 𝒅𝒚

=𝒆

−𝒚

−𝒅𝒖 = +𝒆−𝒚 𝒅𝒚

𝒅𝒖 𝒖

− 𝐥𝐧(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) + 𝑪 = 𝒚 + 𝐥𝐧 𝒖 − 𝐥𝐧(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) + 𝑪 = 𝒚 + 𝐥𝐧(𝒆−𝒚 + 𝟏) 𝑪 − 𝒚 = 𝐥𝐧(𝒆−𝒚 + 𝟏) + 𝐥𝐧(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝑪 − 𝒚 = 𝐥𝐧([𝒆−𝒚 + 𝟏][𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙]) −𝐲 +𝟏][𝟏+𝐜𝐨𝐬𝐱])

𝐞𝐜−𝐲 = 𝐞𝐥𝐧([𝐞 k

𝒆𝒄 . 𝒆−𝒚 =[𝒆−𝒚 + 𝟏][𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙] ; 𝒌 ∈ 𝑹

𝒌𝒆−𝒚 = [𝒆−𝒚 + 𝟏][𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙] [𝒆−𝒚 + 𝟏][𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙] 𝒌= 𝒆−𝒚

𝒌=

[𝒆

1 1 + 𝟏][𝟏 + 𝒄𝒐𝒔(𝟎)]

−(𝟎)

𝒆−(𝟎)

𝟏

Remplazo la solución para hallar k 𝒌 = [𝟏 + 𝟏][𝟏 + 𝟏] = 𝟒

→𝒌=𝟒

[𝒆−𝒚 + 𝟏]. [𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙] 𝟒= 𝒆−𝒚 1 𝟒=(

𝒆−𝒚 𝟏 + −𝒚 ) (𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝒙) −𝒚 𝒆 𝒆

𝟒 = [𝟏 +

𝟏

𝒆−𝒚

] . [𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙]

𝟒 𝟏 = 𝟏 + −𝒚 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒆 𝟒 𝟏 − 𝟏 = −𝒚 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒆

⟶

𝟒 − 𝟏 = 𝒆𝒚 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙

Aplico algebra para hallar y 𝒆𝒚 =

𝟒 −𝟏 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙

𝟒 𝒍𝒏 𝒆𝒚 = 𝐥𝐧 ( − 𝟏) 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟒

𝒚 = 𝐥𝐧 (𝟏+𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝟏) R//

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

𝑒.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

EJERCICIOS 2 – ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS

Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de Homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado)

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Oscar Fabián Quevedo

𝑎. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Ejercicio propuesto (𝒙𝟐

+𝒚

𝟐 )𝒅𝒙

+

(𝒙𝟐

− 𝒙𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎

𝒇(𝒕𝒙, 𝒕𝒚) = 𝒕𝒏 𝒇(𝒙, 𝒚) 𝒇(𝒕𝒙, 𝒕𝒚) = ((𝒕𝒙)𝟐 + (𝒕𝒚)𝟐 )𝒅𝒙 + ((𝒕𝒙)𝟐 − (𝒕𝒙)(𝒕𝒚)) 𝒅𝒚 = 𝟎

Las funciones homogéneas se representan de la siguiente manera. Aplicamos la formula a nuestra función para comprobar si es homogénea.

𝒇(𝒕𝒙, 𝒕𝒚) = (𝒕𝟐 𝒙𝟐 + 𝒕𝟐 𝒚𝟐 )𝒅𝒙 + (𝒕𝟐 𝒙𝟐 − 𝒕𝟐 𝒙𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎

Realizamos las operaciones

𝒇(𝒕𝒙, 𝒕𝒚) = 𝒕𝟐 ((𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 )𝒅𝒙 + (𝒙𝟐 − 𝒙𝒚)𝒅𝒚) =𝟎

cómo podemos observar 𝑡 2 términos de la función.

factor común en ambos

𝒇(𝒕𝒙, 𝒕𝒚) = 𝒕𝒏 𝒇(𝒙, 𝒚)

Demostrando que es una función homogénea de grado 2.

(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 )𝒅𝒙 + (𝒙𝟐 − 𝒙𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎

Ahora bien, para solucionar nuestra ecuación diferencial homogénea debemos utilizar el método de sustitución racional.

𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎

Si tenemos una ecuación diferencial de la siguiente forma. Donde las funciones M Y N son homogéneas y del mismo grado.

𝒚 = 𝒙𝒗

𝒅𝒚 = 𝒙𝒅𝒗 + 𝒗𝒅𝒙

𝒙 = 𝒚𝒗

𝒅𝒙 = 𝒚𝒅𝒗 + 𝒗𝒅𝒚

(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 )𝒅𝒙 + (𝒙𝟐 − 𝒙𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎

Podemos hacer que 𝒚 = 𝒙𝒗 convenga más.

o 𝒙 = 𝒚𝒗 según nos

Para nuestro caso utilizaremos 𝒚 = 𝒙𝒗 𝒅𝒚 = 𝒙𝒅𝒗 + 𝒗𝒅𝒙

(𝒙𝟐 + (𝒙𝒗)𝟐 )𝒅𝒙 + (𝒙𝟐 − 𝒙(𝒙𝒗)) (𝒙𝒅𝒗 + 𝒗𝒅𝒙) =𝟎

(𝒙𝟐 + 𝒙𝟐 𝒗𝟐 )𝒅𝒙 + (𝒙𝟐 − 𝒙𝟐 𝒗 )(𝒙𝒅𝒗 + 𝒗𝒅𝒙) = 𝟎

𝒙𝟐 𝒅𝒙 + 𝒙𝟐 𝒗𝟐 𝒅𝒙 + 𝒙𝟑 𝒅𝒗 + 𝒙𝟐 𝒗𝒅𝒙 − 𝒙𝟑 𝒗𝒅𝒗 − 𝒙𝟐 𝒗𝟐 𝒅𝒙 = 𝟎

𝒙𝟐 𝒅𝒙 + 𝒙𝟑 𝒅𝒗 + 𝒙𝟐 𝒗𝒅𝒙 − 𝒙𝟑 𝒗𝒅𝒗 = 𝟎 𝒙𝟐 (𝟏 + 𝒗)𝒅𝒙 + 𝒙𝟑 (𝟏 − 𝒗)𝒅𝒗 = 𝟎 𝒙𝟐 (𝟏 + 𝒗)𝒅𝒙 = −𝒙𝟑 (𝟏 − 𝒗)𝒅𝒗

Realizamos las potencias y los productos.

Eliminamos los términos semejantes de signo opuesto

Ahora sacamos factor común y separamos las variables dejando a un lado dx y al otro dv despejamos

(𝟏 − 𝒗) 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = − 𝒅𝒗 𝟑 𝒙 (𝟏 + 𝒗) (𝒗 − 𝟏) 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒗 𝒙 (𝒗 + 𝟏) (𝒗 + 𝟏) 𝟏 𝟐 ∫ 𝒅𝒙 = ∫ − 𝒅𝒗 𝒙 (𝒗 + 𝟏) (𝒗 + 𝟏)

Integramos en ambas partes

𝟏 𝟐 ∫ 𝒅𝒙 = ∫ 𝟏 − 𝒅𝒗 𝒙 (𝒗 + 𝟏) 𝟏 𝟐 ∫ 𝒅𝒙 = ∫ 𝟏𝒅𝒗 − ∫ 𝒅𝒗 𝒙 (𝒗 + 𝟏)

𝒍𝒏|𝒙| = 𝒗 − 𝟐 𝒍𝒏|𝒗 + 𝟏| + 𝒄 𝒍𝒏|𝒙| + 𝒍𝒏( 𝒍𝒏 (𝒙. (

𝒆

𝒚 𝒚 + 𝟏 )𝟐 = + 𝒄 𝒙 𝒙

Ahora empezamos a despejar (y) utilizando propiedades de logaritmos

𝟐 𝒚 𝒚 +𝟏) )= +𝒄 𝒙 𝒙 𝒚 𝒙

𝟐

𝒍𝒏 (𝒙.( +𝟏 ) )

𝒚

= 𝒆𝒙+𝒄

(𝒙. (

𝟐 𝒚 𝒚 + 𝟏 ) ) = 𝒆𝒙 ∗ 𝒆𝒄 𝒙

(𝒙. (

𝟐 𝒚 𝒚 + 𝟏 ) ) = 𝒆𝒙 ∗ 𝒄 𝒙

(𝒙. (

𝒚

Reemplazamos 𝒗 = 𝒙

𝟐 𝒚 𝒚 + 𝟏 ) ) = 𝒄𝒆𝒙 𝒙 𝒚

𝒄𝒆𝒙 𝒚=𝒙( √ −𝟏 ) 𝒙

Aplicamos exponencial a ambos lados para quitar el logaritmo.

Exponencial elevado a una constante es otra constante.

Despejamos aplicando propiedades algebraicas.

Solución

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Hollman Eduardo Segura

𝑏.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA b)

RAZÓN O EXPLICACIÓN ∂y 𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 𝑥 2 = ∂x 𝑥2

∂y 𝑦 𝑦2 = + +1 ∂x 𝑥 𝑥 2

∂y ∂y =𝑣+ 𝑥 ∂x ∂x

𝑣+

∂y 𝑥 = 𝑣2 + 1 ∂x ∫

𝑣=

𝑦 𝑥

𝑥𝑣 = 𝑦

∂y 𝑥 = 𝑣 + 𝑣2 + 1 ∂x

∂y 𝑥 = 𝑣2 + 1 ∂x

𝜕𝑣 𝜕𝑥 = ∫ 𝑣2 + 1 𝑥

𝑇𝑎𝑛−1 (𝑣) + 𝐶 = 𝐿𝑛(𝑥) + 𝐶 𝑇𝑎𝑛−1 (𝑣) = 𝐿𝑛(𝑥) + 𝐶2 𝑦 𝑇𝑎𝑛−1 ( ) = 𝐿𝑛(𝑥) + 𝐶2 𝑥 𝑦 𝑇𝑎𝑛 (𝑇𝑎𝑛−1 ( )) = 𝑇𝑎𝑛(𝐿𝑛(𝑥) + 𝐶2 ) 𝑥 𝑦 = 𝑇𝑎𝑛(𝐿𝑛(𝑥) + 𝐶2 ) 𝑥 𝑦 = (𝑥)𝑇𝑎𝑛(𝐿𝑛(𝑥) + 𝐶2 )

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Carlos Rene Cuellar

𝑐.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0 𝑑𝑦 𝑦 − 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑥 𝑦 = 𝑢𝑥 𝑦´ = 𝑢´𝑥 + 𝑢 𝑢´𝑥 + 𝑢 =

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Ejercicio en su forma inicial Organizamos el ejercicio en su forma inicial Realizamos el cambio de variable

𝑢𝑥 − 𝑥 𝑥(𝑢 − 1) = =𝑢−1 𝑥 𝑥

Organizamos términos y simplificamos

𝑢´𝑥 + 𝑢 = 𝑢 − 1

Reorganizamos y reducimos términos

𝑢´𝑥 = −1

separable

𝑑𝑢 −1 = 𝑑𝑥 𝑥

Ahora determinamos u(x)

𝑑𝑢 =

−1 𝑑𝑥 𝑥

∫ 𝑑𝑢 = ∫

−1 𝑑𝑥 𝑥

Organizamos la ecuación Procedemos a integrar en ambos lados

𝑢 = − ln|𝑥| + 𝑐

Deshacemos el cambio

𝑦 = − ln|𝑥| + 𝑐 𝑥

Pasamos a x a multiplicar la función

𝑦 = 𝑥(−ln|𝑥| + 𝑐)

Solución final del ejercicio

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Juan David Cabezas

𝑑.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝜕𝑦 −𝑥 = 𝜕𝑥 𝑦 − 2𝑥 Cambio de variable: 𝑦

𝑑𝑣

𝑦 = 𝑥. 𝑣 ⟶ 𝑣 = 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥

−𝑥

𝑣 + 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑣−2𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑣

= 𝑣 + 𝑥 𝑑𝑥

−𝑥

𝑑𝑣

−1

𝑣 + 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥(𝑣−2) ⟶ 𝑣 + 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑣−2 𝑑𝑣

−1

𝑣

𝑑𝑣

𝑥 𝑑𝑥 = 𝑣−2 − 1 ⟶ 𝑥 𝑑𝑥 =

∫

∫

∫

−1−𝑣 2 +2𝑣 𝑣−2

(𝑣 − 2) 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = ∫ −𝑣 2 + 2𝑣 − 1 𝑥

(𝑣 − 2) 𝑑𝑣 = ln 𝑥 + 𝐶 −(𝑣 2 − 2𝑣 + 1)

(𝑣 − 2) 𝑑𝑣 = −ln 𝑥 − 𝐶 (𝑣 − 1)(𝑣 − 1)

∫

(𝑣 − 2) 𝑑𝑣 = −ln 𝑥 − 𝐶 (𝑣 − 1)2

𝑣 2 ∫( − ) 𝑑𝑣 = −𝑙𝑛𝑥 − 𝐶 2 (𝑣 − 1) (𝑣 − 1)2 ∫

𝑣 2𝑑𝑣 𝑑𝑣 − ∫ = −𝑙𝑛𝑥 − 𝐶 (𝑣 − 1)2 (𝑣 − 1)2

Cambio de variable: 𝑢 =𝑣−1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑣 𝑢+1=𝑣

cambio de variable: 𝑢 =𝑣−1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑣

∫

(𝑢 + 1) 𝑑𝑢 𝑑𝑢 − 2 ∫ 2 = −𝑙𝑛𝑥 − 𝐶 2 𝑢 𝑢

∫(

𝑢 1 𝑑𝑢 + 2 ) 𝑑𝑢 − 2 ∫ 2 = −𝑙𝑛𝑥 − 𝐶 2 𝑢 𝑢 𝑢

∫

𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑢 + ∫ 2 − 2 ∫ 2 = −𝑙𝑛𝑥 − 𝐶 𝑢 𝑢 𝑢

∫

𝑑𝑢 𝑑𝑢 − ∫ 2 = −𝑙𝑛𝑥 − 𝐶 𝑢 𝑢

ln 𝑢 − ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢 = −𝑙𝑛𝑥 − 𝐶 𝑢−1 ln 𝑢 − = −𝑙𝑛 𝑥 − 𝐶 −1 ln 𝑢 +

1 = −𝑙𝑛𝑥 − 𝐶 𝑢

ln(𝑣 − 1) + 𝑦

𝑙𝑛 (𝑥 − 1) +

1 = −𝑙𝑛𝑥 − 𝐶 𝑣−1 1

𝑦 ( −1) 𝑥

= −𝑙𝑛𝑥 − 𝐶 R//

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

𝑒.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

EJERCICIOS 3 - ED EXACTAS. De acuerdo al texto anterior soluciona las siguientes Ecuaciones diferenciales empleando el método de exactas (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado).

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Oscar Fabián Quevedo

𝑎. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 𝒅𝒚

𝒚𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝟐𝒙𝒆𝒚 + (𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒙𝟐 𝒆𝒚 + 𝟓) 𝒅𝒙 = 𝟎 𝑴𝒀 = 𝑵𝑿 𝑴𝒅𝒚 + 𝑵𝒅𝒙 = 𝟎

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Primero procedemos a determinar si es una E.D. exacta. Para ello verificamos que la derivada parcial de “M” respecto de (y) sea igual a la derivada parcial de ”N” respecto de (x).

(𝒚𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝟐𝒙𝒆𝒚 )𝒅𝒙 + (𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒙𝟐 𝒆𝒚 + 𝟓)𝒅𝒚 = 𝟎

Rescribimos la ecuación para que quede de la forma 𝑴𝒅𝒚 + 𝑵𝒅𝒙 = 𝟎

𝑴𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝟐𝒙𝒆𝒚

Comprobamos que las derivadas parciales son iguales entonces nuestra E.D. es exacta.

𝑵𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝟐𝒙𝒆𝒚

(𝒚𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝟐𝒙𝒆𝒚 )𝒅𝒙 + (𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒙𝟐 𝒆𝒚 + 𝟓)𝒅𝒚 = 𝟎 𝒇𝒙

𝒇𝒚

∫(𝒚𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝟐𝒙𝒆𝒚 )𝒅𝒙

Luego procedemos a integrar una de las dos expresiones para obtener la función de dos variables 𝒇(𝒙, 𝒚) para hallar la solución general. Solucionamos la integral respecto de la variable (𝑥) y tomamos a (𝑦) como constante.

∫ 𝒚𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 + ∫ 𝟐𝒙𝒆𝒚 𝒅𝒙 𝒚 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 + 𝒆𝒚 ∫ 𝟐𝒙𝒅𝒙

𝒚𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒆𝒚 𝒙𝟐 + 𝒈(𝒚)

𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒚𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒆𝒚 𝒙𝟐 + 𝒈(𝒚)

Debemos colocar la constante de integración, pero como estamos considerando a (y) como una constante entonces debemos colocar una función de (y) como constante. Nuestra función de dos variables es:

𝒇𝒚 = 𝒚𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒆𝒚 𝒙𝟐 + 𝒈′(𝒚)

Ahora hallamos el valor de 𝒈(𝒚) derivando la función respecto de (y) y tomando a (x) como constante.

𝒇𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒆𝒚 𝒙𝟐 + 𝒈′ (𝒚) = (𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒙𝟐 𝒆𝒚 + 𝟓)𝒅𝒚 = 𝟎

Ahora notamos que nuestra expresión hallada es igual a la expresión de nuestra ecuación original, igualamos y cancelamos términos semejantes obteniendo:

𝒈′ (𝒚) = 𝟓

𝒈(𝒚) = ∫ 𝟓𝒅𝒚

Para quitar 𝑔′ integramos ambos términos.

𝒈(𝒚) = 𝟓𝒚 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒚𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒆𝒚 𝒙𝟐 + 𝟓𝒚

Luego reemplazamos 𝑔(𝑦) en nuestra función de dos variables

𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒄

Por último, la solución general debe ser la función de dos variables igual a una constante.

𝒚𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒆𝒚 𝒙𝟐 + 𝟓𝒚 = 𝒄

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Hollman Eduardo Segura.

𝑏.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝑏). (𝑦𝑒 𝑥𝑦 𝐶𝑜𝑠(2𝑥) − 2𝑒 𝑥𝑦 𝑆𝑖𝑛(2𝑥) + 2𝑥)𝑑𝑥 + ((𝑥𝑒 𝑥𝑦 )𝐶𝑜𝑠(2𝑥) − 3)𝑑𝑦 = 0 𝑑𝑀 = (𝑒 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑒 𝑥𝑦 )𝐶𝑜𝑠(2𝑥) − 2𝑥𝑒 𝑥𝑦 𝑆𝑖𝑛(2𝑥) 𝑑𝑦 𝑑𝑁 = (𝑒 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑒 𝑥𝑦 )𝐶𝑜𝑠(2𝑥) + (−2𝑆𝑖𝑛(2𝑥)𝑥𝑒 𝑥𝑦 ) 𝑑𝑥 = (𝑒 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑒 𝑥𝑦 )𝐶𝑜𝑠(2𝑥) − 2𝑥𝑒 𝑥𝑦 𝑆𝑖𝑛(2𝑥) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑦𝑒 𝑥𝑦 𝐶𝑜𝑠(2𝑥) − 2𝑒 𝑥𝑦 𝑆𝑖𝑛(2𝑥) + 2𝑥)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦)

𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑦𝑒 𝑥𝑦 𝐶𝑜𝑠(2𝑥) − ∫ 2𝑒 𝑥𝑦 𝑆𝑖𝑛(2𝑥) + ∫ 2𝑥 + 𝑔(𝑦)

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 ∫ 𝑒 𝑥𝑦 𝐶𝑜𝑠(2𝑥) − 2 ∫ 𝑒 𝑥𝑦 𝑆𝑖𝑛(2𝑥) + 𝑥 2 + 𝑔(𝑦)

∫𝑒

𝑥𝑦

2𝑒 𝑥𝑦 𝑆𝑖𝑛(2𝑥) 𝑦𝑒 𝑥𝑦 𝐶𝑜𝑠(2𝑥) 𝐶𝑜𝑠(2𝑥) = + +𝐶 4 + 𝑦2 4 + 𝑦2

𝑢 = 𝐶𝑜𝑠(𝑥)

;

𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥𝑦 ;

𝑑𝑢 = −2𝑆𝑖𝑛(2𝑥) 𝑣=

𝑒 𝑥𝑦 𝑦

𝑒 𝑥𝑦 (−2𝑆𝑖𝑛(2𝑥)) 𝑒 𝑥𝑦 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 𝑒 𝑥𝑦 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 2 −∫ = + ∫ 𝑆𝑖𝑛(2𝑥)𝑒 𝑥𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦

𝑢 = 𝑆𝑖𝑛(2𝑥)

𝑑𝑢 = 𝐶𝑜𝑠(2𝑥)

𝑑𝑣 = 𝑒

𝑥𝑦

𝑒 𝑥𝑦 𝑣= 𝑦

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 ∫ (

2𝑒 𝑥𝑦 𝑆𝑖𝑛(2𝑥) + 𝑦𝑒 𝑥𝑦 𝐶𝑜𝑠(2𝑥) −2𝑒 𝑥𝑦 𝐶𝑜𝑠(2𝑥) 𝑦𝑒 𝑥𝑦 𝑆𝑖𝑛(2𝑥) ) − 2 ( + ) 4 + 𝑦2 4 + 𝑦2 4 + 𝑦2

𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑦𝑒 𝑥𝑦 𝑆𝑖𝑛(2𝑥) + 𝑦 2 𝑒 𝑥𝑦 𝐶𝑜𝑠(2𝑥) +

4𝑒 𝑥𝑦 𝐶𝑜𝑠(2𝑥) − 2𝑦𝑒 𝑥𝑦 𝑆𝑖𝑛(2𝑥) + 𝑥2 4 + 𝑦2

𝑦 2 𝑒 𝑥𝑦 𝐶𝑜𝑠(2𝑥) + 4𝑒 𝑥𝑦 𝐶𝑜𝑠(2𝑥) 𝑓(𝑥, 𝑦) = + 𝑥2 4 + 𝑦2

(4 + 𝑦 2 )𝑒 𝑥𝑦 𝐶𝑜𝑠(2𝑥) 𝑓(𝑥, 𝑦) = + 𝑥2 4 + 𝑦2 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥𝑦 𝐶𝑜𝑠(2𝑥) + 𝑥 2 + 𝑔(𝑦) 𝑥𝑒 𝑥𝑦 𝐶𝑜𝑠(2𝑥) − 3 =

𝑑𝑥 (𝑥𝑒 𝑥𝑦 𝐶𝑜𝑠(2𝑥) + 𝑥 2 ) + 𝑔"(𝑦) 𝑑𝑦

𝑥𝑒 𝑥𝑦 𝐶𝑜𝑠(2𝑥) − 3 = 𝑥𝑒 𝑥𝑦 𝐶𝑜𝑠(2𝑥) + 𝑔"(𝑦) −3 = 𝑔"(𝑦) ∫ 𝑔"(𝑦) = ∫ −3

𝑔(𝑦) = −3𝑦

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐶1

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥𝑦 𝐶𝑜𝑠(2𝑥) + 𝑥 2 − 3𝑦

𝐶1 = 𝑒 𝑥𝑦 𝐶𝑜𝑠(2𝑥) + 𝑥 2 − 3𝑦

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Carlos Rene Cuellar

𝑐.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝑥𝑦 𝑦 (√1 + 𝑥 2 + 𝑥 2 − ln 𝑥)𝑑𝑦 + ( + 2𝑥𝑦 − 𝑥 ) 𝑑𝑥 = 0 2 √1 + 𝑥 𝑥𝑦 𝑦 N=(√1 + 𝑥 2 + 𝑥 2 − ln 𝑥) M=( + 2𝑥𝑦 − 𝑥 ) 2 √1 + 𝑥 𝑑𝑁 𝑑𝑥

Identificamos los términos para proceder sacar la derivada parcial y comprobar que sea una ecuación diferencial exacta Realizamos la derivada parcial con respecto a dx

= √1 + 𝑥 2 + 𝑥 2 − ln 𝑥 𝑑𝑁 𝑥 1 = + 2𝑥 − 𝑑𝑋 √1 + 𝑥 2 𝑥

Obtenemos la derivada parcial

𝑥𝑦 𝑑𝑀 𝑦 =( + 2𝑥𝑦 − ) √1 + 𝑥 2 𝑑𝑦 𝑥

Ahora vamos a realizar la derivada parcial con respecto a dy

𝑑𝑀 𝑥 1 = + 2𝑥 − 𝑑𝑦 √1 + 𝑥 2 𝑥

Obtenemos la derivada parcial con respecto a dy

𝑑𝑁 𝑑𝑀 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦

Comprobamos que ambas derivadas parciales son iguales podemos decir que la ecuación diferencial es exacta

𝑚=

𝑑𝑓 = 𝑓𝑦 𝑑𝑦

𝑛=

𝑑𝑓 = 𝑓𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑓 = √1 + 𝑥 2 + 𝑥 2 − ln 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑓 = √1 + 𝑥 2 + 𝑥 2 − ln 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑓 = ∫ √1 + 𝑥 2 + 𝑥 2 − ln 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑓 = ∫ √1 + 𝑥 2 + 𝑥 2 − ln 𝑥 𝑑𝑥

Expresamos la función para empezar a resolver la integral Nos quedaría esta primera ecuación Organizamos la ecuación Procedemos a integrar en ambos lados de la ecuación Vemos que la primera parte de la ecuación “√1 + 𝑥 2 𝑑𝑥” es una función trigonométrica y procedemos a resolverlo Donde 𝑥 = tan ∅, 𝑑𝑥 = sec ∅2

∫ 𝑓 = ∫ √1 + tan ∅2

. sec ∅2 𝑑∅ + 𝑥 2 − ln 𝑥 𝑑𝑥

Sabemos que 1 + tan ∅2

= sec ∅2

Ahora podemos cancelar la raíz cuadrada y nos quedaría de la siguiente forma

∫ 𝑓 = ∫ √sec ∅2 +. sec ∅2 𝑑∅ + 𝑥 2 − ln 𝑥 𝑑𝑥

Ahora procedemos a sumar términos con las mismas bases

∫ 𝑓 = ∫ sec ∅ + sec ∅2 𝑑∅ + 𝑥 2 − ln 𝑥 𝑑𝑥

Resolvemos el primer parte de la integral y nos quedaría de la siguiente forma

∫ 𝑓 = ∫ sec ∅3 𝑑∅ + 𝑥 2 − ln 𝑥 𝑑𝑥 1 1 𝑥 √1 + 𝑥 2 + ln |√1 + 𝑥 2 + 𝑥| 2 2

Sería la repuesta de∫ sec ∅3 𝑑∅

Ahora vamos a resolver la última parte de la integral como vemos es una integral por partes

∫ 𝑓 = ∫ ln|𝑥|𝑑𝑥 𝑢 = ln|𝑥|, 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥,

Fórmula para resolver ecuaciones diferenciales por partes

∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢

𝑥 ln|𝑥| − 𝑥 + 𝑐

Sería el resultado de nuestra ecuación resueltas por partes

1 1 𝑥3 2 2 √ √ 𝐹 = 𝑥 1 + 𝑥 + ln | 1 + 𝑥 + 𝑥| + 2 2 3 − 𝑥 ln|𝑥| − 𝑥 + 𝑐

Solución de nuestro ejercicio q1ueda de la siguiente forma

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Juan David Cabezas

𝑑.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝑑𝑦 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑑𝑥 2𝑥𝑦 2 − 𝑥 2 (2𝑥𝑦 2 − 𝑥 2 )𝑑𝑦 = (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑥

(2𝑥𝑦 2 − 𝑥 2 )𝑑𝑦 − (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 = 0

𝑁 Para que sean exactas

𝜕𝑀 𝜕𝑦

𝑀

𝜕𝑁

= 𝜕𝑥

𝜕𝑁 = 2𝑥𝑦 2 − 𝑥 2 𝜕𝑥 𝜕𝑀 = 2𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑀 𝜕𝑦

≠

𝜕𝑁 𝜕𝑥

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

𝑒.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA

A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas. Problema: En la teoría del aprendizaje, se supone que la rapidez con que se memoriza algo es proporcional a la cantidad de datos por memorizar, suponga que M representa la cantidad total de un tema que se debe memorizar y que A(t) es la cantidad memorizada cuando el tiempo es t, Cual es la ecuación diferencial que expresa y la solución para determinar la cantidad A(t) para cualquier t. a) b) c) d)

𝝏𝑨 𝝏𝒕 𝝏𝑨 𝝏𝒕 𝝏𝑨 𝝏𝒌 𝝏𝑨 𝝏𝒕

𝑨

= 𝒌𝑴𝑨 , 𝒌 > 𝟎, 𝑨(𝒕) = 𝑴 𝒆𝒌𝒕 = 𝒌(𝑴 − 𝑨), 𝒌 > 𝟎, 𝑨(𝒕) = 𝑴 + 𝑪𝒆−𝒌𝒕 = 𝒌𝑴, 𝒌 ≥ 𝟎, 𝑨(𝒕) = 𝑴𝒆𝒌𝒕 = 𝒌(𝑴 − 𝑨), 𝒌 > 𝟎, 𝑨(𝒕) = 𝑴 + 𝑪𝒆𝒌𝒕

Aporte Oscar Fabián Quevedo

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

A(t) : Cantidad del tema memorizado en el tiempo “t”. M

: Cantidad total del Tema que se debe memorizar.

M – A(t) : Cantidad del Tema que falta por memorizar. dA/dt :

Rapidez con que se Memoriza.

k > 0 : Constante de Proporcionalidad.

𝑑𝐴 = 𝑘(𝑀 − 𝐴) 𝑑𝑡

Si M representa la cantidad total de un tema que se debe memorizar, A(t) es la cantidad memorizada cuando el tiempo es t y k una constante de proporcionalidad, la ecuación diferencial que expresa la tasa de cambio de la cantidad A(t) para cualquier t es:

𝑑𝐴 = 𝑘𝑑𝑡 (𝑀 − 𝐴)

Como es una ecuación diferencial de variables separables procedemos.

∫

𝑑𝐴 = ∫ 𝑘𝑑𝑡 (𝑀 − 𝐴)

Integramos en ambas expresiones

− ln(𝑀 − 𝐴) + 𝐶 = 𝑘𝑡 + 𝐶

Resolvemos las integrales

− ln(𝑀 − 𝐴) = 𝑘𝑡 + 𝐶

Dividimos todos los términos por (-1) para quitar el signo menos del logaritmo natural.

− ln(𝑀 − 𝐴) 𝑘𝑡 𝐶 = + −1 −1 −1

Luego simplificamos

ln(𝑀 − 𝐴) = −𝑘𝑡 − 𝐶

Despejamos con propiedades de logaritmos

𝑒 ln(𝑀−𝐴) = 𝑒 −𝑘𝑡−𝐶

Despejamos y aplicamos propiedad de exponenciales

𝑀 − 𝐴 = 𝑒 −𝑘𝑡 ∗ 𝑒 −𝑐

Exponencial elevado a una constante es otra constante.

𝑀 − 𝐴 = 𝑒 −𝑘𝑡 ∗ −𝐶

Despejamos (A).

𝑀 − 𝐴 = −𝐶𝑒 −𝑘𝑡

−𝐴 = −𝑀 − 𝐶𝑒 −𝑘𝑡

Multiplicamos por (-1) toda la ecuación.

(−1) − 𝐴 = −𝑀 − 𝐶𝑒 −𝑘𝑡 𝐴 = 𝑀 + 𝐶𝑒 −𝑘𝑡

De esta manera obtenemos la solución a nuestra ecuación diferencial,

𝐴(𝑡) = 𝑀 + 𝐶𝑒 −𝑘𝑡 La respuesta correcta es la “b” Aporte Carlos Rene Cuellar

Desarrollo Lo primero que hacemos es sacar los términos representativos A(t)= cantidad de tema memorizado en el tiempo (x) M= cantidad total del tema que falta por memorizar M-A(t)= cantidad del tema que falta por memorizar dA/dt= rapidez con que se memoriza k>0= constate de proporcionalidad Analizando estos datos la ecuación diferencial resultante sería:

𝝏𝑨 = 𝒌(𝑴 − 𝑨), 𝒌 > 𝟎 𝝏𝒕 La respuesta correcta es la b Aporte juan David cabezas 𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑠 ⟶ 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 (𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎) 𝑑𝐴 = 𝑘(𝑀 − 𝐴); 𝑘 ≥ 0 𝑑𝑡 ∫

∫

Sustitución: 𝑢 =𝑀−𝐴 𝑑𝑢 = −𝑑𝐴 −𝑑𝑢 = 𝑑𝐴

−𝑑𝑢 𝑢

𝑑𝐴 = ∫ 𝐾 𝑑𝑡 𝑀−𝐴

= 𝑘 ∫ 𝑑𝑡

− ln 𝑢 = 𝑘𝑡 + 𝐶 𝑒 ln 𝑢 = 𝑒 −𝑘𝑡+𝑐 𝑢 = 𝑒 −𝑘𝑡 𝑒 𝑐 𝑀 − 𝐴 = 𝐶 𝑒 −𝐾𝑡 −𝐴 = 𝐶 𝑒 −𝐾𝑡 − 𝑀 𝐴 = 𝑀 + 𝐶 𝑒 −𝐾𝑡

Aporte Hollman Eduardo Segura

𝑏).

𝑑𝐴 = 𝑘(𝑀 − 𝐴) > 0, 𝑑𝑡

𝐴𝑡 = 𝑀 − 𝐶𝑒 −𝑘𝑡

𝑑𝐴 𝑑𝐴 = 𝑘(𝑀 − 𝐴) = = 𝑘𝑑𝑡 (𝑀 − 𝐴) 𝑑𝑡 𝑑𝐴 𝑑𝐴 = 𝑘(𝑀 − 𝐴) = ∫ = ∫ 𝑘𝑑𝑡 (𝑀 − 𝐴) 𝑑𝑡 𝑑𝐴 = 𝑘(𝑀 − 𝐴) = 𝐿𝑛 (𝑀 − 𝐴) = −𝑘𝑡 + 𝐶 𝑑𝑡 𝐴𝑡 = 𝑀 − 𝐶𝑒 −𝑘𝑡

PASO 5

EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA SITUACIÓN PLANTEADA. Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:

Situación problema: El diagrama auditivo muestra el rango de frecuencias, niveles de intensidad de los sonidos perceptibles por el oído humano, un oído normal solo escucha los sonidos contenidos en el intervalo del umbral auditivo y umbral del dolor. El eje horizontal expresa la dependencia de la frecuencia, el eje derecho es el valor de la intensidad. El oído humano solo puede percibir sonidos en variaciones de intensidad de 10−12 a 102 en un valor de 20 a 20000Hz.

EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA GUIA

OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA Solución planteada: OBSERVACION, las correcciones de la Solución planteada: guía están en color rojo ∆𝐼 ∆𝐼 = 10−2 = 102 , 𝐴𝑞𝑢𝑖 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒 102 𝑦 𝑛𝑜 𝑑𝑒 10−2 𝐼 𝐼 Por lo cual, se estableció una escala de Ahora establecemos la siguiente relación de diferencial. Y niveles para el sonido o la escala de volumen además una escala de niveles para el sonido o la escala de volumen k, mediante la siguiente expresión 𝜅 mediante la siguiente relación 𝑑𝐼 ≈ 𝑑𝑘 𝑑𝐼 𝐼 ≈ 𝑑𝑘 Ahora dk es el crecimiento del volumen debido al aumento 𝐼 en la intensidad, esta proporcionalidad se iguala mediante la Donde 𝑑𝜅 es el crecimiento del volumen siguiente expresión: debido al aumento en la intensidad, esta 𝑑𝐼 proporcionalidad se iguala mediante el uso = 𝐴𝑑𝑘 de un valor 𝐴, porcentaje que determina la 𝐼 Ahora procedemos a integrar a ambos lados. magnitud de la escala. dI ∫ = ∫ Adk 𝑑𝐼 I =𝐴 Sabemos que estas integrales se hacen por medio de tabla y 𝐼 Integrando tenemos que: quedara así: ∫ 𝑙𝑛(𝐼) = 𝐴𝑘 Ahora miremos la siguiente conversión así: ∫ 𝐼 − 𝐼0 𝑑𝐼 = 𝐴𝐼 𝐼 𝐼= 𝐼0 𝐼 2 − 𝐼02 Esta expresión la reemplazo en la función hallada anterior = 𝐴𝐼 𝐼 2 𝑙𝑛 ( ) = 𝐴𝑘 𝐼0 Para que se presente una sensación audible la Ahora procedemos a despejar el valor K onda debe tener una intensidad mínima 𝐼0, o 1 𝐼 𝐾 = ∗ 𝐿𝑛 ( ) umbral mínimo de audición, el umbral de la 𝐴 𝐼0 audición en aire es Pero asumimos que el valor A = Ln(10), lo cual se reemplaza en la ecuacion anterior 𝐼0 = 1012 𝑤/𝑚2 1 𝐼 𝐾= ∗ 𝐿𝑛 ( ) 𝐿𝑛(10) 𝐼0 𝑙𝑛𝐼 − 𝑙𝑛𝐼0 = 𝐴𝑘 Haciendo operaciones algebraicas tenemos lo siguiente así: 𝐼 Donde k = 10 𝑙𝑜𝑔 ( ), 𝐼0 𝐶 = 𝑙𝑛𝐼0 𝐼 𝑦𝑎 𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑏𝑒𝑙𝑙, 𝛽𝑝 [𝑑𝐵] = 10 𝑙𝑜𝑔 (𝐼 ) 0 Cuando 𝐼0 = 𝐼, el volumen 𝑘 = 0, es decir el volumen es cero, lo cual se expresa como 1 𝐼 𝑘 = 𝑙𝑛 𝐴 𝐼0 Si 𝐴 = 𝑙𝑛10 ≈ 2.30 entonces se obtiene

𝑘 = 𝑙𝑛10 ∗ 𝑙𝑜𝑔

𝐼 𝐼0

Esta expresión indica que la sensibilidad del oído (volumen) de una persona cambia proporcionalmente al logaritmo de la intensidad del sonido. Este volumen presenta una unidad de medida llamada Bell o su décima parte llamada decibel, expresada como 𝛽𝑝[𝑑𝐵]=10𝑙𝑜𝑔𝐼𝐼0

𝛽𝑃 [𝑑𝐵] = 10𝑙𝑜𝑔

𝐼 𝐼0

PASO 8 TABLA LINKS VIDEOS EXPLICATIVOS Nombre Estudiante

Enlace video explicativo

Oscar Quevedo

Ejercicios sustentados Ejercicio 2a

Carlos Cuellar Juan Cabezas

Ejercicio 2c Ejercicio 2d

https://youtu.be/cxdhKMcW-uo https://www.loom.com/share/84de8dd3a9c844138b0a97696451d3bb

https://www.loom.com/share/7823e8084dc84d5f86577eb332e05d09

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 2-10). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467

-

Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. (pp. 53-58). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10584022

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Amaya, J. (2015). Métodos de solución de ecuaciones diferenciales de primer orden. Unad. [Videos]. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7384

-

Granados, A. (2018). Ecuaciones diferenciales de variables separables. Unad. [OVA]. Disponible en http://hdl.handle.net/10596/22287

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CKMatmáticas, (2015). Differential Equations and Integration. [OVA]. Recuperado de http://www.ck12.org/calculus/Differential-Equations-and-Integration/

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CK-12, (2014). Solving Separable First-Order Differential Equations. [OVA]. Recuperado de http://www.ck12.org/calculus/Solving-Separable-First-Order-Differential-Equations/