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• Brian Choxom Martinez

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Ecuaciones de Valor

Quetzaltenango 19 de Diciembre de 2,015

ÍNDICE

INTRODUCCION................................................................................................... 1 JUSTIFICACIÓN.................................................................................................... 2 ECUACIONES DE VALOR...................................................................................... 3 DEUDAS EQUIVALENTES EN UN PUNTO COMÚN...................................................3 DIAGRAMAS DE TIEMPO-VALOR...........................................................................4 FECHA FOCAL:..................................................................................................... 4 DESARROLLO...................................................................................................... 5 CONCLUSION....................................................................................................... 9 REFERENCIAS................................................................................................... 10 BIBLIOGRAFIA.................................................................................................... 11

INTRODUCCION Es muy frecuente el hecho de cambiar una o varias obligaciones por otra u otras nuevas obligaciones. Los pagos al ser efectuados en diferentes intervalos de tiempo no pueden ser comparados a menos que se les busque un valor equivalente en un mismo punto en la línea de tiempo. La solución de este tipo de problemas se plantea en términos de una ecuación de valor que es una igualdad de valores ubicados en una sola fecha denominada fecha focal. En la fecha focal debe plantearse entonces la igualdad entre las diferentes alternativas para que la suma algebraica sea cero como se establece en el principio de equivalencia financiera.

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JUSTIFICACIÓN

La presente investigación es llevada a cabo con el propósito de que los estudiantes de matemática financiera, adquieran un poco sobre lo que consisten las ecuaciones de valor y así ampliar sus conocimientos sobre sus diferentes aplicaciones en las innumerables situaciones que se presentan en la vida profesional y en el mundo de las finanzas, conociendo principalmente el enfoque del factor tiempo, en un punto determinado,

el cual se conoce como FECHA

FOCAL y por el cual se podrán comparar dos o más pagos de distintas condiciones. En otras palabras solo se puede sumar, restar o igualar la cantidad de dinero al ubicado en una misma fecha, de una (o más) inversión(es) de capital con dos fechas de pagos diferentes y en diferentes lapsos de tiempo. Así también el estudiante será capaz de resolver los problemas básicos de las inversiones equivalentes, de manera que el valor y el tiempo produzcan el mismo resultado económico. Esto es lo que se expresa en ecuaciones de valor. Haciendo énfasis, diferentes valores en un punto común.

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ECUACIONES DE VALOR

Son procedimientos matemáticos que permiten calcular el valor de las nuevas obligaciones en renegociaciones de deudas. Se trata de igualar el valor de las viejas obligaciones con el valor de las nuevas obligaciones. Se acostumbra escribir en la parte superior de la grafica de tiempo-valor, los valores de las viejas obligaciones y en la parte inferior, el valor de las nuevas obligaciones. 1

DEUDAS EQUIVALENTES EN UN PUNTO COMÚN Las ecuaciones de valores equivalentes son una de las técnicas más útiles de las matemáticas financieras, debido a que nos permiten plantear y resolver diversos tipos de problemas financieros, mediante los desplazamientos simbólicos de los capitales a través del tiempo. Es usual que deudores y acreedores hagan un convenio para refinanciar sus deudas, es decir, para remplazar un conjunto de obligaciones que previamente contrajeron por otro nuevo conjunto de obligaciones que le sea equivalente, pero con otras cantidades y fechas. En general, estos conjuntos vienen relacionados a un flujo de deudas y el otro al de los pagos, o bien, uno se refiere a los depósitos y el otro, a los retiros producidos en una cuenta bancaria, así como también, se presentan casos de transacciones en las que un deudor desea reemplazar un conjunto de pagos que debe efectuar a un determinado acreedor, por otro conjunto que sea equivalente, pero con otras cantidades y fechas de vencimiento

1 José Horacio Ramírez Pérez (10/08/2007), Renegociaciones de Deudas, Ecuaciones de Valor, Articulo recuperado de: http://www.mailxmail.com/cursorenegociaciones-deudas/definiciones 3

La solución de este tipo de problemas se plantea en términos de una ecuación de valor que

es

una

igualdad

de

valores

ubicados

en

una

sola

fecha

denominada fecha focal; planteada en términos algebraicos.

DIAGRAMAS DE TIEMPO-VALOR Si en una línea de tiempo se colocan los valores en juego, se tiene un diagrama de tiempo-valor. Estos diagramas son de gran utilidad para el análisis de los problemas y permiten apreciaciones intuitivas; el lector debe familiarizarse con ellos ya que se utilizarán con frecuencia en estos apuntes. En un diagrama, el tiempo puede medirse de dos maneras diferentes: en sentido positivo (de izquierda a derecha, si se tiene una fecha inicial y se cuenta con un valor futuro; en sentido negativo (de derecha a izquierda), si se tiene una fecha de vencimiento, o final, y un valor antes del vencimiento. 2

Positivo si busco el Monto

Negativo si busco el Capital

Presente

Futuro

FECHA FOCAL: Es la fecha que se elige para hacer coincidir el valor de las diferentes operaciones, dicho de otra manera es la fecha que se escoge para la equivalencia.

Deuda 2 Deuda 1

2 Gerardo Gutiérrez Jiménez, Apuntes de Matemáticas Financieras, Diagramas de Tiempo-Valor, Articulo recuperado de: csh.izt.uam.mx/cursos/gerardo/uam/matefin/diagramas.pdf 4

Hoy

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Trimestres Pago 1

Fecha Focal

En la fecha focal debe plantearse entonces la igualdad entre las diferentes alternativas para que la suma algebraica sea cero como se establece en el principio de equivalencia financiera. Una ecuación de valor se fundamenta en que el dinero tiene un valor que depende del tiempo. Por tal razón, al plantearla se debe respetar la Regla Fundamental de la Suma Financiera de Capitales: “Dos o más capitales financieros no pueden sumarse mientras no coincidan sus vencimientos” Es así como para plantear la ecuación, habremos de efectuar una suma financiera de capitales, trasladando todos ellos a una cierta fecha, tomando en cuenta el aumento o disminución del dinero a través del tiempo. A ese vencimiento o fecha de referencia se le llama FECHA FOCAL.

DESARROLLO En las operaciones financieras vamos a encontrar un problema básico, y es el de las inversiones equivalentes; de manera que, en valor y en tiempo estas produzcan el mismo resultado económico. Y esto es lo que se expresa en ecuaciones de valor. “Este planteamiento de ecuaciones de valores equivalentes es uno de los más importantes en matemáticas financieras, por lo que es necesario asegurarse de que se comprenda cabalmente. En su forma más simple podría considerarse, por ejemplo, que la fórmula del monto a interés simple es una ecuación de valores equivalentes, ya que M = C (1 + it)

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El monto Mes equivalente un capital C, colocado a un tiempo t y a una tasa i.” 3 Un mismo valor situado en fechas diferentes es, desde el punto de vista financiero, un valor distinto. No se debe olvidar que solo se pueden sumar, restar o igualar dinero ubicado en una misma fecha (a esta fecha llamaremos fecha focal).

“Para compensar esa pérdida de valor, al capital original se le agregan intereses a fin de que el monto futuro sea equivalente en cuanto a poder adquisitivo al capital actual. C=M C+I=M C

M t

Así, un capital C es equivalente a un monto M, a un plazo t.” 4 EJEMPLO; El señor Juan Pellico firmó el primero del mes de febrero un pagaré por 15,000 quetzales a 120 días, con 9.7% de interés anual. 90 días después suscribió otro pagaré por 12,000 quetzales a 120 días, sin pagar intereses. 90 días después de esa fecha inicial, conviene con su acreedor, el señor Juan Miguel Solís, sustituir estas dos obligaciones en la siguiente forma. Pagar 6,000 quetzales el 1 de mayo y recoger los dos pagarés, sustituyéndolo por uno solo a 150 días, contados a partir de la fecha en que se cancelan los 6,000 quetzales. El señor Juan Miguel Solís indicó estar de acuerdo con dicha renovación, siempre y cuando logre un rendimiento del 11.2% anual. ¿Qué pago 3 Alfredo Díaz Mata, Víctor Manuel Aguilera (5ta. Edición). (2013). Matemáticas Financieras, México D.F 4 Alfredo Díaz Mata, Víctor Manuel Aguilera (5ta. Edición). (2013). Matemáticas Financieras, México D.F 6

único deberá realizar el señor Juan Pellico, al vencer los 240 días, considerando esta como la fecha focal? Utilice el año comercial.

a) ELABORANDO EL DIAGRAMA DE TIEMPO-VALOR FECHA FOCAL PAGARE 1: 120 DIAS PAGARE 1

15,000+I

PAGARE 2: 30 DIAS PAGARE 2

15,0000 120 DIAS 01/02

240 DIAS

PAGO 6,000

PAGO FINAL X

Suscripción

b) HACIENDO LOS CALCULOS PARA EL VENCIMIENTO DE LOS PAGARES DATOS

FORMULA

(

t=120 d í as M =C o∗ 1+

CALCULOS

t∗i 120∗9.7 M =15,000∗ 1+ 36,000 36,000

)

(

)

i=9.7 anual M =15,000∗( 1.0323 ) C o=120 d í as M =15,485 M =?

El Segundo pagaré no genera intereses. c) LLEVANDO LOS VIEJOS MONTOS A LA FECHA FOCAL Para el primer pagare 7

DATOS

FORMULA

(

C1 =15,485 M 1=C 1∗ 1+

CALCULOS

t∗i 120∗11.2 M 1=15,485∗ 1+ 36,000 36,000

)

(

)

i=11.2 anual M 1=15,485∗(1.0373 ) t=120 d í as M 1=16,063.11 M 1=?

Para el segundo pagare DATOS

FORMULA

(

C2 =12,000 M 2=C 2∗ 1+

CALCULOS

t∗i 30∗11.2 1 M 2=12,000∗ 1+ 36,000 36,000

)

(

)

i=11.2 anual M 2=12,000∗( 1.0093 ) t=30 d í as 0 M 2=12,112 M 2=?

d) LLEVANDO LAS NUEVAS OBLIGACIONES A LA FECHA FOCAL Se realizó un pago de 6,000 quetzales, los cuales ganan intereses en la fecha focal. Los cálculos son: DATOS

FORMULA

(

C3 =6,000 M 3 =C3∗ 1+

CALCULOS

t∗i 150∗11.2 M 3=6,000∗ 1+ 36,000 36,000

)

(

i=11.2 anual M 3=6,000∗( 1.046 ) t=150 d í as M 3=6,280

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)

M 1=?

El otro pago, o sea el último pago no gana intereses, dado que se paga en la fecha focal, por lo que se tiene la siguiente ecuación: VIEJAS OBLIGACIONES = NUEVAS OBLIGACIONES 16,063.11+12,122 = 6,280 + X 28,175.11-6,280 = X X = 21,895.11 e) RESPUESTA El pago único que deberá hacer Juan Pelico será de 21,895.11 quetzales.

CONCLUSION El factor tiempo juega un papel decisivo a la hora de fijar el valor de un capital. No es lo mismo disponer de 1,000 quetzales hoy que dentro de un año, ya que el dinero se va depreciando como consecuencia de la inflación. Es decir, los 1,000 quetzales en el momento actual serán equivalentes a 1,000 quetzales más una cantidad adicional dentro de un año. Esta cantidad adicional es la que compensa la pérdida de valor que sufre el dinero durante ese periodo. 9

En este sentido, en matemáticas financieras existen dos reglas básicas:  Ante dos capitales de igual cuantía en distintos momentos, se preferirá aquél que sea más cercano.  Ante dos capitales en el mismo momento pero de distinto importe, se preferirá aquel de importe más elevado Para poder comparar dos capitales en distintos instantes, hay que hallar el equivalente de los mismos en un mismo momento, y para ello existen las formulas de matemática financiera.

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REFERENCIAS

1. Alfredo Díaz Mata y Víctor Manuel Aguilera (5ta. Edición). (2013). Matemáticas Financieras, México D.F 2. Gerardo Gutiérrez Jiménez, Apuntes de Matemáticas Financieras, Articulo recuperado de: csh.izt.uam.mx/cursos/Gerardo/uam/matefin/diagramas.pdf 3. José Horacio Ramírez Pérez (10/08/2007), Renegociaciones de Deudas, Ecuaciones de Valor, Articulo recuperado de: http://www.mailxmail.com/cursorenegociaciones-deudas/definiciones

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BIBLIOGRAFIA 1. Alfredo Díaz Mata y Víctor Manuel Aguilera (5ta. Edición). (2013). Matemáticas Financieras, México D.F. 2. Petr Zima y

Robert L. Brown (2da. Edición). Matemáticas Financieras,

México D.F. 3. Héctor Vidaurri (5ta. Edición). (2012). Matemáticas Financieras, México D.F. 4. SoloContabilidad.com,

Ecuaciones

de

Valores

Equivalentes

articulo

recuperado de; http://www.solocontabilidad.com/matematica-financiera/ecuaciones-de-valoresequivalentes 5. Arthur Goodman (1ra. Edición). (1996). Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica

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