• Author / Uploaded
• jlmarmanillo

Citation preview

Ecuaciones de valor Es muy frecuente el hecho de cambiar una o varias obligaciones por otra u otras nuevas obligaciones. La solución de este tipo de problemas se plantea en términos de una ecuación de valor que es una igualdad de valores ubicados en una sola fecha denominada fecha focal. Su cálculo se hace exactamente igual a lo que acabamos de plantear en el ejercicio anterior. En la fecha focal debe plantearse entonces la igualdad entre las diferentes alternativas para que la suma algebraica sea cero como se establece en el principio de equivalencia financiera. Ejemplo 1: Una persona se comprometió a pagar $1.000.000 dentro de seis meses, $1.500.000 dentro de doce meses y $2.000.000 dentro de diez y ocho meses. La persona manifiesta ciertas dificultades para pagar y solicita el siguiente sistema de pagos: $1.200.000 hoy, $1.200.000 dentro de 10 meses y el resto dentro de 20 meses. Cuánto deberá pagar en el mes 20? Suponga que la tasa mensual es 1,5%. 2.000.00 1.500.000

0

1.000.000 0

10 6

20 12

18

0

1.200.00

1.200.000

X

0

Las ecuaciones de valor permiten calcular en cualquier instante del tiempo ( fecha focal) el valor de todas las cuotas de tal manera que la suma de las cuotas positivas sea igual a la suma de las cuotas negativas. Planteemos como fecha focal el instante cero: 1.000.000/1,0156 + 1.500.000/1,01512 + 2.000,000/1,01518 = 1.200.000 + 1.200.000/1,01510 + X/1,01520 3.698.946,50 = 2.234.000,68 + X / 1,01520

X= 1.973.069,61

Realmente cualquier fecha se puede considerar como fecha focal y el resultado es el mismo. Consideremos ahora el mes 12 como fecha focal. La ecuación de valor es la siguiente: 1.000.000*1,0156

+

1.500.000

+

2.000.000/1,0156

=

1.200.000

x

1,01512

+

1.200.000*1,0152 + X/1,0158 4.422.527,65 = 2.671.011,81 + X/1,0158 X= 1.973.069,61

Como podemos observar el resultado es exactamente el mismo a pesar de haber cambiado la fecha focal para plantear la ecuación de valor. Ejemplo 2: Una persona debe pagar $1.000.000 dentro de tres meses, $1.500.000 dentro de diez meses y $2.000.000 dentro de un año. La persona desea efectuar un solo pago de $4.500.000

para cancelar las tres

obligaciones. Si la tasa de interés es del 18% anual nominal liquidada mensualmente, hallar la fecha en que debe efectuarse el pago. La tasa de periódica es: i = 0,18 / 12 = 0,015 = 1,5% Miremos el diagrama del flujo de caja para este caso: 2.000.000 1.000.000

1.500.000 n

0

3

10

4.500.000

Tomemos como fecha focal el instante cero:

12

1.000.000/1,0153+1.500.000/1,01510+2'

000.000/1,01512

=

4'

500,000 / 1,015n 3.921.592,69 = 4.500.000 / 1,015n 1,015n = 4.500.000 / 3.921.592,69 1,015n = 1,14749296 log(1,015)n = 1,14749296 n x log 1,015 = log(1,14749296) n = 9,240587619 Dentro de 9,24 meses se dará la equivalencia financiera de los pagos. Si reducimos este tiempo a días considerando que un mes tiene 30 días, 0,24 x 30 = 7,2 días, es decir, el pago de los $4.500,000 debe hacerse dentro de nueve meses y siete días. Ejemplo 3: Planteemos por último una ecuación de naturaleza muy diferente. Una persona debe pagar $1.500.000 dentro de 4 meses, $1.500.000 dentro de 6 meses y $2.000.000 dentro de un año. La persona le plantea al acreeedor la posibilidad de efectuar un solo pago de $4.800.000 en el mes cinco. Si se aceptan estas condiciones, que tasa de interés rendiría la deuda?

1.500.00 0

0

1.500.00

2.000.000

5 4

6

12

4.800.000

La ecuación de valor que se plantea con el instante cero como fecha focal es la siguiente: 1.500.000/( 1 + i )4 + 1.500.000/( 1 + i )6 + 2.000.000/( 1+i )12 = 4.800.000/( 1 + i )5

Si igualamos a cero y ordenamos los exponentes, la ecuación queda : 2.000.000/( 1+i )12 + 1.500.000/( 1 + i )6 – 4.800.000/( 1 + i )5 + 1.500.000/( 1 + i )4 = 0

Para resolver esta ecuación polinómica de octavo grado, debemos utilizar un método iterativo de prueba y error. Para cada valor supuesto de la tasa periódica i calculamos el valor del polinomio. Vale la pena anotar que los valores supuestos para i están dentro de un rango acorde a los valores utilizados en el sistema financiero. Si los valores iniciales de i son muy distantes de los buscados, el número iteraciones necesario puede ser muy alto. Ya que buscamos que el valor del polinomio sea cero, debemos encontrar inicialmente dos valores de i que hagan que el polinomio tenga signos contrarios. i 0,00% 0,50% 1,00% 1,50% 2,00% 2,50% 3,00% 3,50% 4,00% 4,50% 5,00%

P( i ) 200.000 128.180 62.402 2.215 -52.796 -103.018 -148.805 -190.490 -228.378 -262.752 -293.874

Vamos inicialmente a elaborar un gráfico del polinomio con el fin de establecer los valores iniciales de i para el método de prueba y error. Para el gráfico, partimos de valores de i entre 0 y 0,05 con incrementos de 0,005.

GRÁFICO DEL POLINOMIO DE LA ECUACIÓN DE VALOR 300.000 200.000

P(i)

100.000 0 0,0% -100.000

1,0%

2,0%

3,0%

4,0%

5,0%

-200.000 -300.000 -400.000

i

Observe los signos diferentes del polinomio entre los valores 0,01 y 0,02. Ya que buscamos que el valor del polinomio sea cero, el valor buscado de i está entre estos dos valores. La siguiente tabla nos muestra el procedimiento de prueba y error que ya mencionamos. El tercer valor que le damos a i es 0,015.

El valor obtenido

para P( i ) es positivo, lo que indica que el valor buscado está entre 0,015 y 0,02. Con este criterio vamos cerrando el intervalo en el cual buscamos la solución hasta llegar al nivel de aproximación que se quiera. i 0,0200000 0,0100000 0,0150000 0,0160000 0,0152000 0,0151900 0,0151930 0,0151928

P(i) -52.796,3237 62.401,5196 2.214,9161 -9.188,5988 -82,2378 32,4238 -1,9769 0,3165

Podemos aceptar como una aproximación muy razonable una tasa de 0,0151928 = 1,51928% mensual ya que el valor del polinomio es supremamente pequeño. Sin embargo, si desea mejorar el nivel de exactitud podría continuarse con el procedimiento.