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ANALISIS DEL DIOXIDO DE CARBONO (CO2)

Para realizar el análisis del dióxido de carbono, representado como CO2, se inicia con la ecuación del gas ideal, la cual es la ecuación de estado más sencilla y trata a un gas hipotético formado por partículas puntuales sin atracción ni repulsión entre ellas y cuyos choques son perfectamente elásticos, es decir, se conservan de momento y la energía cinética. Ecuación del gas ideal: 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 Dónde: P: Presión del gas V: Volumen ocupado por el gas n: Numero de moles del gas R: Es la constante universal de los gases ideales T: Temperatura absoluta

El problema de la ecuación del gas ideal es que no tiene en cuenta las distintas fuerzas de atracción entre las partículas del gas y el tamaño de estas, por lo que utilizaremos la ecuación de berthelot, la cual es una ecuación de estado de un fluido compuesto de partículas con un tamaño no despreciable y con fuerzas intermoleculares, como las fuerzas de Van der Waals, tomando en cuenta la dependencia de las fuerzas de atracción con la temperatura Ecuación de Van der Waals: (𝑃 +

𝑛2 𝑎 ) (𝑉 − 𝑛𝑏) = 𝑛𝑅𝑇 𝑇𝑣 2

Dónde: P: Presión del gas n: Numero de moles del gas a: Mide la atracción entre las partículas v: Volumen molar

V: Volumen ocupado por el gas b: Es el volumen disponible de una mol de partículas R: Es la constante universal de los gases ideales T: Temperatura absoluta (K) a y b son características de cada gas y se obtienen a partir de datos de la presión critica (Pc), volumen critico (Vc), y temperatura critica (Tc).

Para hallar la presión, volumen y temperatura critica: Partimos de la ecuación inicial de Berthelot (𝑃 +

𝑎 ) (𝑉 − 𝑏) = 𝑅𝑇 𝑇𝑉 2

(𝐸𝐺)

La intención es hallar la presión crítica (Pc), temperatura crítica (Tc), volumen crítico (Vc), para eso aplicamos la primera y segunda derivada así obtenemos el punto de inflexión y posteriormente será nuestra temperatura crítica. Donde cada una de ellas se igualan a cero (0) ⌊

𝜕2𝑃 ⌊ 2⌋ = 0 2° 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝜕𝑉 𝑇=𝑇𝑐

𝜕𝑃 = 0 1°𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 ⌋ 𝜕𝑉 𝑇=𝑇𝑐 𝑉=𝑉𝑐

𝑉=𝑉𝑐

Despejamos de la ecuación principal de Berthelot la presión: (𝑃 +

𝑎 ) (𝑉 − 𝑏) = 𝑅𝑇 𝑇𝑉 2

→

𝑃=

Le aplicamos la primera derivada: 𝜕𝑃 𝜕 1 𝜕 1 = 𝑅𝑇 ( )− 𝑎 ( 2) 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝑉 − 𝑏 𝜕𝑉 𝑇𝑉 𝜕𝑃 𝜕 𝜕 (𝑉 − 𝑏)−1 − 𝑎 (𝑇𝑉)−2 = 𝑅𝑇 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑃 = −𝑅𝑇(𝑉 − 𝑏)−2 + 2𝑎(𝑇𝑉)−3 𝜕𝑉 𝜕𝑃 1 1 = −𝑅𝑇 + 2𝑎 ( 3 ) … 𝑒𝑐(1) 2 𝜕𝑉 (𝑉−𝑏) 𝑇𝑉

𝑅𝑇 𝑎 − 𝑉 − 𝑏 𝑇𝑉 2

Igualamos a (0) y reemplazamos T=Tc, V=Vc 0 = −𝑅𝑇𝑐

𝑅𝑇𝑐

1 1 + 2𝑎 ( ) 2 (𝑉𝑐−𝑏) 𝑇𝑐𝑉𝑐 3

1 1 = 2𝑎 ( ) (𝑉𝑐−𝑏)2 𝑇𝑐𝑉𝑐 3

1 𝑅𝑇𝑐 = 2𝑎 ( ) (𝑉𝑐−𝑏)2 𝑇𝑐𝑉𝑐 3

ó

𝑅𝑇𝑐 = 2𝑎 (

(𝑉𝑐−𝑏)2 ) (𝑇𝑐𝑉𝑐)3

… 𝑒𝑐 (2)

Luego aplicamos la segunda derivada a nuestra ecuación (1) 𝜕2𝑃 1 1 = −𝑅𝑇 + 2𝑎 ( 3 ) 2 2 𝜕𝑉 (𝑉−𝑏) 𝑇𝑉 𝜕2 𝑃 𝜕𝑉 2

= −𝑅𝑇(𝑉−𝑏)−2 + 2𝑎(𝑇𝑉)−3

𝜕2𝑃 = 2𝑅𝑇(𝑉−𝑏)−3 − 6𝑎(𝑇𝑉)−4 𝜕𝑉 2 𝜕2𝑃 1 1 = 2𝑅𝑇 − 6𝑎 ( 4 ) 2 3 𝜕𝑉 (𝑉−𝑏) 𝑇𝑉

Igualamos a (0) y reemplazamos T=Tc, V=Vc en la ecuación 2𝑅𝑇𝑐

1 1 − 6𝑎 ( ) = 0 … (3) 3 (𝑉𝑐−𝑏) 𝑇𝑐𝑉𝑐 4

Despejamos a en la ecuación 1 𝑅𝑇 (𝑇𝑉 −3 ) (𝑉−𝑏)2 𝑎= 2 Reemplazamos a en la ecuación 3 y de ahí obtenemos volumen y temperatura critica. 𝑅𝑇 −3 2 (𝑇𝑐𝑉𝑐 ) (𝑉𝑐−𝑏) −4 ) 2𝑅𝑇(𝑇𝑐𝑉𝑐 =6 (𝑉𝑐 − 𝑏) 2 2𝑅𝑇(𝑇𝑐𝑉𝑐 −4 ) = 3𝑅𝑇(𝑇𝑐𝑉𝑐 3 )(𝑉𝑐 − 𝑏) 2𝑉𝑐 = 3𝑉𝑐 − 3𝑏 3𝑉𝑐 − 2𝑉𝑐 = 3𝑏

𝑉𝑐 = 3𝑏

8𝑎 𝑇𝑐 = √ 27𝑅𝑏

Y para la presión crítica tenemos:

𝑃𝑐 =

3𝑅𝑇𝑐 8𝑉𝑐

Actualmente existen tablas con las constantes a y b para una gran variedad de distintos gases, entre ellos está el CO2 tal que: a= 3,6101 L2·atm/mol2 y b= 0,0426 L/mol Ahora utilizando los valores para a y b, se remplaza en las formulas ya despejadas para encontrar los valores críticos Volumen crítico: 𝑉𝑐 = 3 𝑥 (0,0426

𝐿 𝐿 ) = 0,1281 𝑚𝑜𝑙 𝑚𝑜𝑙

Temperatura critica: 8 (3,6101𝑎𝑡𝑚𝑥 𝑇𝑐 =

𝐿 ) 𝑚𝑜𝑙 2

𝑎𝑡𝑚 𝐿 27 (0,082 ) (0.0426 ) 𝑚𝑜𝑙𝐾 𝑚𝑜𝑙

= 17,484𝐾

Presión critica:

𝑃𝑐 =

𝑎𝑡𝑚 ) (17,484 𝐾 ) 𝑚𝑜𝑙𝐾 = 4,2𝑎𝑡𝑚 𝐿 2 8 (0,1281 ) 𝑚𝑜𝑙

3 (0,082

ISOTERMAS

ISOTERMAS 1200 1000 800 600 400 200 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-200 -400

Gráfica 1. Isotermas de dióxido de carbono.

Volumen (L/mol) Presión (atm) Temperatura (K) 0,05 -232,8654843 0,06 -176,8971597 0,07 -132,3451093 0,08 -101,8293765 0,09 -80,4732206 0,1 -65,04842142 0,11 -53,58001112 0,12 -44,83693622 0,13 -38,02705781 0,14 -32,62426166 0,15 -28,26889448 0,16 -24,70870754 0,17 -21,76271938 0,18 -19,29844126 0,19 -17,21713161 0,2 -15,44401259

Tabla 1. Datos usados para la isoterma 1.

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

11

12

13

14

15

16

Volumen (L/mol) Presión (atm) Temperatura (K) 0,05 71,5368804 15 0,06 4,123335684 15 0,07 -4,110157784 15 0,08 -4,654796187 15 0,09 -3,72418854 15 0,1 -2,611930926 15 0,11 -1,621576062 15 0,12 -0,807104952 15 0,13 -0,156124121 15 0,14 0,358507525 15 0,15 0,763686933 15 0,16 1,082210698 15 0,17 1,332372421 15 0,18 1,528544532 15 0,19 1,681938505 15 0,2 1,801295578 15

Tabla 2. Datos usados para la isoterma 2.

Volumen (L/mol) Presión (atm) Temperatura (K) 0,05 471,3217523 45 0,06 190,641612 45 0,07 118,6445833 45 0,08 86,31338922 45 0,09 68,0592588 45 0,1 56,341985 45 0,11 48,17475758 45 0,12 42,14658638 45 0,13 37,50664407 45 0,14 33,81928675 45 0,15 30,81451759 45 0,16 28,31607654 45 0,17 26,20396079 45 0,18 24,3935897 45 0,19 22,82359329 45 0,2 21,44833118 45

Tabla 3. Datos usados para la isoterma 3.

Volumen (L/mol) Presión (atm) Temperatura (K) 0,05 762,4546482 0,06 316,892145 0,07 199,5008315 0,08 145,7056932 0,09 114,9093032 0,1 94,96495726 0,11 80,9896436 0,12 70,64598818 0,13 62,67613571 0,14 56,34342708 0,15 51,18785824 0,16 46,90733544 0,17 43,29523563 0,18 40,20542024 0,19 37,53158604 0,2 35,1945381

70 70 70 70 70 70 70 70 70 70 70 70 70 70 70 70

Tabla 4. Datos usados para la isoterma 4.

Volumen (L/mol) Presión (atm) Temperatura (K) 0,05 1104,250314 100 0,06 463,1401391 100 0,07 292,6692429 100 0,08 214,0218449 100 0,09 168,7948473 100 0,1 139,4215716 100 0,11 118,8047363 100 0,12 103,532109 100 0,13 91,76061894 100 0,14 82,40762386 100 0,15 74,79544375 100 0,16 68,47819285 100 0,17 63,15045666 100 0,18 58,59598961 100 0,19 54,65736781 100 0,2 51,2172483 100

Tabla 5. Datos usados para la isoterma 5.

Ecuación de Berthelot reducida. A pesar de que las constantes de Berthelot a y b en la forma usual de la ecuación, son diferentes para cada fluido, la ecuación puede ser refundida en una forma invariante aplicable a todos los fluidos. Si se tiene: 𝑇 = 𝑇𝑐 × 𝑇𝑟 𝑃 = 𝑃𝑐 × 𝑃𝑟 𝑉 = 𝑉𝑐 × 𝑉𝑟 Entonces: 𝑇𝑟 =

𝑇 =1 𝑇𝑐

𝑃𝑟 =

𝑃 =1 𝑃𝑐

𝑉𝑟 =

𝑉 =1 𝑉𝑐