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Unidad 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

CONTENIDO

1.1 1.2

1.3

1.4

Definiciones Básicas Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales 1.2.1 Clasificación según su tipo 1.2.2 Clasificación según su orden 1.2.3 Clasificación según su grado Método de Resolución 1.3.1 Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables 1.3.2 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas 1.3.3 Ecuaciones Diferenciales Exactas 1.3.4 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden 1.3.5 Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli 1.3.6 Ecuaciones Diferenciales de Ricatti Modelamiento 1.4.1 Crecimiento y Decrecimiento de población 1.4.2 Ley de Enfriamiento de Newton 1.4.3 Problemas de mezclas 1.4.4 Aplicaciones a la Economía Bibliografía

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PÁGINA

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1.1 Definiciones Básicas Definición: Una Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden, es una Ecuación que contiene una derivada de primer orden de una función desconocida en una variable, es decir cualquier ecuación del tipo F ( x, y , y ' ) = 0 . Por ejemplo: 3dx = ( x − 2)dy Las Ecuaciones Diferenciales más simples de primer orden son de la forma:

dy = f (x) dx

o en forma equivalente

y´= f ( x)

Definición: Una Solución de una Ecuaciones Diferencial es una función que satisface la Ecuación Diferencial sobre algún intervalo abierto. Ejemplo: Demuestre que y = e x ⋅ sen(x) , satisface la ecuación diferencial

2 y '− y ' '−2 y = 0 Solución: Como y = e x ⋅ sen(x) , entonces y ' = e x ⋅ sen( x) + e x ⋅ cos( x) , además y ' ' = e x ⋅ sen( x) + e x ⋅ cos( x) + e x ⋅ cos( x) − e x ⋅ sen( x) . Reemplazando se tiene:

2 y '− y ' '−2 y = 2(e x ⋅ sen ( x) + e x ⋅ cos( x)) − 2e x ⋅ cos( x ) − 2e x ⋅ sen( x) 2e x ⋅ sen( x) + 2e x ⋅ cos( x) − 2e x ⋅ cos( x ) − 2e x ⋅ sen ( x) = 0

Definición: Un problema de valor inicial (PVI) de primer orden es un problema que busca determinar una solución a una Ecuación Diferencial sujeta a una condición sobre la función desconocida. Esta condición se denomina condición inicial.

Ejemplo: Mat-450 Instituto de Matemática, Física y Estadística

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y '= 2 x ;

y ( 2) = 5

Definición: Una Ecuación Diferencial de orden uno tendrá una solución que involucra una constante arbitraria y se llamará Solución General de la Ecuación Diferencial. Una Solución Particular se obtiene de la solución general, al determinar el valor de la constante arbitraria. Observación: Cuando se resuelve un PVI, se encuentra una solución particular.

1.2 Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales 1.2.1 Clasificación según su tipo. a) Ecuación Diferencial Ordinaria: Son aquellas ecuaciones diferenciales que contienen derivadas de una función de una variable independiente. Es decir, son aquellas que contienen sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente. Ejemplo: 3dx = ( x − 2)dy

b) Ecuación Diferencial Parcial: Es aquella que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes. ∂z ∂z Ejemplo: y⋅ − x⋅ =0 ∂x ∂y

1.2.2 Clasificación según su orden Corresponde al orden de la más alta derivada en una ecuación diferencial. Ejemplo:

d2y dy + 3 − 5x = 0 2 dx dx

(E.D. de segundo orden)

dy = ay dt

(E.D. de primer orden)

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1.2.3 Clasificación según su grado El grado es la potencia de la derivada de más alto orden en ellas. 2

Ejemplo:

 dy    −6 = y  dx  d2y −6 = y dx 2

( E.D. de primer orden y segundo grado) (E.D. de segundo orden y primer grado)

1.3 Métodos de Resolución En este apunte se estudiará las Ecuaciones Diferenciales de primer orden para las que se tienen métodos generales de solución.

1.3.1 Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables Una Ecuación Diferencial de primer orden es de variables separables si puede escribirse en la forma

N ( y ) y ' = M ( x) ⇒

dy M ( x) = dx N ( y )

Que reformulamos en términos de diferenciales para resolverla: N ( y )dy = M ( x )dx

A continuación integramos a ambos lados:

∫

N ( y )dy = ∫ M ( x )dx

La justificación del paso anterior proviene de la regla de la cadena

∫ N ( y)dy = ∫

N ( y ( x ))

dy M ( x) dx = ∫ N ( y ( x)) dx = ∫ M ( x )dx . dx N ( y ( x ))

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En resumen, una ecuación Diferencial de Variables Separables, debe tener la forma M ( x )dx = N ( y )dy .

Ejemplos: Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables a) y ' = x(1 + y 2 ) es de variables separables ya que puede escribirse como dy 1 mientras que M ( x) = x = xdx , en este caso N ( y ) = 2 1+ y 1+ y2 b) y ' =

2x + 1 es de variables separable ya que puede escribirse como 5y 4 +1

(5 y 4 + 1) y ' = 2 x + 1 , en este caso N ( y ) = 5 y 4 + 1 mientras que M ( x) = 2 x + 1

Ejemplos: Ecuaciones que no corresponden a Variables Separables: a) y ' = x − 2(1 + y 2 ) b) y ' =

x− y y −1

Procedimiento para resolver una Ecuación de Variable Separable 1.- Exprese la Separación de Variable, es decir, M ( x )dx = N ( y )dy 2.- Integre ambos lados de la ecuación y combine las constantes de integración:

∫ M ( y)dy

;

∫ N ( x)dx .

3.- Si es posible escriba la función de manera explícita. 4.- Si es PVI, encuentre la constante.

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Ejemplo: Resuelva: y ' = x (1 + y 2 ) Al realizar la Separación de variable se obtiene

dy = xdx 1+ y 2

Mediante la integración se encuentra la solución

tan −1 y =

x2 +c 2

Ejemplo: Resuelva el PVI

y' =

−x y

;

y (1) = 1

La separación de variable da ydy = − xdx

Mediante la integración se obtiene:

y2 − x2 = +c 2 2 y 2 (1) − 1 1 −1 = +c⇒ = + c ⇒ c = 1 por lo tanto la solución 2 2 2 2 y2 − x2 particular es = + 1 lo que es equivalente a x 2 + y 2 = 2 2 2

Condición inicial

Nota:

dy = f (ax + by + c), b≠0 dx Se convierte en una Ecuación Diferencial de Variables Separables haciendo la du dy sustitución u = ax + by + c así = a +b⋅ dx dx Una Ecuación Diferencial de la forma

Ejemplo:

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Resolver la Ecuación Diferencial

dy = tg 2 ( x + y ) dx

Solución: Sea u = x + y

así

du dy = 1+ dx dx

Reemplazando en la Ecuación Diferencial

original se tiene: du − 1 = tg 2 (u ) dx du = 1 + tg 2 (u ) dx du = dx 1 + tg 2 (u ) sec 2 (u )du = dx

∫ sec

2

(u )du = ∫ dx

1 + cos( 2u ) du = ∫ dx 2 1 1 du + ∫ cos(2u )du = ∫ dx ∫ 2 2 1 1 u + sen(2u ) = x + C 2 4 1 (x + y ) + 1 sen(2 x + 2 y) = x + C 2 4

∫

1.3.2 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas Conceptos Previos: Una función f ( x, y ) se dice que homogénea de grado n, si satisface f (tx, ty ) = t n f ( x, y ) ; t ∈ ℜ Ejemplo: f ( x, y ) = xy es una función homogénea de grado 2. En efecto: f (tx, ty ) = tx ⋅ ty = t 2 xy = t 2 f ( x, y )

Para resolver una Ecuación Diferencial Homogénea es conveniente escribir las ecuaciones diferenciales de primer orden en la forma: Mat-450 Instituto de Matemática, Física y Estadística

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M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0

Definición: Una Ecuación Diferencial de primer orden se dice que es homogénea si las funciones M ( x, y ) y N ( x, y ) son funciones Homogéneas del mismo grado. Note que si la Ecuación Diferencial está escrita de la forma y ' = f ( x, y )

Entonces la Ecuación es Homogénea si f ( x, y ) es una función Homogénea de grado cero. Ejemplos: Ecuaciones Diferenciales Homogéneas a)

2 x 3 ydx + ( x 4 + y 4 ) dy

b)

( y 2 + xy ) dx − x 2 dy = 0

En efecto: En el ejemplo a) M ( x, y ) = 2 x 3 y ; N ( x, y ) = x 4 + y 4 , observemos que M (tx, ty ) = 2(tx) 3 (ty ) = t 4 2 x 3 y = t 4 M ( x, y ) , es decir homogénea de grado 4 N (tx, ty ) = (tx) 4 + (ty ) 4 = t 4 ( x 4 + y 4 ) = t 4 N ( x, y ) , es decir, homogénea de grado 4 se deduce que ambas funciones son homogéneas del mismo grado por lo tanto la Ecuación Diferencial es homogénea.

En el ejemplo b) la Ecuación Diferencial es homogénea de grado 2 (tarea demostrarlo) Ejemplos: Ecuaciones Diferenciales no Homogéneas. a) x 2 ydx + y 2 dy = 0 b) ( x + y 2 )dx + xdy = 0 En el ejemplo a) se tiene que M ( x, y ) = x 2 y ⇒ M (tx, ty ) = (tx) 2 (ty ) = t 3 x 2 y = t 3 M ( x, y ) , por otro lado N ( x, y ) = y 2 ⇒ N (tx, ty ) = (ty ) 2 = t 2 N ( x, y ) En este caso ambas funciones son homogéneas pero de distinto grado por lo tanto la ecuación no es homogénea.

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En el ejemplo b) fallas pues M ( x, y ) = x + y 2 no es homogénea, ya que M (tx, ty ) = (tx) + (ty ) 2 = t ( x + ty 2 ) ≠ tN ( x, y )

Procedimiento para resolver una Ecuación Diferencial Homogénea El procedimiento se basa en que una Ecuación Diferencial Homogénea siempre puede reducirse a una Ecuación de Variables Separables por medio de una apropiada sustitución algebraica. 1.- Verifique que la Ecuación Diferencial es Homogénea 2.- Realice la sustitución algebraica y = ux ; dy = udx + xdu (o bien se puede hacer la sustitución x = vy, dx = vdy + ydv) 3.- Reordene la Ecuación respecto a la nueva variable. La Ecuación que obtendrá será de Variables Separables. 4. Resuelva la Ecuación Diferencial de Variables Separables 5.- Vuelva a la variable original a través de la sustitución

y x = u (o bien = v ) x y

Ejemplo: Resolver ( x 2 + y 2 )dx + ( x 2 − xy )dy = 0

1.- M ( x, y ) = x 2 + y 2 ;

N ( x, y ) = x 2 − xy son funciones Homogéneas de grado 2,

luego la Ecuación Diferencial es Homogénea. 2.- Realice la sustitución algebraica y = ux

; dy = udx + xdu

para obtener:

( x 2 + u 2 x 2 )dx + ( x 2 − ux 2 )(udx + xdu ) = 0

3.- Reordene la Ecuación: (Factorice por dx y du ) x 2 (1 + u )dx + x 3 (1 − u )du = 0

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4.- Resuelva la Ecuación de Variables Separable: 1− u

1

∫ 1 + u du = − ∫ x dx ∫

(−1 +

2 1 )du = − ∫ dx 1+ u x

− u + 2 ln 1 + u = − ln x + c Al sustituir u =

y se tiene: x −

y y + 2 ln 1 + = − ln x + c x x

Utilizando Propiedades de los logaritmos se tiene : 2

y  y ln1 +  + ln x = + c x  x  ( x + y) 2  y ln ⋅ x  = + c 2 x  x   ( x + y) 2   ln x  

=

y + c aplicando la función inversa x

y

+c ( x + y) 2 = ex x y ( x + y) 2 x = ce x y

( x + y ) 2 = cxe x

la solución general puede escribirse en la forma alternativa ( x + y ) = cxe 2

y x

Nota:  a x + b1 y + c1  dy  con a1b2 ≠ b1 a 2 se = f  1 dx  a 2 x + b2 y + c 2  convierte en una Ecuación Diferencial Homogénea, haciendo la sustitución

Una Ecuación Diferencial de la forma

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x=u+h y = v + k . Con (h, k ) las coordenadas del punto de intersección de las rectas: a1 x + b1 y + c1 = 0 y a 2 x + b2 y + c2 = 0 .

1.3.3 Ecuaciones Diferenciales Exactas Para resolver una Ecuación Diferencial Exacta es conveniente escribir las ecuaciones diferenciales de primer orden en la forma: M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0

Teorema Si F = F ( x, y ) tiene derivadas parciales continuas Fx ; Fy , entonces F ( x, y ) = c

( c constante) es una solución implícita de la Ecuación Diferencial Fx ( x, y )dx + Fy ( x, y )dy = 0

El siguiente teorema permite determinar si una Ecuación Diferencial de primer orden es Exacta

Teorema : Suponga que M y N son continuas y tienen derivadas parciales continuas M y y N x en un rectángulo abierto R. Entonces: M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0

Es Exacta en R si y sólo si M y ( x, y ) = N x ( x, y )

Para todo ( x, y ) en R.

Ejemplo: La Ecuación Diferencial (4 x 3 y 3 + 3x 2 )dx + (3x 4 y 2 + 6 y 2 )dy = 0

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es Exacta,

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M ( x, y ) = (4 x 3 y 3 + 3 x 2 ) ; N ( x, y ) = (3 x 4 y 2 + 6 y 2 )

en efecto:

M y ( x, y ) = N x ( x, y ) = 12 x 3 y 2 .

Por el Teorema anterior se tiene que la Ecuación es Exacta. Ejemplo: La ecuación Diferencial

3x 2 ydx + 4 x 3 dy = 0

M ( x, y ) = 3 x 2 y

En efecto : Observe que

;

M y ( x, y ) = 3 x 2 y

no es exacta

N ( x, y ) = 4 x 3 . N x ( x, y ) = 12 x 2

M y ( x, y ) ≠ N x ( x, y ) luego no es exacta.

La solución de una Ecuación Diferencial Exacta es de la forma F ( x, y ) = C. Para encontrarla realice el siguiente procedimiento.

Procedimiento para resolver una Ecuación Diferencial Exacta 1.- Verifique que la Ecuación M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0

(1)

Satisface la condición para ser Exacta ( M y ( x, y ) = N x ( x, y ) ). 2.- Integre

∂F ( x, y ) = M ( x, y ) respecto a la variable x para obtener: ∂x F ( x, y ) = G ( x, y ) + h ( y )

(2)

Donde G es una antiderivada de M respecto de x , y h es una función desconocida de y . Mat-450 Instituto de Matemática, Física y Estadística

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3.- Derive (2) respecto de y para obtener

∂F ( x, y ) ∂G ( x, y ) = + h´( y ) ∂y ∂y

4.- Iguale el lado derecho de la ecuación a N ( x, y ) y encuentre h' ∂G ( x, y ) ∂G ( x, y ) + h´( y ) = N ( x, y ) ⇒ h' ( y ) = N ( x, y ) − ∂y ∂y

5.- Integre h´ respecto de y , tomando la constante de integración igual a cero, y sustituya el resultado en (2) para obtener F ( x, y ) 6.- Haga F ( x, y ) = c para obtener una solución implícita de (1) . De ser posible exprese y explícitamente como una función de x .

Ejemplo: 6 x 2 y 2 dx + 4 x 3 ydy = 0 En este caso M ( x, y ) = 6 x 2 y 2 y N ( x, y ) = 4 x 3 y

1.- Verifique la condición para determinar si la ecuación es Exacta M y ( x, y ) = N x ( x, y ) = 12 x 2

2.- Integre

∂F ( x, y ) = M ( x, y ) respecto a la variable x para obtener: ∂x

F ( x, y ) = ∫ (6 x 2 y 2 )dx = 2 x 3 y 2 + h( y )

3.- Derive parcialmente el resultado de la integral respecto de y para obtener: ∂F ( x, y ) = 4 x 3 y + h' ( y ) ∂y

4.- Iguale el lado derecho a N ( x, y ) para obtener 4 x 3 y = 4 x 3 y + h' ( y ) ⇒ h' ( y ) = 0 Mat-450 Instituto de Matemática, Física y Estadística

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5.- Integre h´ respecto de y , tomando la constante de integración igual a cero, y sustituya el resultado para obtener F ( x, y ) h( y ) = c1

Por lo tanto F ( x, y ) = 2 x 3 y 2 + c1 = c , esto implica que la solución implícita de la Ecuación es 2 x 3 y 2 = C , con C = c − c1

1.3.4 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden Una Ecuación Diferencial Lineal de primer orden es una Ecuación de la forma a1 ( x)

dy + a 0 ( x ) y = g ( x) dx

Donde a1 ( x); a 0 ( x) representan funciones que dependen de la variable x .

Ejemplo: Ecuación Diferencial Lineal a)

x

dy − 4 y = x 6 e x . En este caso dx

b) x 2 y '+xy = 1

En este caso

a1 ( x) = x

a1 ( x) = x 2

y a 0 ( x ) = −4

y a 0 ( x) = x

Ejemplo: Ecuación Diferencial no lineal x

dy − 4 y 2 = x6e x dx

( observe que y está elevado a 2)

Para resolver las Ecuaciones Diferenciales Lineales utilizaremos el Método del factor Integrante. Definición : Dada la Ecuación Diferencial

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dy + P ( x) y = f ( x ) dx Se define el factor integrante como la función µ ( x) = e ∫

P ( x ) dx

dy − 3y = 0 dx Se observa que P( x) = −3 luego el factor integrante está dado por :

Ejemplo: Dada la Ecuación

µ ( x) = e ∫

−3dx

= e −3 x

Nota: al resolver la integral no se utiliza la constante de integración Para resolver una Ecuación Diferencial Lineal de primer orden

a1 ( x)

dy + a 0 ( x) y = g ( x) (1) dx

Realice los siguientes pasos:

Procedimiento para resolver una Ecuación Diferencial Lineal de Primer orden 1.- Verifique que la Ecuación Diferencial es Lineal. 2.- Multiplique la Ecuación (1) por

1 para darle la forma: a1 ( x)

dy + P ( x) y = f ( x ) dx

(2)

3.- Determine el factor Integrante utilizando la forma µ ( x) = e ∫

P ( x ) dx

4.- Multiplique la Ecuación (2) por el Factor integrante.

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e∫

P ( x ) dx

P ( x ) dx P ( x ) dx dy + e∫ P( x) y = e ∫ f ( x) (3) dx

5.- Observe que el lado izquierdo la Ecuación (3) corresponde a la derivada P ( x ) dx del producto del factor integrante y la variable dependiente: e ∫ ⋅y Luego la Ecuación queda expresada: P ( x ) dx d  ∫ P ( x ) dx  y  = e∫ ⋅ f ( x) e dx  

(4)

6.- Integre ambos miembros de la Ecuación Diferencial (4) y exprese la solución y .

Ejemplo: Resuelva

x

dy − 4 y = x 6e x dx

(1)

1.- Verifique que la Ecuación Diferencial es Lineal. 1 1 = para obtener: a1 ( x) x

2.- Multiplique la Ecuación por

dy 4 − y = x 5e x dx x

3.- En este caso P( x) =

(2)

−4 luego el Factor Integrante está dado por x

µ ( x) = e

∫

−4 dx x

−4

= e − 4 ln( x ) = e ln x = x −4 =

1 x4

4.- Multiplique la Ecuación Diferencial (2) por el Factor integrante:

1 dy 4 1 1 − y = 4 x 5e x 4 4 x dx x x x 1 dy 4 − 5 y = xe x 4 x dx x Mat-450 Instituto de Matemática, Física y Estadística

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5.- El lado izquierdo de la Ecuación corresponde a

d  1  y  luego  dx  x 4 

d  1  y  = xe x  dx  x 4 

6.- Integrando ambos lados de la Ecuación se tiene: 1 y = xe x − e x + c ⇒ x4

y = x 4 ( xe x − e x + c)

∴ La Solución general de la Ecuación es: y = x 5 e x − x 4 e x + cx 4

Utilizando el mismo procedimiento de resolución se puede obtener una formula general para la solución de una Ecuación diferencial lineal. En efecto, dada la ecuación

P ( x ) dx dy , se tiene + P( x) y = f ( x) , multiplicando por el factor integrante µ ( x) = e ∫ dx

e∫

P ( x ) dx

P ( x ) dx P ( x ) dx dy + e∫ P( x) y = e ∫ f ( x) , lo que es equivalente a dx

P ( x ) dx d  ∫ P ( x ) dx  y  = e∫ ⋅ f ( x) , integrando se tiene e dx    e ∫ P ( x ) dx y  = e ∫ P ( x ) dx ⋅ f ( x)dx ⇒ y = e −∫ P ( x ) dx  e ∫ P ( x ) dx ⋅ f ( x)dx    ∫ ∫     

Obteniendo la fórmula general para la solución de una ecuación diferencial lineal. − P ( x ) dx  ∫ P ( x ) dx ⋅ f ( x)dx  y=e ∫  ∫e   

1.3.5 Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli

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dy + P ( x) y = f ( x) y n en donde n es un dx número real cualquiera con n ≠ 0, n ≠ 1 es una Ecuación Diferencial de Bernoulli. P ( x ); f ( x) representan funciones que dependen de la variable x .

Una Ecuación Diferencial de la forma

Haciendo la sustitución u = y 1− n se llega a la Ecuación Diferencial Lineal de la du forma + (1 − n) P( x)u = (1 − n) f ( x) dx Demostración: du dy dy . Es decir = (1 − n) y (1− n −1) = (1 − n) y − n dx dx dx dy du dy Reemplazando en la ecuación = (1 − n) −1 y n + P ( x) y = f ( x) y n , se tiene: dx dx dx

Sea u = y 1− n , así

(1 − n) −1 y n

Así

du + P ( x) y = f ( x) y n /(1 − n) y − n dx

du + (1 − n) P( x) y 1− n = (1 − n) f ( x) , luego se tiene la Ecuación diferencial Lineal dx

du + (1 − n) P( x)u = (1 − n) f ( x) dx

1.3.6

Ecuaciones Diferenciales de Ricatti

dy = P ( x) y + Q ( x) y 2 + R ( x ) dx Donde P( x), Q( x) y R ( x) son funciones solo de x . Esta ecuación recibe el nombre de Ecuación de Ricatti.

Consideremos la Ecuación Diferencial de la forma

Estas ecuaciones no se pueden resolver por métodos hasta el momento estudiados, pero sin embargo si se conoce una solución particular, se puede hallar la solución de la e.d. suponiendo que y = u (x) sea una solución particular entonces se puede hallar la solución de la e.d. haciendo y = u ( x) + z , donde z es una función incógnita que se va ha determinar con la ayuda de la e.d. Es decir, y = u ( x) + z . Derivando se tiene: dy dz dy = u ' ( x) + , reemplazando en la ecuación = P ( x) y + Q( x) y 2 + R ( x) se dx dx dx tiene: dz u ' ( x) + = P( x)(u ( x) + z ) + Q( x)(u ( x) + z ) 2 + R ( x) , resolviendo se tiene: dx Mat-450 Instituto de Matemática, Física y Estadística

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(

)

dz − z (P( x) + 2uQ( x) ) − Q( x) z 2 + u ' ( x) − P( x)u ( x) − Q( x)u 2 ( x) − R( x) = 0 dx Como y = u (x) es una solución de la Ecuación Diferencial, entonces u ' ( x) − P( x)u ( x) − Q( x)u 2 ( x) − R( x) = 0 . dz − z (P( x) + 2uQ ( x) ) = Q( x) z 2 es una Ecuación Diferencial de Bernolli. dx

1.4 Modelamiento Para aplicar los métodos matemáticos a un problema de la vida real es necesario formular el problema en términos matemáticos, es decir, debemos construir un modelo matemático para el problema. La mayoría de los problemas físicos tienen que ver con relaciones entre cantidades variables. Como las razones de cambio se representan matemáticamente por derivadas, los modelos matemáticos a menudo corresponden a Ecuaciones Diferenciales. Analizaremos Modelos clásicos como: -

Crecimiento y Decrecimiento de Población Ley de Enfriamiento de Newton Problemas de Mezcla Problemas aplicados a la Economía

1.4.1 Crecimiento y Decrecimiento de Población: Aunque el número de miembros de una población en cualquier tiempo t es necesariamente un número entero, los modelos de Ecuaciones Diferenciales deben basarse en que el número de miembros de la población se puede considerar como una función diferenciable P = P(t ) . El modelo Malthusiano supone que la razón de cambio de la población en el tiempo t es proporcional a su valor en ese tiempo, se tiene entonces el Modelo: P' = kP ⇔

dP = kP dt

donde k es la constante de proporcionalidad. Se observa que esta Ecuación diferencial es Separable luego

∫

dP = kdt ⇒ ln P = kt + c ⇒ P = e kt +c = Ce kt con C = e c P ∫

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Esto implica que la solución general es de la forma P(t ) = Ce kt P(t 0 ) = P0 , tenemos la solución particular:

Si consideramos la condición inicial

P(t ) = P 0 e k ( t −t0 )

Ejemplo: La población de una pequeña ciudad crece, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional a la cantidad de habitante en dicho instante. Su población inicial de 500 aumenta 15% en 10 años ¿Cuál será la población dentro de 30 años? Desarrollo: Del enunciado se infiere que el modelo corresponde al modelo Malthusiano por lo que se tiene P(t ) = Ce kt

Observemos que la población inicial es de 500, es decir, P(0) = 500 ⇒ P 0 = 500; t 0 = 0 luego P(t ) = 500e kt

Utilizando la información P(10) = 575 se tiene la ecuación: 575 = 500e k ⋅10 575 = e10 k 500

ln

575 = 10k 500

k = 0.014

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Por lo tanto la función que permite determinar la población en un instante cualquiera está dada por: P(t ) = 500e k*t = 500e 0,014t

Como se requiere conocer la población aproximada dentro de 30 años, se debe calcular P(30) = 500e 30 * 0.014 = 760.98

Respuesta: La Población será de 761 habitantes aproximadamente 1.4.2 Ley de Enfriamiento de Newton: La ley de Enfriamiento de Newton establece que si un objeto con temperatura T (t ) en el tiempo t está en un medio con temperatura Tm (t ) , entonces la razón de cambio de la temperatura T en el tiempo t es proporcional a la diferencia entre la temperatura T en el tiempo t y la temperatura del medio, es decir: T ' = −k (T − Tm )

con k > 0 constante de proporcionalidad y suponemos Tm constante. ( Si dT Tm > T ⇒ T − Tm < 0 ⇒ > 0 , es decir la temperatura del objeto aumenta. Si dt dT Tm < T ⇒ T − Tm > 0 ⇒ < 0 , es decir la temperatura del objeto disminuye) dt Para resolver la ecuación observamos que es Separable, luego dT

∫ (T − T

m

)

= ∫ − kdt ⇒ ln T − Tm = − kt + c ⇒ T − Tm = e −kt +c = e c e −kt ⇒ T = Tm + Ce −kt con C = e c

Obteniendo como solución general: T (t ) = Tm + Ce − kt

Si consideramos la condición inicial T (t 0 ) = T0 se obtiene la solución particular: Mat-450 Instituto de Matemática, Física y Estadística

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T =T m+(T0 − Tm )e − k (t −t0 )

En efecto: T (t 0 ) = Tm + Ce − kt0 = T0 ⇒ C = (T0 − Tm )e kt0 Reemplazando se tiene T (t ) = Tm + (T0 − Tm )e kt0 e − kt = Tm + (T0 − Tm )e − k ( t −t0 ) en el caso particular t 0 = 0 se tiene T =T m+(T0 − Tm )e − kt Ejemplo Un material para realizar artesanía se cuece a 400 o C y se enfría en una habitación a una temperatura de 25o C . Después de 4 minutos la temperatura del material está a 200 o C . Encuentre la función que permite determinar la temperatura del material en cualquier instante t ¿cuál será la temperatura del material después de 8 minutos? Observemos que la temperatura inicial es 400 o C , es decir, T0 = 400 y la temperatura del medio es de 25o C , es decir, Tm = 25 , luego la función queda dada por : T (t ) = 25 + (400 − 25)e − kt T (t ) = 25 + 375e − kt

Determinamos el valor de k de la condición T (4) = 200 , es decir:

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200 = 25 + 375e − k ⋅4 200 − 25 = 375e −4 k 7 = e −4 k 15

ln

7 = −4k 15

k = 0.19

Luego la función queda determinada por: T (t ) = 25 + 375e −0.19*t

y la temperatura a los 8 minutos es: T (8) = 107 grados Celsius aproximadamente.

1.4.3 Problemas de Mezcla: En los problemas de mezcla se necesita calcular la cantidad de sustancias y (t ) dy presente en un tanque en el instante t . Dado que es la razón de cambio de la dt sustancia presente en el tanque, se cumple la relación:

dy = Razón de entrada de la sust. - Razón de salida de la Sust. dt Para determinar la razón tanto de entrada como de salida de la sustancia, debemos considerar: Para la razón de entrada: La razón a la que un fluido que contiene la sustancia entra al tanque y la concentración de la sustancia. Estableciendo la siguiente relación.

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Razón de entrada = razón de flujo entrada x concentración Para la razón de salida: La razón a la que un fluido que contiene la sustancia sale del tanque y la concentración de la sustancia. Estableciendo la siguiente relación. Razón de salida = razón de flujo de salida x concentración Suponiendo que la concentración de la sustancia es uniforme, para calcular la concentración necesaria para calcular la razón de salida se divide la cantidad de sustancia presente en el tiempo t por el volumen de la mezcla que hay en el tiempo t .

Ejemplo: Un tanque contiene 100 galones de líquido uniforme, se agrega agua azucarada que contiene 5 cucharadas de azúcar por galón, a una razón de 2 galones por minuto. Si se extrae del tanque agua azucarada, a razón de 3 galones por minuto. Encuentre la cantidad de azúcar que contiene el tanque en función del tiempo. Desarrollo:

y (t ) : representa la cantidad de azúcar (cucharadas) en el tanque en el tiempo t . El modelo establecido es:

dy = Razón de entrada de la sust. – razón de salida de la Sust. dt Donde: Razón de entrada = razón de flujo entrada x concentración = 2

gal cuch ×5 gal min

= 10

cuch min

(Razón de entrada de la sustancia es 10 cucharadas por minuto)

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Razón de salida = razón de flujo de salida x concentración

gal y cuch × min 100 gal 3 y cuch = 100 min

=3

Luego

dy 3y = 10 − dt 100 Ordenando la ecuación observamos que es separable, quedando

dy 1000 − 3 y = dt 100 ⇒

⇒

ln 1000 − 3 y = −

dy

dt

⇒

∫ 1000 − 3 y = ∫ 100 3 t+c 100

⇒

y (t ) =

1 1 − ln 1000 − 3 y = t+c 3 100 1000 − ce −0,03t 3

Esta función representa la cantidad de azúcar (cucharadas) en el tanque en el tiempo t 1.4.4 Aplicaciones a la Economía: Interés compuesto capitalizado continuamente significa que en un instante cualquiera la cantidad de dinero aumenta con una rapidez proporcional a la cantidad presente en dicho instante, es decir, si Q(t ) representa la cantidad de dinero en un instante t , entonces el modelo queda determinado por:

dQ = rQ dt En donde r es la tasa de interés anual. Es claro que esta Ecuación es separable luego su solución general está dada por.

Q(t ) = Ce rt Si consideramos la condición inicial Q(0) = Q0 se tiene la solución particular: Q (t ) = Q0 e rt

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Ejemplo: En una cuenta de Ahorro se depositan $5000 en un banco que paga 5% de interés anual con capitalización continua. Calcule la cantidad de dinero acumulado después de 5 años. Desarrollo: La función queda determinada por:

Q(t ) = 5000e 0,05t Luego Q(5) = 5000e 0,05⋅*5 = 6420.127 Respuesta: Tendrá acumulado una cantidad de $6420 aproximadamente.

Funciones Marginales: Costo marginal, ingreso marginal, precio marginal, etc. Ejemplo: La razón a la cuál está cambiando el precio y de un artículo, respecto de la cantidad demandada x , está dada por:

dy 2 xy + 24 x =− 2 dx x + 16 Encuentre la función precio, sabiendo que cuando la cantidad demandada es 4, el precio es 7.5 Desarrollo: Se puede comprobar que esta ecuación diferencial es separable y resolver utilizando el procedimiento estudiado:

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2 xy + 24 x dy =− 2 dx x + 16 dy 2 x( y + 12) =− 2 dx x + 16 2x dy =− 2 ⋅ ( y + 12) dx x + 16 1 2x ∫ y + 12dy = − ∫ x 2 + 16dx

ln y + 12 = − ln x 2 + 16 + c ln y + 12 = − ln x 2 + 16 + ln c 1 x + 16 1 y = −12 + c 2 x + 16 y + 12 = c

2

Determinamos el valor de la constante utilizando la condición y (4) = 7,5 , Reemplazando en la solución general se tiene:

1 ⇒ c = 32 ⋅19,5 = 624 4 + 16 Por lo tanto la función precio queda definida: 7,5 = −12 + c

2

y = −12 +

624 x + 16 2

Nota : Los ejemplos están desarrollados con una aproximación de 3 decimales.

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Bibliografía : Trench, William. (2002) Ecuaciones Diferenciales. Thomson Learning Zill D.(2003) Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado, (6ª Ed.) Spieguel,M ( ). Ecuaciones Diferenciales Aplicadas, Prentice-Hall, (3ª Ed.)

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