• Author / Uploaded
• brandon

Citation preview

DRENADO DE UN TANQUE En hidrodinámica, la ley de Torricelli establece que la rapidez v de salida del agua a través de un agujero de bordes afilados en el fondo de un tanque lleno con agua hasta una profundidad h es igual a la velocidad de un cuerpo (en este caso una gota de agua), que está cayendo libremente desde una altura h esto es, v  2 gh donde g es la aceleración de la gravedad. Esta última expresión surge al igualar la energía cinética, 1/2mv2 con la energía potencial, mgh, y despejar v. Suponga que un tanque lleno de agua se vacía a través de un agujero, bajo la influencia de la gravedad. Queremos encontrar la profundidad, h, del agua que queda en el tanque al tiempo t. Considere el tanque que se muestra en la figura 1. Si el área del agujero es Ah, (en pies2) y la rapidez del agua que sale del tanque es v  2 gh (en pies/s), entonces el volumen de agua que sale del tanque, por segundo, es Ah v  2 gh (en pies3 /s). Así, si V(t) denota al volumen de agua en el tanque al tiempo t, entonces:

dV   Ah 2 gh ,……………………………………………….(1) dt FIGURA 1

donde el signo menos indica que V está disminuyendo. Observe que aquí estamos despreciando la posibilidad de fricción en el agujero, que podría causar una reducción de la razón de flujo. Si ahora el tanque es tal que el volumen del agua al tiempo t se expresa como V (t )  Aw h , donde Aw (en pies2) es el área constante de la superficie superior del agua como se nota en la figura 1, entonces dV / dt  Aw dh / dt . Sustituyendo esta última expresión en la ecuación (1) obtenemos la ecuación diferencial que deseábamos para expresar la altura del agua al tiempo t: A dV  h dt Aw

2 gh ,……………………………………………….(2)

Es interesante observar que la ecuación (2) es válida aun cuando Aw , no sea constante. En este caso, debemos expresar el área de la superficie superior del agua en función de h, esto es, Aw  A(h) .

EJERCICIOS APLICATIVOS Extraido del libro Ecuaciones Diferenciales con Aplicación de Modelado de Dennis G.Zill página 28.

13. Suponga que está saliendo agua de un tanque a través de un agujero circular de área Ah que está en el fondo. Cuando el agua sale a través del agujero, la fricción y la contracción de la corriente cerca del agujero reducen el volumen de agua que sale del tanque por segundo a cAh 2gh , donde c(0  c  1) es una constante empírica. Determine una ecuación diferencial

para la altura h del agua al tiempo t para el tanque cúbico que se muestra en la figura 1.3.11. El radio del agujero es de 2 pulg, y g  32 pies / s 2 .

SOLUCIÓN: El volumen de agua en el tanque en el momento t es V  Aw h .La ecuación diferencial es entonces





cA dh 1 dV 1   cAh 2 gh   h dt Aw dt Aw Aw

2 gh

   2  2 Usando Ah      , Ah      , y g  32 , esto se convierte en 36 36  12   12  dh c / 36 c  64h   h dt 100 450 2

2

Extraido del libro Ecuaciones Diferenciales con Aplicación de Modelado de Dennis G.Zill página 29.

14. Del tanque cónico rectangular recto que se muestra en la fi gura 1.3.12 sale agua por un agujero circular que está en el fondo. Determine una ecuación diferencial para la altura h del agua al tiempo t. El radio del agujero es 2 pulg, g  32 pies / s 2 , y el factor de fricción/contracción es c = 0.6.

1 El volumen de agua en el tanque en el momento t es V   r 2 h donde r es el radio del 3 r 2 8 tanque con una altura h. de la figura en el texto vemos que  además que r  h h 20 5 2

1 2  4 dV 4 dh   h2 y V    h  h   h3 .Diferenciando con respecto a t, tenemos 3 5  75 dt 25 dt o dh 25 dV  dt 4 h 2 dt 2

dV  2  cAh 2 gh donde c  0.6 , Ah     , y g  32 . Así Del problema 13 tenemos dt  12  dV h dV h y  2  2 dt 15 dt 15

BIBLIOGRAFIA: G.Zill, D. (2009). Ecuaciones Diferenciales con Aplicación de Modelado. Brooks & Cole /Cengage Learning.