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DRENADO DE UN TANQUE Bastidas Quintero Zuly Esmeralda; Benítez Medina Samir; Blanco Pinto Joan Sebastián; Gómez Rojas Oscar Eduardo. [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]. Ingeniería civil, Universidad Pontificia Bolivariana, seccional Bucaramanga km 7 – Vía Piedecuesta.

Tema: Drenado de un tanque Palabras claves: Tiempo, altura, drenado, tanque, agua, Torricelli. Resumen Por más simple que parezca esta práctica es una de las más utilizadas en la industria, por ese motivo hemos escogido para este proyecto trabajar en la aplicación del drenado de un tanque, en el cual estudiaremos la velocidad a la cual se descarga el líquido de un tanque a una determinada altura, a través de un orificio situado al fondo de dicho recipiente, la forma geométrica del recipiente determinara el comportamiento físico del agua y determinaremos si el tiempo experimental de descarga coincide con el tiempo teórico, comprobaremos esto a partir de diversas ecuaciones diferenciales y con la experiencia obtenida a partir del recipiente. Problema El tanque que se muestra a continuación en la fig.1, está lleno de agua a una determina altura h, procedemos con el drenado del tanque a partir de un orificio circular de área de −4

7,068 x 10 cm es

2

g=10 m/seg

2

situado en fondo del recipiente. Si hemos establecido que la gravedad y que el coeficiente de descarga es de c=0.6

Introducción La experiencia del drenado de un tanque está basada en el teorema de Torricelli la cual es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido (en este caso agua) contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio ubicado en la parte inferior que actúa bajo la acción de la gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un líquido por un orificio. “La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio” -Torricelli

Datos recolectados Datos de cálculo de la altura, hallada a medida que se drena el agua, transcurridos cada minuto, se calculaba la altura a la que se encontraba el agua en el mismo instante que pasaba el minuto. TIEMPO (t) [Minutos] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11,28

ALTURA (h) [Metros] 0,083 0,068 0,053 0,04 0,028 0,017 0,011 0,005 0,003 0,002 0,0012 0,0001

Ecuación diferencial y soluciones La ecuación diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanques es: A ( h ) dh=−ac √ 2 gh Ecu1. Según puede observarse en la Fig. 1, las secciones transversales son rectángulos, dos de los lados paralelos de longitud constante e igual a 0.4 y los otros dos lados de longitud variable r. El área de la sección transversal es entonces: A ( h )=0.4 r Ecu 2. Debe expresarse la longitud r en función de la altura h. Para ello si se observa el tanque de frente, como una figura en un plano, ubicada en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, se verá como lo muestra la siguiente Fig. 2

Obsérvese que el punto P(r,h) pertenece a la recta que pasa por los puntos (0.05,0) y (0.1,0.198). La pendiente la recta es: m=

0.198−0 =3,96 ≈ 4 0.1−0.05

La ecuación de la recta que pasa por el punto (0.05, 0) o (0.1,0.198) y tiene pendiente 4 es: L: y =4 ( x – 0.05)

Ya que el punto P (r, h) pertenece a la recta L entonces satisface la ecuación de dicha recta, por lo tanto sustituyendo x=r ; y=h

h=4 (r – 0.05)

Despejando r tenemos lo siguiente: h r= + 0.05 Ecu 3. 4 Sustituyendo la Ecu 3 en la Ecu 2, se tiene el área de las secciones transversales en función de la altura h A ( h )=0.4 r A ( h )=0.4

( h4 + 0.05) dh

A ( h )=( 0.1h+ 0.02 ) dh A ( h )=0.1 ( h+ 0.2 ) dh Ahora se sustituyen A(h), a, c y g en la Ecu 1. 0.1 ( h+0.2 ) dh=−7,068583471 x 10−6 x 0,6 √ 20 h dt Simplificando obtenemos: 1

0.1 ( h+0.2 ) dh=−4,241150082 x 10−6 √ 20 h 2 dt Ecu 4.

La Ecu 4 es una ecuación diferencial de variables separables y debe resolverse sujeta a la condición de que la altura inicial de líquido en el tanque es 0.099 mt, es decir, h (0) = 0.099. Para separar las variables en la Ecu 4, lo primero que debemos hacer es llevar todos los términos de h, donde se encuentra dh, despejando al dt, así: 0.1 ( h+0.2 ) −6

−4,241150082 x 10

√20 h

1 2

dh=dt

Integrando:

∫

0.1 ( h+0.2 ) −4,241150082 x 10

−6

√ 20h

1 2

dh=∫ dt Ecu5.

( h+ 0.2 ) 0.1 ∫ 1 dh=∫ dt −6 −4,241150082 x 10 √20 h2 −1

0.1 ∫ ( h+0.2 ) h 2 dh=∫ dt −4,241150082 x 10−6 √ 20 1

−1

0.1 ∫ h 2 dh+ 0.2∫ h 2 dh=∫ dt −6 −4,241150082 x 10 √20

(

3

1

)

0.1 2 2 2 2 h + h =t +C Ecu 6. −6 5 −4,241150082 x 10 √20 3 Para determinar el valor de la constante C de integración se usa la condición inicial h (0) = 0.099 y se sustituye en la Ecu 6, t = 0 seg y h = 0.099 mt. 3

(

1

)

0.1 2 2 (0.099) 2 + (0.099)2 =0+C −6 5 −4,241150082 x 10 √20 3 −773,0451771=C El valor obtenido de C lo reemplazamos en la Ecu 6.

(

3

1

)

(

3

1

)

0.1 2 2 2 2 h + h =t−773,0451771 −6 5 −4,2408 x 10 √20 3 Despejamos t, así: 0.1 2 2 2 2 h + h +773,0451771=t Ecu 7. −6 5 −4,2408 x 10 √20 3 La Ecu 7, representa la relación del tiempo con la altura, con esta ecuación podemos hallar el tiempo con el que tarda en vaciarse el tanque a la altura condicionada al principio, para determinar el tiempo de vaciado total del tanque, es decir, cuando la altura del agua en el tanque es cero, se sustituye h = 0 en la Ecu 7.

(

3

1

)

0.1 2 2 (0) 2 + (0) 2 +773,0451771=t −6 5 −4,2408 x 10 √20 3 Así, el tanque demora en vaciarse totalmente

t=773,0451771 seg

Si sabemos que 1 min ---> 60 seg 773,0451771 ≈ 12,88 seg 60 Eso es lo que tardara

aproximadamente en vaciarse totalmente el tanque.

Altura con respecto al tiempo 0.1 0.08 0.06 Altura (h) [Mt]

0.04 0.02 0

0

2

4

6

8

10

12

Tiempo (t) [Seg]

Análisis de datos

X 100|=12,42 |12,88−11,28 12,88

%E=

En el análisis de estos datos, podemos observar que el tiempo experimental no coincide con el tiempo teórico, por lo que nos da un error de 12,42, esto es debido a que el tiempo

que requiere el tanque en vaciarse totalmente, es el cual en el tanque no queda ni un rastro del agua, pero a la hora de efectuar el experimento el tiempo que tomamos fue el tiempo en que dejo de salir bastante agua, mas no esperamos el tiempo que demora en salir hasta el último goteo, esta es una causa de la gran diferencia y del error porcentual que nos da.

Conclusiones Con base a los resultados obtenidos para la descarga de tanques con tiempos espaciados a un minuto y hallando sus respectivas alturas, podemos afirmar que la práctica se llevó a cabo de forma exitosa. Si bien los resultados para la columna no resultan como esperados, mas allá de desalentarnos representan un interés y motivación en volver a estudiar de forma experimental el fenómeno para poder detectar las fallas. POSIBLES FALLAS  Una de las posibles fallas puede ser el uso las cifras significativas.  Otra es la posición en la que se encuentra el tanque, ya que al estar 100% vertical, el agua no saldrá toda y se estancara en espacios del tanque.  Otra posible falla fue no esperar a que terminara de gotear el agua. Como pudimos ver a través de esta práctica, es posible desarrollar ecuaciones diferenciales para simplificar la resolución de los problemas.

Referentes bibliográficos  Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias/ A. Kiseliov  Ecuaciones diferenciales para la ciencia de la vida/ Julio céspedes  Ecuaciones Diferenciales/ Graciela Morantes