UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 2019-2 UNIDAD 3: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIAS VARIABLES
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UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 2019-2 UNIDAD 3: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIAS VARIABLES SESIÓN 12: DERIVADAS PARCIALES
MÓDULO 12
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
1
ÁREA DE MATEMÁTICAS
Unidad 3: Derivada de una función real de varias variables FACULTAD DE NEGOCIOS
MATEMÁTICA 1
SESIÓN 12: DERIVADAS PARCIALES I.
Logro de sesión
Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas vinculados a la administración y economía a partir de las derivadas parciales, e interpretando su resultado de forma coherente.
II.
Introducción
En la unidad 1 se estudió cómo optimizar la utilidad de una empresa, teniendo en cuenta que los ingresos y costos están escritos como funciones de una sola variable, a saber, el número de unidades producidas. Pero, por supuesto, el nivel de producción en sí, está determinado por otros factores, y en general, ninguna variable sola puede representarlo
SESIÓN 1: CURVAS PARAMÉTRICAS Y SUS APLICACIONES
y se dice que C es una curva paramétrica en el plano cartesiano. III.
Preliminares
Como tarea previa a la sesión, se tiene que revisar y recordar las definiciones geométricas y las ecuaciones estándar de: circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. Estas curvas reciben el nombre de secciones cónicas o, simplemente. Para mayor alcance pueden revisar
los
conceptos
y
definiciones
en
el
siguiente
enlace:
https://personales.unican.es/gonzaleof/Ciencias_1/conicas.pdf
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ÁREA DE MATEMÁTICAS
IV.
Fundamento teórico
Ecuación paramétrica Se le llama así, aquellas ecuaciones en las cuales las variables 𝑥 e 𝑦 actúan como funciones, ambas con respecto a una tercera variable denotada por “𝑡” y se le llama “parámetro” a esta variable independiente. Estas ecuaciones se representan en la siguiente forma general: {
𝑥 = 𝑓(𝑡) , 𝑡𝜖𝐼, 𝑦 = 𝑔(𝑡)
donde las funciones 𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡) son continuas en el intervalo 𝐼. SESIÓN 1: CURVAS PARAMÉTRICAS Y SUS APLICACIONES
Es importante aclarar que cada dos ecuaciones paramétricas representan a una sola curva referida a un sistema de ejes cartesianos llamada curva paramétrica. Ejemplo 1. 1. Ejemplo
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Grafique la siguiente ecuación paramétrica por tabulación e indique la orientación de la curva paramétrica para 𝐶: {
𝑥 = 𝑡2 , 𝑦 = 𝑡3
− 1 ≤ 𝑡 ≤ 2.
Solución. Realizamos una tabulación de algunos valores para el parámetro 𝑡 . Recuerde que toda ecuación paramétrica tiene el intervalo para el cual toma valores el parámetro "𝑡" y en este caso, se tiene el intervalo −1 ≤ 𝑡 ≤ 2. Por lo que solo podemos dar valores a "𝑡" por comodidad valores enteros desde -1 a 2.
𝒕
𝒙
𝒚
−1
1
−1
0
0
0
1
1
1
2
4
8
Ejemplo Ejemplo1.2. Grafique la siguiente ecuación paramétrica por tabulación e indique la orientación de la curva paramétrica para 𝐶: {
𝑥 =𝑡−1 , 𝑦 = 2𝑡 + 2
− 1 ≤ 𝑡 ≤ 2.
Solución. SESIÓN 1: CURVAS PARAMÉTRICAS Y SUS APLICACIONES
Llene la tabla con los valores de "𝑡", sabiendo que tienes el intervalo −1 ≤ 𝑡 ≤ 2. Luego, graficar cada par ordenado conformado por los valores de 𝑥 e 𝑦 en el plano cartesiano y
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luego,
unes
cada
punto.
Ejemplo 3.
𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡 ) Grafique la siguiente ecuación paramétrica 𝐶: { 𝑦 = cos(𝑡 ) , 𝑡 𝑧=
0 ≤ 𝑡 ≤ 5𝜋 en tres
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dimensiones por medio de la tabulación en el espacio tridimensional.
SESIÓN 1: CURVAS PARAMÉTRICAS Y SUS APLICACIONES
Ejemplo 4.
[Túnel que une dos distritos de Lima]
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¿cómo podrías parametrizar la curva que describe la entrada del túnel? ¿qué clase de cónica podrías utilizar para aproximar la ecuación cartesiana y paramétrica la entrada del túnel?
Aproxime la curva mediante un gráfico en el siguiente plano cartesiano.
GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA
ING. CIVIL
UNIDAD 1: CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
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TALLER 1: CURVAS PARAMÉTRICAS Y SUS APLICACIONES
NIVEL 1: [Conocimiento/Compresión] 1. Grafique las siguientes ecuaciones paramétricas e indique su dominio y rango. a)
x t 1, y 3t 2, t 0,2
b)
x t 1, y t 2 1, t [3; 3]
c)
x t , y t 2 2, t 0,2
d)
x et , y e2t 1, t [1; 1]
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GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA
𝑥 = 𝑡2 − 𝑡 2. Se tiene la siguiente ecuación paramétrica 𝐶: { . Obtenga la gráfica para 𝑦 =𝑡+1 los siguientes intervalos e indique la orientación para cada una. ¿Podrás obtener su ecuación cartesiana? Inténtalo por eliminación del parámetro "𝑡". A) −∞ < 𝑡 < +∞
B) −1 ≤ 𝑡 ≤ 2
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GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA
3. Por eliminación del parámetro, obtenga las ecuaciones cartesianas a partir de las siguientes ecuaciones paramétricas: a) 𝑥 = 𝑡 + 1, 𝑦 = 𝑡 2 , −2 ≤ 𝑡 ≤ 3
d) 𝑥 = 𝑒 𝑡 , 𝑦 = 𝑒 2𝑡 , −2 ≤ 𝑡 ≤ 3
b) 𝑥 = 2𝑡, 𝑦 = 𝑡 2 + 4, −1 ≤ 𝑡 ≤ 5
e)
c) 𝑥 = 𝑡 + 1, 𝑦 = 𝑡 2 , −2 ≤ 𝑡 ≤ 3
x et , y e2t 1, t [1; 1]
f) 𝑥 = 𝑡, 𝑦 = √1 − 𝑡 2 , 0 ≤ 𝑡
4. Utilizando la identidad trigonométrica visto en clase, obtenga la ecuación cartesiana, para cada una de las siguientes ecuaciones paramétricas: a) 𝑥 = cos(𝑡), 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 b) 𝑥 = cos(2𝑡), 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 c) 𝑥 = 3cos(𝑡), 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛(𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 d) 𝑥 = 3 + cos(𝑡) , 𝑦 = 2 + 𝑠𝑒𝑛(𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 e) 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡) − 3, 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑡) − 2, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 f) 𝑥 = 4𝑠𝑒𝑛(𝑡) − 3, 𝑦 = 3𝑐𝑜𝑠(𝑡) − 2, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
5. Parametrice las siguientes ecuaciones cartesianas y obtenga su gráfico, indicando su orientación: A)
𝑥2 9
+
𝑦2 4
=1
C) (𝑥 − 4)2 + (𝑥 − 4)2 = 4
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B)
𝑥2 4
+
𝑦2 9
=1
D) (𝑥 + 4)2 + (𝑥 + 4)2 = 4
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GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA
NIVEL 2: [Aplicación/análisis] 6. Del siguiente cuadro, obtenga su respectiva ecuación cartesiana y paramétrica para cada uno de ellos. CIRCUNFERENCIA
LA ELIPSE
Ecuación cartesiana:
Ecuación cartesiana:
Ecuación paramétrica:
Ecuación paramétrica:
PARABOLA
PARABOLA
Ecuación cartesiana:
Ecuación cartesiana:
Ecuación paramétrica:
Ecuación paramétrica:
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GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA
7. Parametrice la curva que se encuentra en el cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 a 2 unidades del plano xy, en sentido anti horario visto desde la parte superior del cilindro.
8. Parametrice la curva que se encuentra en la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 9 a 2 unidades del plano xy, en sentido anti horario visto desde la parte superior de la esfera.
9. Parametrice el borde del triángulo mostrado en sentido anti horario visto desde el eje Z positivo.
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GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA
NIVEL 3: [Síntesis/evaluación] 10. Del siguiente gráfico, obtenga la ecuación cartesiana y paramétrica de la curva 𝐶 de intersección de las superfícies 𝑆1 : 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1, 𝑆2 : 𝑦 + 𝑧 = 2.
11. Parametrice la curva que representa el borde de la región sombreada en cada gráfico del siguiente cuadro: B)
A)
C)
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D)
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GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA
12. En la siguiente tabla, se tiene el cuadro “Los siete puentes más importantes de china”. Se pide que ingrese al enlace AQUÍ e investigue cada uno de “Los siete puentes más importantes de china”. Forme grupos de 4 estudiantes y cada grupo escoja uno de los siete puentes y encuentre de manera aproximada su respectiva ecuación cartesiana y parametrizar la curva que describe el puente. 1. Puente Chaotianmen
2. Puente Xihoumen
3. Puente de Lupu
4. Puente de la bahía de Qingdao
5. Puente Siduhe
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GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA
6. Puente Ferroviario Beipanjiang
V.
7. Puente Liuguanghe
Referencia bibliográfica N°
CÓDIGO
AUTOR
TITULO
EDITORIAL
AÑO
1
516.3 OROZ
Orozco Mayren, Gilberto
Geometría Analítica: Teoría y Aplicaciones.
Trillas
2007
2
516.182 ESPI/E
Espinoza, Ramos Eduardo
Geometría Vectorial en R3
2004, s.n.
2004
Enlaces web:
https://personales.unican.es/gonzaleof/Ciencias_1/conicas.pdf
https://sites.google.com/site/geometriaanalitica3o/unidad-3/las-conicas
https://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_c%C3%B3nica
https://matematica.laguia2000.com/general/las-conicas
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