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Matemática III: Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales Ing. Civil

2016-0

ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES I. Introducción Con el uso de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) para resolver problemas aplicados estamos simplificando mucho el modelo de la realidad física que conduce a tales problemas. Todo ello se debe a que en las fórmulas matemáticas aparece una sola variable independiente sobre la que dependen todas las otras variables pertinentes. Modelar un problema de la vida real desde el punto de vista matemático en el que se haga intervenir dos o más variables independientes conduce a las Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales. El curso de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que aquí presentaremos, pretende exclusivamente exponer los conocimientos que, a nuestro juicio, consideremos básicos para que un estudiante de ingeniería pueda entender sin grandes problemas los tres ejemplos clásicos: 

Ecuaciones de tipo Hiperbólico (problemas que refieren fenómenos oscilatorios: vibraciones de cuerda, membranas, oscilaciones electromagnéticas).



Ecuaciones de tipo Parabólico (problemas que se presentan al estudiar los procesos de conductibilidad térmica y difusión).



Ecuaciones de tipo Elíptico (problemas que aparecen al estudiar procesos estacionarios, o sea que no cambian con el tiempo).

El Método de Separación de Variables, también constituye un tema importante que nos permitirá conocer los problemas de Sturm-Liouville y sus autovalores. 1. DEFINICIÓN Se llama ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP) a la ecuación de la forma: 𝐹 (𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 , 𝑢,

𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕 2 𝑢 𝜕 2 𝑢 , ,⋯, , , , ⋯ ) = 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (𝛼) 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑥12 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2

Que permite conexionar las variables independientes 𝑥𝑖 , ∀𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛, la función dependiente 𝑢 = 𝑢(𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ) y sus derivadas parciales. 1.1. Definición (Orden): El orden de una ecuación en derivadas parciales, es el de derivada de mayor orden que aparece en la ecuación. Ejemplos:

a) y

u u x  0 es una EDP de primer orden x y

 2u  2u   0 es una EDP de segundo orden b) x 2 y 2

pág. 1

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1.2. Definición (Grado): El grado de una ecuación en derivadas parciales, está dado por la potencia de la derivada de mayor orden, siempre y cuando la ecuación se pueda expresar como un polinomio de esa derivada. Ejemplos:

a)

u u u    0 es una EDP de primer grado x y z 4

 2 u u   2 u   2u   .   2 es una EDP de cuarto grado b) y 2 x  y 2  x Observación: También utilizaremos las notaciones 𝑢𝒙 =

𝜕𝑢 , 𝜕𝑥

𝑢𝒚 =

𝜕𝑢 , 𝜕𝑦

𝑢𝑥𝑥 =

𝜕2𝑢 , 𝜕𝑥 2

𝑢𝑥𝑦 =

𝜕2𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦

2. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN EN DERIVADAS PARCIALES: Sea la EDP definida en (𝛼) de orden 𝑚, se llama solución de dicha EDP en cierta región 𝐷 de

variación

de

las

xi ,

i  1,2,......., n

a

una

función

cualquiera

u  u( x1 , x2 ,.......,xn )  C m ( D) (conjunto de funciones continuas en la región D junto con todas las derivadas de hasta de orden m inclusive). Tal que al sustituir 𝑢, y sus derivadas en (𝛼) la última se convierte en identidad respecto a

x i en la región 𝐷.

Ejemplos: 1. Sea la EDP lineal de primer orden:

u ( x, y ) u ( x, y)  2x  0 Y la función: u( x, y)  f (ax 2  ay  b) verifique que la x y función sea solución de la EDP dada. 2. Sea la EDP de segundo orden:

 2u  2u  2u  3  2  0 Verificar si la función: xy x 2 y 2 u ( x, y )  f 1 (ax  ay )  f 2 (2 xa  ay ) Es solución de la EDP dada. 3. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES QUE SURGEN DE LA ELIMINACIÓN DE FUNCIONES ARBITRARIAS Ya que las soluciones de las EDP hacen intervenir funciones arbitrarias, parece lógico que se obtengan EDP por el proceso inverso de eliminar tales funciones. pág. 2

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EJERCICIOS 1. Hallar la solución 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) de las siguientes ecuaciones a) b)

𝜕𝑢 𝜕𝑥

=0

𝜕2 𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦

=0

2. Obtener soluciones a los siguientes problemas de valor de frontera a)

𝜕𝑢 𝜕𝑥

= sin 𝑦 ;

𝜕2 𝑢

𝑢(0, 𝑦) = 0

= 𝑥 + 𝑦3;

𝑢(1, 𝑦) = 2𝑦 2 − 4𝑦;

𝑢(𝑥, −2) = 𝑥 + 8

= sin 𝑦 + 𝑥 2 cos 𝑦;

𝑢(0, 𝑦) = 0;

𝑢 (𝑥, ) = 0

= 4𝑥𝑦 + 𝑒 𝑥 ;

𝑢(𝑥, 0) = 2𝑥 − 4;

𝑢(0, 𝑦) = 𝑦

 2u  3x  8 y 2 e) xy

𝑢(𝑥, 0) = 𝑥 2 − 4;

𝑢(0, 𝑦) = 𝑦 3 − 3𝑦

b) c) d)

𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕2 𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕2 𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦

𝜋 2

3. Obtener la EDP, eliminando las funciones arbitrarias en cada relación que se da. a) 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝜙(𝑦) + 3𝑥𝑦 b) 𝑢(𝑥, 𝑦) = √𝑥𝜙(𝑦) + (ln 𝑦)𝜑(𝑥) c) 𝑧 = 𝜙(𝑥 + 𝑦) d) 𝑧 = 𝜙(𝑥𝑦) e) 𝑧 = 𝜙(𝑥 2 − 𝑦 2 ) f)

𝑧 = 𝜙[𝑒 3𝑦 (𝑥 − 2𝑦)]

 x 2  xy  y 2  z z  satisfaga x  y  nz 2 2  x y  x  xy  y 

4. Hallar 𝑛 para que z  x 3 arctan

5. Mostrar que la función u ( x, y, z ) 

1 x2  y2  z2

satisface la ecuación:

 2u  2u  2u   0 x 2 y 2 z 2 2 2z 2z 2  z  2 xy y 0 6. Si z   ( y / x)  x ( y / x) demostrar que x xy x 2 y 2 2

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4. ECUACIÓN EN DERIVADAS PARCIALES LINEAL 4.1. Definición: La ecuación en derivadas parciales se llama lineal, si esta es lineal respecto a la función buscada y todas sus derivadas que forman parte de la ecuación. En caso contrario se llama no lineal. 4.2. Definición: La EDP de segundo orden para la función de dos variables independientes 𝑥 e 𝑦 en el caso general tiene la forma: 𝐴(𝑥, 𝑦)

𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 + 2𝐵(𝑥, 𝑦) + 𝐶(𝑥, 𝑦) + 𝑎(𝑥, 𝑦) + 𝑏(𝑥, 𝑦) + 𝑐(𝑥, 𝑦)𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 2 2 𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦

Siendo 𝐴(𝑥, 𝑦), 𝐵(𝑥, 𝑦), 𝐶(𝑥, 𝑦), 𝑎(𝑥, 𝑦), 𝑏(𝑥, 𝑦), 𝑐(𝑥, 𝑦) funciones de las variables 𝑥 e 𝑦 en una región D  R

2

y la función incógnita 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦).

Si 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 la ecuación se llama homogénea (EDPH) Observación: Si u1 , u2 , , u k son soluciones de una ecuación en derivadas parciales

lineal homogénea, la combinación lineal

u  c1u1  c2u2    ck uk En que las ci , i  1,2, , k son constantes, también es una solución. 5. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN DE DOS VARIABLES INDEPENDIENTES Definición: Sea la EDP de segundo orden 𝐴(𝑥, 𝑦)

𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 + 2𝐵(𝑥, 𝑦) + 𝐶(𝑥, 𝑦) + 𝑎(𝑥, 𝑦) + 𝑏(𝑥, 𝑦) + 𝑐(𝑥, 𝑦)𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 2 2 𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦

En una cierta región Ω ⊂ ℝ2 . Se dice: i. Hiperbólica en Ω, si Δ = 𝐵2 − 𝐴𝐶 > 0 en Ω ii. Parabólica en Ω, si Δ = 𝐵2 − 𝐴𝐶 = 0 en Ω iii. Elíptica en Ω, si Δ = 𝐵2 − 𝐴𝐶 < 0 en Ω

6. SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN POR MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES Un método de resolución que se puede aplicar a un gran número de ecuaciones en derivadas parciales, es el llamado método de separación de variables. El método consiste en suponer que la solución de una EDP,

con dos variables

independientes, puede factorizarse en el producto de dos funciones, cada una de las cuales depende solo de una de las variables. Es decir, si

u ( x, y) es la solución buscada, entonces:

u( x, y)  F ( x)G( y) ……… (1)

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Utilizando esta hipótesis, se sustituye en la ecuación, y se procede a determinar las funciones F y G para que la ecuación se satisfaga. Este procedimiento requiere de separar las variables F y G e igualar a una constante.

EJERCICIOS 1. Clasifica las siguientes EDP a) b) c)

𝜕2 𝑢 𝜕2 𝑢

+

𝜕𝑥 2 𝜕2 𝑢

𝜕2 𝑢 𝜕𝑥 2

e)

𝜕𝑦 2 𝜕2 𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦

+3

𝜕𝑥 2

d) 3

𝜕2 𝑢

=

𝜕𝑥 2

+

𝜕2 𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦

−5

𝜕2 𝑢

=0

𝜕𝑦 2

−

𝜕2 𝑢

𝜕2 𝑢 𝜕𝑦 2

+

𝜕𝑥𝜕𝑦

+2

𝜕2 𝑢 𝜕𝑦 2

𝜕𝑥

=0

=0

𝜕𝑥 2 𝜕2 𝑢

f) 𝜕𝑢

𝜕2 𝑢

𝜕𝑥 2

g)

𝜕2 𝑢 𝜕𝑥 2

h) 𝑘

− +

𝜕2 𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕2 𝑢 𝜕𝑦 2

+4

𝜕2 𝑢 𝜕𝑥 2

−3

=0

=0

𝜕2 𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦

=

𝜕2 𝑢 𝜕𝑦 2

𝜕𝑢 𝜕𝑡

+

𝜕2 𝑢 𝜕𝑦 2

−

𝜕𝑢 𝜕𝑥

−6

𝜕𝑢 𝜕𝑥

, 𝑘>0

2. Aplicar el Método de separación de variables para resolver las siguientes EDP a) b) c)

𝜕2 𝑢 𝜕𝑦 2

=

𝜕2 𝑢

𝜕𝑦 2

d)

𝜕𝑦

= 2𝑦

𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕2 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑢

e)

𝜕𝑥

= 𝑒 𝑥+𝑦

f)

𝜕2 𝑢 𝜕𝑦 2 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥

=𝑥+𝑦

+3 +

𝜕𝑢 𝜕𝑦

𝜕𝑢 𝜕𝑦

=0

=𝑢

3. Usar el MSV para obtener las soluciones a los problemas de valor de la frontera: a)

𝜕𝑢 𝜕𝑥

b) 4 c) d)

pág. 5

+𝑢 =

𝜕𝑢 𝜕𝑥

𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥

+

= +

𝜕𝑢 𝜕𝑦

𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦

𝜕𝑢 𝜕𝑦

;

= 3𝑦;

𝑢(𝑥, 0) = 4𝑒 −3𝑥 𝑢(𝑥, 0) = 4𝑒 −𝑥 − 𝑒 −5𝑥

;

𝑢(0, 𝑦) = 𝑒 2𝑦

= 𝑢;

𝑢(0, 𝑦) = 2𝑒 −𝑦 + 3𝑒 −2𝑦

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=0