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ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Ecuación del calor Ecuación de onda Ecuación de Laplace

Introducción Estas ecuaciones surgen en relación con varios problemas físicos y geométricos cuando las funciones que intervienen dependen de dos o más variables independientes. La mayoría de los problemas de mecánica de fluidos y sólidos, transferencia de calor, teoría electromagnética, mecánica cuántica y otras áreas de la Física llevan a ecuaciones en derivadas parciales.

Ecuación unidimensional del calor:

ðµ(𝑥,𝑡) ð𝑡

=

ð2 µ(𝑥,𝑡) 𝑘 ð𝑥 2

Ecuación unidimensional de onda: •

ð2 µ(𝑥,𝑡) ð𝑥 2

=

ð2 µ(𝑥,𝑡) 2 𝑎 ð𝑡 2

Ecuación bidimensional de Laplace:

•

ð2 µ(𝑥,𝑡) ð𝑥 2

=

ð2 µ(𝑥,𝑡) ð𝑡 2

Método de separación de variables El método de separación de variables es una técnica clásica que resulta efectiva para resolver varios tipos de ecuaciones en derivadas parciales. Para determinar una solución, se supone que ésta puede escribirse con sus variables separadas; esto es, en la forma u (x, y) = X (x) Y (y) . Sustituyendo esta forma de solución en la ecuación y teniendo en cuenta que du/dx = XʹY du/dy = XYʹ d2u/dx2 = X''Y d2u/dy2 = XY''

se llega a dos ecuaciones diferenciales ordinarias de las funciones incógnitas X (x) y Y (y). De esta forma el problema de resolver una ecuación en derivadas parciales se reduce al problema más conocido de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.

Ecuación del calor u=0

varilla L

u=0 X

La ecuación unidimensional del calor es el modelo de variación de la temperatura u según la posición x y el tiempo t en una varilla calentada de longitud L y de temperatura inicial f(x) que se extiende a lo largo del eje x y cuyos extremos se mantienen a una temperatura constante de cero grados en todo instante. Si • El flujo de calor se produce solamente en la dirección del eje x • No se pierde calor a través de la superficie lateral de la varilla • No se genera calor en la varilla • La varilla es homogénea, esto es, su densidad por unidad de longitud es constante • Su calor específico y su conductividad térmica son constantes

Entonces la temperatura u (x, t) de la varilla está dada por la solución del problema con condiciones iniciales y de contorno: k

=

, k>0, 00 u(x,0) = f(x), 0