Ecuaciones en Derivadas Parciales

Ecuaciones en Derivadas Parciales. Una ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP), por su semejanza con las EDO,

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Ecuaciones en Derivadas Parciales. Una ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP), por su semejanza con las EDO, es una ecuación donde una cierta función incógnita u viene definida por una relación entre sus derivadas parciales con respecto a las variables independientes. Si u = u(x,y,z), una ecuación diferencial en derivadas parciales sería

Se denomina orden de la EDP al más alto grado de derivación parcial que aparece en la expresión. Así (1)

(1) Es una EDP de 2 orden, mientras que (2)

(2) Es una PDE de primer orden. La ecuación (1) es lineal ya que u y sus derivadas aparecen sin multiplicarse y no aparecen elevadas a potencias. La ecuación (2) en cambio, es no lineal. Se podrían hacer algunas consideraciones acerca de las EDP. Mientras que el número de constantes que hay que eliminar en una familia de curvas definen el orden de la ecuación diferencial ordinaria de la que es solución, aquí la génesis se puede considerar vista de otro modo. Sea una función de (x,y) que verifica que es de la forma u(x,y) = f(x + y)·g(x - y) Donde f y g son funciones arbitrarias. Entonces

A su vez

De donde se deduce que

Pero

Se ha llegado a una ecuación diferencial de 2° orden en derivadas parciales cuya solución tiene la forma u(x,y) = f(x + y)·g(x - y)

Algunos ejemplos típicos de ecuaciones en derivadas parciales son: 

Ecuación de difusión de calor:

u  2u  k2 2 t x Es la clásica ecuación unidimensional de difusión del calor, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes. 

Ecuación de onda:

Es la clásica ecuación de onda unidimensional, que describe fenómenos de tipo oscilatorios y es también de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.



Ecuación de difusión de calor

La ecuación de la difusión o ecuación del calor que surge en diversos campos de la física y la ingeniería. Aparece en relación con fenómenos de difusión en un medio homogéneo y el ejemplo típico es el de la conducción del calor en una varilla homogénea de longitud L que está aislada, salvo quizás en sus extremos. Si denotamos por u(x, t) la temperatura en la posición x de la varilla (0 ≤ x ≤ L) en el instante t, entonces el calor pasa de las partes más calientes a las más frías y, tras algunas consideraciones físicas, se postula que u verifica la ecuación del calor unidimensional

u  2u  k2 2 t x Donde κ es una constante positiva que depende de la composición de la varilla. Es fácil

ek

2

w2

cos( wx )

e k

2

w2

sen( wx)

ver que las funciones u(x, t) = y u(x, t) = son soluciones de esta ecuación para cualquier valor de ω y, en cierto modo, son las componentes fundamentales con las que se pueden reconstruir todas las soluciones; ésta es la consecuencia fundamental de la aplicación del método de separación de variables para resolver la ecuación del calor cuando se fijan condiciones iniciales y de contorno. Fue J. Fourier quien, a principios del Siglo XIX y en sus investigaciones sobre la teoría del calor, aplicó dicho método, aparecido en el siglo anterior en conexión con el problema de la cuerda vibrante, a la ecuación unidimensional de la difusión. Para este problema no se conocen soluciones tipo D’Alembert, así que los buenos resultados obtenidos por Fourier situaron las series trigonométricas, que hoy llevan su nombre, en el centro de la escena matemática. La aplicación de la ecuación de calor se lleva a cabo en todos los diferentes tipos donde se encuentra una transferencia de calor ya sean sistemas dinámicos a estacionarios, sistemas estacionarios a estacionarios, etc. La ecuación se aplica en estos casos siendo de utilidad para conocer la temperatura en un punto x a lo largo de una varilla en algún tiempo t.



Ecuación de onda

La ecuación de onda es una importante ecuación diferencial en derivadas parciales lineal de segundo orden que describe la propagación de una variedad de ondas, como las ondas sonoras, las ondas de luz y las ondas en el agua. Es importante en varios campos como la acústica, el electromagnetismo y la dinámica de fluidos. Históricamente, el problema de una cuerda vibrante como las que están en los instrumentos musicales fue estudiado por Jean le Rond d'Alembert (1746) por primera vez, Leonhard Euler (1748), Daniel Bernoulli (1753) y Joseph-Louis Lagrange (1759). Se hallaron soluciones en diversas formas que ocasionaron discusiones por más de veinticinco años. Las disputas aún se resolvieron en el siglo XIX La ecuación de onda es el ejemplo prototipo de una ecuación diferencial parcial hiperbólica. En su forma más elemental, la ecuación de onda hace referencia a una función u(x,t) que satisface:

Donde es el laplaciano y donde es una constante equivalente a la velocidad de propagación de la onda. Para una onda sonora en el aire a 20 °C, esta constante es de cerca de 343 m/s (véase velocidad del sonido). Para una cuerda vibrante, la velocidad puede variar mucho dependiendo de la densidad lineal de la cuerda y su tensión. Para un resorte de espiral (un slinky) puede ser tan lento como un metro por segundo. Un modelo más realista de la ecuación diferencial para ondas permite que la velocidad de propagación de la onda varíe con la frecuencia de la onda, a este fenómeno se le conoce como dispersión. En este caso, deberá ser remplazado por la velocidad de fase:

Otra corrección común en sistemas realistas es que la velocidad puede depender también de la amplitud de la onda, lo que nos lleva a una ecuación de onda no lineal:

La ecuación de onda se puede aplicaren cualquier medio elástico de desplazamiento transversal en una dimensión. A esta clase de modelo se le conoce como 1-D waveguide.  Desplazamiento transversal de cuerdas.  Columnas de aire, corrientes u órganos a tubos.  Rigidez de los ideofonos, como xilófono Para el modelamiento físico de cuerdas se necesita acoplar  Vibración transversal en el plano horizontal  Vibración en el plano vertical  Vibración longitudinal.

BIBLIOGRAFIA    

http://personal.us.es/contreras/t06edp.pdf http://campus.usal.es/~modelosmatematicos/ModelosMatematicos/index_files/Trab ajo%20Ec%20Diferenciales%20en%20Ingenieria.pdf Ecuaciones diferenciales con valores en la frontera Dennis G. Zill, Michael R. Cullen; capitulo 12: pag. 433-448. http://web.cua.uam.mx/files/Notas-Ecuaciones_Diferenciales_Parciales.pdf