MATRICES 1.1 CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general,
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MATRICES 1.1 CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas. Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales. Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C,... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c,... Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij. Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz: A = (aij)
a11 Por comodidad
( aij )m x n
=
a12
a1 n
a21
a22
………..
a2 n
a31
a32
………..
a3 n
:
: ………..
amn
:
ORDEN DE
………..
am 1
am 2
se escribirá
mxn número de filas numero de columnas A Є Mmxn
Ejemplos:
4 0
(
)
3 2
1 5
a 1 x 1 a1 x2 a1 x 3 A 3 x 3= a 2 x 1 a2 x2 a2 x 3 , m=n , A n , A ∈ M n a 3 x 1 a3 x2 a3 x 3
B 1 x 3=( b1 x 1 b1 x2 b1 x 3 )
Fila
: UNA MATRIZ
Indica el número de filas y el número de columnas que tiene.
Amxn
A =
D=
Colum
na
a 1 x 1 a1 x2 a 2 x 1 a2 x2 A nxn= a 3 x 1 a3 x2 ⋮ anx1 anx 2
(
a1 x 3 a1 xn a2 x 3 ⋯ a2 xn a3 x 3 a3 xn ⋱ ⋮ anx 3 ⋯ anxn
)
ELEMENTOS DE UNA MATRIZ: A=
aij a
(aij)mxn
ij posición columna
posición fila Ejemplo:
-2 3 0A= 2 0 4
1 1 -3
A m xn
a11
a12
a21
a22
a31
a32
a11= -2
:
a23=1
am 1
DIAGONAL DE UNA MATRIZ
:
…… ….. …… ….. …… ….. :
am 2 …… …..
a1 n a2 n a3 n :
amn
{
A ϵ Mn aij ∀ i= j
En álgebra lineal, la diagonal de una matriz cuadrada contiene los elementos situados desde a1x1 hasta anxn.
Es decir, los elementos que van desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha: a1x1, a2x2, a3x3.... anxn. a11
a12 ……
a1 n
a21
a22 ……
a2 n
a31
a32 ……
a3 n
….. ….. ….. :
:
am 1
:
am 2 …… …..
:
amn
i< ¿ A m xn =
i> ¿
Los elementos de la diagonal de la matriz A son: a1x1, a2x2, a3x3
Ejercicios: Construir las siguientes matrices dadas las siguientes restricciones:
A m xn ϵ M 3
aij =0 , ∀ i> j
A=
( ) 1 2 2 0 1 2 0 0 1
aij =1 , ∀ i= j aij =2 , ∀ i< j
A m xn ϵ M 3
A=
aij =0 , ∀ i≠ j
( ) 1 0 0 0 1 0 0 0 1
aij =1 , ∀ i= j
CLASES DE MATRICES Tipo de matriz FILA
COLUMNA
Definición
Ejemplo
Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1×n
A 1 x 3=( 7 2 −5 )
Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m×1
−7 A 3 x 1= 1 6
()
RECTANGULAR
TRASPUESTA
(
Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden m×n , m≠ n
1 3 2 9 A 3 x 4 = 5 7 −1 8 0 3 5 1
Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por At ó AT
Si es A=( a ij )mxn , su transpuesta es A t =( a ji )nxm ,
(
)
A= 1 2 5 , 3 −4 7
( )
1 3 t A = 2 −4 5 7
OPUESTA
NULA
La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.
Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por A mxn =(0)
CUADRADA
Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n. Diagonal principal : son los elementos a11 , a22 , ..., ann
( ) ( )
1 3 A= 5 −7 , −6 4
−1 −3 −A= −5 7 6 −4
( )
0 0 0 A 3 x 3= 0 0 0 0 0 0
(
1 9 −6 A 3 x 3= 2 0 1 −2 4 5
)
Diagonal principal
)
Diagonal secundaria : son los elementos aij con i+j = n+1
Diagonal secundaria
Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal, notada por Tr ( A) n
T r ( A )=∑ a ii i=1
SIMÉTRICA
Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta. A = At , a ij = a ji
ANTI SIMÉTRICA
Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta. A = -At , aij = -aji Necesariamente aii = 0 Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal, es decir:
DIAGONAL
Sea la Matriz A=
(aij)mxn
ssi:
(
0 1 −4 A 3 x 3= −1 0 −2 4 2 0
(
7 0 0 A= 0 5 0 0 0 −2
aij =0 , ∀ i≠ j aij =escalar , ∀ i= j
ESCALAR
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales
( )
7 0 0 A= 0 7 0 0 0 7
)
)
IDENTIDAD
También se denomina matriz unidad. Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. Es decir: Sea la Matriz I= (aij)mxn
( )
1 0 0 I= 0 1 0 0 0 1
I es matriz identidad ssi:
aij =0 , ∀ i≠ j
aij =1 , ∀ i= j Matriz triangular Superior Sea la Matriz A= (aij)mxn
(
1 3 5 A= 0 4 −1 0 0 9
)
ssi:
aij =0 , ∀ i> j
TRIANGULAR
T. superior
Matriz triangular Inferior Sea la Matriz A=
(aij)mxn
ssi:
aij =0 , ∀ i< j
IDEMPOTENTE
ORTOGONAL
( )
1 0 0 A= 5 4 0 2 8 7
T. inferior
Una matriz A es idempotente si: A 2= A
I =I 2
Nota: La identidad no es la única idempotente
A= 0 1 0 1
Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.
I n=I
( )
A∗A t =I 1 2 A= √ −1 √2
1 √2 −1 √2
( )
NORMAL
INVOLUTIVA
NILPOTENTE
Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, anti simétricas u ortogonales son necesariamente normales.
(
A= 5 −4
el menor entero positivo )
)
A∗A t =A t∗A
Es una matriz cuadrada ( tiene igual número de filas que de columnas) tal que su cuadrado es igual a la matriz unidad, es decir: A es involutiva si A x A=I
Decimos que una matriz cuadrada A es Nilpotente de orden r si y sólo si se r verifica que A =0 , ( r es
4 5
A2 = I
A es nilpotente de orden 3, A 3=0
(
0 1 3 A= 0 0 −2 0 0 0
)