• Author / Uploaded
• oscarguamba

Citation preview

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL

PROGRAMACION II Profesor: Ing. Ramiro Pilaluisa

OPERACIONES CON MATRICES

SEMESTRE: SEGUNDO PARALELO: PRIMERO

INTEGRANTES: 

Cadena Diego



Guamán José



Guamba Oscar



Morales Miryam



Robles Gilson

MATRICES DEFINICION DE MATRICES Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece. Dimensión de una matriz

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Si la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3, ...

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij. Matrices iguales

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

Nota: 

A las matrices se les acostumbra denotar por letras mayúsculas.



Se emplean paréntesis ( ) o corchetes [ ] para encerrar los elementos que conforman a la matriz. En nuestro curso emplearemos corchetes.

TIPOS DE MATRICES: 1. SEGÚN EL ORDEN



MATRIZ RECTANGULAR: si el número de filas y de columnas no coincide.

Ejemplo:

A= (

•

); A es una matriz de orden 3x2

MATRIZ CUADRADA: es la que tiene igual número de filas que de columnas.

Ejemplo: B= (

•

) ; B es una matriz 2x2

MATRIZ FILA: es aquella que tiene una sola fila.

Ejemplo: C= ( •

) MATRIZ COLUMNA: es aquella que tiene una sola columna

Ejemplo:

D= (

)

2. SEGÚN SUS ELEMENTOS

•

MATRIZ NULA: Es aquella en la que todos sus elementos son nulos. También se llama matriz cero y se representa por 0.

Ejemplo:

E= (

•

)

MATRIZ TRIANGULAR: es aquella en la que todos los elementos por encima (o debajo) de la diagonal principal son nulos.

Triangular superior si son nulos los elementos situados por debajo de la diagonal principal.

F= (

)

Triangular inferior si son nulos los elementos situados por encima de la diagonal principal. Ejemplo:

G= (

•

)

MATRIZ DIAGONAL es aquella que tiene todos sus elementos nulos salvo los de la diagonal principal.

Ejemplo:

H= (

•

)

MATRIZ ESCALAR es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales.

Ejemplo:

J= (

•

)

MATRIZ UNIDAD o IDENTIDAD es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.

Ejemplo:

I= (

)

OPERACIONES CON MATRICES

SUMA DE MATRICES. Dadas dos matrices A = (aij) y B = (bij) de la misma dimensión, se define la suma A+ B como otra matriz C = (Cij) de igual dimensión que los sumandos y donde Cij= aij+ bij. Digamos como comienzo que para sumar dos matrices, deben ser del mismo orden. Veamos: Sea el conjunto de las matrices de orden m×n, es decir, Mm×n Sean A y B dos matrices de Mm×n Definimos la suma de las matrices A y B de la siguiente forma: En forma desarrollada sería:

Recuérdese que para sumar dos matrices deben ser del mismo orden

Propiedades de la suma de matrices La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n. Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro: A+0=A Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

Elemento opuesto: A + (−A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo. Conmutativa: A+B=B+A Ejemplo:

A= (

)

+ B= (

)

A=(3*3)

B=(3*3)

Es posible sumar matrices solo y solamente cuando son de la misma dimensión. La matriz resultante se consigue al sumar los elementos correspondientes de dichas matrices.

A+B = (

)

A+B=(3*3) Desarrollo: Suma de los elementos de la 1° fila:

Suma de los elementos de la 2da fila Suma de los

elementos de la 3ra fila (-2)+(4)=2

(3)+(5)=8

(8)+(2)=10

(1)+(12)=13

(5)+(2)=7

(20)+(15)=35

(0)+(4)=4

(10)+(6)=16

(9)+(1)=10

SUSTRACCIÓN DE MATRICES La resta de dos matrices del mismo orden A y B, se define como la suma de A más la matriz opuesta de B, por lo que resultará ser otra matriz del mismo orden, D, cuyos elementos se obtienen de restar a cada elemento de la primera matriz A (minuendo) el elemento correspondiente de la matriz que resta, B (sustraendo).

A-B=

Desarrollo: Resta de los elementos de la 1° fila:

Resta de los elementos de la 2da fila Resta de los

elementos de la 3ra fila (7)-(2)=5

(-1)-(0)=-1

(3)-(-1)=4

(2/3)-(1/3)=1/3

(0)-(0)=0

(3)-(5)=-2

(0)-(2)=-2 (3)-(3)=0 (4)-(1)=3

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES Sean A y B dos matrices tales que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B, la multiplicación es posible y la matriz resultante tendrá:

A (

× )

B (

)

Si es posible realizar esta multiplicación

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES (FILA Y COLUMNA). Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. Mm x n x Mn x p = M m x p El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

(

)

(

)

= (X1a1 + Y1b1 + Z1c1)

Ejemplo de multiplicación de matrices

(

)

( ( A×B=( (

(

)

) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) (

(

) )) = )

)

Propiedades del producto de matrices Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C Elemento neutro: A·I=A Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. No es Conmutativa: A·B≠B·A Distributiva del producto respecto de la suma: A · (B + C) = A · B + A · C

Producto de un escalar por una matriz Dada una matriz A=(aij) y un número real k R, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k. kA=(k aij)

Propiedades a · (b · A) = (a · b) · A A

Mmxn, a, b

a · (A + B) = a · A + a · BA,B

Mmxn , a

(a + b) · A = a · A + b · A A Mmxn , a, b 1·A=AA

Mmxn

TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ Matriz Transpuesta Sea

una matriz con

filas y

columnas. La matriz transpuesta, denotada con

.1 2 Está dada por:

En donde el elemento la matriz transpuesta

de la matriz original

se convertirá en el elemento

.

Ejemplo.

Otro ejemplo un poco más grande es el siguiente:

de

PROPIEDADES. Involución de la doble transposición

Transposición de la suma: Sean A y B matrices con elementos pertenecen a un anillo

y sea

Transposición de la multiplicación de un escalar

Transposición de la multiplicación de matrices Si el producto de las matrices

Si

y

está definido,

es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces

Es semidefinida positiva.

Definiciones Asociadas. Una matriz cuadrada

es simétrica si coincide con su transpuesta:

:

Una matriz cuadrada

es antisimétrica si su transpuesta coincide con su inverso

aditivo.

Si los elementos de la matriz

son números complejos y su transpuesta coincide con

su conjugada, se dice que la matriz es hermítica.

y antihermítica si

Vale la pena observar que si una matriz es hermítica (matriz simétrica en el caso de matriz real) entonces es diagonalizable y sus autovalores son reales. (El recíproco es falso). EJEMPLO: (AT)ij = Aji

A=

a11 a12 a13 a21 a22 a23 … … … … … … a31 a32 a33

A=

2 5 1 8 0 2 2 7 5

a11 a12 a21 a22 AT = … … … … a31 a32

AT = A=(3*3)

a13 a23 … … a33

2 8 2 5 0 7 1 2 5 AT=(3*3)

DETERMINANTES Definición: A toda matriz cuadrada An le asociamos un número denominado determinante de A, detA o |A| simbolizado así: Dicho número es un resultado que se puede obtener de diferentes maneras. depende Según el orden y tipos de determinante.

Esto

MATRIZ INVERSA Inverso de matriz de dimensión (m*n) El producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad. A · A −1 = A −1 · A = I Propiedades (A · B) −1 = B −1 · A −1 (A −1 )

−1

=A

(k · A) −1 = k −1 · A −1 (A t )

−1

= (A

−1

)

t

Observación Podemos encontrar matrices que cumplen A·B = I, pero que B·A¹ I, en tal caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la inversa de A "por la derecha". Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada:   

Directamente. Usando determinantes. Por el método de Gauss-Jordan.

Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos: 1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha. Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A -1.

DETERMINANTES Definición: A toda matriz cuadrada An le asociamos un número denominado determinante de A, det A o |A| simbolizado así:

Dicho número es un resultado que se puede obtener de diferentes maneras.

Esto

depende Según el orden y tipos de determinante. METODO DE SARRUS Cuando el determinantes es de orden dos o tres se utiliza el método de Sarrus, que consiste en sumar todos los productos que se obtienen al multiplicar dos o tres elementos de la matriz de todas las formas posibles, con la condición de que en cada producto exista un elemento de casa fila y uno de cada columna, con sus signos correspondientes y para ello se utiliza el siguiente esquema: Para un determinante de orden 2:

Para un determinante de orden 3:

DETERMINANTE DE ORDEN DOS.

Sea la matriz cuadrada de dimensión 2X2 dada por

Definimos el determinante de A de la siguiente forma:

Ejemplo:

DETERMINANTES DE ORDEN 3 (ASOCIADOS A MATRICES 3X3) Si A es una matriz 3x3, su determinante (de orden 3) vendrá dado por:

Ejemplo:

CALCULO DE UN DETERMINANTE DE ORDEN N, POR ADJUNTOS El desarrollo de determinantes de orden superior a 3 se complica enormemente. Vamos a describir un método en el que el cálculo del determinante de una matriz de orden n se reduce básicamente al cálculo de otros determinantes de orden inferior, por medio del método de Adjuntos.

Sea A una matriz cuadrada de orden n y ij a uno cualquiera de sus elementos. Se llama MATRIZ COMPLEMENTARIA del elemento ij a a la matriz que resulta de A al suprimir la fila i y la columna j (la fila y la columna en la que se encuentra dicho elemento).

Sea la matriz An =

se llama MENOR COMPLEMENTARIO de

un elemento aij y se denota mij al determinante de la matriz de orden n − 1 que resulta de suprimir en A la fila i y la columna j. Se denomina adjunto de un elemento aij y se denota Aij , al producto del menor complementario mij de aij por el signo que resulte de calcular (−1)i+j : Aij = (−1)i+j · mij Se puede demostrar una propiedad interesante (la propiedad X en la lista que damos más adelante): el valor del determinante de una matriz A es igual a la suma de los productos de los elementos de

una línea (fila o columna) de A por sus

respectivos

Es decir.

Ejemplo:

adjuntos.

Calcula el siguiente determinante por adjuntos seleccionando la primera columna

El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o columna cualquiera, multiplicados por sus adjuntos correspondientes.

Ejemplo: Se ha optado por resolver a partir de la cuarta fila, ya que contiene más elementos nulos, ceros, por lo que los cálculos se reducen:

OTRA MANERA DE REALIZAR. Primero de todo, fijémonos en la disposición de signos siguientes (similar a las casillas blancas y negras en un tablero de ajedrez)

Para calcular el determinante de una matriz 4x4 (o superior) se debe hacer: 1. Elegir aquella fila o columna que tenga el mayor número de ceros (si ninguna línea tiene ceros, se coge una línea cualquiera). 2. Cada uno de los elementos de la línea dará lugar a un sumando, el cual se obtendrá como se explica en el paso siguiente.

3. Para cada elemento de la línea seleccionada, éste se multiplica por su correspondiente determinante adjunto (aquel determinante resultante de eliminar la fila y la columna a las que pertenece el elemento seleccionado). A dicho adjunto le precederá el signo que corresponda a la posición ocupada por el elemento seleccionado (según la tabla de signos arriba indicada). Ejemplo matriz 5x5:

= {al multiplicar por 0, los 3 primeros sumandos se eliminan; el último determinante también se anula}=

= {los dos primeros determinantes se anulan mutuamente, pues son iguales pero de signo cambiado; el último determinante también se anula} =

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Para el cálculo de algunos determinantes, puede ser muy útil recurrir a algunas de las siguientes Propiedades: 1. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta

Por ejemplo:

2. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas (filas o columnas), el signo de su valor también cambiará. Por ejemplo,

6. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho Determinante se descompone en la suma de dos determinantes. Por ejemplo:

7. Si los elementos de una línea son combinación lineal de las otras, entonces, el determinante vale 0. Por ejemplo:

8. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía. Por ejemplo:

9. El determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes de cada una de ellas.

BIBLIOGRAFÍA:  

Matriz. Curso de Teologia MEC. http://www.ditutor.com/matrices/matriz.html José de Jesús Angel Angel . Definiciones básicas de matrices. MathCon c ∞ 2007-2008. http://www.math.com.mx/docs/pro/pro_0006_Matrices.pdf



Pena Iglesias A, Ministerio de Educación y Cultura. (2006). http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/matrices/i nversa_de_una_matriz.htm