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• David Guzman

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MATRICES Y SUS CLASIFICACIONES ¿QUÉ ES UNA MATRIZ? Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Dimensión de una matriz El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3, ... 1.

CLASIFICACIÓN DE MATRICES Matriz fila: está constituida por una sola fila.

2.

Matriz columna: tiene una sola columna.

3.

Matriz rectangular: tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

4. Matriz cuadrada: tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma a ii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1. 5.

Matriz nula: es donde todos los elementos son ceros.

6. Matriz triangular superior: es donde los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. 7. Matriz triangular inferior: es donde los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. 8. Matriz diagonal: es donde todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos. 9.

Matriz escalar: es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

10. Matriz identidad o unidad: es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. 11. Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas 12. Matriz regular: es una matriz cuadrada que tiene inversa. 13. Matriz singular: es la que no tiene matriz inversa. 14. Matriz idempotente: una matriz, A, es idempotente si: A 2 = A. 15. Matriz involutiva: una matriz, A, es involutiva si: A 2 = I. 16. Matriz simétrica: es una matriz cuadrada que verifica: A = A t . 17. Matriz antisimétrica o hemisimétrica: es una matriz cuadrada que verifica: A = -A t . 18. Matriz ortogonal: una matriz es ortogonal si verifica que: A·A t = I.Matrices y sus clasificaciones CLASIFICACIÓN DE LAS MATRICES 1). Matriz columna: Una matriz con n filas y 1 columna, se denomina matriz columna. Esta matriz es de tipo m x 1.

Por ejemplo: 2). Matriz fila: Una matriz que tiene una fila y n columnas, se dice que es una matriz fila. Esta matriz es del tipo 1 x n.

Por ejemplo: 3). Matriz Cuadrada: Una matriz en la cual el número de columnas es igual al número de filas, se conoce como una matriz cuadrada. Una matriz de orden n es aquella que tiene n filas y n columnas. La propiedad aceptada en la matriz cuadrada es que dos o más matrices cuadradas de orden idéntico, pueden multiplicarse, sumarse y restarse. Por ejemplo: 4). Matriz diagonal: En una matriz cuadrada, los elementos para los cuales i = j, se denominan elementos diagonales. Una matriz cuadrada donde cada elemento, excepto los elementos diagonales, son iguales a cero, es llamada matriz diagonal. La matriz diagonal se denomina a veces matriz diagonal rectangular.

Por ejemplo: 5). Matriz identidad o unidad: Se dice que una matriz es la matriz identidad o unidad, si cada elemento de la diagonal principal de la matriz particular es 1. La matriz identidad generalmente es denotada por ‘I’. Este tipo de matriz tiene la siguiente propiedad: AI = A y IA = A

Por ejemplo: 6). Matriz cero o nula: Se trata de una matriz en la cual cada elemento es igual a 0. Se representa como ‘0’. Si ‘O’ es la matriz cero m × n y A es cualquier matriz m × n, entonces A + O = O A. En consecuencia O es la identidad aditiva de la suma de matrices. Por ejemplo: 7). Matriz simétrica: Una matriz simétrica se refiere a la matriz cuadrada cuyo valor es igual al transpuesto de la matriz. Es decir, .La simetría de la diagonal simétrica está relacionada con la diagonal principal. Por otra parte, toda matriz diagonal es simétrica.

Por ejemplo: 8). Matriz asimétrica: La matriz asimétrica también es conocida como matriz antimétrica o antisimétrica. Se trata de una matriz cuyo valor de transposición es negativo de su valor. Es decir, A = -AT. TIPOS DE MATRICES Matriz cuadrada Se dice que una matriz A es cuadrada si tiene el mismo número de filas que de columnas. Ejemplos de matriz cuadrada: Puede ser una matriz con valores

O también una matríz con subíndices (Genérica)

Puede ser de otro tamaño e incluso con variables

Se llama diagonal principal de una matriz A a la diagonal formada por los elementos . Se llama diagonal secundaria a la diagonal del cuadrado que no es la principal, tiene por extremos los elementos y . Matriz Rectangular Es aquella matriz que no es cuadrada, esto es que la cantidad de filas es diferente de la cantidad de columnas. Puede ser de dos formas; vertical u horizontal. Matriz Vertical Es aquella que tiene más filas que columnas. Matriz Columna Caso especial de matriz vertical que posee una sola columna. Matriz Horizontal Es aquella que tiene más columnas que filas. Matriz Fila Caso especial de matriz horizontal que posee una sola fila. Matriz Diagonal Se llama diagonal principal de una matriz A a la diagonal formada por los elementos a i j. Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas o valores son todos nulas salvo en la diagonal principal, y éstos incluso pueden ser nulos o no. Matriz Escalonada Es toda matriz en la que el número de ceros que precede al primer elemento no nulo, de cada fila o de cada columna, es mayor que el de la precedente. Puede ser escalonada por filas o escalonada por columnas. Matriz Triangular superior Se dice que una matriz (cuadrada) es triangular superior si todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son nulos. Matriz Triangular inferior Se dice que una matriz es triangular inferior si todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son ceros. Matriz Identidad Se llama matriz identidad de orden n y se nota In a una matriz cuadrada de orden n en la que los elementos de la diagonal principal son 1 y el resto 0.

La matriz identidad puede ser de cualquier tamaño, siempre y cuando sea cuadrada Matriz Nula o Matriz Cero Por lo tanto, una matriz nula de orden mxn asume la forma:

Una matriz cero es, al mismo tiempo,matriz simétrica, antisimétrica, nilpotente y singular. Matriz Opuesta Teniendo una matriz determinada, se llama matriz opuesta de la antes mencionada a aquella que tiene por elementos los opuestos de los elementos de la matriz original. Matriz Traspuesta Matriz traspuesta (At). Se llama matriz traspuesta de una matriz A a aquella matriz cuyas filas coinciden con las columnas de A y las columnas coinciden con las filas de A. Para una matriz columnas de

, se define la matriz transpuesta de , denotada por . Es decir, las filas de la matriz

, como corresponden a las

y viceversa.

Matriz Simétrica Una matriz es simétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a su traspuesta. Matriz Antisimétrica Una matriz es antisimétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a su traspuesta de signo opuesto, siendo los elementos de la diagonal principal nulos; de valor cero. Matriz Ortogonal

Una matriz ortogonal es una matriz cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta. Matriz Normal Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y sólo si donde A* es la matriz traspuesta conjugada de A (también llamado hermitiano) Matriz Conjugada Una Matriz conjugada es el resultado de la sustitución de los elementos de una matriz decir, la parte imaginaria de los elementos de la matriz cambian su signo. Ejemplo de matrices conjugadas

por sus valores conjugados. Es

Matriz Invertible También llamada matriz , no singular, no degenerada, regular. Una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que AA−1 = A−1A = In, donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual. También llamada no regular. Una matriz es singular si y solo si su determinante es cero. Matriz Permutación La matriz permutación es la matriz cuadrada con todos sus n×n elementos iguales a 0, excepto uno cualquiera por cada fila y columna, el cual debe ser igual a 1. Matrices iguales Se dice que dos matrices A y B son iguales si tienen la misma dimensión y son iguales elemento a elemento, es decir, aij=bij i=1,...,n j=1,2,...,m. Matriz Hermitiana Una matriz Hermitiana (o Hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j. Matriz definida positiva Una matriz definida positiva es una matriz hermitiana que en muchos aspectos es similar a un número real positivo. Matriz Unitaria Es una matriz compleja U, de n por n elementos, que satisface la condición: donde es la matriz identidad y es el traspuesto conjugado (también llamado el hermitiano adjunto o la hermítica) de U. Una matriz unitaria en la que todas las entradas son reales es una matriz ortogonal. Submatriz A partir de una Matriz M, se llama submatriz M' a toda matriz obtenida suprimiendo p filas y q columnas en M. Si M es de orden mxn, M' será de orden (m-p)x(n-q), es decir con p filas menos y q columnas menos. Es evidente que p < m ; q < n. BIBLIOGRAFIA: https://es.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1ticas/Matrices/Tipos_de_matrices http://janethcj2508.blogspot.com/p/matrices-y-sus-clasificaciones.html http://mitecnologico.com/igestion/Main/ClasificacionDeLasMatrices