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• Elvis Castro Diaz

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GEOMETRÍA – UNIDAD N° 2

POLÍGONOS 1. En las siguientes proposiciones indique e valor de verdad. I.

La diferencia entre el número de diagonales medias y el número II. de diagonales en un polígono es igual al número de lados de dicho polígono. III. Si el número de diagonales en un polígono es el doble del número de lados, entonces el número de diagonales medias es el triple del número de lados IV. En todo polígono equilátero la suma de las medidas de los ángulos externos es igual a 360°. a) VVV b) VFF c) VVF d) FVV e) FFV 2. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Todo polígono tiene diagonales II. En un polígono regular las diagonales son de igual longitud III.En todo polígono la suma de las medidas de los ángulos exteriores es 360°. IV. El número de diagonales medias es un polígono siempre es mayor que el número de lados a) VVVF b) VVFV c) VVFF d) FFFV e) FFFFF 3. En las siguientes proposiciones indique el valor de verdad: I. En un polígono regular las diagonales tienen igual longitud II. En un pentágono el número de diagonales es igual al número de lados III.En un polígono el número de diagonales medias siempre es mayor que el número de diagonales. IV. En un pentágono equilátero la medida del ángulo exterior es 72° a) VVVV d) FVFV

b) VFFV e) VFVF

Equipo de Matemática 2019

c) FVVF

4. En la naturaleza tenemos a la Ipomoea o Morning Glory es el nombre que reciben cientos de plantas herbáceas trepadoras cuyas flores nacen y mueren cada día. a) Esta flor de esta planta tiene ______ lados y tiene la forma de un polígono llamado _________________. b) Se observa que cada lado tiene la misma _____________ y también sus __________ internos, por lo que el polígono es ________________. 5. A continuación, se muestra una sombrilla vista desde arriba, y se desea saber la medida de los ángulos de cada paño triangular.

 La figura es un ___________________ por lo que el valor de “n” es ____________________  Se observa que se divide en ____________ paños triangulares iguales, por lo que el ángulo central está dado por: 360 =_______. Cada ángulo interno está _______ dado por:

180(____−2) ________

= ________, esta medida

se divide entre dos para obtener la otra medida del ángulo del triángulo y es ______ .Por lo que las medidas de los ángulos de cada paño son: ______________________ 6. Las monedas de un nuevo sol tienen un polígono regular inscrito. Si una diagonal une dos vértices no comunes de un polígono, ¿cuántas diagonales podríamos trazar en este 3er Año

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Geometría – Tercer Año de Secundaria

polígono regular inscrito en la moneda de un nuevo sol? a) 8 diagonales. b) 20 diagonales. c) 40 diagonales. d) 56 diagonales. e) 60 diagonales

10. Al desinflarse la pelota de futbol Ramón, este observa que el hexágono forma con el piso un ángulo de “Xº” tal como muestra el grafico ABCDEF; calcular el valor de dicho ángulo “Xº”

7. Se desea hacer una réplica de la ventana presentada, si se sabe que tiene los lados iguales. ¿Qué ángulo forman cada lado? a) b) c) d) e)

120° 128,6° 252° 102,9° 105.6°

a) 35° b) 40° c) 44°

8. Dentro del presente decágono regular se muestran ocho polígonos de diferente tamaño. ¿Qué medida tiene el menor ángulo formado entre el lado del decágono y la diagonal trazada? a) b) c) d) e)

144° 136° 44° 36° 60°

9. En uno de los entrenamientos para las olimpiadas de la IE, cuatro estudiantes: Alfredo (A), Benito (B), Carlos (C) y David (D) quedaron ubicados como se muestra en la figura. Si la distancia AB = BC = AD además ∠A = 72° y ∠B=60°, calcula la medida del ángulo donde se ubica David. a) 48° b) 54° c) 60° d) 84° e) 75°

C

D

B A

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3er Año

d) 30° e) 20°

EJERCICIOS 1. En un polígono equilátero cuyo lado mide 5cm, desde 3 vértices consecutivos se pueden trazar 50 diagonales. Hallar el perímetro del polígono. a) 80cm b) 45cm c) 50cm d) 125cme) 100cm 2. ¿Cómo se llama el polígono en el cual, al aumentarle 2 lados, las diagonales aumentan en 13? a) Pentágono b) Hexágono c) Heptágono d) Octógono e) Icoságono 3. ¿Cuántos lados tiene el polígono en el cual, al duplicar su número de vértices, la suma de sus ángulos internos se triplica? a) 4 b) 5 c) 7 d) 8 e) 10 4. ¿En el polígono regular se cumple que, al disminuirle un lado, su ángulo exterior aumenta en 12°? a) Hexágono b) Heptágono c) Pentágono d) Decágono e) Icoságono 5. ¿Cuál es el polígono cuyo número de diagonales es el triple de otro que tiene 3 lados menos? a) Cuadrilátero b) Heptágono d) Octógono c) pentadecágono e) nonágono 6. Calcular la medida de un ángulo interior de un polígono equiángulo, si al trazar las diagonales desde cuatro vértices consecutivos, éstas hacen un total de 17. a) 108° b) 120° c) 135° d) 144° e) 150° Equipo de Matemática 2019

Geometría – Tercer Año de Secundaria

7. Si las diferencias entre los ángulos interiores de dos polígonos regulares es 48°. ¿Cuál es la diferencia entre sus ángulos centrales? a) 72° b) 24° c) 48° d) 20° e) 36° 8. En ciertos polígonos al aumentar el número de lados en “x”, el número de diagonales aumenta en “6x” ¿Cuántos polígonos cumplen estas condiciones? a) 2 b) 5 c) 15 d) 8 e) 14 9. En un pentágono ABCDE tal que BC=6m; DE =2 3 ; AE= 4 3 ; mB=mC=mE y mA =mD = 90°. Calcular AB + CD. a) 6m b) 6 3 c) 8m d) 5m e) 8 3 10. En un hexágono equiángulo ABCDEF. AB = 5; BC = 7; EF = 9; hallar DE. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 11. ¿Cuál es el número de lados de un polígono regular, si al disminuir en 10° cada ángulo interior, resulta otro polígono regular cuyo número de lados es los 2/3 del número de lados del polígono original? a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 22 12. En una octógono equiángulo ABCDEFGH: AB=2 2 ; BC=2; CD=3 2 . Hallar “AD” a) 5 2 b) 5 c) 6 2 d) 6 e) 7 2 13. Si un polígono de “n” lados tuviera (n-6) lados menos, tendría “2n” diagonales menos. Hallar “n” a) 9 b) 10 c) 11 d) 13 e) 18 14. El menor ángulo interno de un polígono convexo mide 120°; los otros hacen con el primero una progresión aritmética cuya razón es 5°. Calcular el número de ángulos rectos a que equivale la suma de los ángulos interiores de dicho polígono. a) 28 b) 32 c) 14 d) 15 e) 22

16. Un polígono regular tiene 2 lados más que otro, pero su ángulo central mide 30° menos que la medida del otro. Hallar el número de diagonales medias de dicho polígono. a) 15 b) 10 c) 21 d) 28 e) 36 17. Dos números consecutivos representan los números de lados de dos polígonos convexos. Su número de diagonales se diferencia en 12, calcular el mínimo número de ángulos interiores obtusos que podría tener el polígono de menor número de lados. a) 0 b) 1 c) 11 d) 10 e) 3 18. En la figura mostrada, calcular el número de diagonales del polígono equiángulo ABCDEF...... D C 10° a) 9 E B b) 14 F c) 20 A d) 27 G e) 35 19. Dados los polígonos regulares mostrados, halla “n” si  = 36° a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 10 20. Calcular “x”, si el polígono es regular: a) 36 b) 18 c) 54 d) 75 e) 45

calcular la distancia de “A” a a) 4 b) 5 c) 6 d) 7

 AE

0

C

E

B

D

es 8,

 E D.

A

e) 8

F

H x I

a) 24° Equipo de Matemática 2019

36º

21. En la figura, los polígonos ABCDHI y HDEFG son regulares. Calcule “x”

15. En un pentágono ABCDE; mB=mD=90° y los tres ángulos restantes son de igual medida. Si BC=6; CD = 7 y la distancia de “C” a

x

b) 30°

G

c) 15° d) 18° e) 48° 3erAño

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Geometría – Tercer Año de Secundaria

TRIÁNGULOS CLASIFICACIÓN Y LÍNEAS NOTABLES 1. Dado el triángulo ABC, la operación AB  BC  AC es equivalente a: C a) Perímetro del triángulo ABC b) La región triangular c) 2 AC d) Área del triángulo ABC A e) Región angular B 2. Correlacione las columnas de manera correcta: a) Puede ser interior o exterior b) Para todo triángulo, no siempre contiene al vértice c) En un triángulo rectángulo coincide con uno de los catetos d) Divide al ángulo interno en partes iguales e) Divide a un lado puntos agudos y pasa por el vértice contrario I. Altura III. Bisectriz

II. Mediatriz IV. Mediana

a) Ia; IId; IIe; IVc c) IIe; IIIb; IVa; Id e) Ic; IIb; IIIa; IVe

b) IIIa; Ic; IId; IVe d) Id; IIa; IId; IIIe

3. Punto notable que equidista de los vértices del triángulo a) Incentro b) Ortocentro c) Excentro d) Circuncentro e) Baricentro 4. De acuerdo a la figura adjunta, determina si los enunciados son verdaderos o falsos.

5. En que triángulo, se cumple que las medidas de sus ángulos son proporcionales a 1, 3, 5 a) Triángulo acutángulo b) Triángulo obtusángulo c) Triángulo Rectángulo d) Triángulo equiángulo 6. A un vidriero le encargaron elaborar un espejo en forma triangular cuyas medidas de sus ángulos sean proporcionales a 5; 6 y 7. ¿Cuánto miden los ángulos interiores que deberá tomar en cuenta el vidriero? a) 90°- 20°- 70° b) 80°- 30°-70° c) 50°-60°-70° d) 20°-100°-60° e) 10° - 50° - 60° 7. El billar es un deporte de precisión que se practica impulsando con un taco y un número variable de bolas, en una mesa, rodeada de bandas de material elástico y 6 agujeros (troneras) o sin ellas. El siguiente gráfico muestra una jugada realizada por José, ¿cuánto mide el ángulo que forma la bola roja al momento de chocar con la banda para ingresar al agujero B, cuando es golpeada por la bola blanca? a) 90° b) 80° c) 60° d) 20° e) 30°

B 



40°

80°

x

M

H

I.

En el punto O concurren los puntos notables 8. En el parque Sinchi Roca se ha habilitado una ortocentro, baricentro, circuncentro e zona de juegos con tres áreas, distribuidas incentro. ( ) como se muestra en la figura. Para el control y II. El punto O divide a la mediana BR en 8 cm y seguridad de dichas áreas se ubica en el 4 cm. ( ) parque un puesto de vigilancia. Determina la III. El triángulo ABQ es isósceles. ( ) distancia entre la entrada del parque y el IV. Los triángulos APO y CQO son semejantes. ( ) puesto de Entrada vigilancia. a) FFVV b) VFVV c) FVFV d) VVVV e) FFFF

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a) b) c) d) e) 3er Año

43 m 12 m 13 m 15 m 18 m

b Puesto de Vigilancia

b

15 m

28 m

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EJERCICIOS 1. En el gráfico, calcule "xº", si: AD y BC son bisectrices de los ángulos A y C respectivamente. A) 130° B) 100° C) 120° D) 70° E) 110° 2. Calcule la medida de los ángulos de un triángulo ABC, si: 3mB   2mA y 3mC   7mA A) 20°,30°,130° B) 45°,30°,105° C) 48°,32°, 00° D) 51°,34°,195° E) 60°,40°,80° 3. Calcula x, si el triángulo NRS es el triángulo tangencial del triángulo ABC. A) 24° B) 27° C) 30° D) 36° E) 54° 4. En un triángulo ABC, AB = 5, BC = 9, calcular la diferencia entre el máximo y el mínimo valor entero que puede tomar AC A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 5. En el gráfico, calcule la suma de las medidas de los ángulos señalados. A) 405° B) 180° C) 390° D) 450° E) 360° 6. Calcule : "  b   " . A) 70° B) 100° C) 110° D) 140° E) 130°

Equipo de Matemática 2019

7. Calcula el máximo valor entero de BH, si: AB + BC = 15. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 8. Dado el triángulo ABC en las prolongaciones de AB y AC se ubican los puntos “M” y “T” respectivamente, tal que: mBMT  mBCT , AC = 6cm y BC = 4cm. Calcular la suma del máximo y mínimo valor entero de AB. A) 13cm B) 14cm C) 15cm D) 12cm E) 10cm 9. Dada una región triangular ABC cuyo perímetro es igual a 10m, en dicha región se ubica el punto “P”, calcular PA + PC, sabiendo que dicha suma es entero y que además AC toma su máximo valor entero. A) 6,5m B) 5,5m C) 4m D) 5m E) 6m 10. En un triángulo ABC isósceles cuya base es AC , se ubica los puntos “P” en AB y “Q” en de modo que: mPAQ  20 , BC mACP  50 y mPCQ30 . Calcule mPQA A) 30° B) 28° C) 29° D) 31° E) 32° 11. En un  ABC , AB = 7u y BC = 9u. se traza la mediana BM . Halle el mayor valor entero de BM (en u) A) 6 B) 7 C) 8 D) 5 E) 4 12. Los lados de un triángulo isósceles miden 5u y 12u. halle el perímetro del triángulo. A) 22u B) 25u C) 24u D) 29u E) 30u 13. Sea el triángulo acutángulo ABC, O es el ortocentro tal que BO = AC. Luego la m  ABC es: A) 15º B) 30º C) 45º D) 50º E) 55º 14. Cuál es el máximo valor entero de la longitud de un lado de un triángulo, si su perímetro es igual a 40. A) 20 B) 21 C) 22 D) 19 E) 18

3erAño

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Geometría – Tercer Año de Secundaria

15. En un triángulo ABC, en los lados AB y AC se ubican los puntos D y E respectivamente, DE = EC = BC, si: la medida del ángulo BAC es igual a 25° y la del ángulo ADE es igual a 35°. Calcular la medida del ángulo ABC. A) 68° B) 85° C) 99° D) 70° E) 92° 16. los lados de un triángulo miden 8, x y 3x. Calcular el valor entero de x. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 17. En la figura, calcula x. A) 30° B) 45° C) 70° D) 60° E) 80° 18. Del gráfico, AB > BC y CD > ED. Calcular "x" si es un número entero: a) 65°

22. Si    , ¿cuántos valores enteros puede tomar x para que el triángulo exista? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 LÍNEAS NOTABLES 1. En la figura mostrada, calcular la medida del ángulo ABC. A) 108° B) 120° C) 150° D) 127° E) 110°

b) 130° c) 110° d) 115° e) 125° 19. Si AB = DC, halla  . A) 10° B) 15° C) 18° D) 20° E) 26° 20. ¿Cuántos valores enteros puede tomar “x”? a) b) c) d) e)

4 5 6 7 8

A) 60° B) 40° C) 45° D) 48° E) 36° 3. En el  ABC la m ACB = 40º, se traza la altura BH y a bisectriz BD del  ABC. Si m  HBD = 20º, entonces la m  ABC es: A) 30º B) 45º C) 50º D) 60º E) 75º 4. Calcule la medida del ángulo formado por la altura y la bisectriz que parten del vértice A de un triángulo ABC. Sabiendo que : mA  2mB   100 A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°

21. En el triángulo obtusángulo ABC (obtuso en B), calcula x, si toma un valor entero. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

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2. En la figura mostrada, calcular le medida del ángulo AEC.

3er Año

5. En un triángulo ABC, se trazan las tres medianas AM, BN y CQ que se intersecan en G. Si AG + BG + CG = 10, calcular la suma de las longitudes de sus tres medianas. A) 12 B) 20 C) 15 D) 30 E) 18

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Geometría – Tercer Año de Secundaria

6. En la figura mostrada, calcular la medida del ángulo ABC. A) 120° B) 45° C) 75° D) 60° E) 90°

7. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, se traza la ceviana CM , si CM = 12, MB = 2x y AC = 3x + 6, hallar los valores enteros que puede tomar “X”. A) 2, 3, 4, 5, 6 B)2, 3, 4 C)3, 4, 5 D) 4, 5, 6 E) 3, 4

13. Se dibuja un triángulo rectángulo ABC recto en A, y se traza la mediana BM que tiene como longitud 5, si AC = 6. calcular la medida del ángulo AMB. A) 37° B) 75° C) 60° D) 53° E) 45° 14. Se traza la bisectriz interior BD en un triángulo ABC, si la medida del ángulo DBC es igual a 50°, la del ángulo ACB es igual a 30° y AD = 4. calcular BD. A) 4 B) 5 C) 3 D) 2 E) 1 15. Se traza la mediatriz de AC en un triángulo ABC, si la suma de las medidas de los ángulos ABC y ACB es igual a 120°. Calcular la medida del ángulo formado por dicha mediatriz y la recta AB. A) 30° B) 60° C) 75° D) 37° E) 45°

9. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM cuya longitud es igual a 3. Calcular la medida del ángulo BAC, si AB = 4 y AC = 10. A) 33° B) 90° C) 37° D) 30° E) 60°

16. Dado un triángulo ABC, se traza la bisectriz exterior BD ( D en la prolongación de AC ) , la medida del ángulo BAC es igual a 40° y la del ángulo ACB igual a 60°. Calcular la medida del ángulo CDB. A) 20° B) 30° C) 50° D) 40° E) 10° 17. En un triángulo ABC, se trazan las cevianas y donde y BE BD , " E"AD mEBD mDBC   mABE  X , AB = AD 3 2 y BC = EC. Hallar “X” A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20

10. Se dibuja la altura BH en un triángulo ABC, si AH = 3, HC = 4 y la medida del ángulo ABH es igual a 37°, calcular la diferencia de las medidas de los ángulos BAC y HBC. A) 16° B) 8° C) 12° D) 24° E) 15°

18. en un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD, tal que la medida del ángulo DBC es igual a 40°, la del ángulo ACB es igual a 30°. Calcular BD, si AB = 6. A) 8 B) 10 C) 7 D) 5 E) 6

11. En un triángulo MNP se traza la altura NQ, tal que la medida del ángulo MNQ es igual a 20°, y la del ángulo MPN es igual a 40° y NP = 6. calcular PM. A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 7

19. En un triángulo ABC, mBAC  75º y mACB  30º , si AC = 10, calcule la altura BH. A) 5 B) 5 2 C) 5 3 D) 6 E) 3 2

8. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la ceviana CE y en los triángulos ABC y AEC se trazan las alturas BD y EF respectivamente, si BC = 5u, EF = 3u, y la m  BAC = 2 m BCE, entonces la longitud de BD es: A) 1u B) 2u C) 3u D) 4u E) 5u

12. Dado el triángulo ABC se dibuja la mediana BM equivalente a MC, si la medida del ángulo BAC es igual a 5x y la del ángulo ACB es igual a x. Calcular el valor de x. A) 10° B) 17° C) 15° D) 12° E) 9°

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20. En un ABC , se traza la mediana AM, tal que AM = MB, si la mACB  40º , calcular mMAB . A) 40° B) 60° C) 80° D) 70° E) 50°

3erAño

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Geometría – Tercer Año de Secundaria

21. Calcular “  ”, si BD es bisectriz exterior en el ΔABC . A) 10° B) 20° C) 12° D) 15° E) 18° 22. En un triángulo ABC, se traza la altura BH y la bisectriz interior BD . Calcular mHBD , si mA  50º , mC  30º . A) 20° B) 15° C) 10° D) 8° E) 12°

Material Bibliográfico:  Matemática 3° año - 2016. Ediciones Santillana S.A.  Rojas Puémape A. - 2006. Matemática 3° año. Coleeciones Skanners.  Ojeda Zañartu E. 2010. Cálculos. Colección COREFO.  Rojas Tacuri Y. 2013. Matemática: Colección INTELECTUM.  Matemáticas 3 ESO -2008. Ediciones Santillana S.A.  Matemáticas 4 ESO – 2008. Ediciones Santillana S.A.

23. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se trazan la mediana BM y la bisectriz AD ( D en las cuales se intersecan BM ), perpendicularmente, calcular la mACB . A) 60° B) 45° C) 72° D) 30° E) 37° 24. Calcula OC, si AB = 6 y O es el circuncentro del triángulo ABC. A) 3 2 B) 3 3 C) 6 D) 6 3 E) 6 2 25. Sea el “I” el incentro del triángulo ABC, si AI = 2, CI = 8. calcular el valor entero de AC. A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 7 26. Sea el punto “G” baricentro del triángulo ABC y BG = 6, GC = 5 y AC = 8. calcular la medida del ángulo ACG. A) 53° B) 30° C) 37° D) 18° E) 45°

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3er Año

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