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Cap´ıtulo 5 La Transformada de Laplace La principal ventaja de la transformada de Laplace sobre la transformada de Fourier radica en que la primera es aplicable a un mayor n´ umero de funciones. Como veremos, fundamentalmente se usa para resolver problemas de valores iniciales relativos a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

5.1.

Definici´ on y dominio de convergencia

En todo lo que sigue, supondremos que f : [0, +∞) → R es una funci´on integrable Riemann en cada intervalo finito (a, b) ⊂ (0, +∞). Si f es una tal funci´on, se define su transformada (de Laplace) F (p) por Z +∞ F (p) = e−pt f (t)dt, 0

El dominio de F (p) est´a formado por todos los p ∈ R para los que la integral es convergente (la integral tambi´en puede ser impropia en el origen). El dominio natural para el estudio de la Transformada de Laplace es el campo complejo, pero, por simplicidad, desarrollaremos el tema suponiendo que p es real.

123

Ejemplo 5.1.1. Si f (t) ≡ 1, entonces Z

Z

+∞

F (p) =

−pt

e

b→+∞

0

= l´ım

h e−pt it=b

b→+∞

µ

= l´ım

b→+∞

b

dt = l´ım

−p

t=0

1 − e−pb p

¶

e−pt dt =

0

= 1 = . p

En este caso el dominio de la transformada es (0, +∞). Sobre el dominio de convergencia se tiene el siguiente resultado R +∞ Teorema 5.1.2. Si la integral 0 e−p0 t f (t)dt converge absolutamente, entonces Z +∞ e−pt f (t)dt 0

tambi´en converge absolutamente para cada p ≥ p0 . ´ DEMOSTRACION: Para cada t ≥ 0 y p ≥ p0 , tenemos |f (t) · e−pt | = |f (t) · e−p0 t · e(p0 −p)t | ≤ |f (t)| · e−p0 t , dado que e(p0 −p)t ≤ 1. Por tanto, el criterio de mayoraci´on nos permite aseguR +∞ rar que la integral 0 e−pt f (t)dt converge absolutamente para cada p ≥ p0 . ¤ El Teorema precedente motiva la siguiente definici´on: Z +∞ r(f ) = ´ınf{p : e−pt |f (t)|dt converge}. 0

Pueden presentarse los tres casos siguientes: 124

a) r(f ) es finito. Si este es el caso, para cada p > r(f ) converge absolutaR +∞ mente la integral 0 e−pt f (t)dt. R +∞ b) r(f ) = −∞. La integral 0 e−pt f (t)dt converge absolutamente para cada p ∈ R. c) r(f ) = +∞. En este caso la integral nunca converge absolutamente. Para tales funciones no tiene inter´es la transformada de Laplace. Vemos que, en general, hay convergencia absoluta en una semirrecta de ecuaci´on p > r(f ) que, por esta raz´on, se denomina semirrecta de convergencia de la transformada de f . Vamos a estudiar ahora una clase suficientemente general de funciones para las que no se da la situaci´on desagradable c). Es decir, para las que la semirrecta de convergencia no se reduce al vac´ıo. Una funci´on f : [0, +∞) → R se dice que es de orden exponencial γ si existen constantes M y t0 , tales que |f (t)| ≤ M · eγt , para todo t ≥ t0 .

Teorema 5.1.3. Si f es una funci´on de orden exponencial γ, entonces Z +∞ e−pt f (t)dt 0

converge absolutamente para p > γ. ´ DEMOSTRACION: Para cada t ≥ t0 y p > γ, tenemos |e−pt f (t)| = |f (t)| · e−pt ≤ M · e(γ−p)t . R +∞ Como la integral 0 e(γ−p)t dt es obviamente convergente, sigue del teorema R +∞ de mayoraci´on que la integral t0 e−pt f (t)dt converge absolutamente. Ahora basta usar la aditividad de la integral impropia para deducir la convergencia R +∞ absoluta de 0 e−pt f (t)dt. ¤ En todo lo que sigue, s´olo se consideran funciones de orden exponencial. 125

5.2.

Propiedades elementales

Las siguientes propiedades ser´an de gran utilidad en la pr´actica. 1) Primera propiedad de traslaci´ on. Si g(t) = eat · f (t), entonces su transformada viene dada por G(p) = F (p − a), para cada a ∈ R. En efecto, por definici´on, se tiene Z

+∞

G(p) =

e−pt eat f (t)dt =

0

Z

+∞

=

e−t(p−a) f (t)dt = F (p − a).

0

La semirrecta de convergencia de G(p) viene 2) Segunda propiedad de traslaci´ on. Si a por ( f (t − a) si g(t) = 0 si

dada por p − a > r(f ). ≥ 0 y g es la funci´on definida t≥a t < a,

entonces G(p) = e−ap F (p). Recurriendo de nuevo a la definici´on, obtenemos Z

Z

+∞

G(p) =

e

−pt

+∞

g(t)dt =

0

e−pt f (t − a)dt.

a

Haciendo el cambio de variable u = t − a, resulta Z +∞ G(p) = e−p(u+a) f (u)du = 0

Z

+∞

−pa

=e

e−pu f (u)du = e−pa F (p).

0

3) Cambio de escala. Si g(t) = f (at), entonces G(p) = a1 F ( ap ), siendo a > 0. En efecto, haciendo el cambio de variables u = at, resulta Z +∞ G(p) = e−pt f (at)dt = 0

=

1 a

Z

+∞ 0

u 1 p e−p a f (u)du = F ( ), a a

126

v´alido para p > a · r(f ). 4) Transformada de una funci´on peri´ odica. Sea f una funci´on peri´odica de periodo T . Para cada p > r(f ), tenemos por definici´on que Z b F (p) = l´ım e−pt f (t)dt, b→+∞

0

Luego, en particular, se verifica Z

n

F (p) = l´ım

n→+∞

e−pt f (t)dt.

0

Por la aditividad de la integral, resulta ∞ Z (n+1)T X F (p) = e−pt f (t)dt. n=0

(5.1)

nT

Teniendo en cuenta que f (u + nT ) = f (u) y haciendo el cambio de variable R (n+1)T −pt t = u+nT , podemos convertir cada integral nT e f (t)dt en una integral sobre el intervalo [0, T ]: Z (n+1)T Z T Z T −pt −p(u+nT ) −pnT e f (t)dt = e f (u + nT )du = e e−pu f (u)du. nT

0

0

Si sustituimos la expresi´on obtenida en (5.1), queda finalmente !Z Ã∞ T X e−pnT e−pu f (u)du = F (p) = 0

n=0

µ =

5.3.

1 1 − e−pT

¶Z

T

e−pu f (u)du.

0

La funci´ on escal´ on unidad de Heaviside

Se llama funci´on escal´ on unidad (o funci´on de Heaviside) a la definida por

( u(t) =

0 si t < 0 1 si t ≥ 0 127

En el ejemplo inicial hemos obtenido su transformada U (p) = p1 (para p > 0). Una funci´on escal´on unidad con el salto en t0 se puede expresar en la forma u(t − t0 ). La transformada de esta funci´on se puede determinar aplicando la segunda propiedad de traslaci´on; L(u(t − t0 ))(p) = e

−t0 p

e−t0 p · U (p) = . p

La funci´on u(t − t0 ) es muy u ´til cuando se trabaja con funciones escalonadas, pues ´estas se pueden expresar como combinaciones adecuadas de aqu´ellas. Ejemplos 5.3.1. 1. La funci´on escalonada definida por ( 1 si t ∈ [0, 2) f (t) = 0 en el resto, se puede expresar en t´erminos de la funci´on de Heaviside en la forma f (t) = −2p u(t) − u(t − 2) y su transformada ser´ıa F (p) = p1 − e p . 2. Consideremos la funci´on    1 si t ∈ [0, 2) f (t) = 2 si t ∈ [2, 4)   0 en el resto En t´erminos de la funci´on escal´on unidad, adopta la forma f (t) = u(t) − u(t − 2) + 2[u(t − 2) − u(t − 4)] = u(t) + u(t − 2) − 2u(t − 4). −2p −4p Para su transformada se obtiene f´acilmente F (p) = p1 + e p − 2 e p .

5.4.

Transformada de la derivada

Supongamos que f es una funci´on derivable para t > 0 y de orden exponencial. Si F (p) denota, como es usual, la transformada de Laplace de f entonces la transformada de su derivada viene dada por L(f 0 )(p) = pF (p) − f (0). 128

(5.2)

En efecto, por ser f de orden exponencial, existen constantes positivas M, γ y t0 , tales que |f (t)| ≤ M · eγt para t ≥ t0 . Sigue que, para p > γ, se verifica l´ımb→+∞ f (b)e−pb = 0, pues: |f (b)|e−pb ≤ M · e(γ−p)b , para cada b ≥ t0 . Ahora, aplicando la f´ormula de integraci´on por partes en Rb la integral parcial 0 e−pt f (t)dt, resulta ¸t=b Z e−pt 1 b −pt 0 e f (t)dt = f (t) + e f (t)dt = −p p 0 0 t=0 Z f (0) e−pb 1 b −pt 0 − f (b) + e f (t)dt. = p p p 0 Si p > γ, existe el l´ımite y es finito, cuando b → +∞, del miembro m´as a la izquierda en la cadena de igualdades anterior, lo que nos asegura que R +∞ −pt 0 e f (t)dt es convergente y nos permite obtener 0 Z

b

·

−pt

F (p) =

f (0) 1 + L(f 0 )(p). p p

R +∞ Si la integral 0 e−pt f (t)dt es impropia en cero, la demostraci´on es ligeramente diferente y se obtiene la relaci´on L(f 0 )(p) = pF (p) − f (0+), pero, por simplicidad, normalmente consideraremos s´olo el caso en que la integral es impropia de primera especie. Por aplicaci´on reiterada de (5.2), puede obtenerse la siguiente expresi´on para la transformada de la derivada n-´esima: L(f n) )(p) = = pn F (p) − pn−1 f (0) − pn−2 f 0 (0) − · · · − f n−1) (0), v´alida para una funci´on f que sea n veces derivable en (0, +∞) y con las n − 1 primeras derivadas de orden exponencial. 129

5.5.

Transformada del Producto de Convoluci´ on

Con ocasi´on del estudio de la transformada de Fourier, vimos que µZ ∞ ¶ µZ ∞ ¶ Z ∞ (u ∗ v)(x) dx = u(t) dt · v(t) dt , −∞

−∞

−∞

donde u y v son absolutamente integrables en (−∞, +∞). Si f y g son funciones reales definidas en [0, +∞) y tomamos p de modo que las integrales R +∞ −pt R +∞ e f (t)dt e 0 e−pt g(t)dt son absolutamente convergentes, podemos 0 definir f (t) = g(t) = 0 para cada t < 0 y aplicar la igualdad anterior a las funciones u(t) = e−pt f (t) y v(t) = e−pt g(t), obteniendo ¶ ¶ µZ ∞ µZ ∞ Z ∞ −pt −pt e g(t)dt = e f (t)dt · (u ∗ v)(x)dx = −∞

−∞

−∞

= L(f )(p) · L(g)(p)

(5.3)

Finalmente, vamos a probar que (u ∗ v)(t) = e−pt (f ∗ g)(t). En efecto, si escogemos t de forma que el producto de convoluci´on (u∗v)(t) es convergente, tenemos Z

Z

∞

(u ∗ v)(t) =

t

u(s)v(t − s)ds = −∞

u(s)v(t − s)ds, 0

por ser f (t) = g(t) = 0 para t < 0. Sustituyendo ahora las correspondientes expresiones de u y v en t´erminos de f y g, resulta Z

Z

t

(u ∗ v)(t) =

e

−ps

−p(t−s)

f (s)e

g(t − s)ds = e

0

t

−pt

f (s)g(t − s)ds = 0

= e−pt (f ∗ g)(t). (5.3) y (5.4) conducen, por tanto, a la siguiente igualdad 130

(5.4)

L(f ∗ g)(p) = L(f )(p) · L(g)(p), que nos dice que la transformada del producto de convoluci´on de f y g es igual al producto de las transformadas de f y g. Conviene resaltar el hecho (usado en la prueba anterior) de que el producto de convoluci´on de f y g se reduce a Z x (f ∗ g)(x) = f (t)g(x − t)dt, 0

cuando f y g son nulas para x < 0.

5.6.

Inversi´ on de la Transformada

Haciendo uso del Teorema de la integral de Fourier puede obtenerse una f´ormula de inversi´on para la transformada de Laplace. Teorema 5.6.1. Sea f : [0, +∞) → R una funci´on tal que ella y su derivada f 0 tienen s´olo un n´ umero finito de discontinuidades de salto finito y sea α > 0 R +∞ −pt tal que F (p) = 0 e f (t)dt converge absolutamente para p > α. En estas condiciones se verifica Z T f (t+) + f (t−) 1 = l´ım e(a+iv)t F (a + iv)dv, 2 2π T →+∞ −T cualquiera que sea a > α. En efecto, consideremos la funci´on auxiliar g(t) = e−at f (t) si t ≥ 0 y que es nula para t < 0. Si aplicamos a g el Teorema de la integral de Fourier, resulta Z T 1 g(t+) + g(t−) = l´ım eivt F(g)v)dv. 2 2π T →+∞ −T Ahora podemos cambiar g(t) por e−at f (t) y, recordando que g(t) = 0 para t < 0, obtenemos µZ +∞ ¶ Z T 1 f (t+) + f (t−) at ivt −iuv−au = l´ım e e e f (u)du dv = 2 2π T →+∞ −T 0 131

1 = l´ım 2π T →+∞

Z

T

µZ

+∞

(a+iv)t

e

¶ −u(a+iv)

e

−T

f (u)du dv.

0

N´otese que la u ´ltima integral representa la transformada de Laplace de f en el punto a + iv. Si t es un punto de continuidad de f , entonces el Teorema nos permite reconstruir el valor f (t), supuesto que se conocen los valores que toma su transformada sobre una recta x = a, mediante la expresi´on 1 f (t) = l´ım 2π T →+∞

Z

T

e(a+iv)t F (a + iv)dv,

−T

siendo a cualquiera con tal de que a > α. Al igual que en el caso de la transformada de Fourier, el problema que nos encontramos usualmente en las aplicaciones es el de, conocida la transformada F (p), determinar la funci´on original f (t). Desgraciadamente, la transformada de Laplace no es un´ıvoca (dos funciones distintas pueden tener la misma transformada). No obstante, el Teorema precedente prueba que s´olo existe una funci´on continua en [0, +∞) que tenga por tansformada una funci´on dada F (p). Esto ser´a suficiente en la mayor´ıa de las aplicaciones, pues usualmente manipularemos funciones que son incluso derivables con continuidad.

5.7.

Aplicaciones de la Transformada de Laplace

En general, en las aplicaciones no se necesita determinar la soluci´on general de una ecuaci´on diferencial sino encontrar la soluci´on que verifica determinadas condiciones iniciales (o de frontera). Para resolver un problema de valores iniciales con los m´etodos desarrollados en el cap´ıtulo primero necesitar´ıamos determinar primero la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial y despu´es eliminar las constantes arbitrarias haciendo que dicha soluci´on general verifique las condiciones iniciales correspondientes. En esta secci´on veremos que, por el contrario, el m´etodo de la transformada de Laplace conduce directamente a la soluci´on del problema de valor inicial. Otra ventaja

132

digna de destacarse es la de que puede aplicarse este m´etodo a ecuaciones que contienen funciones con discontinuidades. Por las razones que se ponen de manifiesto a continuaci´on, el m´etodo de la transformada de Laplace s´olo es aplicable a ecuaciones diferenciales (o sistemas) lineales, tanto ordinarias como en derivadas parciales. Para que sirva como bot´on de muestra, consideramos el problema de valor inicial siguiente: ( a2 y 00 + a1 y 0 + a0 y = f (t) y 0 (0) = a, y(0) = b, donde los coeficientes ai son constantes. Si aplicamos la transformada de Laplace en ambos miembros y usamos las expresiones obtenidas con anterioridad para las transformadas de y 00 e y 0 , resulta ¡ ¢ a2 p2 Y (p) − py(0) − y 0 (0) + a1 (pY (p) − y(0)) + a0 Y (p) = F (p). Ahora incorporando las condiciones iniciales y reordenando los t´erminos, obtenemos ¡

¢ a2 p2 + a1 p + a0 Y (p) = F (p) + a2 (bp + a) + a1 b.

En la igualdad anterior puede despejarse siempre Y (p) (la transformada de y(t)) que tiene la forma Y (p) =

F (p) + a2 (bp + a) + a1 b . a2 p2 + a1 p + a0

La funci´on que buscamos, y(t), es dos veces derivable y, por tanto, continua. Entonces tiene sentido escribir y = L−1 Y pues, como hemos dicho al estudiar la inversi´on de la transformada, s´olo hay una funci´on continua cuya transformada sea Y (p). Para encontrar y(t), se descompone en suma de fracciones simples la expresi´on obtenida para Y (p) y se hace uso de una tabla de transformadas. Terminamos esta secci´on desarrollando algunos ejemplos.

133

Ejemplos 5.7.1. 1. Una masa de 9 Kg est´a atada (ver figura) a un resorte cuya constante el´astica es k. En el instante inicial (t = 0) se aparta de su posici´on de equilibrio x0 m y se suelta sin velocidad inicial. Encontrar la posici´on x(t) de la masa para t > 0 (se desprecia el rozamiento).

m

k

X O Se escoge como origen de coordenadas el punto donde est´a la masa cuando el resorte est´a en equilibrio, y se denota la posici´ on de la masa en el instante t por x(t). Sobre la masa s´olo act´ ua la fuerza el´astica del resorte −kx, luego la segunda ley de Newton nos permite escribir 9¨ x = −kx, con las condiciones iniciales x(0) = x0 y x(0) ˙ = 0. Aplicando la transformada de Laplacea a ambos miembros de la ecuaci´ on de movimiento, resulta 9(p2 X(p) − px(0) − x(0)) ˙ = −kX(p). Incorporando las condiciones iniciales y reagrupando t´erminos, obtenemos à ! p 9px0 = x0 . X(p) = 2 9p + k p2 + k9 134

p Si consultamos la tabla de transformadas, vemos que p2 + k es la trans9 q √ k k formada de cos( 9 )t. Luego X(p) = L(x0 cos( 3 )t), de donde obtenemos √

x(t) = x0 cos( 3k )t. 2. Consideramos nuevamente el sistema resorte-masa del ejercicio anterior, pero ahora suponemos que existe una fuerza amortiguadora constante de 2 N. Calcular x(t) para cada t > 0. En este caso, la resultante de las fuerzas que act´ uan sobre la masa es −kx+2. Por tanto, la ecuaci´on de movimiento viene dada por 9· x¨ = −kx+2. Tomando transformada de Laplace en ambos miembros, se obtiene 2 9(p2 X(p) − px0 ) = −kX(p) + . p Despejando X(p), resulta X(p) =

2 p(9p2

+ k)

+

x0 p . + k9

p2

Ahora descomponemos en suma de fracciones simples el primer sumando del segundo miembro y obtenemos X(p) =

2 2p p − + x0 2 k 2 kp k(p + 9 ) p +

k 9

=

2 2 p + (x0 − ) 2 k . kp k p +9

Usando la tabla de transformadas, encontramos √ 2 2 k )t), X(p) = L(1) + (x0 − )L(cos( k k 3 de donde sigue que √ 2 2 k x(t) = + (x0 − ) cos( )t. k k 3 3) Resolver el siguiente problema de contorno  ∂u 2 = k · ∂∂xu2 t, x > 0  ∂t    u(x, 0) = A  u(0, t) = B    existe y es finito l´ımx→∞ u(x, t) (∀t > 0). 135

Vamos a usar la transformada de Laplace con respecto a t. Si denotamos la transformada de Laplace de u(x, t) (para cada x) por U (x, p), aplicando la transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuaci´ on del calor resulta: U −A=k·

∂ 2U , ∂x2

(5.5)

donde se ha tenido en cuenta la condici´ on inicial u(x, 0) = A. Se trata de una ecuaci´ on lineal de segundo orden (para cada valor de x). La soluci´on de la ecuaci´ on homog´enea k·

∂ 2U − pU = 0 ∂x2

tiene la forma U (x, p) = c1 e

√p

(

k

)x

+ c2 e

√p

−(

k

)x

,

donde c1 y c2 no dependen de x, pero s´ı pueden depender de p. Se comprueba f´acilmente que U0 (x, p) = Ap es una soluci´on particular de la ecuaci´ on completa; por tanto, la soluci´on general de (5.5) viene dada por U (x, p) =

√p √p A + c1 e( k )x + c2 e−( k )x . p

(5.6)

La condici´ on de que l´ımx→∞ u(x, t) existe y es finito para cada t > 0 conduce, sin m´as que conmutar la integral con el l´ımite en la definici´on de la transformada de Laplace, a que U (x, p) verifique la condici´ on an´aloga: existe y es finito l´ım U (x, p) (∀p > 0). x→∞

Para que (5.6) satisfaga esta limitaci´on debe ser c1 = 0. Para determinar c2 , usaremos la condici´ on de contorno u(0, t) = B. Si tomamos la transformada de Laplace en esta igualdad, resulta U (0, p) = Bp , por lo que la soluci´on final de la ecuaci´ on (5.5) viene dada por √ ´ B √p A³ ( kp )x U (x, p) = 1−e + · e( k )x . p p

136

Ahora vamos a usar la tablas para encontrar la transformada inversa. Recordemos que ec (t) es la funci´on de error complementaria que viene dada por Z ∞ 2 2 e−s ds. ec (t) = √ π t En las tablas encontramos la igualdad √ h 1 L(ec ( √ ))(p) = e−2h p p, h > 0, p t

que, en nuestro caso, aplicamos con h =

x √ 2 k

para obtener

x u(x, t) = (B − A)ec ( √ ) + A. 2 kt F´ acilmente se comprueba que u(x, t) verifica todas las condiciones del problema de contorno planteado.

5.8.

La funci´ on delta de Dirac

La funci´on impulso instant´ aneo dad una funci´on. Es habitual decir que definida por ( 0 δ(t) = ∞

o delta de Dirac no es en realise trata de una funci´on generalizada si t 6= 0 si t = 0

Para entender mejor su significado, vamos a recurrir a la siguiente aplicaci´on a la mec´anica. Empezamos recordando el concepto de impulso en mec´anica. Si una fuerza F (t) act´ ua sobre un cuerpo de masa m entre los instantes t1 y t2 , se llama impulso ocasionado por F entre dichos instantes a la cantidad Z t2 I= F (t) dt. t1

Pero, por la segunda ley de Newton, F (t) = m · a(t) = m · v 0 (t), de donde resulta Z t Z t 2

I=

2

F (t) dt = m t1

t1

137

v 0 (t) dt =

= m · (v(t1 ) − v(t2 )). Por tanto, el impulso I representa la variaci´on de la cantidad de movimiento. Supongamos ahora que una fuerza muy grande act´ ua en un intervalo peque˜ no. Si empleamos la funci´on de Heaviside, podemos escribir ( 0 si t ∈ / (0, ²) u(t) − u(t − ²) F = = 1 ² sit ∈ (0, ²) ² Si calculamos el impulso ocasionado por esta fuerza, obtenemos Z ² Z ² u(t) − u(t − ²) I= F dt = dt = ² 0 0 Z ² dt = 1. = 0 ² Vemos, pues, que una tal fuerza produce el impulso unidad o, lo que es lo mismo, provoca que la cantidad de movimiento var´ıe en una unidad. Por tanto, si deseamos provocar un impulso igual a p con una fuerza de este tipo, deberemos tomar µ ¶ u(t) − u(t − ²) F =p . ² Con estas ideas en mente, nos enfrentamos ahora al problema de considerar una fuerza que act´ ua instant´aneamente y, por ello, nada mejor que plantear un problema apropiado: Una masa puntual de m g cae libremente. A la vez que ponemos en marcha un cron´ ometro, se da un martillazo (vertical y hacia arriba) a la masa que produce un impulso unitario. Encontrar la posici´ on de la part´ıcula para cada instante t > 0, sabiendo que en el momento en que damos el martillazo la velocidad de la masa esra de v m. En este problema la dificultad radica en que no sabemos expresar matem´aticamente la fuerza instant´anea que supone el martillazo, pero podemos ayudarnos de las ideas anteriores. Seg´ un acabamos de ver, la funci´on u(t) − u(t − ²) ² 138

ua durante un puede interpretarse como una fuerza muy grande ( 1² ) que act´ intervalo de tiempo muy peque˜ no ((0, ²)) y produce un impulso unidad. Si vamos haciendo ² cada vez m´as peque˜ no, la fuerza anterior se va pareciendo m´as y m´as al concepto que queremos atrapar. Parece, pues, razonable expresar la fuerza instant´anea que se corresponde con el martillazo en la forma u(t) − u(t − ²) ²→0 ²

l´ım

que se denotar´a por δ(t). Si la usamos, s´olo a nivel formal, para resolver el problema anterior, proceder´ıamos como sigue. Colocamos el origen de coordenadas en el punto de partida y el eje OX positivo hacia abajo. Para t > 0, hay dos fuerzas actuando sobre la masa, a saber: el peso y la fuerza instant´anea δ(t) que induce el martillazo . De nuevo aplicamos la segunda ley de Newton y obtenemos m · a(t) = m · g − δ(t), o en t´erminos de x(t)

d2 x = m · g − δ(t), dt2 junto con las condiciones iniciales x(0) = 0 y x0 (0) = 0. Para resolver este problema por el m´etodo de la transformada de Laplace, s´olo se necesita saber determinar la transformada de la funci´on δ(t). La definici´on precisa de δ(t), as´ı como una determinaci´on rigurosa de su transformada, caen bastante lejos de los objetivos de este libro. Por ello, nos vamos a limitar a dar una justificaci´on de la igualdad L(δ(t)(p) = 1, usando la representaci´on formal de δ(t) dada por u(t) − u(t − ²) δ(t) = l´ım ²→0 ² (con la segunda propiedad de traslaci´on, obtendr´ıamos la transformada de δ(t − t0 )). Para justificar la igualdad L(δ(t)(p) = 1, calculamos la transformada de la funci´on u(t) − u(t − ²) ² m·

139

y a continuaci´on hacemos tender ² a 0. Por la linealidad de la transformada, tenemos µ ¶ u(t) − u(t − ²) 1 L = (L(u(t)) − L(u(t − ²))) = ² ² µ ¶ e−²p − 1 1 1 e−²p = = − . ² p p −²p Si tomamos l´ımite cuando ² tiende a 0, con p fijo, se obtiene claramente el valor 1. PROBLEMAS RESUELTOS 1. Hallar la transformada inversa de F (p) =

6p3 +4p2 +16 . p5 +4p3

Descomponemos F (p) en suma de fracciones simples 6p3 + 4p2 + 16 A B C Dp + E = + + + = p5 + 4p3 p p2 p3 p2 + 4 p4 (D + A) + p3 (B + E) + p2 (4A + C) + 4Bp + 4C . p3 (p2 + 4) Si identificamos los coeficientes de los numeradores inicial y final, encontramos el sistema   A+D =0       B+E =6 4A + C = 4    4B = 0     4C = 16 =

F´acilmente se obtiene A = B = D = 0, C = 4 y E = 6. Por tanto, F (p) se descompone de la forma siguiente 4 6 6p3 + 4p2 + 16 = 3+ 2 . 5 3 p + 4p p p +4 Usando la tabla de transformadas encontramos F (p) = 2

2 2 + 3 = 2L(t2 ) + 3L(sen 2t), p3 p 2 + 22 140

Por tanto, f (t) = 2t2 + 3 sen 2t. 2. Expresar la funci´on escalonada siguiente en t´erminos de la funci´on escal´ on unidad de Heaviside y encontrar su transformada de Laplace:    0 si x < −1 f (x) = 2 si −1 ≤ x < 0   1 si 0 ≤ x p

f (x) = 2u(x + 1) − u(x) y su transformada es F (p) = 2 ep −

141

1 p

=

2ep −1 . p

3. Una masa est´a sujeta al extremo de un resorte vertical de constante k suspendido de un punto fijo. En el instante t = 0 se da un golpe instant´aneo hacia arriba que supone un impulso de I unidades. Encontrar la posici´ on x(t) para t > 0. Escogemos un eje OX vertical (con la direcci´on positiva hacia abajo) que contiene al resorte y siendo O el punto donde la masa que cuelga del resorte est´a en equilibrio (en ese punto se igualan el peso y la fuerza el´astica del resorte). La ecuaci´on de movimiento tiene la forma m¨ x = −kx + mg − Iδ(t), junto con las condiciones iniciales son x(0) = x(0) ˙ = 0Aplicando la transformada a ambos miembros, obtenemos: mp2 X(p) = −kX(p) + mg/p − I. Por tanto, X(p) = mg/(p(mp2 +k))−I/(mp2 +k). Ahora descomponemos en suma de fracciones simples 1 A Bp + C = + . 2 p(mp + k) p mp2 + k un c´alculo sencillo permite obtener A = 1/k, B = −m/k y C = 0. Por tanto, la transformada X(p) tiene la forma 1 p 1 X(p) = (mg/k) − (mg/k) 2 − (I/m) 2 . p p + (k/m) p + (k/m) p ¡ ¢ Invirtiendo la transformada, resulta x(t) = (mg/k) 1 − cos( k/m t) − p √ (I/ km) sen( k/m t). Este problema se podr´ıa resolver sin usar la delta de Dirac. Basta tener en cuenta que el efecto del martillazo ser´ıa el de aplicar una velocidad inicial a la masa. Esta velocidad se deduce de la relaci´on I = mv. Es decir, x(0) ˙ = −(I/m). Entonces la ecuaci´on de movimiento tendr´ıa la forma m¨ x = −kx + mg, con las condiciones iniciales x(0) = 0 y x(0) ˙ = −(I/m). Aplicando la transformada de Laplace, resulta mp2 X(p) = −kX(p) + mg/p − I, 142

que es exactamente la expresi´on que se obtiene por el otro procedimiento. 4. Probar que la funci´on f (t) = t−1 no tiene transformada de Laplace. Z ∞ −pt e La integral dt es impropia de tercera especie (es impropia en t 0 t = 0). Para estudiar su convergencia descomponemos la integral en dos de la forma Z ∞ −pt Z 1 −pt Z ∞ −pt e e e dt = dt + dt. (5.7) t t t 0 0 1 La integral propuesta es convergente cuando lo son las dos del segundo miembro. Vamos a ver que la primera de ellas es divergente. Para ello, hacemos el cambio de variable x = 1/t y se transforma en una de primera especie Z

Z 1 −(p/x) e−pt e dt = − dx = t x 0 +∞ Z +∞ −(p/x) e = dx. x 1 Ahora aplicamosZ el criterio de comparaci´on por paso al l´ımite con la inte+∞ dx gral divergente . Necesitamos calcular el l´ımite x 1 1

e−p/x x l´ım 1 x→+∞ x

= l´ım e−p/x = e0 = 1, x→+∞

para cualquier p 6= 0. Esto muestra que el car´acter de la primera integral del segundo miembro de (5.7) es el mismo que el de la utilizada para comparar, es decir, divergente. 5. Consideremos un circuito LC en serie sujeto a un voltaje constante F0 . En el instante t = 1, el circuito recibe una fuerte descarga de voltaje 2F0 . ˙ Encontrar la carga en funci´on del tiempo si Q(0) = Q(0) = 0. La ecuaci´on de movimiento tiene la forma ¨+ LQ

Q = F0 + 2F0 δ(t − 1), C 143

˙ siendo las condiciones iniciales Q(0) = Q(0) = 0. Aplicando la transformada de Laplace a ambos miembros, resulta Lp2 L(Q) +

L(Q) F0 = + 2F0 e−p . C p

Despejando L(Q), obtenemos F0 2F0 e−p L(Q) = + . p(Lp2 + (1/C)) Lp2 + (1/C) Descomponiendo el primer sumando del miembro derecho en suma de fracciones simples, encontramos LCpF0 2F0 e−p F0 C − 2 + . L(Q) = p Lp + (1/C) Lp2 + (1/C) Para invertir la transformada m´as c´omodamente, escribimos ´esta de la forma siguiente r √ F0 C p C −p √ L(Q) = − CF0 + 2F0 e L(sen(t/ LC). p L p2 + (1/ LC)2 Usando la tabla de transformadas, encontramos  q ³ ´  F C − CF cos(t/√LC) + 2F C sen √t−1 si t ≥ 1 0 0 0 L LC Q(t) = √  F0 C − CF0 cos(t/ LC) si 0 ≤ t ≤ 1. Vemos que el efecto de la descarga el´ectrica se³traduce q ´ en la aparici´on, a partir del segundo 1, del sumando 2F0 CL sen √t−1 . LC PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Si f (t) es la funci´on de onda cuadrada con periodo 2 dada por ( 1 si t ∈ (0, 1) f (t) = 0 si t ∈ (1, 2) determinar su transformada. Soluci´on: F (p) =

1−e−p p(1−e−2p )

. 144

2. Hallar t ∗ eat . Soluci´on: −(t/a) + (1/a2 )(eat − 1). 3. Usar el Teorema de convoluci´on para probar que L

−1 F (p)

p

Z

t

(t) =

f (u) du, 0

donde F (p) = L(f )(p). 4. Determinar la transformada de Laplace de f (t) = tn (n ∈ N).

Z

+∞

Soluci´on: Aplicar la f´ormula de integraci´on por partes en la integral

tn e−pt dt

0

y deducir la relaci´on L(tn ) = (n/p)L(tn−1 ). Entonces, a partir de la igualn! dad L(1) = 1/p, deducir que L(tn ) = pn+1 . 5. Encontrar la soluci´on de y 00 + a2 y = f (x) que verifica las condiciones iniciales y(0) = y 0 (0) = 0. Z x f (s) sen a(x − s) ds, para x ≥ 0. Soluci´on: y(x) = (1/a) 0

6. Resolver el problema de valores iniciales ( y 00 + 4y = 4x y(0) = 1, y 0 (0) = 5. Soluci´on: y(x) = x + 2 sen 2x + cos 2x. 7. Usar la transformada de Laplace para resolver la ecuaci´on integral Z

x

3

y(x) = x +

sen(x − t) y(t) dt. 0

Soluci´on: y = x3 + (1/20)x5 .

145

8. Usar la transformada de Laplace para determinar la soluci´on del sistema ( x0 = x + y y 0 = −x + 3y que verifica las condiciones iniciales x(0) = 1, y(0) = −1. Soluci´on: x(t) = e2t − 2te2t e y(t) = −e2t − 2te2t . 9. Un circuito el´ectrico consta de una resistencia de R ohmios en serie con un condensador de capacidad C faradios, un generador de E voltios y un interruptor. En el instante t = 0 se cierra el interruptor. Si la carga en el condensador es cero en el instante t = 0, encontrar la carga y la corriente para t > 0 Soluci´on: Q(t) = CE(1 − e−(t/CR) ).

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