• Author / Uploaded
• lucero

Citation preview

Problema 1 Calcular la diferencia de las siguientes sucesiones: a. 11, 13, 15, 17, 19,... b. 11, 16, 21, 26, 31,... c. 10, 6, 2, -2, -6, -10,... Ver solución Para calcular la diferencia tenemos que restar términos consecutivos. Restaremos el segundo y el primer término. a. 11, 13, 15, 17, 19, ...

La diferencia es d=2d=2. b. 11, 16, 21, 26, 31, ...

La diferencia es d=5d=5. c. 10, 6, 2, -2, -6, -10, ...

La diferencia es d=−4d=−4. Nota: Es aconsejable comprobar que la diferencia es constante en toda la sucesión (si la sucesión no es aritmética, esto no ocurre).

Problema 2

¿Cuál de las siguientes sucesiones no es aritmética? a. 16, 26, 36, 46,... b. 16, 6, 13, 3,... c. -26, -36, - 46, -56,... Ver solución La segunda sucesión no es aritmética porque la diferencia entre el segundo y el primer término es -10, mientras que la diferencia entre el tercero y el segundo es 7.

Problema 3 ¿Cuál es el segundo término de la siguiente sucesión aritmética?

5,a2,21,29,...5,a2,21,29,... Ver solución La diferencia entre el cuarto y el tercer término es

Calculamos a2a2 sumamos la diferencia al primer término:

Comprobamos que la diferencia entre el tercer y el segundo término también es 8:

Problema 4 Calcular los dos siguientes términos de las sucesiones aritméticas:

a. 45, 55, 65,... b. 11, 22, 33,... c. 87, 76, 65,... ¿Cuál es la diferencia de estas sucesiones? Ver solución a. 45, 55, 65,... La diferencia de la sucesión es 10. Por tanto, los dos siguientes términos son 75 y 85. b. 11, 22, 33,... La diferencia de la sucesión es 11. Por tanto, los dos siguientes términos son 44 y 55. c. 87, 76, 65,... La diferencia de la sucesión es -11. Por tanto, los dos siguientes términos son 54 y 43. Problema 6 Determinar si las siguientes sucesiones son crecientes o decrecientes: a. 20, 15, 10, 5,... b. -3, -6, -9, -12,... c. 4, 14, 24, 34,... Ver solución

a. 20, 15, 10, 5,... Decreciente (diferencia negativa d=−5d=−5). b. -3, -6, -9, -12,... Decreciente (diferencia negativa d=−3d=−3). c. 4, 14, 24, 34,... Creciente (diferencia positiva d=10d=10).

Problema 7 Calcular el término a10a10 de cada sucesión: a. 8, 14, 20, 26,... b. 4, 10, 16, 22,... c. 8, 5, 2, -1,... Ver solución

Calcularemos la diferencia para poder calcular el décimo término: a. 8, 14, 20, 26,... La diferencia es

Por tanto, el término 10-ésimo es

b. 4, 10, 16, 22,... La diferencia es

Por tanto, el término 10-ésimo es

c. 8, 5, 2, -1,... La diferencia es

Por tanto, el término 10-ésimo es

Problema 8 Calcular el término a5a5 de cada sucesión a partir de los datos proporcionados: a. b. c.

a1=3, d=6a1=3, d=6 a1=6, d=−3a1=6, d=−3 an=3+3(n−1)an=3+3(n−1)

Determinar si las sucesiones son crecientes o decrecientes. Ver solución

Problema 9 Calcular el término general de las siguientes sucesiones: a. 6, 13, 20, 27,... b. 6, 2, -2, -6,... c. 0, -1/2, -1, -3/2,... Ver solución

Para calcular el término general se necesitan el primer término y la diferencia. a. 6, 13, 20, 27,... Calculamos la diferencia restando términos consecutivos:

Como la diferencia es 7 y el primer término es 6, el término general es

b. 6, 2, -2, -6,... Calculamos la diferencia restando términos consecutivos:

Como la diferencia es -4 y el primer término es 6, el término general es

c. 0, -1/2, -1, -3/2,... Calculamos la diferencia restando términos consecutivos:

Como la diferencia es -1/2 y el primer término es 0, el término general es

Problema 10 (dificultad alta) Calcular el término a1a1 de las sucesiones aritméticas a partir de los datos dados: a. b. c.

a4=11, a5=14a4=11, a5=14 a4=23, d=4a4=23, d=4 a4=28, a6=34a4=28, a6=34 Ver solución

a.

a4=11, a5=14a4=11, a5=14 Calculamos la diferencia de la sucesión:

Aplicamos el término general para calcular el cuarto término

Como conocemos a4a4, podemos calcular a1a1:

b.

a4=23, d=4a4=23, d=4 Aplicamos la fórmula del término general con n=4n=4:

c.

a4=28, a6=34a4=28, a6=34

El quinto término se obtiene sumando la diferencia dd al cuarto término:

El sexto término se obtiene sumando la diferencia dd al quinto término:

Podemos sustituir la expresión de a5a5 en la ecuación anterior: Emplearemos la primera fórmula para la suma:

Necesitaremos calcular a10a10 para poder aplicar la fórmula. a. 3, 10, 17,... La diferencia de esta sucesión es d=7d=7. Por tanto, el término a10a10 es

Calculamos la suma de los 10 primeros términos:

b. 12, 15, 18,... La diferencia de esta sucesión es d=3d=3. Por tanto, el término a10a10 es

Calculamos la suma de los 10 primeros términos:

c. 15, 12, 9,...

La diferencia de esta sucesión es d=−3d=−3 . Por tanto, el término a10a10 es

Calculamos la suma de los 10 primeros términos:

Problema 12 Calcular la suma de los 10 primeros términos las sucesiones a partir de los datos dados: a. b. c.

a1=5, a10=14a1=5, a10=14 a1=5, d=4a1=5, d=4 a2=18, d=5a2=18, d=5 Ver solución

La fórmula para calcular la suma es

a.

a1=5, a10=14a1=5, a10=14 Sustituimos los datos en la fórmula:

b.

a1=5, d=4a1=5, d=4 Tenemos que calcular a10a10 para aplicar la fórmula:

Calculamos la suma:

c.

a2=18, d=5a2=18, d=5 Tenemos que calcular a1a1 y a10a10 para aplicar la fórmula. Como a2a2 se obtiene sumando la diferencia dd al término a1a1, podemos calcular a1a1 restando dd al término a2a2:

Calculamos el término a10a10:

Calculamos la suma:

Problema 13 Encontrar una progresión aritmética cuyo primer término sea 3 y que sus tres primeros términos sumen 12. Ver solución

La fórmula para calcular la suma es

Como los 3 primeros términos deben sumar 12,

Resolvemos la ecuación obtenida:

Sabemos que el primer término es 3 y que el tercero es 5. Podemos calcular el segundo. Los tres primeros términos son

Calculamos la diferencia resolviendo la ecuación anterior:

Por tanto, la diferencia es d=1d=1 y el segundo término es Problema 13 Encontrar una progresión aritmética cuyo primer término sea 3 y que sus tres primeros términos sumen 12. Ver solución La fórmula para calcular la suma es

Como los 3 primeros términos deben sumar 12,

Resolvemos la ecuación obtenida:

Sabemos que el primer término es 3 y que el tercero es 5. Podemos calcular el segundo. Los tres primeros términos son

Calculamos la diferencia resolviendo la ecuación anterior:

Por tanto, la diferencia es d=1d=1 y el segundo término es

La sucesión es 3, 4, 5, 6, 7,...

Problema 14 (dificultad alta) Calcular cuántos números impares hay entre 20 y 50 y calcular s

Problema 15 (dificultad alta) El primer término de una sucesión aritmética es a1=12a1=12 y la suma de los 5 primeros términos es S5=90S5=90 . Calcular el término a5a5y el término general anan. Ver solución La fórmula para calcular la suma es

Como conocemos S5=90S5=90 y a1=12a1=12, tenemos

Despejamos el término a5a5 de la ecuación anterior:

Por tanto, el quinto término es

A partir del primer y quinto término podemos calcular la diferencia:

Como conocemos el primer término y la diferencia, conocemos el término general: