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Matemática Guía didáctica del docente

Lorna Jiménez Martínez Profesora de Matemática Licenciada en Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile

Pedro Rupin Gutiérrez Profesor de Matemática Licenciado en Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile

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Matemática 2.° MEDIO GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE

Dirección editorial Felipe Muñoz Gómez Coordinación editorial Daniela Cienfuegos Fernández Edición Pedro Rupin Gutiérrez Autoría Lorna Jiménez Martínez Pedro Rupin Gutiérrez Corrección de estilo Ana Saavedra Segura Coordinación de diseño Gabriela de la Fuente Garfias Diseño y diagramación Anghela Badiola Sanhueza Diseño de portada Anghela Badiola Sanhueza Producción Andrea Carrasco Zavala

Este texto corresponde al Segundo año de Enseñanza Media y ha sido elaborado conforme al Decreto Supremo N° 254/2009, del Ministerio de Educación de Chile. ©2013 – Ediciones SM Chile S.A. – Coyancura 2283 piso 2 – Providencia ISBN: 978-956-349-543-0 / Depósito legal: 235591 Se terminó de imprimir esta edición de 4800 ejemplares en el mes de enero del año 2014. Impreso por xxxxxxxxxxxxx Quedan rigurosamente prohibida, sin la autorización escrita de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

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Índice Fundamentación del diseño instruccional ...........................................................................................................................................4 Estructura del Texto del estudiante..........................................................................................................................................................6 Estructura de la Guía didáctica del docente ........................................................................................................................................8

1

2

Números

3

Álgebra

Presentación de la unidad ........................................... 11

Presentación de la unidad ........................................... 97

Marco curricular ............................................................... 12

Marco curricular ............................................................... 98

Planificación de la unidad ............................................ 13

Planificación de la unidad ............................................ 99

Sugerencias metodológicas........................................ 17

Sugerencias metodológicas......................................103

Información complementaria .................................... 38

Información complementaria ..................................129

Actividades complementarias fotocopiables ...... 39

Actividades complementarias fotocopiables ....130

Evaluación fotocopiable ............................................... 42

Evaluación fotocopiable .............................................133

Solucionario ....................................................................... 47

Solucionario .....................................................................139

Banco de preguntas ....................................................... 50

Banco de preguntas .....................................................142

Bibliografía ......................................................................... 52

Bibliografía .......................................................................144

Geometría

4

Datos y Azar

Presentación de la unidad ...........................................53

Presentación de la unidad ........................................145

Marco curricular ............................................................... 54

Marco curricular .............................................................146

Planificación de la unidad ............................................ 55

Planificación de la unidad ..........................................147

Sugerencias metodológicas........................................ 58

Sugerencias metodológicas......................................150

Información complementaria .................................... 75

Información complementaria ..................................169

Actividades complementarias fotocopiables ...... 76

Actividades complementarias fotocopiables ....170

Evaluación fotocopiable ............................................... 79

Evaluación fotocopiable .............................................173

Solucionario ....................................................................... 84

Solucionario .....................................................................178

Banco de preguntas ....................................................... 87

Banco de preguntas .....................................................181

Bibliografía ......................................................................... 89

Bibliografía .......................................................................183

Mini ensayo PSU...................................................................... 90

Mini ensayo PSU....................................................................162

Índice temático ...........................................................................................................................................................................................190 Bibliografía.....................................................................................................................................................................................................192

ÍNDICE

3

Fundamentación del diseño instruccional El texto Matemática 2.º Medio es una propuesta didáctica elaborada a partir de los siguientes lineamientos fundamentales: Organización de contenidos El texto recoge la propuesta del Marco curricular y el Programa de Estudio proponiendo una unidad por eje de contenido. Cada unidad se divide en secciones que la organizan y potencian la importancia de los diferentes objetivos que abordan.

Evaluación permanente Una característica distintiva del texto es asumir la evaluación como un proceso continuo y al servicio del aprendizaje. Matemática 2.º Medio recoge este enfoque y lo potencia con páginas destinadas a la evaluación inicial, integradora y final. Se incluyen, además, instancias de evaluación tipo PSU con el fin de preparar a los estudiantes en este tipo de procedimientos evaluativos. Aprendizaje significativo Las nuevas tendencias didácticas promueven el aprendizaje de los contenidos en contextos significativos. Matemática 2.º Medio asume este postulado explicitando los conceptos que están detrás de esas actividades significativas, como una manera de integrar el aprender con entretención, conocimiento de su entorno y contenidos de la disciplina. Desarrollo de habilidades El enfoque didáctico de Matemática 2.º Medio asume el desarrollo de habilidades ligado a los contenidos. Es por ello que se incluyen páginas especiales, destinadas a profundizar el trabajo de las habilidades con un enfoque de enseñanza explícito y ligado a los contenidos conceptuales; junto con el trabajo continuo en cada una de las lecciones.

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Para cumplir estos lineamientos, las unidades y secciones del texto Matemática 2.º Medio se componen de:

§§ Páginas de inicio que presentan los contenidos de la unidad a estudiar por medio de una imagen. Además, se proponen preguntas destinadas a activar los conocimientos previos de los estudiantes. Cada sección incluye además una página De esto se trata, para presentar los contenidos a los estudiantes y relacionarlos con contextos significativos, y ¿Qué debes saber?, para diagnosticar sus conocimientos previos. §§ Lecciones que presentan y trabajan los contenidos y actividades propios del nivel educacional. Cada lección estimula a los estudiantes a verificar su propio aprendizaje por medio de preguntas y actividades de reflexión, personal y grupal. §§ Dos páginas de evaluación integradora que se insertan entre las secciones. En ellas se invita al estudiante a realizar variadas actividades que evalúan el grado de comprensión de los contenidos tratados hasta el momento. §§ Cada sección incluye una página de Resolución de problemas desarrollados paso a paso, y una página Para no cometer errores, que permite a los estudiantes detectarlos y corregirlos. §§ Dos páginas de Diario Mural, que relacionan el contenido de la unidad con la historia de la disciplina o con otras áreas del conocimiento. §§ Dos páginas de Síntesis, para fortalecer y sintetizar los aprendizajes, y recoger lo presentado en las páginas de inicio. §§ Tres páginas de Refuerzo y una de Profundización, destinadas a los estudiantes con distintas necesidades. §§ Cuatro páginas de Evaluación final, para evaluar en forma global los contenidos tratados en la unidad.

Fundamentación

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Estructura del Texto El Texto Matemática 2.º Medio se compone de 4 unidades: Números, Geometría, Álgebra y Datos y Azar. Cada unidad se compone de secciones, y cada sección de lecciones.

Estructura de las unidades

1.

2. Diario Mural

Inicio de unidad

Al final de cada unidad encontrarás una interesante aplicación de lo estudiado, en diversos contextos.

En estas páginas podrás activar tus ideas previas, conocer las palabras claves de la unidad, y recordar lo que ya sabes. Te presentaremos lo que aprenderás y su objetivo, en un contexto relacionado con los contenidos que se estudiarán.

3. Para sintetizar Aquí podrás organizar y resumir los contenidos abordados. Además, retomaremos la situación presentada en el inicio y podrás relacionarla con tus aprendizajes.

4. Reforzar y profundizar Estas páginas te permitirán reforzar los contenidos antes de la evaluación, como también profundizar tus aprendizajes.

5. Evalúo mis aprendizajes Te proponemos una evaluación de alternativas, en la que podrás medir tus logros en la unidad.

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Estructura de las secciones

6.

De esto se trata y ¿Qué debes saber? Activarás tus ideas previas y reflexionarás sobre la importancia de los contenidos y el propósito de la sección, a partir de una situación real. Además, podrás evaluar tus conocimientos previos y repasar lo que necesites con la ayuda de Internet.

8. Resolución de problemas y Para no cometer errores

7. Lección Estas son las páginas de contenido en las que recordarás tus aprendizajes previos y desarrollarás tus habilidades. Te proponemos actividades para que razones, comentes y reflexiones con tus compañeros, y ejercicios de repaso, práctica y aplicación.

Podrás analizar estrategias de resolución de problemas, y analizar errores para no cometerlos.

9. Integrando lo aprendido Podrás evaluar tus aprendizajes de la sección y analizar si has logrado el propósito de ella.

Páginas finales

10.

Solucionario, Índice temático y Bibliografía Aquí encontrarás la solución a los ejercicios planteados, un Índice temático de los contenidos abordados y la Bibliografía del Texto, además de material que te sugerimos para profundizar tus conocimientos.

Estructura del Texto

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Estructura de la Guía didáctica del docente La Guía Didáctica del Docente del texto Matemática 2.º Medio está organizada siguiendo las unidades del texto. Para ello, presenta los siguientes elementos:

Una Presentación de la Unidad, en la que se explicita:

•

el Propósito de la misma brindando una mirada global del proceso que han seguido los estudiantes.

• • • •

los Conocimientos Previos necesarios para ella. las Palabras Clave de los contenidos que se abordarán. los Contenidos específicos, determinados por el Marco curricular. las Habilidades y Actitudes a desarrollar.

Una Planificación de cada sección, que el docente podrá utilizar como referencia para relacionar los Objetivos Fundamentales Transversales, los Contenidos Mínimos Obligatorios y los Aprendizajes Esperados, relacionados con cada lección específica de la sección. Se explicitan además las páginas de evaluación correspondientes y una sugerencia de tiempo estimado, tanto para cada sección como para las actividades finales de cada Unidad.

Sugerencias metodológicas

Para cada sección de la unidad, el docente podrá encontrar orientaciones para trabajar la página de inicio De esto se trata, y sugerencias para cada indicador de la evaluación inicial Esto debes saber. Dentro de las lecciones correspondientes, se presenta al docente:

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• • •

El título y Propósito de cada lección.

•

Sugerencias para la Activación de ideas previas de los estudiantes, por medio de actividades, preguntas, presentación de situaciones, etc.

•

Orientaciones didácticas que permiten complementar los contenidos presentados en el texto, por medio de sugerencias de actividades, cuidados específicos relacionados con actividades del texto, tips orientados a los estudiantes que puedan presentar mayores dificultades y, de manera general, todo lo que pueda apoyar la labor del docente estimulando el aprendizaje de los estudiantes.

•

Algunos Errores frecuentes específicos del contenido de la lección, con sugerencias para prevenirlos y corregirlos.

•

Actividades complementarias, que apuntan a un mejor aprendizaje de los estudiantes con diversas necesidades, ya sea de mayor refuerzo o profundización.

Las palabras clave del contenido a abordar. Los prerrequisitos específicos para la lección, que ya habrán sido trabajados en la evaluación inicial de la sección.

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Al final de cada sección, podrá encontrar sugerencias para el trabajo con las páginas Resolución de problemas y Para no cometer errores, además de una tabla correspondiente a la Evaluación Integrando lo aprendido, que presenta al docente remediales sugeridos para los estudiantes que no alcancen el nivel de logro deseado. Sugerencias para el trabajo con las páginas Diario Mural, para estimular en los estudiantes el establecimiento de conexiones entre el contenido estudiado y algún contexto de la vida cotidiana; y Síntesis, para establecerlas entre los conceptos estudiados en cada sección. Una Tabla de especificaciones de la evaluación de la Unidad, que establece los indicadores de cada pregunta y remediales para cada caso.

Información complementaria sobre algún aspecto interesante para el docente que le permitirá profundizar en contenidos de la Unidad.

Tres Actividades complementarias para los estudiantes, que les permitirán reforzar o profundizar un contenido relacionado con cada sección.

Una Evaluación fotocopiable con preguntas de alternativas y desarrollo, y su respectiva rúbrica.

Bibliografía de la Unidad, que le permitirán profundizar y actualizarse en temas de matemática y didáctica de la matemática.

Un Banco de preguntas para el docente, organizadas por contenido.

Cada dos Unidades podrá encontrar dos Mini Ensayos PSU, adecuados a los contenidos específicos de las Unidades correspondientes.

Para finalizar, encontrará un Índice temático de los contenidos trabajados en la guía, y Bibliografía de consulta general.

Estructura de la Guía

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unidad

Números Propósito

En esta unidad se recogen los aprendizajes que los estudiantes ya tienen sobre números racionales y sus propiedades, para introducir ahora los números irracionales y posteriormente los reales. Se espera que comprendan las características y propiedades de los nuevos números y sean capaces de ordenarlos, ubicarlos en la recta numérica, aproximarlos y operar con ellos. En esta unidad se incorporan, además, las potencias de exponente racional y el estudio de sus propiedades, las raíces enésimas y los logaritmos. Será importante que los estudiantes realicen conjeturas sobre propiedades, las verifiquen y apliquen los contenidos aprendidos anteriormente en la resolución de problemas.

Ruta de aprendizaje ¿Qué sé? •• Realizar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones entre números racionales. •• Identificar propiedades de la operatoria entre números racionales. •• Calcular y aplicar propiedades de las potencias de base racional y exponente entero.

¿Qué aprenderé? •• •• •• •• •• •• ••

Identificar números irracionales y sus propiedades. Comprender el conjunto de los números reales, sus propiedades y operaciones. Relacionar potencias de exponente racional y raíces enésimas. Aplicar propiedades de las potencias de exponente racional y las raíces enésimas. Comprender el concepto de logaritmo y su relación con raíces y potencias. Aplicar propiedades de logaritmos. Resolver problemas que involucran raíces enésimas y logaritmos.

¿Para qué? •• Para resolver problemas en distintos contextos, que involucran distintos tipos de números. •• Para conjeturar y demostrar propiedad es de los números y sus operaciones.

Unidad 1 • Números

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Marco curricular Conocimientos previos •• Operaciones de números racionales. •• Potencias de base racional y exponente entero. •• Propiedades de las potencias de base racional y exponente entero.

Palabras clave Números irracionales, números reales, potencias de exponente racional, raíces enésimas, logaritmos.

Contenidos •• Números irracionales y propiedades. •• Números reales y propiedades. •• Operaciones aritméticas con números reales. •• Potencias de exponente racional. •• Propiedades de las potencias de exponente racional. •• Raíces enésimas. •• Propiedades de las raíces enésimas. •• Logaritmos. •• Propiedades de los logaritmos.

12

Habilidades •• Reconocer si un problema puede o no tener soluciones en los números racionales. •• Identificar los números irracionales como aquellos que tienen un desarrollo infinito no periódico y que no se pueden escribir como fracción. •• Aproximar números irracionales mediante algún método. •• Ubicar raíces en la recta numérica, usando alguna estrategia. •• Conjeturar acerca del valor a obtener al sumar, restar, multiplicar o dividir dos números racionales. •• Resolver situaciones en las que es necesario operar con números reales. •• Demostrar propiedades de las raíces enésimas a partir de las propiedades de las potencias de exponente racional. •• Transformar raíces enésimas a notación de potencias y viceversa. •• Demostrar propiedades de los logaritmos a partir de las propiedades de las potencias. •• Relacionar potencias, raíces enésimas y logaritmos. •• Resolver situaciones en las que es necesario operar con raíces enésimas y logaritmos.

Actitudes •• Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos.

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Planificación de la unidad

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2

3

4

Sección 1: Números reales OF

Comprender que los números irracionales constituyen un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen solución en los números racionales, y los números reales como aquellos que corresponden a la unión de los números racionales e irracionales. Utilizar los números reales en la resolución de problemas, ubicarlos en la recta numérica, demostrar algunas de sus propiedades y realizar aproximaciones.

CMO

AE

Lecciones

Evaluaciones

•• Evaluación diagnóstica ¿Qué debes saber?, pág. 9.

Lección 1: Números irracionales y problemas geométricos.

Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar los números racionales a los números reales; reconocimiento de algunas de las propiedades de los números y de las operaciones y su uso para resolver diversos problemas.

Comprender que los números irracionales permiten resolver problemas que no tienen solución en los números racionales.

Aproximación del valor de un número irracional por defecto, exceso y por redondeo.

Aproximar números irracionales por defecto, por exceso y por redondeo.

4 horas.

2 horas. •• Evaluación integradora Integrando lo aprendido, págs. 28 y 29. 2 horas.

Lección 2: Aproximación y construcción de números irracionales. 4 horas.

Ubicación de algunas raíces en la recta numérica; exploración de situaciones geométricas en que ellas están presentes; y análisis de la demostración de la irracionalidad de algunas raíces cuadradas.

Ordenar números irracionales y representarlos en la recta numérica.

Lección 3: Números irracionales en la recta numérica y orden.

Conjeturar y verificar propiedades de los números irracionales.

Lección 4: Números reales.

4 horas.

4 horas.

Comprender que los números reales corresponden a la unión de los números racionales e irracionales. Demostrar algunas propiedades de los números reales. Resolver problemas en contextos diversos relativos a números reales, raíces y logaritmos.

Páginas finales Actividad

Páginas

Tiempo estimado

Resolución de problemas

26

1 hora

Para no cometer errores

27

1 hora

Tiempo estimado: 26 horas pedagógicas Unidad 1 • Números

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Sección 2: Raíces OF

Establecer relaciones entre potencias, logaritmos y raíces en el contexto de los números reales, demostrar algunas de sus propiedades y aplicarlas en la resolución de problemas.

CMO

Análisis de la existencia de la raíz enésima en el conjunto de los números reales, su relación con las potencias de exponente racional y demostración de algunas de sus propiedades.

AE

Lecciones

Lección 5: Raíz enésima.

Analizar la existencia de las raíces en el conjunto de los números reales.

4 horas.

Evaluaciones

•• Evaluación diagnóstica ¿Qué debes saber?, pág. 31. 2 horas.

Lección 6: Raíces y operaciones.

Utilizar relaciones entre las potencias y raíces para demostrar propiedades de las raíces.

4 horas. Lección 7: Potencias de exponente racional.

•• Evaluación integradora Integrando lo aprendido, págs. 54 y 55. 2 horas.

4 horas. Lección 8: Racionalización.

Resolver problemas en contextos diversos relativos a números reales, raíces y logaritmos.

4 horas. Lección 9: Raíces enésimas, problemas y ecuaciones. 4 horas.

Páginas finales Actividad

Páginas

Tiempo estimado

Resolución de problemas

52

1 hora

Para no cometer errores

53

1 hora

Tiempo estimado: 26 horas pedagógicas

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Sección 3: Logaritmos OF

Establecer relaciones entre potencias, logaritmos y raíces en el contexto de los números reales, demostrar algunas de sus propiedades y aplicarlas en la resolución de problemas.

CMO

Interpretación de logaritmos, su relación con potencias y raíces, deducción de sus propiedades y aplicaciones del cálculo de logaritmos a la resolución de problemas en diversas áreas del conocimiento.

AE

Lecciones

Establecer relaciones entre los logaritmos, potencias y raíces.

Lección 10: Logaritmos.

Deducir propiedades de los logaritmos.

Lección 11: Propiedades de los logaritmos.

4 horas.

Evaluaciones

•• Evaluación diagnóstica ¿Qué debes saber?, pág. 57. 2 horas.

4 horas.

•• Evaluación integradora Integrando lo aprendido, págs. 72 y 73.

Lección 12: Aplicaciones de logaritmos.

Resolver problemas en contextos diversos relativos a números reales, raíces y logaritmos.

2 horas.

4 horas.

Páginas finales Actividad

Páginas

Tiempo estimado

Resolución de problemas

70

1 hora

Para no cometer errores

71

1 hora

Tiempo estimado: 20 horas pedagógicas

Unidad 1 • Números

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Páginas finales Actividad

Página

Tiempo estimado

Diario mural.

74 y 75

1 hora

Para sintetizar.

76 y 77

1 hora

Reforzar antes de evaluar – Para profundizar.

78 – 81

4 horas

Evaluación de la unidad.

82 – 85

2 horas

Tiempo total estimado para la unidad: 80 horas pedagógicas

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Sugerencias metodológicas

Sección 1 Números reales De esto se trata Es complejo para los estudiantes comprender que un número decimal periódico no es una aproximación. Para ellos, la idea de que un número se repita infinitamente sin acabar jamás no calza con la noción de “precisión” que debiera dar un número. Por lo mismo, la existencia de números irracionales puede ser aun más compleja de comprender, y más todavía considerando que se trata de números exactos, precisos, no de aproximaciones. Es interesante que puedan vislumbrar, desde el principio de esta sección, que muchas cosas en matemática se desprenden de la realidad tangible para teorizar, y luego no necesariamente se corresponden con la realidad y pueden no representar situaciones de ella. El mismo uso de aparatos tecnológicos no puede responder a cabalidad a la teorización matemática de los números reales, y esto es un buen punto de partida para que los estudiantes puedan reflexionar respecto de la naturaleza del estudio matemático, en ocasiones por pura satisfacción intelectual.

¿Qué debes saber? Identificar y realizar operaciones entre números racionales Para este indicador, recuerde a los estudiantes los tipos de números decimales (finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos) y como transformarlos en fracción, así como el procedimiento de división para transformar una fracción en número decimal.

1

2

3

4

Aproximar, ordenar y ubicar números racionales en la recta numérica Para este indicador, recuerde las posiciones decimales y sus nombres; también los métodos de aproximación por redondeo y truncamiento. Para ordenar números decimales, puede presentar diversos listados de números racionales de distinto tipo y que en conjunto encuentren estrategias para ordenarlos, por ejemplo expresar todos los números como fracción o como decimal. Pueden discutir además sobre la efectividad de las técnicas utilizadas en cada caso. Para ubicar números racionales en la recta numérica se recomienda enfatizar la necesidad de graduarla adecuadamente según los números que están involucrados, considerando todos los números que se ubicarán y analizando cuidadosamente los denominadores antes de comenzar a ubicar los números, a fin de evitar problemas posteriores. Para números decimales periódicos o semiperiódicos es imprescindible expresarlos como fracción; primero observe la forma en que proceden los estudiantes para luego corregir en el caso que hayan intentado ubicar directamente los números en forma de número decimal periódico. De esta manera, el aprendizaje puede ser más significativo. Recuerde también a los estudiantes que el conjunto de los números racionales es un conjunto denso, es decir, siempre entre dos números racionales podemos encontrar otro racional, es más, se pueden encontrar infinitos números racionales. Puede mostrarles cómo intercalar varios números racionales entre dos números racionales dados, partiendo por intercalar solo uno utilizando el promedio entre los extremos. Conviene finalmente aclarar que la densidad no se presenta en los números naturales ni en los números enteros.

Refuerce a los estudiantes las prioridades de las operaciones en los números racionales presentando distintos casos y los diferentes resultados que se pueden obtener si estas prioridades no se respetan.

Unidad 1 • Números

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Números irracionales y problemas geométricos Págs. 10 a 13

Propósito Identificar números irracionales y sus propiedades, y operar con ellos en problemas geométricos.

Palabras clave Números racionales, irracionales, reales, conjuntos numéricos, números infinitos, cifras decimales, fracciones, propiedades, operaciones, problemas geométricos, área, perímetro

Prerrequisitos §§ Orden en los números racionales. §§ Cálculos que involucran números racionales. §§ Identificación y aplicación de propiedades de las operaciones con números racionales. §§ Cálculo de áreas y perímetros de diversas figuras planas.

Activación de ideas previas Para el trabajo de esta lección es importante que los alumnos trabajen correctamente con los números racionales y de esta forma se puedan aproximar de buena forma al estudio de los números irracionales. Para activar los conocimientos previos de sus estudiantes, plantee las siguientes preguntas.

•

¿Qué es un número racional? ¿Cuáles son sus características? Da algunos ejemplos de ellos.

•

¿Todo número se puede escribir como fracción? Da un ejemplo.

•

¿Cuáles no se pueden escribir como fracción? ¿Cómo se llaman? Ejemplifica.

•

¿Qué conjuntos numéricos conoces? ¿Qué características tienen estos conjuntos? ¿Habrá otros conjuntos? ¿Qué números incluirían estos conjuntos? ¿Tienen elementos en común estos conjuntos?

Orientaciones didácticas En esta lección se introduce el estudio de los números irracionales a partir de problemas geométricos que no tienen solución en el conjunto de los números racionales. Los estudiantes han debido aplicar en cursos anteriores el teorema

18

de Pitágoras con resultados que no son “raíces exactas”, pero hasta el momento no se les ha precisado que los números de este tipo inducen a la necesidad de ampliar el conjunto numérico utilizado hasta el momento. Explicite la relación entre los números irracionales y la noción de medida como comparación, como se presenta en la lección. En este sentido, puede recalcar que un número irracional es aquel para el cual no es posible determinar una unidad con la cual pueda ser comparado dividiendo dicha unidad una cantidad finita de veces. La demostración de la irracionalidad de 2 por reducción al absurdo es clásica en matemáticas, pero el argumento utilizado es difícil de comprender en principio por los estudiantes. Para una mejor comprensión, precise a los estudiantes que en matemáticas no se permiten contradicciones, por lo tanto, si una afirmación las genera, esta necesariamente debe ser falsa.

Demostración de la irracionalidad de 2 Supongamos que 2 no es irracional. Si no es irracional debe ser obligatoriamente racional, es decir, debe ser igual a una fracción: p 2= q Podemos suponer que el máximo común divisor de p y q es 1, es decir son primos relativos. Elevamos al cuadrado y operando queda:

= 2

p2 = 2q2 = p2 q2

Por tanto p² debe ser múltiplo de 2, lo que implica que p también es un múltiplo de 2. Es decir,

p = 2k, k ∈ N Sustituimos este valor de p en la expresión anterior y simplificamos un 2 de esa igualdad:

2q2 = (2k)2 → q2 = 2k 2 Esta expresión asegura que q² es múltiplo de 2, y por tanto también lo es q. Aquí está el absurdo, habíamos supuesto que p y q no tenían factores comunes y hemos llegado a que los dos son múltiplos de 2, es decir, que tienen al 2 como factor común, y por tanto su mcd debe ser al menos 2. Esa es la contradicción que buscábamos.

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1 Errores frecuentes Es posible que los estudiantes apliquen de manera incorrecta el teorema de Pitágoras, ya sea en el planteamiento de este (identificar erróneamente catetos e hipotenusa) o en el desarrollo del mismo para encontrar un valor requerido. En este sentido, se sugiere explicitar las siguientes relaciones:

x+y ≠ x + y 2

(a + b) ≠ a2 + b2 Actividades complementarias Presente una figura compuesta como la siguiente y pida que la completen con las medidas de los lados, de manera tal que el perímetro y el área de ella sea un número irracional. Puede pedir que calculen el área y el perímetro resultante y que expongan sus respuestas al curso. De este modo podrán ver que existen infinitas opciones.

2

•

una figura con algunos lados de medida racional y otros de medida irracional, pero cuya área sea irracional.

•

una figura cuya área sea irracional y el perímetro, racional.

En cada caso, se puede estimular el análisis de los resultados posibles de obtener, aunque esto se realizará de manera más detallada en la lección 4.

3

4

Aproximación y construcción de números irracionales Págs. 14 a 17

Propósito Aproximar números irracionales.

Palabras clave Aproximación, redondeo, truncamiento, exceso, defecto, diferencia, error relativo, error absoluto

Prerrequisitos §§ Aproximación de números racionales por redondeo y truncamiento.

Activación de ideas previas Por contenidos vistos en años anteriores, se espera que los estudiantes comprendan que una aproximación es un valor parecido al real y que sean capaces de determinar algunas. Para confirmar esto, plantee las siguientes preguntas:

• • • Puede además combinar algunas posibilidades, por ejemplo:

2

¿Qué es aproximar un número? ¿Cuál es la diferencia entre redondear y truncar? El número racional 3,1456 se puede aproximar a 3,15, ¿esta aproximación fue por truncamiento o redondeo?

Orientaciones didácticas Comience esta lección reiterando que, en situaciones cotidianas, no es posible trabajar con números irracionales. Por ello, es preciso contar con mecanismos que permitan obtener aproximaciones adecuadas para cada situación. El cálculo del error permite juzgar el grado de exactitud de las aproximaciones; dependiendo del contexto, será aceptable un error determinado. Asimismo, el uso del error absoluto o relativo debe analizarse específicamente según lo que se quiera obtener. Es interesante también plantear a los estudiantes que, por más poderosos que sean un computador o una calculadora nunca pueden dar un valor exacto de un número irracional, ya que necesitarían en la práctica una memoria infinita. Conviene recalcar, en el análisis de la aproximación del número π, que las raíces no contemplan todos los números irracionales, es decir, que los números reales no se forman solo “agregando” las raíces no enteras a los números reales.

Unidad 1 • Números

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En este sentido, precise que los números irracionales no solo se relacionan con problemas geométricos, aunque ese haya sido el punto de partida para su estudio.

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Números irracionales en la recta numérica y orden Págs. 18 a 21

Actividades complementarias Plantee a los estudiantes la siguiente actividad para profundizar en la aproximación de números irracionales:

Propósito Ordenar y ubicar números irracionales.

a) Calculen separadamente en la calculadora 10 y 12 y aproximen por redondeo cada raíz a la centésima. Luego, con estas aproximaciones estimen el valor de 10 + 12 .

Palabras clave

b) Calculen en la calculadora 10 + 12 . Aproximen el resultado por redondeo a la centésima.

Prerrequisitos

¿Cuál de los métodos para aproximar esta suma es mejor? ¿Cuál entregará un menor error? Justifica.

Orden, ubicación, raíces cuadradas, cantidades subradicales, recta numérica, teorema de Pitágoras.

§§ Orden de números racionales y ubicación en la recta numérica. §§ Aplicación del teorema de Pitágoras.

Respuesta: En el primer caso obtendrán 6,62, mientras que en el segundo se obtiene 6,63. La actividad les puede permitir constatar que, en general, se debe aproximar como último paso.

c) Una empresa de productos en conserva debe etiquetar 70 000 tarros cilíndricos para un nuevo producto que lanzará al mercado. La etiqueta debe quedar a 0,3 cm de las bases del tarro, como se muestra en la figura. Si el radio de la base del tarro mide 5 cm y el alto del tarro es 13 cm, ¿qué dimensiones deben tener las etiquetas?

Activación de ideas previas Se sugiere recordar junto a sus alumnos la forma correcta de construir una recta numérica. Puede poner especial énfasis en el segmento unidad que utilizarán, ya que generalmente suelen usar unidades distintas durante toda la recta. Puede hacerles notar que si no existe esta unidad, la recta se invalida. Además, es necesario que les recuerde cómo comparar números racionales para luego poder ordenarlos y representarlos en la recta numérica. Luego, a través de preguntas y respuestas, se les puede consultar respecto de los números naturales que son cuadrados perfectos y cubos perfectos, con la finalidad de recordar el concepto de raíz cuadrada y raíz cúbica.

Orientaciones didácticas R: 10 π x 12,4 cm

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Para comparar y ordenar raíces y números racionales, pida a los estudiantes que expresen números racionales como raíces, o las raíces como números racionales elevando al cuadrado, y así comparar números del mismo tipo. Por ejemplo, para comparar 8 y 3 se puede usar 8 y 9 , por lo tanto 8 < 9 . Del mismo modo para comparar 2 y 3 se puede elevar al cuadrado cada número obteniendo 4 y 3, y deducir que 2 > 3 pues 4 > 3.

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1 En cursos anteriores, los estudiantes han realizado construcciones geométricas con regla y compás, y es posible que se hayan preguntado, por ejemplo, qué sentido tiene construir geométricamente una bisectriz de un ángulo si es posible medirlo con transportador y con él dividir su medida en dos. Este contenido da una buena posibilidad de apreciar que este tipo de construcciones son necesarias pues son las únicas matemáticamente correctas; hacerlo de otra manera nos obliga a trabajar solo con aproximaciones. Analice con los estudiantes formas de ubicar raíces en la recta numérica sin necesidad de construir siempre toda la espiral. Para ello, es importante que los desafíe a ubicar raíces de números grandes, estimulándolos a que encuentren valores adecuados que permitan construir menos triángulos y obtener resultados más rápidamente.

Errores frecuentes

4

2

3

4

Números reales Págs. 22 a 25

Propósito Identificar y caracterizar el conjunto de los números reales.

Palabras clave Conjuntos numéricos, subconjuntos, elementos, pertenencia, números reales, racionales e irracionales

Prerrequisitos §§ Identificación y aplicación de propiedades de la operatoria con números racionales. §§ Identificación de números irracionales.

Los alumnos pueden presentar dificultades al ordenar números irracionales del tipo a + b , interpretando en forma inco-

Activación de ideas previas

rrecta que a + b = a + b . Supervise cuidadosamente un correcto manejo de la operatoria.

Se sugiere recordar junto a sus alumnos la forma correcta de construir una recta numérica. Puede poner especial énfasis en el segmento unidad que utilizarán, ya que generalmente suelen usar unidades distintas durante toda la recta. Puede hacerles notar que si no existe esta unidad, la recta se invalida.

(

)

2

Actividades complementarias Pida a los estudiantes que determinen el valor de las siguientes raíces utilizando una calculadora. 0,1, 0, 4 , 0,16 , 0,25

Luego, solicíteles que las ubiquen en la recta numérica y analicen en busca de alguna regularidad. Puede inducirles a que constaten que, en el caso de las raíces de números menores que 1, el valor de la raíz es mayor que el de la cantidad subradical.

Además, es necesario que les recuerde cómo comparar números racionales para luego poder ordenarlos y representarlos en la recta numérica. Luego, a través de preguntas y respuestas, se les puede consultar respecto de los números naturales que son cuadrados perfectos y cubos perfectos, con la finalidad de recordar el concepto de raíz cuadrada y raíz cúbica.

Orientaciones didácticas En esta lección se analizan las operaciones entre números racionales e irracionales y la naturaleza de los resultados obtenidos. Para que los estudiantes comprendan esto es importante ejemplificar cada uno de los casos con elementos sencillos que permitan ilustrar fácilmente lo que sucede. Es fundamental enfatizar que, a diferencia de lo que ocurre entre los naturales y los enteros, y los enteros y los racionales, entre los números racionales e irracionales no hay elementos en común, sino que son conjuntos disjuntos. Además, el conjunto de los números irracionales es distinto de los conjuntos antes estudiados porque no posee estructura de grupo, es decir, no de definen en él las operaciones usuales de adición y multiplicación pues no contienen ni al 0 ni al 1 (neutros para ambas operaciones). Unidad 1 • Números

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Errores frecuentes Es posible que los estudiantes generalicen erróneamente algunas propiedades o no consideren los casos particulares al hacer generalizaciones. Por ejemplo, si se les pide que juzguen veracidad de la afirmación: “si a es un número racional y b es irracional, entonces ab es irracional”, es probable que digan que es cierta sin considerar el caso a = 0. Insista a los estudiantes en la necesidad de analizar los casos posibles y verificarlos, antes de emitir juicios sobre afirmaciones como esta.

Actividades complementarias Para determinar la antigüedad de una roca, la ciencia actualmente ha podido desarrollar una técnica basada en la concentración de material radiactivo en su interior. Cuanto menos antigua es la roca, mayor concentración de material radiactivo se encontrará. La fórmula que se utiliza es: C(t) = k ∙ 3 –t, donde C representa la concentración del material radiactivo, t el tiempo transcurrido medido en cientos de años y k la concentración del elemento en el momento de formarse la roca. Si k = 4500:

a) ¿Cuánto tiempo debe haber pasado para que hallemos una concentración de 1500?

Resolución de problemas Página 26

Las estrategias de resolución de problemas permiten trabajar con los estudiantes diversos tipos de pensamiento y fomentar en ellos su capacidad de análisis, creatividad, rigurosidad y flexibilidad para adaptarse a nuevos métodos y validar formas distintas de realizar las tareas. Es muy importante que estimule a los estudiantes a participar activamente en la resolución de problemas. Para esto, puede solicitarles que intenten resolver el problema planteado sin mirar la resolución propuesta, para luego discutir en grupos, analizar la forma planteada en el libro y realizar aportes finales que puedan optimizarla o perfeccionarla. Para el problema propuesto en esta sección, pida a los estudiantes que resuelvan el problema asignando valores numéricos para a y b según corresponda, y de esta forma podrán verificar de forma más sencilla, cuáles de las expresiones serán siempre números irracionales. A continuación, para promover el análisis matemático, pídales que analicen cada una de las expresiones sin asignarles valores para a y b, y que lleguen a las mismas conclusiones obtenidas numéricamente.

R: 100 años

b) ¿Qué concentración tendríamos al cabo de dos siglos? R: 500 concentración

c) ¿En qué tiempo se acabaría este material? R: El material no se acabará nunca, pues en este caso la concentración debiera ser cero y la función no está definida para 0. Luego, solicite a sus estudiantes que escriban una explicación, si así lo amerita, sobre los errores que han cometido.

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Para no cometer errores Página 27

El análisis de errores permite, de manera efectiva y concreta, detectarlos y corregirlos. Es importante que el docente estimule a los estudiantes a analizar sus procedimientos constantemente y desarrollar la capacidad de análisis y autocrítica respecto de los errores cometidos. Es importante hacer notar a los alumnos que hacer una aproximación a un número ya aproximado generará un error adicional, por eso siempre es importante aproximar el número original. Aproveche de mencionar que cuando se realiza una secuencia de operaciones siempre se debe trabajar con los valores exactos, sin aproximar los resultados obtenidos en medio del proceso; si es necesario, se aproxima el resultado final, y de esta forma el error de aproximación será menor.

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1

2

3

4

Integrando lo aprendido Págs. 28 y 29

Indicador

Preguntas asociadas

Remedial

Identificar números irracionales y sus propiedades, y operar con ellos en problemas geométricos.

1, 2 y 3

Los estudiantes pueden presentar dificultades al aplicar conceptos geométricos y calcular en forma incorrecta los perímetros y áreas, lo que puede llevar a errores en sus respuestas que no permitan detectar si operan correctamente con los números dados. De ser necesario, repase las fórmulas involucradas con los estudiantes y que luego analicen los errores que hayan cometido.

Aproximar números irracionales.

4, 5 y 6

Los errores más frecuentes se deben a una confusión entre los conceptos de redondeo y truncamiento o una incorrecta identificación de la cifra a la que se desea aproximar. Refuerce la asociación entre los conceptos de "truncar" y "cortar"·, utilizando otros contextos en que se utilizan estas palabras. Para identificar las cifras, supervise que los estudiantes con más dificultades empleen siempre procedimientos escritos, ordenados y metódicos.

Ordenar y ubicar números irracionales.

Identificar y caracterizar el conjunto de los números reales.

7, 8, 9, 10 y 11 Los errores más frecuentes provienen de la operatoria de raíces, por lo que es importante que permita a los estudiantes rehacer los ejercicios en los que hayan cometido errores las veces que sea necesario, a fin de que la práctica permita ir evitándolos paulatinamente. 12, 13 y 14

Para completar el esquema de los conjuntos numéricos es posible que los estudiantes no recuerden los nombres o las letras asociadas a cada conjunto. Para evitarlo puede hacer un breve resumen para aclarar dudas previas. Es posible que los estudiantes presenten dificultades para determinar si las expresiones dadas son números racionales e irracionales pues no tienen el manejo necesario con operatoria con raíces. Para no perder el sentido del ítem, que es identificar qué tipo de número es, permítales usar calculadora en los casos que sea necesario. Recuérdeles además los conceptos de producto y cociente para que puedan realizar correctamente el ítem.

Unidad 1 • Números

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23

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Sección 2 Raíces De esto se trata En esta sección se generaliza el concepto de raíz cuadrada para introducir el de raíz enésima, ampliando la pregunta relacionada con la raíz cuadrada (“¿qué número elevado a 2 da como resultado…?”) al caso general (“¿qué número elevando a n da como resultado…?”) Una de las aplicaciones comunes de las raíces enésimas se relaciona con situaciones modeladas por la función exponencial, presentes en diversos ámbitos y de manera especial en las comunicaciones. Se presenta a los estudiantes la posibilidad de reflexionar respecto del crecimiento de estas funciones de maneras insospechadas, incluso con bases pequeñas, lo que hace fundamental tener un gran cuidado en el uso, por ejemplo, de las redes sociales.

¿Qué debes saber? Calcular potencias de base racional y exponente entero

Raíz enésima Págs. 32 a 35

Propósito Definir raíces y calcularlas aplicando su definición.

Palabras clave Raíz, potencia, exponente, base, subradical, racional

Prerrequisitos §§ Operaciones con números racionales. §§ Concepto de potencia en la notación de expresiones numéricas. §§ Cálculo de potencias de base racional y exponente entero. §§ Aplicación de propiedades de la operatoria de potencias

Activación de ideas previas Para comenzar, presente situaciones aritméticas en las que sea posible apreciar operaciones inversas entre sí como la resolución de ecuaciones, donde para despejar la incógnita se utiliza la operación inversa a la que se está aplicando en ella

Para este indicador, recuerde a los estudiantes cada una de las propiedades de las potencias y trabaje diversos ejemplos relacionados. Si han olvidado las propiedades, una manera efectiva de recordarlas es deducirlas nuevamente o justificarlas, lo que les permite comprender el porqué de ellas.

(si está siendo multiplicada por 5, por ejemplo, se multiplica 1 por ; lo que es equivalente a dividir por 5). Es importante 5 activar en los estudiantes este pensamiento relacional que permite responder preguntas en distintos sentidos.

Para reforzar el aprendizaje y la capacidad de análisis, muestre algunos ejercicios resueltos donde las propiedades estén aplicadas incorrectamente, y pida a los estudiantes que identifiquen el error y corrijan.

Orientaciones didácticas

Resolver operaciones que involucran potencias Para este indicador, se sugiere recordar a los estudiantes las prioridades de las operaciones, ahora incluyendo el lugar que ocupan las potencias en ellas. Muestre ejemplos que presenten algún error en el procedimiento, y pida a los estudiantes que lo identifiquen y corrijan. Puede además presentar secuencias de operaciones y solicitarles que ubiquen paréntesis entre ellas, para que la expresión tenga un valor determinado.

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5

El estudio de esta lección comienza presentando los problemas insolubles de la geometría clásica, entre ellos la duplicación del cubo que involucra la construcción de la raíz cúbica de 2. Para los estudiantes puede resultar curioso que, siendo posible construir 2 , no sea posible hacer lo mismo con 3 2. Puede pedir a los estudiantes que intenten hacerlo para experimentar. Para el estudio de las raíces enésimas es importante siempre ver la equivalencia con potencias hasta que estén absolutamente familiarizados con esto. Si es preciso, se recomienda insistir en que escriban siempre la potencia equivalente a una raíz dada, hasta que realicen el proceso con soltura.

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1 Para el análisis de los signos de la cantidad subradical insista sistemáticamente en la relación con potencias, solicitando a los estudiantes que cada vez que analicen, escriban la potencia equivalente a la raíz y a partir de ello se pregunten por la existencia del valor y su signo. Se recomienda realizar variados ejercicios de este tipo para consolidar este importante contenido, hasta que se consolide. Esta lección es fundamental para los siguientes temas que serán trabajados; dedique el tiempo que sea necesario para verificar la correcta comprensión de los estudiantes.

Errores frecuentes Gran parte de los errores asociados a este contenido tienen relación con el deseo de los estudiantes de resolver los ejercicios rápidamente, y muchas veces en forma mental. Por lo mismo, la corrección de dichos errores pasa por el trabajo sistemático y escrito que se mencionó anteriormente. Además, los estudiantes podrían presentar problemas en aquellos ejercicios combinados que implican varias operaciones y cálculo de raíces. Muestre a los estudiantes la forma de resolver este tipo de ejercicios y enfatice en la importancia del orden en la resolución. Existe una posibilidad de confusión al utilizar la expresión “multiplicar por sí mismo”: si decimos que x3 corresponde a “x multiplicado por sí mismo 3 veces”, entonces x2 corresponde a “x multiplicado por sí mismo 2 veces”, y x1 necesariamente corresponde a “x multiplicado por sí mismo una vez”, es decir x • x. Por lo mismo, se recomienda aclarar este punto y utilizar de preferencia la expresión “elevado a” en lugar de “multiplicado por sí mismo”, tal como se hace en esta lección.

6

2

3

4

Raices y operaciones Págs. 36 a 39

Propósito Realizar operaciones con raíces.

Palabras clave Raíz enésima, índice, subradical, operatoria, términos semejantes, propiedades

Prerrequisitos §§ Operaciones con expresiones algebraicas. §§ Aplicación de propiedades de las potencias. §§ Cálculo de raíces enésimas por definición.

Activación de ideas previas Las ideas previas más directas para este contenido tienen relación con las propiedades de potencias, por lo que no está de más recordarlas aquí pese a haberlo hecho en la lección anterior. Es importante también retomar la idea vista en la sección anterior respecto de que los números irracionales —particularmente las raíces— solo pueden ser expresadas en forma exacta como raíces, por ejemplo 2 . Esto es fundamental para comprender que luego, al realizar operaciones, las raíces de igual índice y cantidad subradical pueden considerarse como términos semejantes, y con ello se pueden sumar y restar.

Orientaciones didácticas En esta lección, algunas de las propiedades de las operaciones con raíces se demuestran y otras sencillamente se enuncian; es recomendable de todas formas que estimule a los estudiantes a demostrarlas o verificarlas, buscando comprender en cada caso lo que están haciendo. Si bien el objetivo principal es que sean capaces de realizar cálculos con soltura, la comprensión por parte de los estudiantes de lo que está realizando suele ser una gran ayuda para recordar las propiedades, además de entregar herramientas de análisis en otro tipo de ejercicios. El uso de raíces en la operatoria puede resultar complejo y algunos estudiantes presentan una tendencia a expresarlas con decimales, para poder considerarlas como “números”. Puede sugerirles como estrategia que, en estos casos, Unidad 1 • Números

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reemplacen las raíces por letras y realicen la reducción de términos semejantes como ya han hecho en cursos anteriores. Por ejemplo, para el caso: 3

7

Potencias de exponente racional Págs. 40 a 43

5 – 2 2 + 7 3 5 + 33 3 + 5 2

Se puede asignar las constantes a = 3 5 , b = 2 , c = 3 3 . De esta manera, se tiene que: 3

5 – 2 2 + 7 3 5 + 33 3 + 5 2 = a – 2b + 7a + 3c + 5b = 8a + 3b + 3c

Remplazando a, b y c por sus valores originales, se obtiene la expresión reducida.

Actividades complementarias Para fomentar y desarrollar el uso del lenguaje natural y el lenguaje matemático, puede solicitar a los estudiantes que expresen en lenguaje matemático los siguientes enunciados:

•

la raíz enésima de un producto es igual a las raíces enésimas de cada uno de los factores. ( n ab = n a n b )

•

la raíz enésima de un cociente es igual al cociente entre la raíz enésima del dividendo y la raíz enésima a del divisor. ( n = n a : n b ) b

Puede, asimismo, plantear la pregunta inversa, enunciando la propiedad descrita en lenguaje algebraico, por ejemplo: n

anb = a n b

En este caso, preste especial atención a la forma en que los estudiantes se refieren a cada término involucrado, si utilizan las palabras precisas tanto para las operaciones como para las relaciones entre los términos.

Propósito Interpretar las raíces como potencias de exponente racional y deducir propiedades de ellas.

Palabras clave Raíz enésima, índice, subradical, operatoria, exponente, racional, propiedades

Prerrequisitos §§ Aplicación de propiedades de potencias. §§ Cálculo de raíces enésimas por definición. §§ Aplicación de propiedades de la operatoria con raíces.

Activación de ideas previas Como se plantea en la lección, es conveniente introducir la interpretación de las potencias de exponente racional relacionándolas con otras situaciones que los estudiantes hayan visto en las que es necesario ampliar definiciones “naturales”, es decir, fácilmente interpretables desde lo intuitivo.

Orientaciones didácticas Este contenido brinda una interesante posibilidad de estructurar una forma de trabajo en matemática que es característica de la disciplina: extender una definición, verificar su coherencia y extender posteriormente las propiedades que habían sido deducidas. Esto se puede observar especialmente en el Paso 1 de la página 40, donde se utiliza la división de potencias de igual base —sin aplicar la propiedad, sino la definición de potencia— para interpretar el exponente negativo. En el estudio de las raíces enésimas, la extensión de las potencias de exponente entero a exponente racional se realiza justificando su coherencia, y su uso permite deducir propiedades de la operatoria de raíces que, de otra manera, resultarían más difíciles y menos directas. Por lo anterior, incentive a los estudiantes a que sean sistemáticos en la verificación de las propiedades que se enuncian en la página 41, mediante los siguientes pasos:

• • • 26

Escribir las raíces como potencias. Escribir las raíces como potencias de base racional. Aplicar propiedades de potencias.

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1 Para que los estudiantes comprendan bien los contenidos de esta lección es imprescindible presentarles ejemplos variados que permitan integrar y fijar lo aprendido, por medio de la observación y la ejercitación.

4

los polinomios se ordenan según su grado, en general en forma descendente respecto a una letra: ab + a3b2 – 2 – a2b7 → a3b2 – a2b7 + ab – 2

3

5 + 3 7 ≠ 3 5+7

3

5–7 ≠ 3 5 – 3 7

Orientaciones didácticas

Es importante explicitar claramente qué operaciones tienen propiedades específicas que permiten una reducción de los términos involucrados y cuáles operaciones no las tienen. En particular, es necesario mencionar que no existen fórmulas para la suma o resta de raíces ni de cantidades subradicales:

Es conveniente además presentar intencionadamente ejemplos de este tipo y, cuando se produzcan errores, repetir que no todas las operaciones tienen fórmulas asociadas, registrando esta insistencia en forma verbal y simbólica (algebraica).

Racionalización Págs. 44 a 47

Propósito Racionalizar expresiones fraccionarias.

Palabras clave Raíz enésima, índice, subradical, operatoria, amplificar, exponente, racionalizar, expresiones

Prerrequisitos §§ Aplicación de productos notables: en el cálculo de expresiones algebraicas. §§ Aplicación de propiedades de las potencias. §§ Cálculo de raíces enésimas por definición. §§ Aplicación de propiedades de la operatoria de raíces enésimas.

Activación de ideas previas Conviene recordar con los estudiantes situaciones en las que se privilegian ciertas formas de presentar resultados en matemáticas frente a otras que, aun siendo correctas, no son las preferidas. Para esto se pueden explicitar los criterios utilizados, por ejemplo:

•

3

En el caso de la simplificación de fracciones puede ser más directo para los estudiantes comprender por qué (es más sencillo trabajar con números más pequeños); respecto del orden de los polinomios este tiene como objetivo identificar más fácilmente las regularidades que pueda haber además de definir de manera más estandarizada algunas fórmulas (al ordenarlos de acuerdo a alguna convención, es posible hablar de “el segundo término”, por ejemplo).

Errores frecuentes

8

•

2

las fracciones se presentan simplificadas, hasta su forma irreductible: 6 → 3 . 8 4

El proceso de racionalización es, en general, complejo y requiere de un cuidadoso análisis en cada caso para no cometer errores. Es normal que a los estudiantes les resulte complicado racionalizar raíces con índices más altos, para lo cual puede sugerirles que las expresen primero como potencias de exponente fraccionario. De esta forma les será más fácil ver la potencia por la cual conviene amplificar, pues deben conseguir que ambas fracciones sumen 1. En el ejercicio presentado en la página 44, el cuadro de ayuda explica este punto: al resolver racionalizaciones de este tipo sugiera a los estudiantes volver a él y aplicar lo que se plantea. Si lo considera necesario y pertinente para el nivel del curso, puede discutir con los estudiantes respecto del sentido de racionalizar una expresión, es decir, por qué es necesario hacerlo. Si bien no existe una respuesta única al respecto, puede mostrar que si se considera una fracción como una división, el algoritmo de la división que conocemos solo considera el caso en que el divisor sea un número entero (cuando realizamos una división por un número decimal, amplificamos por potencias de 10 para que no lo sea o bien se expresa como fracción, si es un decimal periódico). Así, la racionalización permite encontrar una división equivalente a la dada, que tenga un número entero en el denominador.

Errores frecuentes Es común que los estudiantes se queden con el primer procedimiento de racionalización y posteriormente empleen siempre raíces cuadradas, sin importar el índice de la raíz presente en el denominador. Para evitar esto, es preciso que se enfrenten a ejercicios variados y alternando su tipo, de manera que en cada caso deban analizar la situación y aplicar la estrategia más adecuada. En la resolución de estos ejercicios es fundamental que supervise el trabajo de los estudiantes hasta que adquieran la soltura necesaria.

Unidad 1 • Números

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Cuando deben racionalizar expresiones con binomios en el denominador los estudiantes suelen amplificar por la misma expresión que está en el denominador y no por la “conjugada”, o bien amplifican por la expresión que corresponde al numerador. Una constante ejercitación y revisión de errores permitirá paulatinamente ir corrigiéndolos.

Actividades complementarias Puede plantear a los estudiantes, a modo de desafío, casos de racionalización como los siguientes: a • b + c + d a • b + c + d En cada caso, se puede discutir si es posible llegar a una fórmula general, y juzgar si el enunciado de esta es lo suficientemente sencillo como para que valga la pena aprenderla.

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Raíces enésimas, problemas y ecuaciones Págs. 48 a 51

Propósito Resolver problemas que involucran raíces.

Palabras clave Ecuaciones, radicales, problemas, resolución, raíces, soluciones, verificar

Prerrequisitos §§ Aplicación de productos notables: en el cálculo de expresiones algebraicas. §§ Aplicación de propiedades de las potencias. §§ Aplicación de propiedades de la operatoria de raíces enésimas. §§ Planteo y resolución de ecuaciones, y verificación de sus soluciones.

Activación de ideas previas Los estudiantes, hasta el momento, no se han enfrentado a ecuaciones en las que se deban verificar condiciones que validen la solución encontrada, pero sí han podido analizar la pertinencia de ellas en la resolución de problemas. Se sugiere retomar esta idea para introducir el estudio de las ecuaciones radicales, especialmente por la necesidad que se presentará de comprobar las soluciones. La resolución de ecuaciones radicales se basa, esencialmente, en “sacar” la incógnita de las cantidades subradicales elevando a una potencia adecuada. Es pertinente, por lo mismo, recordar a los estudiantes que de manera general la resolución de ecuaciones se basa en la aplicación de operaciones inversas, y en este caso incluiremos a las ya utilizadas anteriormente, la elevación a exponentes determinados.

Orientaciones didácticas Las ecuaciones radicales suelen presentar dificultades para los estudiantes por la operatoria que está involucrada en ellas y el análisis de la existencia de una solución. Por esto es fundamental que recalque la importancia de verificar las soluciones en la ecuación planteada o según el contexto del problema dado. Recuerde a los estudiantes que para verificar la solución de una ecuación deben reemplazar el valor obtenido en la misma: en este tipo de ecuaciones no basta con que estén seguros de haber realizado bien cada paso de la resolución. Es fundamental abordar en conjunto los casos 1 y 3 para que los estudiantes puedan constatar este hecho. En el caso 1 la solución encontrada no es válida por las restricciones de la raíz y en el caso 3 por restricciones de una fracción. Puede retomar este ejemplo en la unidad 3, cuando se analicen restricciones de fracciones algebraicas. Para facilitar la resolución de las ecuaciones, plantee a los estudiantes situaciones en las que sea conveniente realizar algún manejo algebraico de los términos para que la operatoria sea más sencilla, como se hace en el caso 2 de la lección. Por ejemplo, en la ecuación x + 1– x + 2 + x – 5 = x – 7

si se eleva al cuadrado directamente, en uno de los miembros de la ecuación tendremos un trinomio al cuadrado; en cambio, si se utiliza la ecuación equivalente x + 1− x + 2 = x – 7 – x – 5

al elevar al cuadrado se obtienen dos cuadrados de binomio, cuyo desarrollo ya es conocido.

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Matemática 2.º Medio - Guía didáctica del docente

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1 Errores frecuentes Los alumnos suelen olvidar verificar la solución encontrada en una ecuación radical o simplemente evitarla. En ocasiones, también, no realizan la verificación en la ecuación original sino en algún paso intermedio de la resolución, lo que puede haber eliminado restricciones (como se observará en la página Para no cometer errores). Supervise, hasta que los estudiantes la hayan incorporado plenamente, la realización de todos los pasos de resolución de las ecuaciones radicales.

Actividades complementarias Si el volumen (V) de una esfera es 864 cm3 y π = 3, ¿cuál es la medida del radio (r) de la esfera? Recuerda que el volumen (V) de una esfera de radio (r) se puede calcular utilizando V = 4 πr 3 . 3

2

3

4

Para simplificar esta expresión se procede desde adentro hacia afuera, introduciendo términos a una raíz o simplificando exponentes o índices, según corresponda, y luego se continúa con las raíces y términos más exteriores hasta dejar todo expresado en una sola raíz. Para promover el trabajo matemático proponga a sus alumnos resolver el mismo problema pero de manera inversa, de afuera hacia adentro. ¿Qué método de resolución les resulta más fácil? En el texto se propone verificar con una calculadora lo obtenido asignando diversos valores a x en la expresión resultante. Pida a los estudiantes que realicen esta actividad con una calculadora científica, pues muchas calculadoras básicas no disponen de las funciones necesarias para trabajar con una expresión como la planteada en el problema.

Respuesta: Plantea, a partir de la fórmula entregada, la ecuación que permite calcular el radio (r) de la esfera conociendo el volumen (V) de esta. Es decir:

864 cm3 =

4 • 3 • r3 3

Luego, despeja correctamente la incógnita r, con lo que calcula el radio pedido: r = 6 cm.

Resolución de problemas Página 52

Las estrategias de resolución de problemas permiten trabajar con los estudiantes diversos tipos de pensamiento y fomentar en ellos su capacidad de análisis, creatividad, rigurosidad y flexibilidad para adaptarse a nuevos métodos y validar formas distintas de realizar las tareas. Es muy importante que estimule a los estudiantes a participar activamente en la resolución de problemas. Para esto, puede solicitarles que intenten resolver el problema planteado sin mirar la resolución propuesta, para luego discutir en grupos, analizar la forma planteada en el libro y realizar aportes finales que puedan optimizarla o perfeccionarla.

Para no cometer errores Página 53

El análisis de errores permite, de manera efectiva y concreta, detectarlos y corregirlos. Es importante que estimule a los estudiantes a analizar sus procedimientos constantemente y desarrollar la capacidad de análisis y autocrítica respecto de los errores cometidos. En la primera situación se pide encontrar el valor de una expresión radical cuando a = 3. El error presentado es muy frecuente, pues los alumnos suelen aplicar propiedades o evaluar sin verificar si es posible hacerlo. En este caso al reemplazar se obtienen raíces cuadradas y cuartas de números negativos, lo cual no está definido en los números reales. Algo similar se presenta en la segunda situación, donde se resuelve una ecuación radical siguiendo los procesos matemáticos correspondientes y se obtiene una respuesta numérica. Sin embargo, no se consideró que en una parte del desarrollo de esta resolución se presenta una raíz cuadrada igualada a un número negativo, lo que por definición indica, que no existe solución, ya que esta se define como un valor positivo o nulo.

Para el problema propuesto en esta sección, se pide encontrar una expresión equivalente a la dada pero más simple, es decir, con una sola raíz.

Unidad 1 • Números

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Integrando lo aprendido Págs. 54 y 55 Indicador

Preguntas asociadas

Remedial

Definir raíces y calcularlas aplicando su definición.

1, 2 y 3

Es posible que los estudiantes presenten dificultades para determinar las restricciones de a, para que la raíz dada sea un número real. Para evitar este inconveniente recuerde a los estudiantes que las cantidades subradicales deben ser mayores o iguales a cero, mediante ejemplos. Con esto en cada caso forman una sencilla inecuación y encuentran los valores buscados.

4, 5, 6 y 7

Algunos estudiantes pueden presentar problemas para operar con raíces, ya que no manejan bien las propiedades involucradas. Para evitar este tipo de posibles inconvenientes, revise detalladamente los procesos que realizan para resolver los ejercicios, cómo aplican las propiedades, cómo reducen, etc. Si es preciso, pídales resolver ejercicios personalmente frente a usted. De este modo podrán corregir a tiempo y estarán preparados para aprender otras propiedades más complejas.

8, 9, 10 y 11

Se pueden presentar dificultades relacionadas exclusivamente con la aplicación de propiedades de las raíces vistas en la sección. Para ayudar a los estudiantes con estos inconvenientes puede realizar un repaso y cuadro resumen junto a todo el curso, empleando ejemplos sencillos que ilustren cada propiedad.

Realizar operaciones con raíces.

Interpretar las raíces como potencias de exponente racional y deducir propiedades de ellas.

Racionalizar expresiones fraccionarias.

12 y 13

Como se mencionó en la lección correspondiente, algunos alumnos pueden presentar problemas al determinar el índice y exponente apropiados de la raíz y la cantidad subradical por la que se debe amplificar, o bien cuando deben racionalizar expresiones con binomios en el denominador amplifican por la misma expresión que está en él y no por la “conjugada”. A los estudiantes que cometan estos errores, solicíteles repetir los ejercicios de la lección, utilizando los ejemplos dados en ella como guía. Luego, pídales que identifiquen los errores cometidos y los expliquen con sus palabras.

Resolver problemas que involucran raíces.

14 y 15

Nuevamente, los errores cometidos por los estudiantes pueden deberse a falta de sistematicidad en los procedimientos aprendidos, tanto en la resolución como en la verificación de sus soluciones. Pídales repasar el contenido, detectar sus errores y corregirlos. Conviene además que supervise un correcto manejo de la calculadora en la última pregunta, ya que puede haber estudiantes que realicen bien los procedimientos pero fallen en este paso.

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Sección 3 Logaritmos De esto se trata El desarrollo de las ciencias, desde la Antigüedad hasta nuestros días, ha requerido de herramientas que permitan simplificar tanto la manipulación de los objetos de estudio (los números y operaciones, en el caso de la matemática) como la forma de presentar los resultados. En la medida en que se puede trabajar con expresiones más manipulables, números más pequeños y relaciones más intuitivas, es posible que este desarrollo se produzca de manera más efectiva. Uno de los ejemplos más notables de esto en la historia es la creación de los logaritmos, que permitieron abordar la multiplicación de números muy grandes como una suma de números pequeños, además de utilizar escalas logarítmicas para representar cantidades difícilmente manejables. Es interesante transmitir a los estudiantes las necesidades de los científicos en el contexto de cada época, para que puedan valorar los aportes realizados con las herramientas que tenían a disposición.

¿Qué debes saber? Relacionar raíces y potencias Previo al inicio de esta unidad es primordial que los estudiantes manejen con soltura las raíces y potencias, estableciendo las relaciones entre el valor de la potencia (o de la raíz), la base (o cantidad subradical) y el exponente (o índice). Por motivos de organización, los ejercicios se presentan por separado pero conviene también que, a partir de una misma expresión, puedan representar la relación de distintas maneras. Por ejemplo: 27 = 128

• • •

128 es la séptima potencia de 2.

•

128 elevado a un séptimo es igual a 2.

2 es la raíz séptima de 128. 7 es el exponente al que se debe elevar 2 para obtener 128.

2

3

4

Calcular raíces y potencias aplicando propiedades Para complementar este indicador, presente a los estudiantes diversos ejercicios resueltos donde se aplican las propiedades de las potencias y raíces, y pida que revisen si están correctamente aplicadas y corrijan cuando sea necesario.

10

Logaritmos Págs. 58 a 61

Propósito Identificar logaritmos y relacionarlos con raíces y potencias.

Palabras clave Potencia, raíz, base, exponente, logaritmo, argumento, propiedades

Prerrequisitos §§ Relación entre potencias y raíces. §§ Cálculo de potencias y aplicación de propiedades. §§ Cálculo de raíces y aplicación de propiedades.

Activación de ideas previas Pregunte a los estudiantes si conocen las siguientes palabras y su significado:

• • •

algoritmo. guarismo. logos.

Consulte además si han visto la tecla “log” en la calculadora. Puede pedirles que realicen algunos cálculos al azar, lo que les permitirá ver que en ocasiones se advierte un error.

Orientaciones didácticas Como una forma de motivar a los estudiantes, comience el estudio de esta lección conversando con ellos sobre la importancia que han tenido históricamente los logaritmos en distintas áreas. Puede consultar para esto en http://catedu. es/matematicas_mundo/HISTORIA/historia_logaritmos.htm Puede además mencionar el uso de las tablas de logaritmos para contextualizar y realzar la importancia histórica de ellos, y que pueden haber oído mencionar de sus padres o abuelos.

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Esta lección es la base para las siguientes, pues aquí se presenta el concepto de logaritmo. Por esto es importante que comprendan y expresen correctamente un logaritmo como una ecuación exponencial, y viceversa. Para ello, presente a los estudiantes diversas situaciones en las que deban calcular la base, el argumento y el valor de un logaritmo, hasta que adquieran soltura en la aplicación de su definición. En un comienzo, asociar un logaritmo con una ecuación exponencial permitirá a los estudiantes calcular más directamente los valores pedidos. Por esto es importante que, para comenzar, les exija que realicen el procedimiento correspondiente para integrar adecuadamente el concepto. En las siguientes lecciones, cuando adquieran más práctica, este proceso puede ser omitido. Es fundamental que cuando los estudiantes trabajen con expresiones más complejas sean ordenados y rigurosos en sus desarrollos, para evitar así los errores. Supervise cuidadosamente este aspecto. Es imprescindible enfatizar que los logaritmos están definidos solo para valores positivos del argumento y de la base. Mientras antes comprendan los estudiantes la necesidad de establecer restricciones y definir correctamente, menor posibilidad tendrán de cometer errores a futuro relacionados con esto.

Errores frecuentes En operaciones combinadas con logaritmos, es posible que los estudiantes no sepan cómo abordar las expresiones planteadas. Pídales que calculen los logaritmos por separado y que luego los reemplacen en los ejercicios dados. De esta forma podrán ver con mayor facilidad las operaciones que deben realizar, según las prioridades de las operaciones que ellos ya conocen.

Actividades complementarias Pida a los estudiantes que investiguen sobre el logaritmo natural (logaritmo en base e) y sus aplicaciones. Entregue a los estudiantes un listado de ejercicios resueltos y solicite que identifiquen las propiedades utilizadas. Pregunte si es posible resolverlos utilizando otras propiedades, ínstelos a que los resuelvan aplicando otra estrategia (propiedad) si es posible.

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Propiedades de los logaritmos Págs. 62 a 65

Propósito Deducir y aplicar propiedades de logaritmos.

Palabras clave Logaritmo, propiedades, potencias, ecuaciones exponenciales

Prerrequisitos §§ Propiedades de las potencias. §§ Relación entre potencias y logaritmos. §§ Resolución de ecuaciones exponenciales. §§ Cálculo de logaritmos.

Activación de ideas previas Para activar las ideas previas de los estudiantes, puede retomar la idea vista en la sección anterior: luego de definir las raíces enésimas e interpretarlas como potencias, se deducen las propiedades. Se puede recordar la relación entre potencias y raíces y mostrar nuevamente algunas propiedades de raíces, a partir de las de las potencias. Algo similar se hará en esta lección con los logaritmos.

Orientaciones didácticas Para que los estudiantes comprendan mejor las propiedades de los logaritmos, es conveniente que muestre cada una de estas propiedades con ejemplos numéricos sencillos y luego formalice cada una de ellas matemáticamente. Esto les permitirá trabajar desde lo particular a lo general, y ayudará a desarrollar su intuición. Por ejemplo, para el logaritmo de una potencia puede mostrar que log 2 = x → 10 x = 2 103x = 23 log 23 = 3x log 23 = 3log 2

Es importante recalcar que, aplicando un par de propiedades y conociendo el valor de los logaritmos de los números primos, es posible obtener los logaritmos de todos los números racionales pues se realizan descomposiciones en factores primos. Esta es la gran “maravilla” de los logaritmos que se

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1 menciona en el texto, ya que es lo que permitió elaborar las tablas y con ellas simplificar los cálculos. En el mismo sentido, se puede plantear la propiedad de cambio de base. Hoy parecen inútiles estos cálculos y los procedimientos asociados, pero permiten estimular habilidades de pensamiento en los estudiantes.

2

12

Aplicaciones de logaritmos Págs. 66 a 69

Errores frecuentes

Tal como se planteó en la sección de raíces, puede ocurrir que los estudiantes asuman y apliquen propiedades inexistentes, por ejemplo, logaritmos de adiciones y sustracciones. Para evitarlo, pida permanentemente a los estudiantes que enuncien las propiedades, y que al resolver ejercicios declaren siempre la propiedad que están utilizando. Pueden además presentar problemas para descomponer logaritmos, especialmente con expresiones más complejas que contienen multiplicaciones y divisiones, por lo cual suelen tener errores de signos. Como ha sido la tónica en toda la unidad, exija a los estudiantes orden y sistematicidad en sus desarrollos, sin permitir que salten pasos o los abrevien hasta que esté completamente seguro que dominan el contenido. Cuando se pide escribir como un solo logaritmo una expresión que incluye adiciones y sustracciones, los estudiantes podrían tener dificultades para determinar cuáles términos se están multiplicando y cuales se están dividiendo. Para evitar este inconveniente se recomienda agrupar todos los términos positivos y por otro lado todos los términos negativos.

Actividades complementarias

4

ellos. En caso de no encontrarlos, puede analizar con ellos por qué no hay, o si no hay más que algunos casos triviales (por ejemplo, en el primer caso, a = b = 1. Verifique además si los valores determinados cumplen las restricciones de los logaritmos.

Puede encontrar ejemplos de aplicaciones, históricas y actuales, en http://sapimates.blogspot.com/2008/04/logaritmos.html

Es posible que los alumnos tengan dificultades para operar con el logaritmo de una raíz. Sugiérales expresar la raíz en potencia y de este modo aplicar la propiedad del logaritmo de una potencia.

3

Propósito Resolver problemas aplicando logaritmos.

Palabras clave Logaritmo, propiedades, potencias, ecuaciones logarítmicas, aplicaciones, problemas

Prerrequisitos §§ Cálculo de logaritmos. §§ Aplicación de propiedades de logaritmos.

Activación de ideas previas Puede retomar lo visto al inicio de la sección —y de la unidad— para motivar a los estudiantes, ya que se analizarán aplicaciones de los logaritmos. Tal como se presenta en el inicio de la unidad, puede ser muy cercano para los estudiantes el tema de la música y el sonido, por lo que esto sería una buena introducción. Pregunte a los estudiantes, por ejemplo:

• •

¿qué es el sonido?, ¿cómo se mide? ¿cómo se clasifican los sonidos?

Plantee la siguiente pregunta:

Orientaciones didácticas

¿Existen valores de a y b que hagan cumplir las siguientes igualdades?

De la misma manera que al resolver ecuaciones radicales, conviene insistir a los estudiantes en la aplicación de procedimientos inversos y la definición, en este caso, de logaritmo. Asimismo, es importante que las soluciones encontradas siempre sean verificadas en la ecuación original. No basta con que se cumpla la igualdad, se debe revisar el contexto del problema y si consideran las restricciones del logaritmo.

• • • •

log (a • b) = log a • log b log (a + b) = log a + log b log (a : b) = log a : log b log (a – b) = log a – log b

Es importante observar que se pregunta por posibles valores, por lo que es válido que los estudiantes prueben con

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Se recomienda especialmente que, a partir de la situación expuesta en la lección, aborde con los estudiantes el uso de dispositivos de sonido, y el cuidado que debe tenerse con ellos. Si existe la posibilidad, se puede realizar una actividad en conjunto con la clase de física para medir la intensidad en audífonos, parlantes o incluso el ruido ambiental, para tomar conciencia de los riesgos que corren día a día y reflexionar respecto de los cuidados necesarios. Es fundamental recalcar que para aplicar las propiedades se debe asegurar que los logaritmos están bien definidos, y no se estén obviando sus restricciones. En los ejercicios planteados en la lección anterior esto no se establece, ya que solo se trabaja con términos numéricos, pero en la resolución de ecuaciones se debe cuidar que no se supriman eventuales restricciones al aplicar las propiedades.

Resolución de problemas Página 70

En esta parte de la sección, los alumnos tienen la oportunidad de aplicar los contenidos aprendidos. Para eso se presenta un problema resuelto donde se requiere calcular y aplicar las propiedades de los logaritmos. Esta situación permite mostrar a los estudiantes un contenido matemático diferente: el de las progresiones geométricas. Puede profundizar respecto de este contenido planteando también la existencia de progresiones aritméticas. Gracias a los logaritmos, una progresión geométrica se puede trabajar como una aritmética, lo que fue también en su momento uno de los grandes aportes de los logaritmos a la ciencia.

Errores frecuentes Igual que como sucede con las ecuaciones radicales, puede ocurrir que los estudiantes no verifiquen la solución obtenida o no lo hagan en la ecuación original, sino en otra donde ya han aplicado propiedades y eliminado restricciones. Para evitar este tipo de inconvenientes, supervise el trabajo de los estudiantes y solicíteles que, de ser necesario, declaren por escrito cada uno de los pasos que realizan, hasta que lo hagan correctamente. También podría ocurrir que los alumnos se equivoquen en los procedimientos y soluciones debido a que no son ordenados y además omiten pasos. Para evitar estos problemas, revise cuidadosamente la forma de resolver los ejercicios e impida que resuman los procedimientos, pues el nivel de complejidad de estas ecuaciones requiere de procesos claramente escritos.

Actividades complementarias Puede proponer situaciones que se resuelvan por medio del cálculo de logaritmos, como por ejemplo: La fórmula de la magnitud para la escala de Richter es:

E 2 M = log   , donde E es la energía liberada por el 3  E0  terremoto (en joule) y E0 = 104 joule es la energía liberada por un terremoto pequeño de referencia, empleado como un estándar de medición. El terremoto de 1906 en San Francisco liberó aproximadamente 5 • 1016 joule de energía, ¿cuál fue su magnitud en la escala de Richter? R: 2 (0,7 + 12) = 8,5. La magnitud en escala Richter es 8,5. 3

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Para no cometer errores Página 71

El análisis de errores permite, de manera efectiva y concreta, detectarlos y corregirlos. Es importante que el docente estimule a los estudiantes a analizar sus procedimientos constantemente y a desarrollar la capacidad de análisis y autocrítica respecto de los errores cometidos. En la primera situación, se aplican incorrectamente las propiedades de los logaritmos, asumiendo que el logaritmo de una diferencia es equivalente a la diferencia de los logaritmos. Para desarrollar este tipo de expresiones se debe expresar la diferencia de cuadrados como una suma por diferencia y ahí aplicar la propiedad del logaritmo de un producto. Recalque a los estudiantes que no existe propiedad para la adición y sustracción de logaritmos. En la segunda parte se observa una ecuación logarítmica correctamente resuelta en relación a los procedimientos realizados, pero el error está en verificar la solución encontrada en otra ecuación y no en la original, pues esto nos lleva a conclusiones erróneas. Este error es muy frecuente, debido a que los alumnos suelen verificar el resultado en la ecuación que les parece más fácil. Se debe recordar que si las expresiones no están definidas no se les puede aplicar propiedades de los logaritmos. Enfatice que la solución de una ecuación logarítmica se debe verificar en la ecuación original.

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Integrando lo aprendido Págs. 72 y 73 Indicador

Preguntas asociadas

Remedial

Identificar logaritmos y relacionarlos con raíces y potencias.

1, 2 y 3

Las dificultades que se pueden presentar tienen directa relación con una comprensión inadecuada del concepto de logaritmo, o falta de sistematicidad en el desarrollo de los ejercicios. Para corregir estos errores, conviene que los resuelvan nuevamente utilizando una pauta con los pasos necesarios. Para la pregunta 1, por ejemplo, pueden establecer que primero se identifica la base, el argumento y el valor del logaritmo. Luego se expresa en palabras qué es un logaritmo y finalmente se escribe la expresión pedida. Puede realizar algo similar para las preguntas 2 y 3.

Deducir y aplicar propiedades de logaritmos.

4, 5 y 6

Los estudiantes pueden presentar dificultades al reducir o desarrollar las expresiones logarítmicas. Para evitar esto, repase con ellos las propiedades de los logaritmos, y en la resolución de los ejercicios pídales que identifiquen la situación (“hay dos logaritmos que se están sumando”) para luego identificar la propiedad que se debe utilizar. Para manejar expresiones más complejas, como las que se proponen en la pregunta 6, los estudiantes pueden presentar dificultades fruto de las notaciones y la longitud de las expresiones. Si necesitan corregir los ejercicios, sugiérales utilizar paréntesis en cada caso; aunque no parezcan necesarios para la operatoria, sí lo pueden ser para facilitar el orden.

Resolver problemas aplicando logaritmos.

7, 8 y 9

En la pregunta 7, algunos errores se pueden deber a la aplicación incorrecta de propiedades en expresiones que no estén definidas (logaritmos con argumentos negativos). Recuerde a los estudiantes que deben verificar sus respuestas en la ecuación original. En la pregunta 8, nuevamente el uso de la calculadora puede provocar errores. Es conveniente que realice una corrección grupal de estos problemas para que los estudiantes puedan constatar si sus errores obedecen a un planteamiento incorrecto o son de cálculo. La pregunta 9 presenta una dificultad especial pues no se pide la solución, sino que se solicitan los valores de a para los que la ecuación tiene solución o no. Puede ser un problema interesante para revisar en conjunto y verificar los métodos utilizados por los estudiantes.

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Diario mural Págs. 74 y 75

Se presentan aquí herramientas tecnológicas comunes para todos en la actualidad, como los computadores y las calculadoras, los cuales han manifestado importantes cambios a través de la historia. Es importante señalar a los estudiantes que, si bien existen aparatos que simplifican los cálculos, en el fondo todos ellos se basan en operaciones elementales, es decir, aplican estas propiedades. Las personas que programan estos aparatos deben darles instrucciones precisas para que puedan realizar los cálculos, considerando que un computador solo obedece instrucciones simples. El proceso de contar con máquinas que realizan cálculos mecánicamente es un gran testimonio del ingenio humano y la dedicación; es fundamental un profundo análisis para determinar las regularidades en las operaciones, lo que permite que luego las realice un mecanismo sin intervención humana. Es importante tener presente el valor de los descubrimientos que han hecho la humanidad al cálculo y a la ciencia, pues gracias a ellos todo ha evolucionado y contamos con dispositivos cada vez más completos que nos simplifican la vida en muchos ámbitos.

En estas páginas se retoma, además, el tema presentado en el inicio de la unidad, con el objetivo de que puedan analizarlo nuevamente incorporando los conocimientos adquiridos. Si hay estudiantes interesados especialmente en la música, solicite la ayuda de ellos para abordar este tema. Puede pedirles incluso que interpreten las notas musicales en diferentes instrumentos, para que todos puedan apreciar las diferencias entre ellas y cómo se forman.

Reforzar y profundizar Págs. 78 a 81

Para los ejercicios de refuerzo, se recomienda especialmente prestar atención a que los estudiantes puedan explicar los procedimientos empleados en la resolución de los ejercicios y no solo a los resultados obtenidos, con el objetivo de garantizar la comprensión de los conceptos involucrados. Se sugiere por lo mismo al docente revisarlos en conjunto con el curso, permitiendo que los estudiantes resuelvan algunos de ellos en la pizarra con la colaboración de sus compañeros. Mediante esto se pretende que puedan retroalimentarse mutuamente de manera más significativa, al provenir de sus propios pares.

Para sintetizar Págs. 76 y 77

Es de gran importancia, al concluir una unidad, recoger los elementos esenciales de ella y permitir que los estudiantes puedan apreciar los contenidos como conjunto, considerando sobre todo la naturaleza progresiva e integradora de la disciplina. Por lo mismo, se sugiere prestar especial atención a la elaboración de la síntesis de la unidad, permitiendo un trabajo individual, grupal y con todo el curso, dando también la posibilidad de resolver las últimas dudas que puedan quedar, poner en común las dificultades y verificar la adecuada comprensión de los conceptos.

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Evalúo mis aprendizajes Págs. 82 a 85

Sección

Indicador

Preguntas asociadas

Remedial

Identificar números irracionales y sus propiedades, y operar con ellos en problemas geométricos.

1, 2, 3 y 10

Verifique que los estudiantes apliquen correctamente las fórmulas de cálculos geométricos (áreas y perímetros) y el teorema de Pitágoras, para evitar errores. Conviene además repasar la aproximación de números racionales y las construcciones geométricas.

Aproximar números irracionales. 1

2

3

4y5

Ordenar y ubicar números irracionales.

9, 11 y 12

Identificar y caracterizar el conjunto de los números reales.

6, 7 y 8

Definir raíces y calcularlas aplicando su definición.

14 y 15

Realizar operaciones con raíces.

16, 18, 19 y 20

Interpretar las raíces como potencias de exponente racional y deducir propiedades de ellas.

13 y 22

Racionalizar expresiones fraccionarias.

17 y 21

Resolver problemas que involucran raíces.

23

Identificar logaritmos y relacionarlos con raíces y potencias.

24 y 25

Deducir y aplicar propiedades de logaritmos. Resolver problemas aplicando logaritmos.

Para la caracterización de los números reales, permita que los estudiantes primero utilicen sistemas de ayuda-memoria para realizar los ejercicios, hasta que puedan aplicar las propiedades sin necesidad de ello.

Repase con los estudiantes las propiedades de las potencias de exponente entero y justifique nuevamente la interpretación de la potencia de exponente racional. Luego, pida a los estudiantes que resuelvan nuevamente los ejercicios transfiriendo estas propiedades a las raíces. Para la racionalización y la resolución de problemas, es conveniente que realicen nuevamente las actividades de las lecciones correspondientes.

Pida a los estudiantes que presenten dificultades que resuelvan nuevamente los ejercicios indicando en cada caso:

26, 27, 28, 29, 30, 31 y 32 •• Situación presentada (¿qué se quiere obtener?) 33, 34, 35, 36, 37 y 38

•• Propiedades involucradas (suma de logaritmos, logaritmo de un producto, etc). •• Justificación de cada paso.

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Información complementaria Hipaso de Metaponto Hipaso de Metaponto fue un filósofo presocrático, miembro de la escuela pitagórica. Como muchos de su época, no dejó ningún escrito. Nació en torno al año 500 a. C. en Metaponto, ciudad griega de la Magna Grecia situada en el Golfo de Tarento, al sur de lo que actualmente es Italia. Sobre él se han dicho muchas cosas, por ejemplo, se le acredita la construcción de un dodecaedro como aproximación a una esfera y el descubrimiento de la inconmensurabilidad. Se cree también que Hipaso de Metaponto fue también maestro de Heráclito de Efeso, y como este, pensaba que el “arché” o principio de todas las cosas, era el fuego, metáfora del cambio, a diferencia de los pitagóricos, que situaban ese principio de todo en los números. Además de los trabajos sobre matemáticas, que incluyen el descubrimiento de la irracionalidad de 2 , hizo estudios sobre acústica y resonancia. Pocos de sus trabajos originales han llegado hasta nuestros días, aunque se tiene constancia de experimentos suyos con discos de bronce del mismo diámetro, pero de diferente grosor (el grosor del primero era un tercio mayor que el del segundo, una vez y media mayor que el del tercero, y el doble que el del cuarto disco), que al ser golpeados sonaban con cierta armonía. Se cree que fue quien probó la existencia de los números irracionales, en un momento en el que los pitagóricos pensaban que los números racionales podían describir toda la geometría del mundo. Hipaso de Metaponto habría roto la regla de silencio de los pitagóricos revelando en el mundo la existencia de estos nuevos números. Eso habría hecho que estos lo expulsaran de la escuela y erigieran una tumba con su nombre, mostrando así que para ellos, él estaba muerto. Los documentos de la época dan versiones diferentes de su final. Parece ser que murió en un naufragio de circunstancias misteriosas; algunos dicen que se suicidó, inflingiéndose un autocastigo, liberando de este modo a su alma para ir a buscar la purificación en otro cuerpo; otros dicen que un grupo de pitagóricos lo mató, e incluso se dice que Pitágoras en persona lo condenó a muerte. Otras versiones apuntan a que precisamente habría sido la rivalidad entre Hipaso y Pitágoras la que finalmente le costó la vida al primero, que en algunos aspectos habría superado a su maestro. Incluso, se cree que él podría haber sido verdaderamente quien demostró el “teorema de Pitágoras”. Más allá de sus descubrimientos, si algo nos dejó Hipaso es un gusto amargo: la idea de que Pitágoras seguramente estaba muy equivocado y que la mayoría de nuestras creencias se encuentran basadas en esas equivocaciones; poco y nada sabemos de los muchos Hipasos que habrán existido y que seguramente tuvieron una tumba con su nombre antes de su muerte. Fuente: http://interesante-saber.lacoctelera.net/post/2011/09/17/hipaso-metaponto

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Actividad complementaria Nº1 / Raíces irracionales Nombre:

Curso:

Fecha:

Lee atentamente y realiza las siguientes actividades. 1. Considera los siguientes números naturales y su descomposición en factores primos:

36 = 22 • 32

100 = 22 • 52

144 = 24 • 32

400 = 24 • 52

a) Calcula la raíz cuadrada de cada número y escribe su descomposición en factores primos. Compárala con la descomposición de los números anteriores. ¿Qué similitudes observas? ¿Qué diferencias?

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b) La descomposición de un número en factores primos es x = p4q6r2, donde p, q y r son números primos. Determina x . ¿Cómo lo calculaste? ¿Es x un número natural? Justifica.

c) La descomposición de un número en factores primos es y = p5q4r8, donde p, q y r son números primos. Determina y . ¿Puede ser y un número natural? Justifica.

2. Utiliza lo anterior para discutir la siguiente afirmación: la raíz de todo número primo es un número irracional.

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Actividad delaraíces enésimas Actividadcomplementaria complementariaNº Nº22//Aproximación Propiedades de combinatoria Nombre:

Curso:

Fecha:

Lee atentamente y realiza las siguientes actividades. Otra forma de aproximar raíces cuadradas es mediante la fórmula n≈

x 4 + 6nx 2 + n2 4x( x 2 + n)

Donde n es el número al cual queremos calcular su raíz, y x es la menor aproximación entera de ella. 1. Para aproximar raíces cúbicas, podemos utilizar la fórmula

Material fotocopiable

3

n≈

 n + x3  n+   2x 2   n + x3  2  2x 2 

3

2

Donde n es el número al cual queremos calcular su raíz, y x es la menor aproximación entera de ella. Verifica esta fórmula para 3 10 y 3 15 . Comprueba con calculadora los resultados obtenidos.

2. A partir de esta fórmula, ¿podrías deducir una para aproximar raíces cuartas? Justifica y compruébala para 4 120 .

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Actividad Actividad complementaria complementaria Nº 3Nº/ 3Propiedades / Progresiones de lageométricas combinatoria Nombre:

Curso:

Fecha:

Lee atentamente y realiza las siguientes actividades. Se llama progresión geométrica (PG) a una secuencia de números, de manera tal que un término cualquiera de ella se obtiene multiplicando el anterior por un valor constante llamado razón. Por ejemplo, en la progresión geométrica: 2, 6, 18, 54, 162… el primer término es a1 = 2, y la razón es r = 3.

1. Determina una expresión algebraica que permita, dado el primer término a1 y su razón r, encontrar el término que se encuentra en la posición n.

Material fotocopiable

2. Considerando la fórmula encontrada anteriormente, realiza las siguientes actividades:

a) En una PG, su primer término es 5 y su razón es 2. Si un término de ella es an = 20 480, ¿cuál es el valor de n?

b) Determina una fórmula para determinar, en general, el valor de n de la actividad anterior.

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Evaluación de la unidad

Nombre:

Curso:

I. Marca en cada caso la alternativa correcta. Analizar y resolver situaciones que involucran números reales

A. a2 3

1. ¿Cuál de los siguientes números es irracional?

C. a4 3

A. 64

6 E. a 4a +1

C. 16

6. ¿Cuál(es) de la(s) siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

D. 27 E.

0,25

Material fotocopiable

2. ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)?

I.

3 • 12

II. 2 + 2 2 III.

B. a3 3

D. a 4a4 +1

B. 9

5 125

A. Solo I

D. I y III

B. Solo II

E. II y III

C. Solo III 3 5 2 ,B= yC= . ¿Cuál de las siguientes 6 10 8 alternativas presenta estos números de menor a mayor?

3. Sea A =

I. siempre el producto entre dos números irracionales es otro número irracional. II. La suma de dos números irracionales es siempre otro número irracional. III. El cociente entre dos números irracionales siempre es otro número irracional. A. Solo I

D. Todas

B. Solo II

E. Ninguna

C. I y III 7. A y B son dos números reales. Se puede determinar que A : B es irracional si se sabe que:

(1) A es racional.

D. C, A, B

B. (2) por sí sola.

B. B, C, A

E. B, A, C

C. Juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2).

4. Si 2 y 3 redondeados a la centésima son 1,73 y 2,23 respectivamente, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I.

(2) B es irracional.

A. (1) por sí sola.

A. A, B, C C. A, C, B

2 + 3 + 3, redondeado a la unidad es 16

II. 2 – 3 redondeado a la unidad es 0 III. 6 aproximado a la centésima es 3,86

E. Se requiere información adicional. 8. Si b es un número real positivo, entonces x2 – 2ax + b representa un número real no negativo si se sabe que:

(1) x = 5

(2) a = b

A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola.

A. Solo I

D. II y III

C. Juntas, (1) y (2).

B. Solo III

E. I, II y III

D. Cada una por sí sola, (1) ó (2).

C. I y III

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5. ¿Cuánto mide la diagonal de un cubo de lado a2?

E. Se requiere información adicional.

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1

Evaluación de la unidad 9. Se puede determinar si los elementos del conjunto



ab    a, 2a, ab , 2b ,  2   son mayores o iguales que a y menores o iguales que b si se sabe que:

(1) a = b – 2 y b = 5 (2) b = a + 2 y a = 3 A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional. 10. Sean r = x 2 y s = x + 2 . Se puede afirmar que los números r y s son racionales si se sabe que:

(1) x es un número irracional negativo. (2) x es el inverso aditivo de 2.

B. (2) por sí sola. C. Juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional. Realizar operaciones con raíces 11. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa un número real?

I.

2 5 –5

II. 4 3 – 3 5 III. 9 – 4 5

3

4

12. La expresión 5 – x corresponde a un número real para:

I. Cualquier valor de x. II. x = 5 III. x < 5 A. Solo I B. Solo II C. I y II D. II y III E. Ninguna de las anteriores. 13. ¿Cuál de las siguientes expresiones se obtiene al 6 reducir 2 + 24 – 54? 4 A. 0 B. 1 C. –1 D. 6 + 2 – 3 E.

Material fotocopiable

A. (1) por sí sola.

2

6 + 2 –3 5

14. ¿Cuál de las siguientes expresiones se obtiene al 3 3 reducir 16 + 54 ? 3 250 A. O

B. 1 3

6 25 3 D. 2 3 5 E. 3 7 25 C.

3

15. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente

A. Solo I

a 4 23 4 ?

B. Solo II

A. 242

C. Solo III

B. 2

D. II y III

C. 2

E. Todas ellas.

D. 2 7

5

5

E. 212

Unidad 1 • Números

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43

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Evaluación de la unidad 16. Dado el número N = a 2 – b 3 , con a y b enteros positivos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

20. Si a y b son enteros positivos, ¿cuál de las siguientes b expresiones es equivalente a ? a+b – b A. (

I. N es real si a es múltiplo de b. II. N es real si a es primo y b = 1 III. N es real si a = 3 y b = 2. A. Solo I

D. II y III

B. Solo II

E. I, II y III

C. b + a a+b D. b

17. Dada la ecuación x n –1+ 5 = n + 2x, siendo x la incógnita, ¿cuál de las siguientes opciones es siempre verdadera? A. Si n = 5, la ecuación tiene solución. B. Si n = 1, la ecuación no tiene solución.

Material fotocopiable

C. Si n ≠ 5, la ecuación tiene infinitas soluciones. D. Si n = 2, la ecuación tiene como solución un número irracional. E. Si n = 10, la ecuación tiene una solución negativa. 18. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a 7 + 5 ? 7– 5

E.

(

a + b + b )b a

21. ¿Cuál es el(los) valor(es) de x en la ecuación irracional 2x + 5 –1= x? A. 1 B. –1 C. 2 D. 2 y –2 E. 4 Aplicar propiedades de logaritmos

A. 6 + 35

22. ¿Qué valor(es) puede tomar x en la ecuación logarítmica log x = log 2 – log (x + 1)?

B. 6 – 35 C. 2

A. x = 0

D. –2

B. x = 1

E. 1

C. x = 1; x = –2.

19. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a

(

2 – 2) + 2

(

3 – 3)

2

A. 2 + 3 – 5

D. x = –2 E. x = –1; x = 2 23. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a log5125 = 3

B. 2 – 3 –1

A. 35 = 125

C. 3 – 2 +1

B. 53 = 125

D. 5 – 2 – 3 E. 5 – 5

44

b + 2a

B. b + 2a

C. Solo III



a + b + a )b

1

C. 53 = 125 1

D. 1253 = 3 E. 125−3 =

1 5

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1

Evaluación de la unidad 24. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente m2 + m ? con logm m +1 A. 2m

D. 1

B. m + 1

E. 0

C. m 25. Si 4log a = 1, ¿cuál es el valor de log a? A. 1 16 B. 1 8 C. 1 4 1 D. 2

B. 25

E. 128

C. 32 27. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a log 24? A. (log 12)(log 2) B. log 20 + log 4 C. 2log 12 D. (log 2)(log 3)(log 4) E. log 8 + log 3 28. ¿Cuál de las siguientes expresiones es 1 log2 16 – log3 27 equivalente a ? log6 36 A. 7 2 7 B. 6 17 C. 6 11 D. 2 1 E. 2

4

equivalente a log 1 (16 • 3 4 )? 4

A. 7 3 B. – 7 3 1 C. 3 D. – 1 3 2 E. 3 1 = 2, ¿cuál es el valor de x? 16

A. 1 32 B. – 1 32 1 C. 4 D. – 1 4

Material fotocopiable

26. Si log2 m – log2 n = 5, ¿cuál es el valor de m ? n A. 10 D. 64

3

29. ¿Cuál de las siguientes expresiones es

30. Si logx

E. 2

2

E. 162 31. Se tiene que log a + log b = c – log b. Entonces, ¿cuál de las siguientes expresiones es equivalente a a? c

A. 10 2b

B. 2b •10c c C. 10 b2 D. b2 •10c c E. 2 •10 b 32. Se puede determinar el valor numérico de la expreb d sión log a log c si se sabe que: bd (1) a = 1 y bd ≠ 0 (2) b = 100 y d = 1000 A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional. Unidad 1 • Números

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Evaluación de la unidad 33. Se puede determinar el valor numérico de la exprelog a 3 sión = log c si se sabe que: log b 2

35. Los lados de un rectángulo miden 3 3 cm y 4 3 cm. ¿Cuánto mide su diagonal?

(1) a = 1000, b = 100 y c = 10 (2) b = 10b y b = 10c A. (1) por sí sola B. (2) por sí sola C. Ambas juntas, (1) y (2) D. Cada una por sí sola, (1) o (2) E. Se requiere información adicional

Material fotocopiable

II. Resuelve los siguientes problemas. 34. Un padre reparte entre sus dos hijos un terreno de la siguiente manera: al primero le entrega un terreno de forma rectangular cuyo largo es 18m y cuyo ancho es 12m, mientras que al segundo le regala un terreno cuyas dimensiones son 15m de largo y 6m de ancho. ¿Cuál es el área de cada uno de los terrenos que reciben sus hijos? Aproxima por defecto los resultados a la milésima.

36. Las soluciones de diferentes compuestos pueden clasificarse, según el valor del pH, en ácidas, básicas o neutras. El pH de una sustancia se calcula mediante la expresión pH = –log (H+), donde (H+) es su concentración de protones. • Si pH < 7 la solución es ácida. • Si pH = 7 la solución es neutra. • Si pH > 7 la solución es básica.

46

¿Cuáles deben ser las concentraciones de protones para que una sustancia sea ácida, neutra y básica?

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Solucionario Actividad complementaria Nº1 Raíces irracionales 1. a)

36 = 6 = 2 • 3 100 =10 = 2 • 5

1

2

3

4

Actividad complementaria Nº2 Aproximación de raíces enésimas 1. Con fórmula, 3 10 ≈ 2,113 . Con calculadora, 3 10 ≈ 2,154

144 =12 = 22 • 3 400 = 20 = 22 • 5 Se puede observar que la descomposición prima de la raíz tiene los mismos factores que la del número original, pero los exponentes se han dividido por 2.

b) x = p2q3r . Para calcularlo, se divide por 2 cada exponente de la descomposición prima de x. El número obtenido es un número natural, ya que es producto de números naturales. c) No puede ser un número natural pues no todos sus factores primos tienen exponentes pares. 2. La raíz de un número primo p no puede ser un número natural, pues esto implicaría que tiene factores distintos de 1 y de sí mismo. Por lo tanto, x si es racional debe ser de la forma p = , con y 2  x x2  y  = y 2 = p , x e y sin factores comunes entre sí.

Con fórmula, 3 15 ≈ 2,345 . 3 Con calculadora, 15 ≈ 2, 466

2. La fórmula es 4 n ≈

 n + x4  n+  2x 3   n + x4  2  2x 3 

3

4

.

Para 4 120 se obtiene aproximadamente 3,025

Actividad complementaria Nº3 Progresiones geométricas n-1 1. an = a1r

2. a) n = 13

b) n =

log an –log a1 +1 log r

Con ello, x2 = py2 • p está en la descomposición prima de x2, por lo tanto debe estar en la de x. Luego x = pq, para algún valor q. Luego, x2 = p2q2 = py2 → pq2 = y2 Por lo tanto p está en la descomposición prima de y2, y debe estar en la de y también, lo que contradice la suposición de que x e y no tienen factores comunes.

Unidad 1 • Números

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Evaluación de la unidad (Pág. 42) I. Preguntas de alternativas

Indicador Analizar y resolver situaciones que involucran números reales.

Realizar operaciones con raíces.

Aplicar propiedades de logaritmos.

48

Pregunta

Clave

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

D B A D A E C E D E C D A B E D E A A E C B C D D C E A B C C A D

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1

2

3

4

II. Preguntas de desarrollo Problema 34

Problema 35

Correcta Interpreta correctamente los valores y los multiplica, reduce las expresiones y finalmente las aproxima. Obtiene 6 6 ≈ 14,697 y3 10 ≈ 9,489.

Problema 36

Correcta Determina los valores pedidos, planteando la ecuación e interpretándolos

Correcta Interpreta correctamente los datos y plantea correctamente la relación d=

pH = 7 = –log(H+) → 10–7 = H+

(3 3 ) + (4 3 ) 2

2

Luego, para concentraciones menores que 10–7 la solución es ácida, y para mayores es básica.

= 27 + 48 = 75 =5 3 Parcialmente correcta Interpreta correctamente los datos pero aproxima las raíces antes de multiplicar.

Parcialmente correcta Plantea la relación correctamente, pero reduce las raíces antes de elevar al cuadrado, o al elevarlas lo hace incorrectamente.

Parcialmente correcta Plantea la ecuación pero no despeja H+, o interpreta incorrectamente los valores obtenidos.

Incorrecta No interpreta correctamente los datos, o multiplica en forma incorrecta.

Incorrecta No plantea la relación indicada por el teorema de Pitágoras.

Incorrecta No logra interpretar correctamente la información.

Banco de preguntas (Pág. 50) Pregunta

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Clave

B

E

C

E

C

D

D

D

D

A

D

12. 3 2 13. log (a – b) 14. log

a bc 2

15. x = 2 16. 18,35 minutos aproximadamente

Unidad 1 • Números

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Banco de preguntas Analizar y resolver situaciones que involucran números reales 1. Analizar y resolver situaciones que involucran números reales¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)?

I.

18 • 2

II. 2 5 + 3 5 III.

60 6 • 10

A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. I y III E. II y III 2. ¿Cuál de las siguientes alternativas es falsa? A. La suma entre un racional y un irracional siempre es irracional. B. El producto de dos irracionales puede ser irracional. C. El inverso aditivo de un irracional es irracional. D. La suma de dos irracionales puede ser racional. E. El producto de un racional por un irracional siempre es irracional. 3. ¿A qué conjunto(s) numérico(s) pertenece el número 0,2468101214161820...?

I. Racionales II. Irracionales III. Reales A. Solo III

Realizar operaciones con raíces 4. ¿Cuál de las siguientes expresiones se obtiene al reducir al máximo la expresión 4 5 + 45 – 20? A. 4 30 B. –4 70 C. 9 5 D. – 5 E. 5 5 5. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente con a 3 a2 ? A. 6 a3 B. 5 a3 C. 6 a5 D. a 6 a E. a 1

6. Sean n = 2 2 y m = 7 . ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente con (n + m)(n – m)? A. 2 – 7 B. 22 7 C. 14 D. –5

B. I y II C. II y III

E. 5

D. I y III E. I, II y III

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1 7. ¿Cuál es la solución de la ecuación 5x – 3 = 3x +1? A. –2 B. 0 C. 1 D. 2 E. 4

8. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente con log4 32 – log8 16? A. –1 B. 1 2 C. 1 6 D. 7 6 E. 6 9. Se sabe que log2 (x + 2) =3. Entonces, ¿cuál de las siguientes expresiones es equivalente con log x?

3

4

11. ¿Cuál es la solución de la ecuación 2 + log x = 2 ? 2log x A. 10 B. 100 C. 10 D. 3 100 E.

Aplicar propiedades de logaritmos

2

3

2

12. Si a y b son números reales positivos, ¿cuál es el valor de loga a2 – logb b ? 13. Si (a > b > 0), determina una expresión equivalente a log (a2 – b2) – log (a + b). 14. Enuncia en un solo logaritmo la expresión log a – log b – 2 log c. 15. Resuelve la ecuación log (3x – 2) – log (2x) = 0. 16. En un cultivo de bacterias, inicialmente había tres y por cada minuto que transcurre se duplican. ¿Cuántos minutos hay que esperar para que haya un millón de bacterias?

A. 1 B. log 5 C. log 7 D. 2log 2 E. log 2 + log 3 1+ a =1. Entonces, cuál de las siguientes b expresiones es equivalente con log (b – a)?

10. Se sabe que

A. 0 B. 1 C. 10 D. log b E. log 2b

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Bibliografía •

Álvarez, R. (2013). Conjuntos numéricos y aritmética. Colombia: Universidad de Medellín.

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Baker, A. (1986). Breve introducción a la teoría de números. Madrid: Editorial Alianza.

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Brown, D. (2003). El Código Da Vinci. Barcelona: Ediciones Urano, S.A.

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Corbalán, F. (1995). La matemática aplicada a la vida cotidiana. Barcelona: Graó.

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Chuaqui, R. (1980). ¿Qué son los números? Santiago de Chile: Editorial Universitaria.

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Lipschutz, S. Teoría de conjuntos y temas afines. Colección Shawm. Editorial McGraw Hill.

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Livio, M. (2002). La proporción áurea: La historia de Phi, el número más sorprendente del mundo. Madrid: Editorial Ariel.

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Smullyan R.M. (1995). Satán, Cantor y el infinito. Barcelona: Editorial Gedisa.

•

Stewart, I. (1998). De aquí al infinito. Madrid: Drakontos.

Sitios web

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Ejercicios de aproximaciones: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros7.htm

•

Ejemplos de racionalización http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/racionalizar/racionalizar.htm

•

Ejemplos y ejercicios de concepto y propiedades de los logaritmos http://www.vitutor.com/al/log/log.html http://www.ematematicas.net/logaritmo.php?a=5

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2

unidad

Geometría Propósito

En esta unidad, los estudiantes conocerán la semejanza de figuras planas, retomarán el teorema de Pitágoras y estudiarán los teoremas de Thales y Euclides. Además, aplicarán la semejanza en la construcción de modelos a escala. Por otro lado, identificarán los ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia y los teoremas relacionados con ellos.

Ruta de aprendizaje ¿Qué sé? •• •• •• •• •• ••

Identificar y calcular ángulos en polígonos. Calcular áreas y perímetros de figuras planas. Aplicar criterios de congruencia de triángulos. Resolver problemas utilizando propiedades de proporciones. Aplicar el teorema de Pitágoras. Identificar elementos de la circunferencia y sus propiedades.

¿Qué aprenderé? •• •• •• •• •• •• ••

Aplicar criterios de semejanza de triángulos en el análisis de figuras planas. Identificar y construir trazos proporcionales. Identificar y analizar propiedades de los modelos a escala. Aplicar el teorema de Thales. Demostrar y aplicar el teorema de Euclides. Demostrar el teorema de Pitágoras y su recíproco. Verificar y aplicar relaciones entre ángulos y segmentos en la circunferencia.

¿Para qué? •• Para resolver problemas en distintos contextos, que involucran segmentos proporcionales, figuras de igual forma, segmentos y ángulos en la circunferencia.

Unidad 2 • Geometría

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Marco curricular Conocimientos previos

Habilidades

•• Ángulos en polígonos.

•• Construir modelos a escala.

•• Área de polígonos.

•• Resolver problemas, aplicando semejanza de figuras planas.

•• Perímetro de polígonos. •• Congruencia de figuras planas.

•• Demostrar el teorema de Pitágoras.

•• Criterios de congruencia.

•• Demostrar el teorema de Euclides.

•• Proporciones.

•• Aplicar el teorema de Thales.

•• Teorema de Pitágoras.

•• Aplicar el teorema que relaciona las medidas de los ángulos del centro y de los ángulos inscritos en una circunferencia.

•• Circunferencia.

Palabras clave Semejanza, criterios de semejanza, proporcionalidad de trazos, modelos a escala, teorema de Thales, teorema de Euclides, ángulo del centro, ángulo inscrito.

Contenidos •• Semejanza de figuras planas. •• Criterios de semejanza de figuras planas. •• Trazos proporcionales. •• Propiedades invariantes en modelos a escala. •• Teorema de Pitágoras. •• Teorema de Thales. •• Teorema de Euclides.

Actitudes •• Perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos.

•• Ángulo del centro en la circunferencia. •• Ángulo inscrito en una circunferencia.

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Planificación de la unidad

1

2

3

4

Sección 1: Semejanza de figuras planas OF

Comprender conceptos, propiedades, identificar invariantes y criterios asociados al estudio de la semejanza de figuras planas y sus aplicaciones a los modelos a escala.

CMO

AE

Lecciones

Evaluaciones

Exploración de diversas situaciones que involucran el concepto de semejanza y su relación con formas presentes en el entorno.

Comprender el concepto de semejanza de figuras planas.

Lección 13: Semejanza y figuras a escala.

Identificación y utilización de criterios de semejanza de triángulos para el análisis de la semejanza en diferentes figuras planas.

Identificar los criterios de semejanza de triángulos.

Aplicación de la noción de semejanza a la demostración de relaciones entre segmentos en cuerdas y secantes en una circunferencia y a la homotecia de figuras planas.

Utilizar los criterios de semejanza de triángulos para el análisis de la semejanza de figuras planas.

6 horas.

•• Evaluación diagnóstica ¿Qué debes saber?, pág. 89. 2 horas. •• Evaluación integradora Integrando lo aprendido, págs. 106 y 107.

Lección 14: Criterios de semejanza de triángulos. 4 horas.

2 horas.

Lección 15: Homotecia y semejanza. 4 horas.

Demostrar teoremas relativos a la homotecia de figuras planas.

Páginas finales Actividad

Páginas

Tiempo estimado

Resolución de problemas

104

1 hora

Para no cometer errores

105

1 hora

Tiempo estimado: 20 horas pedagógicas

Unidad 2 • Geometría

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Sección 2: Teoremas de semejanza OF

Comprender conceptos, propiedades, identificar invariantes y criterios asociados al estudio de la semejanza de figuras planas y sus aplicaciones a los modelos a escala.

CMO

Aplicación del teorema de Thales sobre trazos proporcionales. División interior de un trazo en una razón dada y uso de un procesador geométrico para verificar relaciones en casos particulares.

Demostración de los teoremas de Euclides relativos a la proporcionalidad de trazos en el triángulo rectángulo; demostración del teorema de Pitágoras y del teorema recíproco de Pitágoras.

AE

Lecciones

Comprender el teorema de Thales sobre trazos proporcionales y aplicarlo en el análisis y la demostración de teoremas relativos a trazos.

Lección 16: Teorema de Thales.

Resolver problemas relativos a: a. el teorema de Thales sobre trazos proporcionales b. la división interior de un trazo c. teoremas de Euclides relativos a proporcionalidad de trazos

Lección 17: División de trazos.

Demostrar los teoremas de Euclides relativos a proporcionalidad de trazos.

Lección 18: Teorema de Euclides.

Demostrar el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras.

Lección 19: Teorema de Pitágoras y recíproco.

4 horas.

Evaluaciones

•• Evaluación diagnóstica ¿Qué debes saber?, pág. 109. 2 horas. •• Evaluación integradora Integrando lo aprendido, págs. 130 y 131.

2 horas.

2 horas.

4 horas.

2 horas.

Páginas finales Actividad

Páginas

Tiempo estimado

Resolución de problemas

128

1 hora

Para no cometer errores

129

1 hora

Tiempo estimado: 16 horas pedagógicas

56

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1

2

3

4

Sección 3: Ángulos y segmentos en la circunsferencia OF

CMO

AE

Lecciones

Evaluaciones

Identificar ángulos inscritos y del centro en una circunferencia, y relacionar las medidas de dichos ángulos.

Identificación de ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia; demostración del teorema que relaciona la medida del ángulo del centro con la del correspondiente ángulo inscrito.

Identificar ángulos inscritos y del centro en una circunferencia y relacionar las medidas de dichos ángulos.

Lección 20: Ángulo inscrito y del centro en una circunferencia.

Aplicación de la noción de semejanza a la demostración de relaciones entre segmentos en cuerdas y secantes en una circunferencia y a la homotecia de figuras planas.

Demostrar relaciones que se establecen entre trazos determinados por cuerdas y secantes de una circunferencia.

6 horas.

•• Evaluación diagnóstica ¿Qué debes saber?, pág. 133. 2 horas. •• Evaluación integradora Integrando lo aprendido, págs. 146 y 147.

Lección 21: Cuerdas y secantes en la circunferencia.

2 horas.

4 horas.

Páginas finales Actividad

Páginas

Tiempo estimado

Resolución de problemas

144

1 hora

Para no cometer errores

142

1 hora

Tiempo estimado: 16 horas pedagógicas

Páginas finales Actividad

Página

Tiempo estimado

Diario mural.

148 y 149

1 hora

Para sintetizar.

150 y 151

1 hora

Reforzar antes de evaluar – Para profundizar.

152 – 155

4 horas

Evaluación de la unidad.

156 - 159

2 horas

Tiempo estimado: 60 horas pedagógicas

Unidad 2 • Geometría

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Sugerencias metodológicas

Sección 1 Semejanza de figuras planas De esto se trata La semejanza de figuras planas está presente en la vida cotidiana y, de manera especial, en las artes plásticas. Si bien la reproducción de figuras en un cuadro depende mucho del talento y la habilidad personal de los artistas, es claro que hay elementos matemáticos presentes en las técnicas utilizadas, aunque no se empleen de manera tan intencionada o consciente. Es importante estimular a los alumnos desde estos contextos cercanos que les permitan reflexionar, a medida que se avance en la unidad y se vayan incorporando nuevos contenidos, respecto de la forma en que realizan este tipo de tareas. Para complementar este inicio de sección, muestre a los estudiantes distintos dibujos, pinturas o fotografías que incluyan elementos desproporcionados, tales como figuras humanas, objetos de uso cotidiano, etc. De esta manera, los estudiantes podrán introducirse de manera paulatina en contenidos fundamentales de la unidad.

¿Qué debes saber? Plantear razones y resolver ecuaciones con proporciones Plantee en forma oral algunos problemas que involucren las ecuaciones planteadas, del tipo “para preparar tres tortas necesitamos ocho huevos, ¿cuántos huevos se necesitan para seis tortas?” Puede hacer énfasis en las cantidades para que los estudiantes comprendan que, para el doble de tortas, es natural que se necesite el doble de huevos. A partir de ello, puede resultar más inmediato deducir y luego la propiedad fundamental de las proporciones.

Calcular medidas de ángulos y segmentos en polígonos Realice con los estudiantes un cuadro resumen con las características y propiedades de las figuras planas: triángulos, cuadriláteros —y en especial, paralelogramos—. Luego, los estudiantes que hayan presentado mayores dificulta-

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des pueden realizar nuevamente los ejercicios utilizando el cuadro realizado.

Identificar y aplicar congruencia de figuras planas Proponga a los estudiantes actividades que les permitan deducir nuevamente los criterios de congruencia de triángulos, juzgando qué elementos son necesarios para determinar un único triángulo. Es crucial que se asegure del dominio de estos criterios por parte de los estudiantes, dada la estrecha relación entre ellos y los criterios de semejanza que se abordarán en la sección.

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Semejanza y figuras a escala Págs. 90 a 95

Propósito Identificar y caracterizar polígonos semejantes en diversos contextos.

Palabras clave Semejanza, proporción, escala, forma, correspondencia, razón, homólogo

Prerrequisitos §§ Planteamiento y cálculo de proporciones en contextos diversos. §§ Identificación y caracterización de figuras planas. §§ Cálculo de medidas de lados y ángulos de figuras planas, a partir de sus propiedades. §§ Aplicación de criterios de congruencia de triángulos.

Activación de ideas previas Como se ha mencionado para la sección ¿Qué debes saber? puede activar las ideas previas de los estudiantes presentando diferentes reproducciones de figuras, y analizando junto a ellos sus similitudes y diferencias. El uso de escalas puede haber sido abordado en otras asignaturas, en especial en ciencias sociales para la lectura de mapas. Puede ser interesante para ellos analizar el uso del término “escala” en otros ámbitos, por ejemplo las escalas de notas, el diseño de un programa “a escala humana”, etc. Posteriormente, podrán comparar estos usos con el que se le dará en esta lección.

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1 Orientaciones didácticas La lección presenta la actividad de construcción de la bandera de Nepal, que presenta una forma distinta a otras banderas del mundo. Esto permite un análisis más interesante de las diferentes formas y dimensiones que pueden tomar las figuras. Inste a los estudiantes a que realicen la actividad y puedan comparar sus resultados para experimentar, con material concreto, las diferencias que se pueden producir. Así, los estudiantes pueden comprobar que no basta utilizar triángulos rectángulos en la construcción, sino que estos deben cumplir condiciones determinadas relativas a las medidas de sus lados y sus ángulos. Recalque que la escritura de la semejanza de dos figuras considerando el orden de los vértices permite referirse con mayor comodidad a los elementos de las figuras, pero en sí mismo no define la relación de semejanza. Es decir, que dos figuras sean semejantes no depende del orden en que se escriban sus vértices, sino que se trata de una convención que facilita las tareas. Puede profundizar en el análisis de las relaciones entre las figuras planas explicando los conceptos de equivalencia, semejanza y congruencia, a saber:

•

•

•

dos figuras son equivalentes si sus áreas son iguales, sin importar su forma ni si se trata del mismo tipo de figuras. Así, se puede determinar el cuadrado cuya área es igual a la de un triángulo dado (lo que llamamos “cuadrar” el triángulo), y se obtiene un cuadrado equivalente al triángulo. dos figuras son semejantes si sus “formas” son iguales. En el caso de los polígonos, esto se refleja en que sus lados son proporcionales y sus ángulos son congruentes. Es importante destacar que no solo los polígonos pueden ser semejantes, sino también figuras formadas por líneas curvas, como las circunferencias. dos figuras son congruentes si son, simultáneamente, equivalentes y semejantes.

Las precisiones anteriores permiten aclarar uno de los errores frecuentes detallados a continuación.

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3

4

Errores frecuentes Dado que no se abordan en forma conjunta los conceptos de congruencia y semejanza, puede ocurrir que los estudiantes no los integren de manera adecuada, y piensen que si dos figuras son congruentes no pueden ser semejantes. Es importante que refuerce la idea de que dos figuras congruentes son semejantes con razón de semejanza igual a 1. En ocasiones resulta confuso para los estudiantes determinar la razón de semejanza entre dos figuras ya que, en rigor, puede hablarse de dos razones dependiendo de cuál de las figuras se considera primero. Así, por ejemplo, si una figura A está en razón 2 : 1 con otra figura B, la figura B está en razón 1 : 2 con la A. Es importante que, en cada caso precise el orden que se utilizará para calcular la razón, y acuerde con sus estudiantes la forma de hacerlo.

Actividades complementarias Puede pedir a los estudiantes que, utilizando solo una huincha de medir (de no más de un metro y medio), una vara y la colaboración entre ellos, midan la altura del techo del colegio (sin subir), o del hasta de una bandera, etc. Para aprovechar adecuadamente esta actividad, es necesario que luego presenten su estrategia y puedan discutirla con sus compañeros.

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Criterios de semejanza de triángulos Págs. 96 a 99

Propósito Comprender y aplicar los criterios de semejanza de triángulos.

Palabras clave Criterio, semejanza, correspondencia, homólogo, razón, demostración

Prerrequisitos §§ Concepto de semejanza de figuras planas. §§ Aplicación de criterios de congruencia de triángulos. §§ Aplicación del teorema de los ángulos interiores de un triángulo (la suma de sus medidas es 180°). §§ Aplicación de propiedades de proporciones.

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Activación de ideas previas

Respuesta:

La referencia más directa para los estudiantes para esta lección son los criterios de congruencia de triángulos. Es importante que los manejen con soltura y sean capaces de identificarlos y aplicarlos. Además, conviene recordar con ellos que un triángulo es el polígono más pequeño (de menos lados) que se puede construir, y todo polígono puede descomponerse en triángulos trazando sus diagonales.

Verifica que los triángulos del problema son semejantes, luego realiza correctamente los cálculos obteniendo las distancias en forma correcta, las cuales son:

Orientaciones didácticas

25 m y 25 m. 3 3

A

B

Propicie las condiciones para que los estudiantes deduzcan los criterios, por medio de las actividades sugeridas. Es importante darles la posibilidad de analizar por qué no son necesarios todos los elementos, y a partir de ellos ser capaces de deducir cuáles sí lo son, para que de esta manera los conceptos se fijen de manera más sólida.

b) Un criterio de congruencia —y de semejanza— que muchas veces se omite es el lado – lado – ángulo (LLA), que establece que dos triángulos son congruentes (o semejantes) si poseen dos pares de lados respectivamente congruentes (o proporcionales), y los respectivos ángulos opuestos a los lados de mayor medida son congruentes.

Además, relacione permanentemente los criterios de congruencia y los de semejanza, señalando sus similitudes y diferencias.

Puede abordar con los estudiantes este criterio (primero como criterio de congruencia) mostrando que, si se conocen las medidas de dos lados de un triángulo y la medida del ángulo opuesto al menor de ellos, en realidad es posible construir dos triángulos. Es útil realizar esta actividad con un procesador geométrico, que permita cambiar las medidas de los lados y del ángulo para analizar lo que sucede.

Errores frecuentes Es posible que los estudiantes, al relacionar los criterios de semejanza y los de congruencia, terminen por confundirlos y utilizarlos de manera indistinta. La deducción de los criterios de semejanza puede hacer que la integración y diferenciación de los mismos se realice de manera adecuada, pero debe estar atento a que este tipo de errores no se produzca. Es preciso aclarar a los estudiantes, además, que los criterios de semejanza de triángulos no son extrapolables en forma directa a otro tipo de figuras. Por ejemplo, es fácil verificar que dos cuadriláteros cuyos lados son congruentes entre sí pueden ser uno un cuadrado y otro un rombo, por lo que no son semejantes y no cabe hablar de criterio “lado – lado – lado – lado."

Actividades complementarias a) Para realizar dos construcciones que están separadas por 25 m, se instalan dos pilares de manera perpendicular al suelo. La altura de uno de ellos es de 3,5 m, mientras que la del otro es de 7 m. Si en cada uno de sus extremos se ata una lienza, las que a su vez son fijadas en el suelo en un punto común, y los ángulos de inclinación de la lienza con los pilares son iguales, ¿cuáles son las distancias entre el punto en que la lienza fue fijada al piso y los pilares? Utiliza un dibujo si es necesario.

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7m 3,5 m

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Homotecia y semejanza Págs. 100 a 103

Propósito Analizar y construir homotecias.

Palabras clave Semejanza, razón, factor, escala, paralelo, proporcional

Prerrequisitos §§ Concepto de semejanza de figuras planas. §§ Identificación y caracterización de ángulos entre rectas paralelas.

Activación de ideas previas Motive el análisis de la homotecia de las figuras planas utilizando conceptos que los estudiantes puedan haber estudiado en la asignatura de física, respecto de lentes y espejos.

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1 La formación de una imagen a través de un lente es un ejemplo de homotecia, ya que este genera una imagen homotética a la original que puede ser una ampliación o una reducción. Si se aleja el lente hasta superar la distancia focal la imagen se invierte, lo que permite comprender el concepto de homotecia inversa.

Orientaciones didácticas No es posible analizar detalladamente la construcción de homotecias sin estudiar antes el teorema de Thales, pero el uso de un procesador geométrico permite a los estudiantes observar las regularidades que se presentan, respecto de las relaciones entre las medidas de los segmentos como el paralelismo entre los lados de la figura original y la homotética. Es recomendable que los estudiantes puedan realizar las actividades sugeridas en forma individual o en parejas. Sin embargo, si por falta de computadores disponibles esto no fuera posible, puede realizar la actividad con la ayuda de un proyector y estimular la participación de los estudiantes, procurando que en lo posible todos puedan modificar las figuras, las razones de homotecia y los centros. No se recomienda realizar trabajos en grupos muy numerosos, para evitar la distracción de los estudiantes que quedan sin actividad cuando otro utiliza el procesador. Analice con los estudiantes la construcción de homotecias en forma manual, es decir, con regla y compás. Esto en principio no será fácil de hacer ya que los estudiantes aun no conocen la división de trazos en una razón dada, pero pueden realizar homotecias considerando razones correspondientes a números enteros.

Errores frecuentes Un error muy frecuente en la construcción de homotecias es la interpretación incorrecta de la razón a partir de las longitudes de los segmentos que se determinan en ella. Por ejemplo, en la homotecia que se presenta a continuación

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4

cuando en realidad es OA : OA’. Para poder fundamentar a los estudiantes la forma correcta de calcular la razón es preciso utilizar el teorema de Thales, que se abordará en la siguiente sección. Es posible además que los estudiantes cometan errores al interpretar una razón de homotecia negativa, ya sea considerando que es errónea —por su estrecha relación con la razón de semejanza, donde no parece natural un valor negativo— , o bien que la consideren necesariamente como una reducción de la figura original. Para esto, recuerde a los estudiantes que existen muchos ámbitos en los que el uso de números negativos no es signo de una menor magnitud, sino de una magnitud en un sentido distinto a un punto o valor de referencia.

Actividades complementarias a) Para complementar el trabajo realizado en las páginas, puede proponer a sus estudiantes que determinen el centro y la razón de homotecia para cada una de las siguientes figuras:

Una vez realizadas las actividades, revise con sus alumnos y alumnas los resultados obtenidos, de manera que todos puedan verificar que lo realizado fue correcto. b) Aprovechando el uso del procesador geométrico, analice con los estudiantes la manera de determinar las coordenadas de la figura que resulta al aplicar una homotecia a un polígono cuyas coordenadas de los vértices son conocidas. A partir de ello, los estudiantes podrán relacionar con lo aprendido en primer año medio respecto de las transformaciones isométricas en el plano cartesiano. Podrán verificar así que, al aplicar una homotecia de razón k, la imagen del punto (a, b) es (ka, kb).

O

A A′

suele ocurrir que los estudiantes consideran que la razón entre la figura original y la homotética corresponde a OA : AA’,

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Para no cometer errores

Resolución de problemas

Página 105

Página 104

Las estrategias de resolución de problemas permiten trabajar con los estudiantes diversos tipos de pensamiento y fomentar en ellos su capacidad de análisis, creatividad, rigurosidad y flexibilidad para adaptarse a nuevos métodos y validar formas distintas de realizar las tareas.

El análisis de errores permite, de manera efectiva y concreta, detectarlos y corregirlos. Es importante que estimule a los estudiantes a analizar sus procedimientos constantemente y desarrollar la capacidad de análisis y autocrítica respecto de los errores cometidos.

Es muy importante que estimule a los estudiantes a participar activamente en la resolución de problemas. Para esto, puede solicitarles que intenten en primer lugar resolver el problema planteado sin mirar la resolución propuesta, luego discutan en grupos, analicen la forma planteada en el libro y realicen aportes finales que puedan optimizarla o perfeccionarla.

El primero de los errores planteados es común cuando los estudiantes intentan resolver los problemas rápidamente, intentando evitar pasos o realizar un análisis detenido. La segunda situación ha sido abordada en la lección correspondiente, por lo que se espera que los estudiantes ya estarán prevenidos.

Para el problema propuesto en esta sección, se recomienda especialmente que explicite que la semejanza de figuras planas es utilizada en diversas disciplinas como la topografía, la agrimensura y, en general, cada vez que es necesario realizar mediciones de objetos grandes, largas distancias o longitudes que atraviesen lugares inaccesibles.

Integrando lo aprendido Págs. 106 y 107 Indicador

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Preguntas asociadas

Remedial

Identificar y caracterizar polígonos semejantes en diversos contextos.

1, 2 y 3

Las dificultades en estas preguntas pueden corresponder a errores tanto en la medición (pregunta 1) como en la comprensión del concepto de semejanza. Se recomienda que los estudiantes que presenten estas dificultades describan paso a paso sus procedimientos para que así pueda detectar cuáles son los errores específicos que están cometiendo.

Comprender y aplicar los criterios de semejanza de triángulos.

4, 5 y 6

Las dificultades en estas preguntas pueden deberse tanto a falencias en los contenidos previos como en la aplicación de los criterios de semejanza estudiados en la lección 14. Para lo primero, se recomienda que los estudiantes realicen nuevamente la evaluación inicial ¿Qué debes saber? y realicen un cuadro resumen. Lo mismo se recomienda respecto de los criterios de semejanza; en este caso se recomienda que además de resumirlos, los ejemplifiquen. Con estas herramientas pueden realizar nuevamente los ejercicios de la lección y, cuando consideren que ya están suficientemente preparados, vuelvan a los ejercicios de esta evaluación.

Analizar y construir homotecias.

7y8

Las dificultades en estas preguntas pueden deberse a no haber comprendido correctamente la relación de homotecia entre dos figuras, especialmente respecto de la razón de homotecia. Se sugiere que los estudiantes que hayan obtenido un mejor rendimiento puedan acompañar como tutores a quienes presentan problemas, explicando los métodos que utilizan para asociar y recordar correctamente estas relaciones.

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1

Sección 2 Teoremas de semejanza De esto se trata Cuando observamos rectas paralelas en nuestro entorno, es fácil comprobar que parecen concurrir en un punto, pese a que sabemos que esto en realidad no ocurre. Basta mirar a lo lejos en una calle para apreciar cómo las aceras aparentemente se juntan, pese a que si avanzamos por la calle podemos confirmar que mantienen su separación. Lo que ocurre con las aceras es que, en realidad, cuando miramos a gran distancia las cosas nos parecen de menor tamaño, manteniendo sus proporciones. Esta información es interpretada por nuestro cerebro y luego es transferida a otras situaciones, provocando ilusiones ópticas como las que se presentan. Observándolas, los estudiantes podrán constatar que el teorema de Thales —que se analizará en esta sección— está muy presente en nuestra vida cotidiana.

¿Qué debes saber? Identificar y calcular ángulos entre paralelas cortadas por una transversal Para este indicador, se sugiere analizar las rectas con los estudiantes y utilizar su intuición para identificar los ángulos congruentes que se forman. Para ello, puede apoyarse en relaciones de paralelismo que se dan en la misma sala de clase (el piso y el techo, líneas de baldosas en el piso, etc). Respecto de los nombres de estos ángulos, es conveniente resaltar que las dos rectas paralelas definen un espacio “interior” y otro “exterior”, mientras que es natural que los ángulos ubicados a distintos lados de la transversal se denominen “alternos”.

Aplicar el teorema de Pitágoras Para este indicador, se sugiere recordar especialmente que la suma de los cuadrados de las medidas los catetos no es igual al cuadrado de la suma de ellas. Es importante también que los estudiantes identifiquen correctamente los catetos y la hipotenusa, asociando esta última al lado de mayor medida.

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3

4

Aplicar propiedades de proporciones Invite a los estudiantes a justificar las propiedades aplicadas, que ya deben haber sido estudiadas en años anteriores. Se sugiere recalcar la necesidad de ser cuidadosos y ordenados al aplicarlas, para no cometer errores producto de distracciones

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Teorema de Thales Págs. 110 a 115

Propósito Comprender y aplicar el teorema de Thales sobre trazos proporcionales.

Palabras clave Proporcionalidad, paralelas, transversal, recíproco, correspondiente

Prerrequisitos §§ Aplicación de los criterios de semejanza de triángulos. §§ Identificación y caracterización de las propiedades de las rectas paralelas.

Activación de ideas previas Es fácil observar, en la vida cotidiana, situaciones en que tres o más líneas o superficies paralelas son cortadas por una transversal: las repisas de un mueble, los escalones de una escalera, cables de electricidad, etc. Podrá incluso encontrar material audiovisual en internet (por ejemplo, en http://catedu.es/matematicas_mundo/FOTOGRAFIAS/ fotografia.htm) al respecto. Puede comenzar esta lección haciendo una analogía con la situación planteada de la montaña, pensando en escaleras que llegan a un mismo piso, pero con escalones de distintos tamaños. Así, una de las escaleras tendrá menos peldaños que la otra, pero si subimos la mitad de ellos, por ejemplo, es lógico que nos encontraremos a la misma altura. Luego plantee a sus estudiantes la siguiente actividad: La figura muestra un trapecio en el cual se ha trazado una recta paralela a la base de tal forma que divide al segmento AB y al segmento DC en la razón 2 : 3. ¿Cómo podrías calcular la longitud de EF?

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6 cm

B

mientras que el recíproco no lo es y, más aun, no necesariamente tiene el mismo valor de verdad.

C F

5 cm

A

5 cm

14 cm

D

Dé tiempo para que los estudiantes exploren y establezcan sus propias conjeturas y estrategias para resolver el problema. Si en el desarrollo de la actividad no surge de manera natural el teorema de Thales, puede pedirles (a modo de devolución) que prolonguen los lados del trapecio y apliquen semejanza de triángulos para resolver el problema.

Orientaciones didácticas El estudio del teorema de Thales permite desarrollar interesantes aspectos matemáticos. Si bien en la lección no se aborda la demostración del teorema (que se presenta en la sección Para profundizar, al final de la unidad), se puede hacer énfasis en los siguientes puntos: La formulación de un teorema puede presentar casos particulares, que deben ser consistentes con el caso general. Para el teorema de Thales, se plantean tres rectas paralelas que son cortadas por dos transversales. Los casos particulares, aunque se vean distintos, en rigor son situaciones producidas por la posición relativa entre las rectas paralelas, es decir, siempre puede decirse que en el teorema de Thales hay tres rectas paralelas involucradas, pero en los casos particulares una de ellas pasa por el punto de intersección de las transversales, como se muestra:

Conviene considerar que, en rigor, es el teorema de Thales el que fundamenta los criterios de semejanza y no estos los que permiten demostrar aquél. Si bien a los estudiantes se les puede solicitar que verifiquen el teorema de Thales utilizando semejanza, conviene aclararles este punto para que en el futuro no incurran en errores conceptuales.

Errores frecuentes Es común que los estudiantes confundan las rectas paralelas o asuman que siempre se presentan horizontalmente. Presente a los estudiantes situaciones diversas en las que se deba identificar las rectas paralelas involucradas y los segmentos que determinan sobre las transversales. Además, es importante recalcar que no deben asumir el paralelismo de dos o más rectas en un problema si no está declarado en forma explícita en el enunciado de este.

Actividades complementarias a) Dos edificios se encuentran separados por una distancia de 25 m, en forma perpendicular al suelo, el edificio de menor tamaño tiene 28 m de altura. Si una persona a 14 metros de distancia observa el edificio de menor tamaño y detrás de este al otro edificio, ¿cuál es la altura del edificio de mayor tamaño? Respuesta: xm 28 m 25 m

Es interesante abordar con los estudiantes el concepto de recíproco, y de manera más general, analizar que dada una proposición condicional (“si a entonces b”) existe asociada a ella su recíproco y su contra recíproco: Recíproco: si b, entonces a. Contrarrecíproco: si no b, entonces no a. Es interesante que los alumnos puedan constatar que el contrarrecíproco es equivalente a la proposición original,

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14 m

Realiza un acertado dibujo de la situación, utilizando correctamente los datos entregados. Infiere que los edificios se encuentran en posición paralela, aplica el teorema de Thales y calcula la altura del edificio, que es 78 m. b) Como se mencionó, al final de la unidad se encuentra la demostración formal de teorema de Thales, que puede ser analizada en este momento. Si parece muy compleja de seguir formalmente, puede apoyarse en recursos visuales que puede encontrar en internet, ya que la complejidad viene dada más por la escritura de los pasos que por la demostración en sí misma.

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1

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AB, si el punto C lo divide en razón áurea se cumple que

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División de trazos Págs. 116 a 119

Propósito Dividir trazos en una razón dada.

Palabras clave División, razón, segmento

Prerrequisitos §§ Aplicación del teorema de Thales para el cálculo de medidas de segmentos.

Activación de ideas previas En la lección se plantea la situación de un carpintero que debe dividir una viga para instalar escalones, y necesita realizarlo en forma exacta. Conviene relacionar con lo estudiado en la unidad 1 respecto de la ubicación de raíces en la recta numérica para volver a la discusión sobre la exactitud de los cálculos y procedimientos en matemática, especialmente cuando tienen aplicaciones en la vida cotidiana.

Orientaciones didácticas

AC AB 1+ 5 = = =φ CB AC 2

La definición del número phi está dada a partir de la media y extrema razón, pero para calcular este valor es necesario utilizar la ecuación de segundo grado. De todos modos, conocido el valor puede pedir a los estudiantes que investiguen maneras de dividir un trazo en razón áurea utilizando regla y compás, y sus principales usos en obras de arte y construcciones clásicas, además de su presencia en la naturaleza.

División de segmentos en el plano cartesiano La división de segmentos en el plano cartesiano puede analizarse junto a los estudiantes, empleando el teorema de Thales. Para ello, se considera un segmento cuyos extremos son los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2). El problema consiste en determinar las coordenadas (x, y) del punto C que lo divide en razón p : q. B(x2, y2) C(x, y)

A(x1, y1)

Para determinarlas, se trazan rectas horizontales por los puntos A y C, y una recta vertical por el punto B, que determinan los puntos D y E.

Destine un tiempo de la clase a que los estudiantes se familiaricen con el uso de la regla y el compás, y supervise el correcto uso de estos instrumentos.

B(x2, y2) C(x, y) D(x2, y)

Errores frecuentes Es posible que los estudiantes confundan los conceptos de razón y de fracción, y por lo mismo realicen cálculos equivocados de la razón de división de un segmento. Conviene aclararles este punto estableciendo claramente que fracción corresponde a una comparación entre un número (parte) y lo que consideramos como el todo, mientras que razón corresponde siempre a una comparación entre partes.

Actividades complementarias

La división en media y extrema razón o división áurea Analice con los estudiantes la relación áurea o divina, que corresponde al número de oro φ (phi). Se le llama también “división en media y extrema razón”, dado que en un trazo

E(x2, y1)

A(x1, y1)

Se puede observar que:

ED = y – y1

DB = y2 – y

Ya que las rectas AE y CD son paralelas, por teorema de Thales se tiene que: AC ED p = = CB DB q Por lo tanto: ED y – y1 p = = DB y 2 – y q

q( y – y1) = p( y 2 – y ) qy – qy1 = py 2 – py y (p + q) = py 2 + qy1 y=

py 2 + qy1 p+q Unidad 2 • Geometría

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De manera análoga, trazando una recta vertical por el punto C, se puede deducir que px + qx1 x= 2 p+q Por lo tanto, las coordenadas del punto C son  px 2 + qx1 py 2 + qy1   p + q , p + q 

las proyecciones sobre la hipotenusa, de manera que los estudiantes puedan identificar los elementos y plantear las relaciones no solo de memoria, sino que analizando en cada caso las figuras y los valores dados. No se debe perder de vista que en matemática, si bien suelen reservarse algunos nombres, esto es solo una convención, y lo importante es la relación que muestra el teorema más que los símbolos utilizados para describir los elementos involucrados.

Errores frecuentes

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Teorema de Euclides Págs. 120 a 123

Propósito Demostrar y aplicar los teoremas de Euclides relativos a proporcionalidad de trazos.

Palabras clave Teorema, semejanza, proyección, altura, segmentos, hipotenusa, catetos, triángulo rectángulo

Prerrequisitos §§ Aplicación de los criterios de semejanza de triángulos. §§ Identificación de triángulos semejantes y sus elementos correspondientes.

Activación de ideas previas Conviene recordar con los estudiantes qué es un triángulo rectángulo, y sus principales características. Deben ser capaces de observar y/o deducir que la hipotenusa siempre es el lado de mayor medida, que los ángulos agudos siempre son complementarios y que los catetos también son alturas del triángulo. Además, y como parte de la nomenclatura de cualquier tipo de triángulos, sus lados se nombran utilizando la letra minúscula correspondiente al vértice opuesto.

Orientaciones didácticas La deducción de este teorema es relativamente sencilla y brinda resultados interesantes que permiten una gran cantidad de aplicaciones. Presente a los estudiantes distintas formulaciones de este teorema, con triángulos rectángulos en distintos vértices, de manera que no siempre los catetos sean a y b sino también a y c, y b y c. Se pueden modificar también los nombres de

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Como se mencionó, es posible que los estudiantes piensen erróneamente que las relaciones dadas por el teorema de Euclides siempre corresponden a los elementos dados por las letras a, b, c, p y q, sin analizar que dichas letras están cumpliendo un papel, en tanto c es la hipotenusa del triángulo.

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Teorema de Pitágoras y recíproco Págs. 124 a 127

Propósito Demostrar y aplicar el teorema de Pitágoras y su recíproco.

Palabras clave Teorema, recíproco, hipotenusa, catetos, triángulo rectángulo

Prerrequisitos §§ Comprensión y aplicación del teorema de Euclides.

Activación de ideas previas El teorema de Pitágoras es conocido por los estudiantes desde cursos anteriores, por lo que su uso es ya habitual para ellos. Lo que es menos conocido es su recíproco, que se demuestra en esta lección. Sin embargo, esto era utilizado por los egipcios hace miles de años para construir ángulos rectos. Para esto, utilizaban una cuerda con 12 nudos equidistantes, con la que se forma un triángulo con lados de 3, 4 y 5 nudos. Al tensar la cuerda, los lados más cortos forman un ángulo recto. Esta técnica, utilizada en construcción y división de terrenos, aun está vigente y permite presentar a los estudiantes un contexto interesante para abordar este tema.

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1 Orientaciones didácticas Existen distintas formas de demostrar el teorema de Pitágoras; en el texto se presenta una, pero puede investigar en Internet y observar otras que le puedan parecer más adecuadas para sus estudiantes. Puede ser difícil para los estudiantes pensar en demostrar el teorema de Pitágoras considerando que siempre les ha sido presentado como un resultado dado, por lo que en la demostración del mismo puede que tiendan a utilizar precisamente lo que quieren demostrar. La demostración de este teorema —y su recíproco— da una buena oportunidad para formar en los estudiantes el pensamiento matemático distinguiendo hipótesis y tesis.

Errores frecuentes De la misma manera en que el uso de las letras habituales puede prestarse para confusiones y errores, en el caso del teorema de Pitágoras la formulación usual de a2 + b2 = c2 es, en ocasiones, mecanizada por los estudiantes que la aplican sin reparar en que esta es correcta solo si la hipotenusa es c. Plantee a los estudiantes distintas situaciones con diferentes nombres para los vértices y los lados, y de esta manera propicie la comprensión correcta del teorema.

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3

4

Para no cometer errores Página 129

El análisis de errores permite, de manera efectiva y concreta, detectarlos y corregirlos. Es importante que estimule a los estudiantes a analizar sus procedimientos constantemente y a desarrollar la capacidad de análisis y autocrítica respecto de los errores cometidos. En los casos presentados en esta sección, los errores cometidos ya han sido abordados en las sugerencias correspondientes a las respectivas lecciones, pero es interesante observar si los estudiantes incurren en ellos (o los mantienen). Esto podría revelar apresuramiento en la resolución o un deseo de resolver las cosas sin analizar detalladamente, lo que puede constituir una práctica habitual en ellos a la que debe estar atento para corregir.

Resolución de problemas Página 128

Las estrategias de resolución de problemas no se limitan solo a una serie de pasos estandarizados que luego son mecanizados por los estudiantes —lo que es, esencialmente, todo lo contrario a un problema—, sino que deben presentar a los estudiantes nuevas situaciones, desafiantes y novedosas. Se busca en esta sección que los estudiantes puedan aplicar el teorema de Thales en el plegado de una hoja, procedimiento muy ligado a las artes plásticas a través del origami o papiroflexia. Estimule de manera especial a los estudiantes en la realización de esta actividad, que puede resultar de gran interés para ellos.

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Integrando lo aprendido Págs. 130 y 131 Indicador

Comprender y aplicar el teorema de Thales sobre trazos proporcionales.

Dividir trazos en una razón dada.

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Preguntas asociadas

1, 2 y 3

4y5

Demostrar y aplicar los teoremas de Euclides relativos a proporcionalidad de trazos.

6, 7 y 8

Demostrar y aplicar el teorema de Pitágoras y su recíproco.

9, 10 y 11

Remedial

Los errores más frecuentes en la aplicación del teorema de Thales tienen que ver con la incorrecta identificación de los segmentos proporcionales, en ocasiones confundiendo los casos. Los estudiantes que han obtenido mejores resultados puedan ayudar a los que presentan dificultades, para transmitirles de manera más cercana las estrategias que utilizan para evitar errores. Verifique si los errores cometidos corresponden a la interpretación incorrecta de la razón de división de un segmento, o bien se deben a errores de procedimiento tanto geométrico como aritmético (en los cálculos de la pregunta 5). Para los errores conceptuales, se recomienda que los estudiantes puedan repasar y resolver nuevamente los ejercicios de la lección. En el caso de los errores procedimentales, se sugiere que el estudiante analice y detecte sus errores, los explique y luego realice nuevamente las actividades. Los errores más típicos en la aplicación de los teoremas de Euclides y Pitágoras tienen que ver con una incorrecta identificación de los segmentos involucrados. Se sugiere que el estudiante se enfrente a ejercicios de este tipo en los que los elementos estén nombrados de distintas maneras, y el estudiante describa los pasos que sigue en su resolución, partiendo por la identificación de los datos y de lo que se quiere averiguar.

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1

Sección 3 Ángulos y segmentos en la circunferencia De esto se trata El estudio de la circunferencia ofrece interesantes posibilidades de análisis y aplicaciones en diversos ámbitos, como se muestra en el inicio de esta sección respecto de la formación del arcoíris. Los diversos tipos de ángulos que se forman cuando un rayo de luz ingresa a una gota de agua (y por extensión, el comportamiento de la luz con diversos tipos de lentes) pueden ser analizados y conectados con la asignatura de física, dando a los estudiantes una interesante oportunidad de integrar sus conocimientos.

¿Qué debes saber? Identificar los elementos lineales de la circunferencia Solicite a los estudiantes que expliquen las similitudes y diferencias entre los respectivos elementos. Para ello, les puede plantear preguntas del tipo:

20

2

3

4

Ángulo inscrito y del centro en una circunferencia Págs. 134 a 139

Propósito Identificar y relacionar los ángulos inscritos y del centro en una circunferencia.

Palabras clave Ángulo, arco, centro, circunferencia, medida, grado

Prerrequisitos §§ Identificación de elementos de la circunferencia y sus propiedades. §§ Cálculo de ángulos en triángulos. §§ Identificación y medición de ángulos.

Activación de ideas previas Analice junto a los estudiantes la forma en que se miden los ángulos, y por qué no se utilizan medidas lineales para ello. Ya que en las lecciones anteriores han discutido acerca de la semejanza entre las circunferencias, es posible mostrarles que utilizar una circunferencia para medir los ángulos garantiza que, sin importar las medidas de los lados del ángulo, siempre se obtiene la misma medida angular.

• •

¿Cuál es la diferencia entre un arco y una cuerda?

Orientaciones didácticas

¿En qué se parecen una secante y una tangente? ¿En qué se diferencian?

•

¿Cuál es la diferencia entre una cuerda y una secante?

Los estudiantes han analizado demostraciones de teoremas y propiedades relacionadas con la congruencia de triángulos en primer año de Enseñanza Media, por lo que se sugiere repasar con ellos lo que se entiende por demostración en matemática, como secuencia de argumentos conectados lógicamente que permiten llegar a una conclusión (tesis) a partir de la información que se tiene (hipótesis).

Calcular ángulos en triángulos Solicite a los estudiantes justificar los resultados obtenidos, para verificar que aplican correctamente las propiedades de las figuras que se presentan. Es importante que los estudiantes sean capaces de elaborar razonamientos del tipo “dos lados del triángulo son radios de una circunferencia, por lo que sus medidas necesariamente son iguales. Entonces, se trata de un triángulo isósceles y sus ángulos basales tienen igual medida”. Esto es crucial, ya que en la sección deberán realizar demostraciones, que requieren fundamentar adecuadamente cada paso.

La demostración del teorema del ángulo inscrito requiere, además, analizar la existencia de múltiples casos que conforman, en conjunto, el enunciado general. Enfatice este aspecto, ya que en ocasiones una de las labores más complejas en la disciplina es identificar adecuadamente los casos que componen una situación determinada. No hacerlo puede inducir a pensar, erróneamente, que un teorema está demostrado cuando en realidad solo se ha confirmado con un caso particular.

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Pese a que no forma parte de los contenidos mínimos, puede abordar la deducción de los teoremas del ángulo semiinscrito, del ángulo exterior y del ángulo interior, puesto que se desprenden directamente del teorema del ángulo interior y los estudiantes ya cuentan con todas las herramientas para demostrarlos.

Cuerdas y secantes en la circunferencia Págs. 140 a 143

Propósito Determinar relaciones entre trazos y secantes de una circunferencia.

Errores frecuentes Puede ocurrir que los estudiantes se confundan con la idea de que si dos ángulos subtienden un mismo arco entonces tienen la misma medida, y consideren que, por ejemplo, los ángulos α y β de la figura son congruentes:

α

β

En este sentido, es importante que enfatice en la necesidad de identificar el tipo de ángulo que se está analizando, y a partir de ello aplicar las relaciones entre su medida y el o los arcos que subtiende.

Actividades complementarias Analice junto a los estudiantes la demostración de que la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que se interseca con ella en el punto de tangencia. Para hacerlo, se puede proceder por reducción al absurdo o proceder de manera más intuitiva analizando la siguiente figura: B

O

α

B' B''

A

A partir de ella, considerando que la recta trazada es tangente a la circunferencia en el punto A, puede observar con los estudiantes que, para un ángulo α, el triángulo AOB es isósceles, y por ende sus ángulos basales son congruentes. Luego, se puede apreciar que si la medida de α disminuye cada vez más, estos ángulos basales se aproximan cada vez más a un ángulo recto, hasta serlo en el caso que los puntos A y B coinciden.

70

21

Palabras clave Circunferencia, segmento, recta, cuerda, tangente, secante, proporción

Prerrequisitos §§ Identificación y relación entre ángulos inscritos y del centro en una circunferencia. §§ Aplicación de criterios de semejanza de triángulos. §§ Relación entre medidas de elementos de triángulos semejantes.

Activación de ideas previas En esta sección se aplican muchos de los contenidos que se han estudiado en las secciones anteriores, por lo que es fundamental verificar que los estudiantes los recuerden y sean capaces de aplicarlos adecuadamente.

Orientaciones didácticas Como se mencionó, la deducción de los teoremas de las cuerdas y de las secantes permite aplicar los contenidos estudiados en toda la unidad, por lo que conviene explicitar estas relaciones al revisar las deducciones con los estudiantes. Esto les permitirá repasar los contenidos abordados y constatar las relaciones entre ellos, lo que es de gran importancia en la construcción y desarrollo del pensamiento matemático. Es esencial que los estudiantes sean capaces de decir, por ejemplo, que “el producto de las medidas de los segmentos que se generan al cortarse dos cuerdas es igual para cada una de las cuerdas”. El objetivo de esto es que el estudiante tome consciencia de lo que está realizando, lo que permite evitar confusiones posteriores.

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1 Errores frecuentes Como ha sido en toda la unidad, muchos errores cometidos por los estudiantes pueden deberse a una incorrecta identificación de los elementos relacionados, y por ello se los utiliza en forma errónea. Para evitar esto, plantee a los estudiantes problemas diversos en que se den los datos y/o se pregunte por la medida de distintos elementos (cuerdas, segmentos, secantes, etc.), verificando que los estudiantes analicen cada situación antes de aplicar los teoremas vistos y las reglas de cálculo asociadas.

En una circunferencia, la cuerda MP se prolonga más allá de P, hasta intersectar un segmento tangente TA, en el punto A. Sabiendo que T es el punto de tangencia, PA = 4 cm y TA = 8 cm, ¿cuál es la longitud de MP? Realiza un dibujo si es necesario. Respuesta: A P

3

4

La actividad presentada en esta sección permite integrar contenidos de la sección 2 (el teorema de Euclides) y la ubicación de raíces en la recta numérica, estudiada en la Unidad 1. Enfatice que en matemática los conocimientos no se encuentran aislados, y que en ocasiones un cambio en el enfoque acostumbrado para la resolución de un problema puede darnos soluciones igualmente correctas, pero en menos pasos.

Para no cometer errores

Actividades complementarias



2

T

O M 2

Utiliza la relación (AT ) = AM ⋅PA , reemplazando con los datos dados y obteniendo como resultado MP = 12 cm.

Página 145

El análisis de errores permite, de manera efectiva y concreta, detectarlos y corregirlos. Estimule a los estudiantes a analizar sus procedimientos constantemente y desarrollar la capacidad de análisis y autocrítica respecto de los errores cometidos. Los errores planteados en esta sección apuntan tanto al uso incorrecto de las propiedades por haberlas aprendido mal (Ej.: asignar la misma medida al ángulo del centro y al inscrito) como a una asignación errónea de los segmentos involucrados en el teorema de las secantes. Para ambos casos, verifique si los estudiantes que cometen estos errores resuelven los ejercicios con el orden necesario y verifican, paso a paso, si sus procedimientos son correctos. Los errores en este tipo de ejercicios suelen suceder por apresuramiento en la determinación del resultado, que una ejercitación consciente y reiterada debiera ser capaz de corregir.

Resolución de problemas Página 144

Las estrategias de resolución de problemas permiten trabajar con los estudiantes diversos tipos de pensamiento y fomentar en ellos su capacidad de análisis, creatividad, rigurosidad y flexibilidad para adaptarse a nuevos métodos y validar formas distintas de realizar las tareas. Es muy importante que estimule a los estudiantes a participar activamente en la resolución de problemas. Para esto, puede solicitarles que intenten en primer lugar resolver el problema planteado sin mirar la resolución propuesta, para luego discutir en grupos, analizar la forma planteada en el libro y realizar aportes finales que puedan optimizarla o perfeccionarla.

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Integrando lo aprendido Págs. 146 y 147 Indicador

Preguntas asociadas

Identificar y relacionar los ángulos inscritos y del centro en una circunferencia.

1, 2 y 3

Determinar relaciones entre trazos y secantes de una circunferencia.

4, 5 y 6

Remedial

Los errores más frecuentes para estos indicadores tienen relación con la incorrecta identificación de los elementos involucrados (ángulos y segmentos) en cada caso, y de las relaciones que se establecen entre ellos. Permita a los estudiantes que han presentado dificultades que elaboren cuadros resumen que apoyen la resolución de ejercicios. Se sugiere, además, preguntar permanentemente a los estudiantes: ¿Qué ángulos hay en la figura? ¿De qué tipo son? ¿Qué datos tenemos? ¿Cómo se relacionan estos datos? Refuerce la necesidad de referirse a los elementos involucrados en forma correcta, utilizando la nomenclatura adecuada.

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1

2

3

4

Reforzar y profundizar

Diario mural Págs. 148 y 149

En estas páginas se pretende mostrar un tema relacionado con la unidad de manera amena y original, considerando aspectos sociales, artísticos o históricos de la disciplina. La observación de los astros por motivos religiosos, la medición del tiempo para determinar las estaciones y una simple admiración por la naturaleza fue el motor para muchas construcciones formidables de la Antigüedad. En este sentido, Stonehenge es un testimonio de la búsqueda de los seres humanos por conocer y ampliar su mirada del mundo que los rodea. En ocasiones, el desarrollo de las ciencias por parte de las civilizaciones antiguas es sobredimensionado o mal interpretado. Por esta razón, conviene aclarar a los estudiantes que muchas de las teorías que se elaboran respecto de ello son tentativas y difícilmente comprobables. Puede ser interesante complementar el análisis de la infografía con la asignatura de ciencias sociales, lo que permitirá enriquecer la cultura de los estudiantes.

Págs. 152 a 155

Para los ejercicios de refuerzo, se recomienda especialmente prestar atención a que los estudiantes puedan explicar los procedimientos empleados en la resolución de los ejercicios y no solo a los resultados obtenidos, con el objetivo de garantizar su comprensión de los conceptos involucrados. Por la misma razón, se sugiere al docente revisarlos en conjunto con el curso, permitiendo que los estudiantes resuelvan algunos de ellos en la pizarra con la colaboración de sus compañeros. Mediante este sistema se pretende que puedan retroalimentarse mutuamente de manera más significativa, al provenir de sus propios pares.

Para sintetizar Págs. 150 y 151

Es de gran importancia, al concluir una unidad, recoger los elementos esenciales de ella y permitir que los estudiantes puedan apreciar los contenidos como conjunto, considerando sobre todo la naturaleza progresiva e integradora de la disciplina. Por lo mismo, se sugiere prestar especial atención a la elaboración de la síntesis de la unidad, permitiendo un trabajo individual, grupal y con todo el curso, dando también la posibilidad de resolver las últimas dudas que puedan quedar, poner en común las dificultades y verificar la adecuada comprensión de los conceptos. En estas páginas se retoma, además, el tema presentado en el inicio de la unidad, con el objetivo de que puedan analizarlo nuevamente incorporando los conocimientos adquiridos en ella. Si es posible, resultaría muy interesante la realización de un proyecto conjunto con la asignatura de Artes visuales, aplicando y/o investigando más en profundidad la técnica estudiada.

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Evalúo mis aprendizajes Págs. 156 a 159

Sección

1

Indicador

Identificar y caracterizar polígonos semejantes en diversos contextos. Analizar y construir homotecias. A comprender y aplicar el teorema de Thales sobre trazos proporcionales. A dividir trazos en una razón dada.

2

A demostrar y aplicar los teoremas de Euclides relativos a proporcionalidad de trazos. A demostrar y aplicar el teorema de Pitágoras y su recíproco. Identificar y relacionar los ángulos inscritos y del centro en una circunferencia.

3

74

Determinar relaciones entre trazos y secantes de una circunferencia.

Preguntas asociadas

Remedial

1, 2, 3, 4, 5, 6 y 9

Verifique que los estudiantes identifican correctamente las figuras involucradas en el análisis, las nombran correctamente y emplean luego la información dada.

7y8

10, 11, 12, 13 y 21

14 y 15

16, 17 y 18

19 y 20

Permita a los estudiantes que presenten dificultades que corrijan sus errores utilizando un cuadro-resumen o esquema —puede ser el elaborado en la síntesis de la unidad—, para verificar que comprenden los teoremas y procedimientos involucrados y los aplican correctamente. Supervise a los estudiantes que presenten dificultades especialmente en la identificación de los datos de cada pregunta, de modo que asocien correctamente los segmentos involucrados con las relaciones que plantea cada teorema y así puedan resolver en forma correcta.

22, 26, 27, 28, 29, 30 y 31 Solicite a los estudiantes que presenten dificultades que expongan la forma en que resuelven cada problema, explicitando los elementos involucrados (cuerdas, secantes, 23, 24, 25, 32 y 33 ángulos, arcos) y las relaciones entre ellos. Así podrá detectar en forma precisa los errores cometidos y tomar las acciones necesarias para enmendarlos.

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Información complementaria La cámara oscura Una contextualización inmediata para el análisis de la semejanza de figuras es la fotografía. Por lo mismo, es interesante conocer algo de la historia de ella y, en general, de las formas que han existido en la historia para reproducir imágenes semejantes a las que observamos a nuestro alrededor. El antecedente más preciso es la cámara oscura. Posiblemente nunca se sabrá con precisión quién y cuándo se descubrió la cámara oscura. Fue en la Antigua Grecia donde surgió la preocupación por encontrar una explicación del fenómeno lumínico, que condujo a los filósofos a observar los efectos de la luz en todas sus manifestaciones. Aristóteles sostuvo que los elementos que constituían la luz se trasladaban de los objetos al ojo del observador con un movimiento ondulatorio. Para comprobar su teoría, construyó la primera cámara oscura de la que se tiene noticia en la historia. Una de las paradojas de la historia de la fotografía tuvo lugar en el siglo VI d. C., cuando el alquimista árabe Abd-elKamir descubrió una emulsión fotosensible, aunque nunca la aplicó a la cámara oscura —que ya existía— porque no tenía conocimiento de ella. Por su parte, el mago Merlín (539 d.C.) justamente en la misma época utilizaba la cámara oscura con fines estratégicos y de observación en la guerra que sostuvo el rey Arturo contra los sajones. En sus escritos se habla de la necesidad de utilizar el “cuerno de unicornio” para hacer el orificio de entrada de luz en ella. En el tiempo en que se difundió el uso de este aparato, la magia era una práctica que se mezclaba con el estudio de los fenómenos naturales, por lo que el hecho de relacionar al unicornio con la cámara oscura ocasionó que durante siglos esta recibiera el nombre de “caja mágica”. Pero no fue sino hasta la segunda mitad del siglo XV cuando se volvió a tener noticia de la cámara oscura a través de Leonardo da Vinci, quien redescubrió su funcionamiento y le adjudicó una utilidad práctica, motivo por el cual se le ha otorgado el crédito de su descubrimiento. Da Vinci y el alemán Alberto Durero emplearon la cámara oscura para dibujar objetos que en ella se reflejaban. A partir de ese momento se utilizó como herramienta auxiliar del dibujo y la pintura, extendiéndose rápidamente en Europa. La cámara oscura renacentista tenía las dimensiones de una habitación, para que el pintor pudiera introducirse en ella y dibujar desde su interior lo que se reflejaba Para lograrlo, colocaba un papel translúcido en la parte posterior, justo enfrente del orificio por el que pasaba la luz. Es importante recordar que la formación de la imagen es invertida, por lo que el dibujante debía ser muy hábil para hacer las correcciones necesarias al copiar la imagen sobre el papel. Para conseguir que la imagen se formara era necesario que el orificio fuera muy pequeño, de lo contrario la calidad de la imagen no podía ser muy nítida ni detallada. En el siglo XVI un físico napolitano, Giovanni Battista Della Porta, antepuso al orificio una lente biconvexa (lupa) y con ella obtuvo mayor nitidez y luminosidad en la imagen. A partir de este avance, varios científicos se dedicaron a perfeccionarla. Esta aportación fue fundamental para el desarrollo de la fotografía, ya que marcó el principio de lo que hoy conocemos como el objetivo de la cámara, el cual permite la captura de imágenes a diferentes distancias y ángulos obteniendo como resultado imágenes nítidas y luminosas. Fuente: http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/luces_de_la_ciudad/Memorias/fotografia/camaraos.htm

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Actividad complementaria Nº 1 / El pantógrafo Nombre:

Curso:

Fecha:

Lee atentamente y realiza las siguientes actividades. Un pantógrafo es una herramienta que permite dibujar figuras homotéticas en forma mecánica, es decir, punto por punto. Para utilizarlo, el punto A se fija mediante un clavo o alfiler en un punto, y con un lápiz en el punto B se recorre el dibujo del cual se quiere construir la homotecia. Un lápiz ubicado en el punto C dibuja la figura homotética al moverse. F D

A

E

B

C

Material fotocopiable

Para su funcionamiento, es necesario que se cumplan las siguientes relaciones:

AF = CF

DB = FE

BE = DF

1. Construye un pantógrafo con las instrucciones dadas. Utiliza una medida de AF = 30 cm, y traza diferentes homotecias variando la medida de AD. a) ¿Cuáles son las razones de homotecia de las figuras obtenidas, en los siguientes casos?

AD = 10 cm

AD = 15 cm

AD = 20 cm

b) ¿Qué relación existe entre las medidas de AD, AF y la razón de homotecia? Explica. 2. En un pantógrafo, es posible intercambiar el punto fijo (A), el lápiz que recorre la figura original (B) y el lápiz que traza la figura homotética (C). Si AD = 15 cm y AF = 30 cm, determina el tipo de homotecia que se obtiene si: a) se utiliza B como punto fijo y la figura se recorre con el punto C.

b) se utiliza C como punto fijo y la figura se recorre con el punto B.

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Actividad complementaria Nº 2 / Rectas perpendiculares Nombre:

Curso:

Fecha:

Lee atentamente y realiza las siguientes actividades. En cursos anteriores has aprendido a calcular y analizar la pendiente de una recta. Ahora, analizaremos la relación entre las pendientes de dos rectas perpendiculares entre sí. En la figura, las rectas L1 y L2 son perpendiculares y se intersecan en el punto A. Por este punto se traza una recta vertical L3, y además se traza otra recta horizontal L4. L2

L1 A

B

D

C

L4

L3

Material fotocopiable

1. Considerando que el triángulo ABC es rectángulo en A, ¿qué relación hay entre las medidas de los segmentos BD, DC y AD? Escribe una fórmula que los relacione.

2. La recta L1 tiene pendiente positiva, mientras que la de L2 es negativa. Determina la pendiente de cada una considerando las medidas de los segmentos BD, DC y AD.

3. ¿Qué relación se cumple entre las pendientes de dos rectas perpendiculares? Justifica utilizando los resultados anteriores.

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Actividad complementaria Nº 3 / El arco capaz Nombre:

Curso:

Fecha:

Lee atentamente y realiza las siguientes actividades. En la sección has visto que dos o más ángulos inscritos que subtienden un mismo arco son congruentes entre sí. Analizaremos ahora el problema opuesto a partir de una cuerda, es decir, dado un segmento construiremos la circunferencia que pasa por sus extremos, de manera que los ángulos inscritos que se construyan subtendiendo dicha cuerda tengan una medida dada. Consideraremos para esto el segmento AB, y el ángulo α. A

B α

Copia el segmento AB, y sobre él el ángulo BAC, de medida α. C

α

Material fotocopiable

A

B

Construye el rayo AD, perpendicular a AC. C

α

A

B D

Traza la simetral del segmento AB, que se interseca con el rayo AD en el punto O. Este punto es centro de la circunferencia que pasa por A y B. C

A

α

O

B D

1. Construye ángulos inscritos en esta circunferencia, de manera que subtiendan los ángulos AB y BA. ¿Cuáles de ellos tienen medida igual a α?

2. Justifica la construcción del arco capaz, es decir, el que contiene a los vértices de los ángulos inscritos de medida igual a α .

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1

Evaluación de la unidad

Nombre:

2

3

4

Curso:

I. Marca en cada caso la alternativa correcta. Identificar y caracterizar polígonos semejantes 1. ¿Cuáles de los siguientes tipos de figuras son siempre semejantes entre sí?

6. La medida de los lados de un triángulo de vértices ABC son 4, 5 y 6 cm respectivamente. ¿Cuál es la medida del lado FG si el perímetro del triángulo EFG es 60 cm y ∆ABC ~ ∆EFG? A. 4 cm

D. 24 cm E. 60 cm

A. Triángulos isósceles.

D. Pentágonos.

B. 16 cm

B. Rectángulos.

E. Trapecios.

C. 20 cm

C. Circunferencias. 2. En la figura hay dos triángulos semejantes. ¿Cuál es el perímetro del triángulo de menor tamaño?

7. De acuerdo a la figura, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)? A

C

B

15 c

D

6 cm

F

E

A. 5 cm

D. 39 cm

B. 14 cm

E. 57 cm

B

3. Un plano está construido en la razón 1 : 50 y las medidas de una ventana son 4 x 2 cm. ¿Cuáles son las medidas de la ventana en la realidad? D. 20 x 10 cm

B. 40 x 20 cm

E. 8 x 4 m

C. 2 x 1 m 4. Si el perímetro de un triángulo de menor tamaño semejante a otro es de 15 cm y la razón entre sus alturas es 7 : 21, ¿cuál es el perímetro del triángulo de mayor tamaño? A. 90 cm

D. 45 cm

B. 75 cm

E. 30 cm

C. 60 cm 5. Si la razón entre la medida de los lados de dos triángulos semejantes es 2 : 5, ¿cuál es la razón entre sus áreas?

C

E

I. ∆BDC ~ ∆BEA II. ∆DCB ~ ∆EFC III. ∆EFC ~ ∆DAF

C. 19 cm

A. 4 x 2 m

A. Solo I

D. I y III

B. Solo II

E. I, II y III

C. I y II 8. Si a un polígono se le aplica una homotecia de razón 3 : 4 y uno de sus lados mide 8 cm, ¿cuál es la medida de este lado luego de aplicada la homotecia? A. 2 cm

D. 24 cm

B. 6 cm

E. 32 cm

C. 12 cm

Lee y luego responde las preguntas 9, 10 y 11. A un cuadrado de área 25 cm2 se le aplica una homotecia de razón 3 : 5.

9. ¿Cuál es el perímetro del nuevo cuadrado?

A. 2 : 7

D. 25 : 4

A. 9 cm

D. 18 cm

B. 5 : 2

E. 4 : 25

B. 12 cm

E. 21 cm

C. 2 : 5

Material fotocopiable

A

F

8 cm

24 cm

m

D

C. 15 cm

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Evaluación de la unidad 10. ¿Cuál es el área del nuevo cuadrado?

14. ¿Cuál es la medida de CE?

A. 3 cm2

D. 64 cm2

A. 11 cm

D. 44 cm

B. 9 cm2

E. 75 cm2

B. 22 cm

E. 46 cm

C. 25 cm2

C. 33 cm

11. ¿Cuál es la medida del doble de la diagonal del nuevo cuadrado?

15. ¿Cuál es la medida de AE? A. 11 cm

D. 44 cm

A. 12

D. 2 18

B. 22 cm

E. 46 cm

B. 2 12

E.

C. 33 cm

36

C. 24 Aplicar los teoremas de Thales, Euclides y Pitágoras.

16. En la figura, AD = 20 cm, CD = 12 cm y BE = 9 cm, ¿cuál es el doble de la medida de BC? B

A

12. Si AB//ED , BC = 5 cm, AC = 3 cm, CD = 20 cm y EC = 2k + 6, ¿cuál es la medida de AE? B

Material fotocopiable

E D

A C

E

D

A. 1 cm

D. 8 cm

B. 2 cm

E. 12 cm

C. 4 cm

A. 3 cm

D. 12 cm

B. 6 cm

E. 15 cm

17. En la siguiente figura, L1 // L2 // L3.¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s)? M

L1

C. 9 cm

L2



C

Considera la siguiente figura para responder las preguntas 13, 14 y 15. AB //CD // EF, AC = 2x – 10, CE = 6 + x, FB : DB = 2 : 1 A

B D

C E

F

L3

Q W

P T X

I. MQ : QW = XT : TP II. MQ : TQ = QW : PT III. MQ : PT = QW : TX A. Solo I

D. II, y III

B. Solo II

E. I, II y III

C. Solo III 13. ¿Cuál es la medida de AC? A. 11 cm

D. 44 cm

B. 22 cm

E. 46 cm

C. 33 cm

18. Un trazo AB de 24 cm es dividido interiormente por el punto Q en la razón 5 : 7. ¿Cuál es el doble de la medida de AQ? A. 5 cm

D. 40 cm

B. 10 cm

E. 48 cm

C. 20 cm

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1

Evaluación de la unidad 19. Un trazo de 27 cm se divide interiormente en la razón 1 : 3 : 5. ¿Cuál es la suma de las medidas de los trazos mayor y menor que se forman? A. 3 cm

D. 27 cm

B. 9 cm

E. 36 cm

2

3

4

23. En la circunferencia los arcos BA, AC y CB están en la razón 3 : 7 : 2. ¿Cuál es la medida del ángulo BCA? B

A

C. 18 cm

C

20. Si un trazo se divide en la razón 5 : 4 y el segmento de menor medida que se forma es de 16 cm, ¿cuál es la medida del trazo original? A. 9 cm

D. 25 cm

B. 16 cm

E. 36 cm

C. 20 cm Aplicar relaciones entre ángulos y segmentos en la circunferencia.

A. 120º

D. 45°

B. 90º

E. 30°

C. 60º 24. Si en la circunferencia BA es tangente en B y el arco CD mide un tercio de la circunferencia, ¿cuál es la medida del ángulo ABC? D

21. En la circunferencia, PT es una tangente en P. ¿Qué tipo de ángulo es β?

Material fotocopiable

β

Q

O B

70º

P

C A T

O

A

A. del centro.

D. inscrito.

B. interior.

E. semi-inscrito.

C. exterior.

A. 120º

D. 50°

B. 100º

E. 25°

C. 60º 25. En la circunferencia se ha inscrito el triángulo equilátero ABC. Si BD es tangente en B, ¿cuál es la suma de las medidas de los ángulos AOB y ABD?

22. En la figura, si el ángulo MPN mide 40º, ¿cuál es el valor de α?

C

O P A

O M

N

A. 280º

D. 80°

B. 160º

E. 40°

C. 100º

B

D

A. 360º

E. 60°

B. 240º C. 180º D. 120°

Unidad 2 • Geometría

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81

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Evaluación de la unidad 26. En la figura, DF es tangente, el ángulo CAB = 40º y el ángulo EDF = 45º. ¿Cuál es la medida del arco CB?



En la figura, PT es diámetro, MT mide el triple que el radio, BA = 22 cm y MB = 27 cm.

D C A

F

O E

B

Material fotocopiable

M

T

O

A. 95º

D. 40°

B. 80º

E. 10°

C. 45º

Observa la figura. Luego, responde las preguntas 29 y 30.

A

P B

29. ¿Cuál es la medida del diámetro de la circunferencia?

Observa la figura. Luego, responde las preguntas 27 y 28.

A. 27 cm

D. 6 cm

B. 18 cm

E. 3 cm

En la circunferencia, las cuerdas PM y AH se cortan en el punto L, HL = 15 cm, LA = 6 cm y LM = 9 cm.

C. 9 cm 30. ¿Cuál es la medida de MA?

A L

P

M

O

D. 5 cm

B. 9 cm

E. 3 cm

C. 6 cm

H

A. 18 cm

Observa la figura. Luego, responde las preguntas 31 y 32. En la figura, BD = 10 cm, AC = 2 cm y BC : CD = 2 : 3.

27. ¿Cuál es la medida de PM? A. 5 cm

D. 15 cm

B. 9 cm

E. 19 cm

B

A C

O

C. 10 cm

D

28. ¿Cuál es la mitad de la medida de PL? A. 5 cm

D. 20 cm

B. 10 cm

E. 25 cm

C. 15 cm

31. ¿Cuál es la medida del diámetro de la circunferencia? A. 24 cm

D. 10 cm

B. 20 cm

E. 7 cm

C. 14 cm 32. ¿Cuál es la medida del radio de la circunferencia? A. 14 cm

D. 7 cm

B. 12 cm

E. 5 cm

C. 10 cm

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Matemática 2.º Medio - Guía didáctica del docente

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1

Evaluación de la unidad

Observa la figura. Luego, responde las preguntas 33 y 34. En la figura, PW = 6 cm, WZ = 5 cm y ZY = 5 cm.

2

3

4

36. En la figura, AX // RY //CZ. AB = 3m – 1, BC = 3m + 1, XY = 10 cm y XZ = 2 cm. ¿Cuál es la cuarta parte de la medida de AC? A

P

B

W

X

C

Z

O Y

X

Y

Z

33. ¿Cuál es la medida de XZ? A. 30 cm

D. 5 cm

B. 11 cm

E. 1 cm

C. 6 cm 34. ¿Cuál es la medida de XY? D. 5 cm

B. 11 cm

E. 1 cm

C. 6 cm II. Resuelve los siguientes problemas. 35. Si la razón entre las áreas de dos triángulos semejantes es 50 : 32 y el perímetro del triángulo de mayor área es 15 cm, ¿cuál es el perímetro del triángulo de menor área?

37. En la figura, los arcos ZX, WY y ZY miden 130º, 180º y 50º, respectivamente. ¿Cuál es la medida de α + β? Y X

β

Z

Material fotocopiable

A. 30 cm

O

W

Unidad 2 • Geometría

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Solucionario Actividad complementaria Nº1 El pantógrafo 1. a) 1 : 4, 1 : 2 y 2 : 3 AD . b) La razón de homotecia es AF 2. a) Homotecia de razón –1. b) Homotecia de razón 1 : 2.

Actividad complementaria Nº2 Rectas perpendiculares

Actividad complementaria Nº3 El arco capaz 1. Los ángulos pedidos son los que subtienden el arco BA. 2. La respuesta depende de cada estudiante. Al trazar la perpendicular AD, cualquier punto sobre AD que sea centro de la circunferencia buscada y pase por A tendrá a AC como tangente. El centro de la circunferencia debe ser equidistante de A y de B, por lo que se construye la simetral del segmento.

1. AD2 = BD • CD 2. L1 : m1 =

AD AD , L 2 : m2 = – BD CD

AD AD •– BD CD AD • AD =− BD • CD

3. m1 • m2 =

AD 2 BD • CD =−1 =−

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Matemática 2.º Medio - Guía didáctica del docente

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1

2

3

4

Evaluación de la unidad (Pág. 79) I. Preguntas de alternativas

Indicador Identificar y caracterizar polígonos semejantes.

Aplicar los teoremas de Thales, Euclides y Pitágoras.

Aplicar relaciones entre ángulos y segmentos en la circunferencia.

Pregunta

Clave

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

C C C D E C D B B B D E B B D B C C C E E A D D C E E E B D D C D B C

Unidad 2 • Geometría

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II. Preguntas de desarrollo Problema 35

Problema 36

Problema 37

Correcta Deduce correctamente que la razón entre los perímetros debe ser 50 = 25 = 5 32 16 4 Aplica luego la proporción y determina que 5 15 = → x = 12. 4 x

Correcta Plantea la proporción correctamente y verifica que el valor obtenido para m es negativo, por lo que la solución no es pertinente.

Correcta Determina correctamente las medidas de los ángulos y concluye que el valor buscado es 105º.

Parcialmente correcta Interpreta incorrectamente la relación entre las áreas como razón de semejanza, o la interpreta correctamente pero no como relación entre los perímetros.

Parcialmente correcta Plantea la proporción, calcula que m = –2, y con ello que

Parcialmente correcta Interpreta incorrectamente la información, asociando las medidas de los arcos con los ángulos.

AC = 3(–2) – 1 + 3(–2) + 1 = –6 – 1 – 6 + 1 = –12 Deduce así que el valor pedido es –3, pero no interpreta que no es pertinente.

Incorrecta No logra relacionar la expresión entregada en el enunciado del problema.

Incorrecta No plantea la proporción, o lo hace en forma incorrecta.

Incorrecta No logra interpretar correctamente la información.

Banco de preguntas (Pág. 87) Pregunta

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Clave

A

C

E

E

A

D

C

D

E

A

A

D

13. a) 24 cm b) 2 cm c) 6,4 cm d) 4 cm

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Banco de preguntas

1

Identificar y caracterizar polígonos semejantes 1. Un rectángulo de lados 6 x 3 cm se amplía en razón 3 : 4. ¿Cuál es el área del rectángulo ampliado?

3

4

4. Si al aplicar una homotecia a un cuadrilátero la nueva figura se sitúa dentro del cuadrilátero original, ¿qué valor toma la razón de homotecia? A. Menor que –1

A. 32 cm2

B. Cero

B. 18 cm2

C. Mayor que 1

C. 16 cm2

D. 1

D. 12 cm2

E. Entre 0 y 1

E. 9 cm2

2

Aplicar los teoremas de Thales, Euclides y Pitágoras

2. En un mapa, dos ciudades están separadas por 3 cm. Si su escala es de 1 : 200 000, ¿cuántos metros separan a ambas ciudades en la realidad?

5. En la figura L1 // L2, BD = 5 cm, DE = 3 cm y CD = 4 cm. ¿Cuál es la cuarta parte de la medida de AB?

A. 60 m

A

L1

B

B. 600 m C

L2

C. 6 000 m

D E

D. 60 000 m E. 600 000 m

A. 2, 6 cm

3. En la siguiente figura donde AB // HK. ¿Cuál es la pareja de triángulos semejantes? A

C. 10,6 cm D. 12 cm

B

E. 15 cm

M H

B. 6 cm

K

6. En la figura, las rectas AB, CD y EF son paralelas. ¿Cuánto mide el segmento BD?

A. ∆AMH ~ ∆BMK B. ∆ABH ~ ∆BAK B

C. ∆ABM ~ ∆AMH D. ∆BKM ~ ∆MKH E. ∆ABM ~ ∆KHM

5

A 2x F

E

3

C

2x – 4 D

A. 4 B. 6 C. 10 D. 16 E. 20

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11. La medida angular del arco DA es igual a la medida angular del arco CD, el arco BC mide 2x y el arco AB mide (3x + 10). ¿Cuál es el valor de x e y respectivamente?

7. De los siguientes triángulos, ¿cuál(es) es(son) rectángulo(s)? 4

II.

I. 10 2

16

III.

36

A. x = 50º e y = 55º

8

12

8

4

D

B. x = 55 e y = 50

A. Solo I

D. x = 55º e y = 110º

B. I y II

E. x = 50º e y = 110º

C. II y III

x

A

C. x = 110º e y = 55º

E

y C

O

B

12. Si PT es tangente a la circunferencia en P,

D. I y III

PA = 16 cm y AB =

E. I, II y III

segmento PT?

Aplicar relaciones entre ángulos y segmentos en la circunferencia

A. 8 cm

8. El ángulo cuyo vértice está en la circunferencia y sus lados son dos cuerdas se denomina ángulo:

C. 8 2 cm

PA , ¿cuál es la medida del 4 T

B. 4 3 cm

P 12 cm

B

O

D. 8 3 cm

A. del centro.

A

E. 4 48 cm

B. interior.

13. En la figura, AD es diámetro, la tangente AB mide 6 cm y CB = 3,6 cm.

C. exterior. D. inscrito

D

E. semi-inscrito. 9. Si O es el centro de la circunferencia, ¿cuál es el valor del ángulo x? A. 30º

C

A

D

B. 30,5º

E



30°

C. 37,5º

C

O x

D. 45º

60°

A

B

O

B

Calcula: a) el perímetro del triángulo ABD. b) el área del triángulo ABD.

E. 60º 10. En la circunferencia de centro O, se han dibujado tres diámetros. ¿Cuál es la medida del ángulo x?

c) la medida de DC. d) el radio de la circunferencia.

A. 20º B. 35º C. 70

O

D. 75º E. 110º

88

D

E x

20°

35°

A

C

B

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Bibliografía

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Sitios web

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Figuras semejantes: http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1224

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Ejemplos y actividades de homotecia: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Semejanza_y_homotecia/Homote1.htm

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Teorema de Euclides http://www.geometriadinamica.cl/guias/ejemplo.php?mode=count&c=1&id=35

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Representaciones y demostración de teorema de Pitágoras: http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/teoremapitagoras.htm

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Elementos de la circunferencia y el círculo: http://www.profesorenlinea.cl/geometria/CirculoCircunfelementos.htm

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Ángulos en la circunferencia: http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/circunf/inscrito.htm

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Relaciones métricas en la circunferencia: http://www.dmae.upct.es/~pepemar/angulo/home.htm http://www.dmae.upct.es/~pepemar/angulo/home.htm

Unidad 2 • Geometría

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Mini ensayo PSU Nombre:

Curso:

Marca en cada caso la alternativa correcta.

5. Si log3 (2a – 3) = 1, ¿cuál es el valor de log3 (a3)?

1. ¿Cuál(es) de los siguientes enunciados representa(n) un número racional? I. El perímetro de una circunferencia de radio 1 cm. π II. La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 2 cm. III. El área de un rectángulo cuyos lados miden 6 cm y 2 6 cm. A. Solo I

D. II y III

B. Solo II

E. I, II y III

Material fotocopiable

A. 3

D. 27

B. 6

E. 81

C. 9 6. ¿En qué caso se muestran los números ordenados de menor a mayor? A. 2 3, 13,3 2

D. 2 3,3 2, 13

B. 13,2 3,3 2

E. 3 2, 13,2 3

C. 3 2, 13,2 3

C. I y II

7. ¿Qué se obtiene al reducir términos semejantes en

2. Si las medidas de un rectángulo son log3 27 cm

la expresión 18 + 2 12 + 2 – 2 3 + 75 ?

y – –64 cm, su perímetro y su área son respectivamente:

A. 11 6

D. 4 3 + 7 2

A. 12 cm y 14 cm

D. 14 cm y 12 cm2

B. 4 2 + 3 3

E. 4 2 – 3 3

B. 12 cm y 14 cm2

E. E. 14 cm2 y 12 cm2

3

C. 14 cm y 12 cm 3. ¿Cuál es el resultado al escribir la expresión 2 2 2 como una sola raíz? A. 4 2

D. 7 25

B. 4 23

E.

12

25

4. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a 1 ? 2– 2

B. 1+ 2 C. 2 + 2 2

D. 2 – 2 2 E.

(

2 – 2 3) ? 2

A. –46

D. 14 – 2 6

B. 14 + 4 6

E. 4 6 –14

C. 14 – 4 6

C. 7 23

A. 2

C. 7 3 + 4 2 8. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a

3

90

Fecha:

9. ¿Cuál de los siguientes logaritmos es equivalente a la expresión log6 3 + log6 4 – log6 2? A. log6 5

D. log6 50

B. log 10

E. log6 0,5

C. log 100

2 –2 2

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10. Al resolver la ecuación log (log (2x – 1)) = 0, ¿cuál es el valor del doble de x? A. 11

D. 101

B. 11 2

E. 101 2

13. Respecto del triángulo ABC, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?

C a

b

h

C. 22

A

q D

11. Respecto de la siguiente figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

A

II. h2 = p(c • p) III. (p + q)2 – a2 = b2

C E

G

I

A. Solo I

D. II y III

B. Solo II

E. I, II y III

A. Solo I

D. I, II y III

B. Solo II

E. Ninguna es falsa.

C. Solo III 14. En la figura, L1 // L2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

D A

C. I y II

C

A

D

C. 27 41

L2

C

B

I. CB = DA II. EAD = EBC

L1

III. AD = kBC, k ∈ .

E

B. – 2

E

L1

12. Si L1 // L2, AE = 10 cm, CE = (3x + 4) cm, ED = (x + 1) cm y EB = 3 cm, ¿cuál es el valor de x?

Material fotocopiable

I. AB = AE II. Todos los triángulos rectángulos dibujados son semejantes por el criterio AA. III. La razón entre los catetos del triángulo ABC es igual a la de los lados homólogos de cada uno de los otros triángulos.

A. 2

c

I. a2 = p2 + pq

H

F

B D

B

p

B

L2

A. Solo I

D. II y III

B. Solo II

E. I, II y III

C. Solo III

D. 41 27 E. – 27 41

Mini Ensayo PSU

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Mini ensayo PSU

15. En la figura, BD // CE , AB = 5 cm, BC = 10 cm y CE = 8 cm. ¿Cuánto mide BD?

E

18. Una recta AB forma un triángulo rectángulo AOB con el origen (O) del plano cartesiano, cuyos catetos son segmentos contenidos en los ejes. ¿Cuáles son las coordenadas de sus vértices? (1) A(0, 3).

D

(2) Su hipotenusa mide 5 cm.

A B

A. (1) por sí sola.

C

B. (2) por sí sola. C. Juntas, (1) y (2).

A. 3 cm B. 4 cm

Material fotocopiable

C. 6 cm

D. 3 cm 8 E. 8 cm 3

16. ¿Cuál de las siguientes series de números no forma un trío pitagórico?

D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional. 19. ¿Cuál es la medida del área de la región encerrada por los gráficos de las rectas y = x, y = 4 y el eje Y del plano cartesiano? A. 2 unidades2

A. 3, 4 y 5

D. 7, 24 y 25

B. 4 unidades2

B. 5, 12 y 13

E. 13, 35 y 37

C. 8 unidades2 D. 16 unidades2

C. 8, 15 y 17 17. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 cm y la proyección de uno de sus catetos 49 cm. 25 ¿Cuánto miden sus catetos? A. 7 cm y 24 cm

D. 13 cm y 35 cm

B. 8 cm y 15 cm

E. 15 cm y 20 cm

E. Faltan datos. 20. En la figura, DBC es isósceles con base CD. Si BC = 4 cm 4 y AD= CD, ¿cuál es el área del triángulo ABD? 3

C

B

C. 6 cm y 23 cm

A

D A. 2 2 cm 3

D. 16 2 cm 3

B. 4 2 cm 3

E. 32 2 cm 3

C. 8 2 cm 3

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21. En la circunferencia de centro O se ha inscrito un cuadrilátero. ¿Cuál es el valor de x?

x 110º

24. En la circunferencia que se muestra a continuación, la medida del arco AB es el doble de la del arco CD, y el ángulo AEB mide 15°. ¿Cuánto mide el ángulo CPD?

O

A

P A. 35°

D. 110°

B. 55°

E. 220°

C. 70°

D

A

O B

C

B A. 15°

D. 60°

B. 30°

E. 75°

C. 45° 25. En la circunferencia, ¿cuál es la medida del ángulo CAB?

A

50º C

A. 30º

D. 120º

B. 60º

E. 240º

D

C

B

Material fotocopiable

22. En la circunferencia de centro O, m( b, entonces, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) un número negativo?

I. c – a c –b II. a – b b–c III. b – c c–a A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. I y III E. II y III 2. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente 4 5 con b +b ? b2 +b A. b2 4 3 B. b +b 3b 7 C. b b4

D. b11 E. 2b2 3. ¿Cuál de las siguientes expresiones se obtiene al 2 simplificar la fracción x – 6x+8 ? x2 – 4 A. x – 4 B. –6x – 2 C. x+4 x+2 D. x – 4 x–2 E. x – 4 x+2

142

4. ¿Cuál de las siguientes expresiones se obtiene al realizar la operación x + x , suponiendo que x+1 x –1 x ≠ 1? 2 A. x x –1

B. 2x x 2 –1 2 C. 2x 2 x –1

D. x – 2 x 2 –1 2 E. 2x +2x x 2 –1

5. Se tiene que p = x + xy, q = 2x. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente con p ? q A. 1+xy 2 B. 1+y 2 C. 1+y x D. 1+xy x E. Ninguna de las anteriores.

Analizar gráficamente las funciones raíz cuadrada, exponencial y logarítmica 6. Respecto de la función f(x) = log2 (x+2), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. Si x = –2, f(x) = 1 II. Si x = 0, f(x) = 1 III. Si f(x) = 2, x = 2 A. Solo II B. Solo III C. I y II D. II y III E. I, II y III

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1 7. ¿Cuál de las siguientes funciones corresponde al gráfico? Y

1 X 1

2

3

4

5

2

3

4

Resolver problemas 10. La suma de dos números es 20 y su diferencia es 4. ¿Cuál es el triple del número menor más el cuadrado del mayor?

6

−1

1 , para 2a – 5

11. ¿Por qué fracción se debe multiplicar

A. log (x – 2) – 1

que el resultado sea equivalente a

B. log (x + 2) – 1

5a ? 4a – 25 2

C. log (x – 2) + 1

12. Una librería ofrece la siguiente oferta:

D. log (x – 1) – 2



- Libros infantiles a $ 1200.



- Novelas a $ 2900



Durante el mes se venden 850 de estos libros, recaudando un total de $ 1 649 000. Si x representa la cantidad de libros infantiles e y el de novelas, ¿cuál es el sistema que representa la situación?

E. log (x – 2) – 1

Plantear, resolver y analizar sistemas de ecuaciones lineales 8. José y Ana compraron en el mismo lugar. José compró 1 kg de paltas y 1 kg de plátanos por $1200 y Ana compró 2 kg de paltas, que le costaron lo mismo que 3 kg de plátanos. ¿Cuánto cuesta 1 kg de paltas y 1 kg de plátanos, respectivamente? A. $ 300 y $ 900 B. $ 400 y $ 800 C. $ 480 y $ 720 D. $ 720 y $ 480 E. $ 800 y $ 400 3x – y –1= 0 9. Si (x, y) es solución del sistema , entonx+2y – 5 = 0 ces ¿cuál es el valor de (x, y)? A. (1, 2) B. (2, 1) C. (1, 0) D. (0, 2) E. (0, 1)

Unidad 3 • Álgebra

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Bibliografía •

Carreño, X. (2008). Álgebra. Capítulo I, II y III. Santiago de Chile, Editorial Arrayán.

•

Miranda, H, Moya, M. (2008). Álgebra. El poder generalizador de los símbolos. Santiago: Centro Comenius, Universidad de Santiago de Chile.

•

Rodríguez, G. y escalante, M. (2008). Unidad función cuadrática y raíz cuadrada. Santiago: Centro Comenius, Universidad de Santiago de Chile.

•

Spiegel, M.; Moyer, R. E. (2006). Álgebra Superior. Schwam. Mc Graw Hill

Sitios web

•

Análisis de funciones exponenciales. http://www.educar.org/enlared/planes/paginas/funcionexponencial.htm

•

Actividades y ejemplos relacionados con la función logarítmica y su representación gráfica. http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1066 Información complementaria acerca de la historia de las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones lineales. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/14/historia.html

•

Ejemplos y actividades de los distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones. http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1069

•

Ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales con solución única, con infinitas soluciones y sin solución, asociados a la relación entre las rectas que representan las ecuaciones. http://descartes.cnice.mec.es/descartes2/previas_web/materiales_didacticos/Resolucion_grafica_sistemas_ ecuaciones/Resolucion_grafica_sistemas.htm

•

Archivo con los pasos en detalle de cómo utilizar las hojas de cálculo para resolver ecuaciones o sistemas de ecuaciones. http://www.eduteka.org/HojaCalculo1.php

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4

unidad

Datos y Azar Propósito

Uno de los objetivos de esta unidad es que los estudiantes comprendan que, para analizar la dispersión de datos, es razonable considerar las desviaciones respecto de la media, y se introduce el concepto de desviación estándar como herramienta para realizar ese análisis. Es conveniente que los estudiantes utilicen las medidas de tendencia central y las de posición para resumir bien la información, especialmente cuando hay un conjunto numeroso de datos. Se incorpora el concepto de variable aleatoria y los alumnos la identifican como una herramienta fundamental para entender resultados de probabilidad y de estadística, y aplicar dichos resultados. Es el caso de la ley de los grandes números, en la cual se basa gran parte de la probabilidad y de la estadística y que los estudiantes trabajan de manera central. También se busca que los alumnos caractericen eventos independientes, utilizando la medida de probabilidad, generen resultados donde intervienen este tipo de eventos y los apliquen para resolver problemas asociados al cálculo de probabilidades.

Ruta de aprendizaje ¿Qué sé? •• Los conceptos de población, muestra y experimento aleatorio. •• El concepto de equiprobabilidad de eventos. •• El principio multiplicativo y su uso para determinar el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio y la probabilidad teórica de un evento. •• Calcular y determinar medidas de tendencia central y de posición.

¿Qué aprenderé? •• •• •• •• •• ••

Calcular medidas de dispersión de un conjunto de datos. Comparar muestras de datos usando medidas de dispersión y de posición. Definir y aplicar variables aleatorias. Calcular medias muestrales, inferir sobre la población y relacionar con la Ley de los grandes números. Identificar eventos mutuamente excluyentes o independientes. Calcular probabilidades de eventos independientes o mutuamente excluyentes.

¿Para qué? •• Para juzgar respecto a la representatividad del promedio de un conjunto de datos, y comparar dos o más de ellos entre sí. •• Para escoger muestras al azar de una población, que permitan realizar inferencias sobre ella. •• Para distinguir tipos de sucesos asociados a un experimento, y mediante ello calcular su probabilidad. •• Para resolver problemas que involucran conjuntos de datos y experimentos. Unidad 4 • Datos y Azar

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Marco curricular Conocimientos previos

Habilidades •• Analizar información, utilizando la desviación estándar.

•• Población y muestra. •• Experimento aleatorio.

•• Organizar datos, usando cuartiles y percentiles.

•• Muestreo aleatorio simple. •• Equiprobabilidad de eventos. •• Principio multiplicativo.

•• Caracterizar variables aleatorias. •• Determinar medias maestrales.

•• Espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. •• Probabilidad teórica de un evento. •• Medidas de tendencia central. •• Medidas de posición: cuartiles y percentiles.

Palabras clave Rango, varianza, desviación estándar, medidas de posición, medidas de dispersión, medidas de tendencia central, muestreo aleatorio, variable aleatoria, media muestral, media de la población, probabilidad.

•• Conjeturar acerca de la relación entre la media muestral y la media de una variable aleatoria y verificar las conjeturas formuladas. •• Resolver problemas acerca de las probabilidades de sucesos independientes o mutuamente excluyentes.

Contenidos •• Medidas de dispersión: desviación estándar. •• Variables aleatorias. •• Media muestral. •• Ley de los grandes números. •• Pruebas independientes. •• Eventos independientes. •• Eventos mutuamente excluyentes.

Actitudes •• Interés por conocer la realidad al trabajar con información cuantitativa de diversos contextos.

•• Cálculo de probabilidades de eventos independientes y mutuamente excluyentes.

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Planificación de la unidad

1

2

3

4

Sección 1: Dispersión y comparación de datos OF

Comprender el concepto de dispersión y comparar características de dos o más conjuntos de datos, utilizando indicadores de tendencia central, de posición y de dispersión.

CMO

AE

Lecciones

Determinación del rango, varianza y desviación estándar, aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando, en forma manual y mediante el uso de herramientas tecnológicas.

Determinar el rango, la varianza y la desviación estándar de conjuntos de datos.

Lección 38: Medidas de dispersión de datos.

Análisis de las características de dos o más muestras de datos, haciendo uso de indicadores de tendencia central, posición y dispersión.

Comparar características de dos o más conjuntos de datos, utilizando medidas de tendencia central, de posición y de dispersión.

4 horas.

Evaluaciones

•• Evaluación diagnóstica ¿Qué debes saber?, pág. 261. 2 horas.

Lección 39: Comparación de conjuntos de datos.

•• Evaluación integradora Integrando lo aprendido, págs. 272 y 273. 2 horas.

4 horas.

Páginas finales Actividad

Páginas

Tiempo estimado

Resolución de problemas

270

1 hora

Para no cometer errores

271

1 hora

Tiempo estimado: 13 horas pedagógicas

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Sección 2: Muestreo y variable aleatorios OF

CMO

AE

Lecciones

Comprender el concepto de variable aleatoria y aplicarlo en diversas situaciones que involucran experimentos aleatorios.

Empleo de elementos básicos del muestreo aleatorio simple, en diversos experimentos, para inferir sobre la media de una población finita a partir de muestras extraídas.

Emplear elementos del muestreo aleatorio simple para inferir sobre la media de una población.

Lección 40: Muestreo aleatorio simple.

Aplicación del concepto de variable aleatoria en diferentes situaciones que involucran azar e identificación de esta como una función.

Comprender el concepto de variable aleatoria y aplicarlo en diversas situaciones que involucran experimentos aleatorios.

Comprender que la media muestral de pruebas independientes de un experimento aleatorio se aproxima a la media de la población a medida que el número de pruebas crece.

4 horas.

Evaluaciones

•• Evaluación diagnóstica ¿Qué debes saber?, pág. 275. 2 horas.

Lección 41: Variable aleatoria.

•• Evaluación integradora Integrando lo aprendido, págs. 290 y 291. 2 horas.

4 horas.

Calcular medias muestrales. Exploración de la ley de los grandes números, a partir de la repetición de experimentos aleatorios, con apoyo de herramientas tecnológicas y su aplicación a la asignaciónde probabilidades.

Verificar que, a medida que el número de pruebas crece, la media muestral se aproxima a la media de la población.

Lección 42: Medias muestrales. 4 horas.

Páginas finales Actividad

Páginas

Tiempo estimado

Resolución de problemas

288

1 hora

Para no cometer errores

289

1 hora

Tiempo estimado: 18 horas pedagógicas

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1

2

3

4

Sección 3: Eventos excluyentes, independientes y probabilidades OF

CMO

Aplicar propiedades de la suma y producto de probabilidades, en diversos contextos, a partir de la resolución de problemas que involucren el cálculo de probabilidades.

Resolución de problemas de cálculo de probabilidades aplicando las técnicas del cálculo combinatorio, diagramas de árbol, lenguaje conjuntista, operatoria básica con conjuntos, propiedades de la suma y producto de probabilidades.

AE

Lecciones

Evaluaciones

Resolver problemas en contextos diversos, aplicando las propiedades de la suma y el producto de probabilidades.

Lección 43: Conjuntos y probabilidades. 2 horas. Lección 44: Producto y suma de probabilidades.

•• Evaluación diagnóstica ¿Qué debes saber?, pág. 293. 2 horas.

4 horas. Lección 45: Eventos independientes.

•• Evaluación integradora Integrando lo aprendido, págs. 310 y 311. 2 horas.

2 horas. Lección 46: Combinatoria y probabilidades. 4 horas.

Páginas finales Actividad

Páginas

Tiempo estimado

Resolución de problemas

308

1 hora

Para no cometer errores

309

1 hora

Tiempo estimado: 18 horas pedagógicas

Páginas finales Actividad

Página

Tiempo estimado

Diario mural.

312 y 313

1 hora

Para sintetizar.

314 y 315

1 hora

Reforzar antes de evaluar – Para profundizar.

316 – 319

4 horas

Evaluación de la unidad.

320 - 323

2 horas

Tiempo estimado: 57 horas pedagógicas

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Sugerencias metodológicas

Sección 1 Dispersión y comparación de datos

en la necesidad de proceder ordenadamente, escribiendo primero los datos de menor a mayor y luego determinando los indicadores. Si es preciso, pida a los estudiantes que trabajen en una hoja aparte y verifique que, al traspasar cada dato a la hoja, lo tachan en el libro para no repetirlo en el conteo.

De esto se trata Los estudiantes han trabajado en cursos anteriores, y en situaciones cotidianas de su vida, con indicadores de conjuntos de datos, de los que se busca “tener una idea”. Sus promedios de notas, particularmente, son una forma de resumir un proceso que puede tener altos y bajos, pero que se sintetiza en una sola nota que lo representa. En otros ámbitos, como en la economía y las ciencias sociales en general, se trabaja también con promedios, pero se sabe que no siempre son suficientes por su sensibilidad frente a valores extremos. Esto hace que, como se muestra en el ejemplo planteado, algunos valores mucho más altos que los demás distorsionen el promedio, alejándolo de “la mitad” que se esperaría generalmente. El tema planteado como inicio es actual y contingente en nuestro país, y puede dar pie a una interesante discusión con los estudiantes que pueden aportar e investigar. La estadística se considera una disciplina en un punto intermedio entre la matemática y las ciencias sociales, lo que puede ser una oportunidad interesante para motivar a los estudiantes que suelen tener más interés en ellas.

¿Qué debes saber? Calcular y determinar medidas de tendencia central Verifique que los estudiantes aplican correctamente las fórmulas (para el cálculo del promedio y la mediana) y comprendan el concepto de moda, para poder determinarlo. Si es necesario, repase sobre todo la mediana, considerando los casos en que la cantidad de datos es par o impar.

Calcular y determinar medidas de posición Recuerde a los estudiantes el significado de cada indicador de posición y su notación, y relaciónelos con la mediana (que es un caso particular de cuartil). Haga especial énfasis

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38

Medidas de dispersión de datos Págs. 262 a 265

Propósito Determinar indicadores de dispersión de un conjunto de datos.

Palabras clave Promedio, dispersión, rango, máximo, mínimo, homogéneo, heterogéneo

Prerrequisitos §§ Cálculo de promedio e indicadores de tendencia central. §§ Operatoria con raíces, fracciones y valor absoluto.

Activación de ideas previas En el texto se presenta una situación de análisis del rendimiento académico durante un semestre, lo que es bastante cotidiano para los estudiantes. Puede pedirles que consideren las calificaciones obtenidas en alguna asignatura durante el semestre anterior y que a partir de ellas respondan preguntas como las siguientes:

• •

¿Cuál fue mi promedio?

• •

¿Cómo comencé el semestre? ¿Cómo lo terminé?

¿Hay pruebas en las que me fue muy bien y otras en las que me fue muy mal? ¿Me fue siempre bien? ¿Me fue siempre mal?

¿Hay una nota en especial que me subió o bajó el promedio?

A partir de ello, pueden ir comprendiendo que el promedio da una información, pero que también oculta otras que pueden ser interesantes para realizar la evaluación de una situación o de un proceso.

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2

3

4

Orientaciones didácticas

Actividades complementarias

En esta lección se presenta paso a paso la forma de calcular el rango, la varianza y la desviación estándar, pero es necesario que los estudiantes no solo calculen sino que comprendan lo que están haciendo.

Puede encontrar información complementaria respecto de la desviación estándar en http://www.cca.org.mx/cca/cursos/ estadistica/html/m11/desviacion_estandar.htm. La distribución normal no es contenido del curso y requiere más herramientas de análisis, pero pueden abordarse intuitivamente algunos aspectos como la distribución de la población en forma cercana al promedio, con presencia de menos casos al alejarse de este valor tanto por exceso como por defecto.

Lo anterior es complejo en el caso de la desviación estándar, ya que sin poder realizar aun una comparación entre conjuntos de datos (que se abordará en la lección siguiente) no es posible para los estudiantes comprender qué quiere decir exactamente el valor de la desviación estándar, ni juzgar si es alto o bajo. Para ello, puede resumir el proceso presentado en la lección al final de ella, pero presentándolo en el siguiente orden:

•

•

• •

Se plantea que la dispersión indica “qué tan lejanos o distintos” son los valores al promedio. Para ello, lo natural es fijarnos en la diferencia entre cada dato y el promedio. Se calcula el promedio de las diferencias de los datos al promedio. Como este valor será igual a 0, no sirve como indicador, por lo que se debería considerar el valor absoluto. Esto justifica el cálculo de la desviación media. Otra forma de asegurarnos de que la diferencia siempre sea positiva es elevarla al cuadrado. Así obtenemos la varianza. Si los valores se elevan al cuadrado, sus unidades también. Por lo mismo, se extrae la raíz para obtener la desviación estándar.

Errores frecuentes Algunos errores de los estudiantes pueden provenir de un manejo inadecuado de la operatoria de raíces y fracciones algebraicas, pese a que han sido abordadas en unidades anteriores. Se recomienda, de cualquier manera, presentar algunas fórmulas de repaso y verificar su aplicación por parte de los estudiantes. Un error frecuente es asumir que los indicadores estadísticos tienen un valor en sí mismos, es decir, que se puede hablar de un promedio o desviación estándar “alto” o “bajo” por sí solos. Para evitarlo, comente los ejercicios una vez realizados y compare los diversos contextos en los que se presentan.

.

39

Comparación de conjuntos de datos Págs. 266 a 269

Propósito Comparar dos o más conjuntos de datos utilizando distintos indicadores.

Palabras clave Comparación, indicador, homogéneo, heterogéneo, disperso, posición

Prerrequisitos §§ Cálculo de indicadores de posición y de dispersión.

Activación de ideas previas La lección presenta una situación relacionada con el deporte que puede ser cercana para los estudiantes, ya que el uso de indicadores estadísticos es común para analizar rendimientos de deportistas individuales o de equipos. Puede analizar junto con los estudiantes el rendimiento deportivo reciente de algún equipo o deportista, comparándolo a través del tiempo en distintas etapas. Utilizando los indicadores calculados en la lección anterior, los estudiantes pueden determinar si ha sido variable o constante, sus altos y bajos, etc.

Orientaciones didácticas La comparación de conjuntos de datos es lo que da sentido al cálculo de indicadores de dispersión, como se mencionó en la lección anterior, por lo que es fundamental que los estudiantes sean ahora capaces de aplicar lo aprendido y comprendan el valor de estos indicadores y su utilidad.

Unidad 4 • Datos y Azar

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Es fundamental que integre el uso de indicadores estadísticos en el análisis y comparación de conjuntos de datos, sin utilizarlos por separado. Enfatice que, para comparar los datos de ambas jugadoras, no tiene sentido solo fijarse en el rango o en el promedio, sino lo que ambos indicadores nos muestran y, podemos seguir complementando el análisis con los indicadores de posición. Verifique que los estudiantes comprenden el concepto de cuartil y lo aplican correctamente. Para ello, cada vez que se mencione por ejemplo, el primer cuartil, señale que un 25% de los datos es menor o igual que dicho valor. La lección presenta la necesidad de escoger a una jugadora u otra. Es importante que plantee la pregunta a los estudiantes y ellos puedan dar sus opiniones, lo que permitirá dar mayor sentido a la conclusión: la decisión final de la DT dependerá de lo que se esté buscando. El punto anterior es importante de destacar pues en estadística rara vez las respuestas a preguntas de este tipo son únicas, sino que hay muchos elementos en el contexto que las determinan. Recalque esto para mostrar la profunda relación entre la estadística y las ciencias sociales, presentada en el inicio de esta sección.

Actividades complementarias a) Para reforzar el uso del CV, presente a los estudiantes la siguiente situación:

•

2 – 3,4 – 4,7 – 4,9 – 5,3 – 6 - 6

•

¿Quién tiene un rendimiento más heterogéneo? Puede presentar la situación anterior antes del ejercicio propuesto, para que los estudiantes la analicen y lleguen a la conclusión de que es necesario definir indicadores para estos casos. b) En cierto aeropuerto, se ha generado un serio conflicto debido a los tiempos (en minutos) que los aviones demoran en despegar los días de alto tráfico. La siguiente tabla registra el tiempo de duración del despegue de los vuelos en las dos últimas semanas. Tiempo de duración, en minutos, del despegue de vuelos en las últimas dos semanas

Errores frecuentes

Un error frecuente es la utilización de un indicador de dispersión para comparar dos conjuntos de datos, por ejemplo, considerar solo que el rango es suficiente para juzgar el grado de dispersión. En los ejercicios propuestos para esta lección y la anterior se presentan casos en los que se pide a los estudiantes construir un conjunto de datos con indicadores de dispersión determinados; utilícelos para mostrar que puede haber muchos conjuntos y por lo tanto, en general, siempre es necesario considerar los indicadores más ampliamente.

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Isabel estudia en Argentina, donde las notas van de 0 a 10. Sus calificaciones han sido las siguientes: 3,3 – 4 – 4,2 – 6,1 – 6,5 – 8,7 – 9,2

Entre los ejercicios propuestos se presenta el cálculo del coeficiente de variación (CV), que se utiliza para comparar la dispersión entre conjuntos de datos que no utilizan las mismas unidades de medida o que se encuentran en rangos muy distintos. Es importante que presente a los estudiantes, en todo caso, sus limitaciones, especialmente cuando el promedio es cercano a 0 y distorsiona la división.

Algunos errores cometidos por los estudiantes pueden deberse a un manejo incorrecto de fracciones algebraicas y de raíces. Repase la operatoria en estos casos para corregirlos.

Pablo estudia en Chile, y sus notas en un semestre son

•

Semana 1

Semana 2

Lunes

4

6,9

Martes

4,6

7,9

Miércoles

8

11,8

Jueves

10

8,1

Viernes

5,9

9,7

Sábado

6,8

8,4

Domingo

9,9

8,7

¿Cuál es el rango de los tiempos de duración del despegue de los vuelos en cada semana? R: Semana 1: 6 minutos; semana 2: 4,82 minutos.

•

¿En qué semana los tiempos del despegue fueron más homogéneos? Justifica. R: En la semana 2, ya que su coeficiente de variación es menor. Además, el rango es menor que en la semana 1.

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Resolución de problemas

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3

4

Para no cometer errores Página 270

Página 271

Las estrategias de resolución de problemas permiten trabajar con los estudiantes diversos tipos de pensamiento y fomentar en ellos su capacidad de análisis, creatividad, rigurosidad y flexibilidad para adaptarse a nuevos métodos y validar formas distintas de realizar las tareas.

El análisis de errores permite, de manera efectiva y concreta, detectarlos y corregirlos. Es importante que estimule a los estudiantes a analizar sus procedimientos constantemente y así desarrollar la capacidad de análisis y autocrítica respecto de los errores cometidos.

Es muy importante que estimule a los estudiantes a participar activamente en la resolución de problemas. Para esto, puede solicitarles que intenten en primer lugar resolver el problema planteado sin mirar la resolución propuesta, para luego discutir en grupos, analizar la forma planteada en el libro y realizar aportes finales que puedan optimizarla o perfeccionarla.

El primer error presentado tiene que ver con un incorrecto aprendizaje de fórmulas; puede servir para detectar si los estudiantes las han integrado adecuadamente y las aplican. Si observa que muchos estudiantes cometen este tipo de errores, permítales usar un formulario hasta que adquieran la costumbre y resuelvan sin él, ya que habrán memorizado adecuadamente.

El problema planteado para esta sección involucra e integra los contenidos abordados, y se presenta en forma distinta a otros al pedir que se evalúe la afirmación realizada. Puede utilizar esta actividad para reforzar en los estudiantes la idea de que lo homogéneo o heterogéneo de un conjunto de datos se analiza a partir de su dispersión.

El segundo error fue mencionado anteriormente: considerar solo un indicador (el rango) para comparar la dispersión de dos conjuntos. Puede analizar este error volviendo al tema inicial de la sección, mostrando que en ocasiones los valores extremos distorsionan los datos y nos pueden conducir a conclusiones erradas.

Integrando lo aprendido Págs. 272 y 273

Indicador

Preguntas asociadas

Determinar indicadores de dispersión de un conjunto de datos.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9

Comparar dos o más conjuntos de datos utilizando distintos indicadores.

10, 11 y 12

Remedial

Repase con los estudiantes la definición de cada indicador, verificando si los distinguen y conocen los mecanismos y/o fórmulas para calcularlos. Considere que algunas preguntas incluyen análisis y comprensión de los conceptos involucrados para, por ejemplo, crear un conjunto de datos que cumplan condiciones determinadas. Es muy conveniente que ponga en común con los estudiantes los métodos empleados y analice junto a ellos su pertinencia, efectividad y corrección. Este indicador está directamente ligado con el anterior, por lo que incluso puede pedir a los estudiantes que realicen la evaluación en forma separada, primero el cálculo de los indicadores y luego la comparación de datos, con el fin de verificar que cuentan con las herramientas necesarias para analizar y las aplican correctamente. Inste a los estudiantes que hayan tenido buen desempeño que expliquen a los estudiantes que presenten dificultades, las técnicas empleadas, ya que en este contenido el apoyo de los pares puede ser más significativo y eficiente.

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Sección 2 Muestreo y variable aleatorios De esto se trata Los estudiantes han visto en cursos anteriores la diferencia entre población y muestra, y probablemente han reflexionado también en su vida cotidiana respecto de la imposibilidad de conocer los datos de un conjunto total de personas, y por ende la conveniencia de escoger un grupo de estudio que conocemos como muestra. Sin embargo, uno de los principales problemas en la estadística es precisamente la selección correcta de una muestra, o dicho con mayor precisión, de una muestra que permita efectivamente extrapolar lo observado en ella a toda la población. Es claro que si la muestra solo responde a algunas características de la población, extender lo observado en ella puede no ser correcto. Para graficar en lo que consiste el muestreo, suele utilizarse la analogía de la olla de sopa: la persona que cocina la revuelve, prueba una cucharada y con ello puede saber si, por ejemplo, está bien de sal. Pero en el caso de una población, nunca estamos completamente seguros de hasta qué punto hemos logrado “revolverla”, y por lo mismo de si la “cucharada” extraída es la más representativa. Esto es lo que, finalmente, confiamos al azar: se espera que si no hay intencionalidad en la extracción de la muestra, esta realmente será representativa. Por supuesto, esto requiere de algunas hipótesis sobre cómo se distribuye la población, pero el análisis al respecto está fuera de las posibilidades de este curso.

¿Qué debes saber? Definir población y muestras, y extraerlas Es preciso que aclare a los estudiantes que una misma población puede tener diversas muestras, y que una situación de estudio determina una población (sobre quienes nos interesa saber algo) y a partir de ella, una muestra. Para la pregunta 2, puede ser necesario repasar el cálculo del tamaño de la muestra (combinación de elementos), e insistir a los estudiantes en que primero calculen la cantidad

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de muestras y luego las determinen, para poder verificar que efectivamente las han encontrado todas.

Definir espacios muestrales, eventos, y calcular probabilidades Puede ser necesario, en este caso, recordar el concepto de espacio muestral y la regla de Laplace para el cálculo de probabilidades. Es también la ocasión de enfatizar en la necesidad de seguir procedimientos sistemáticos para el cálculo, como se presenta en la pregunta 5: determinar la cardinalidad del espacio muestral, los casos favorables y luego aplicar la regla.

40

Muestreo aleatorio simple Págs. 276 a 279

Propósito Utilizar métodos de muestreo aleatorio simple.

Palabras clave Muestra, población, aleatorio, escoger, azar

Prerrequisitos §§ Definición de población y muestra. §§ Definición de experimento aleatorio.

Activación de ideas previas Consulte a los estudiantes por diversas situaciones que requieran extraer una muestra, y plantee las preguntas ¿cómo garantizar que la muestra se extrae realmente al azar?, ¿qué podemos hacer para que efectivamente lo sea? Considere las ideas que planteen los estudiantes y estimule el debate. La conversación puede apuntarse especialmente a la imposibilidad de considerar a las personas como “fichas” o “bolitas”, y por lo mismo también puede asociarse el problema de la identificación de cada persona.

Orientaciones didácticas En la lección se plantea la diferencia entre media muestral y poblacional. A pesar de que la diferencia entre ambas es evidente (conceptualmente), es importante que en cada ocasión insista a los estudiantes que identifiquen siempre de cuál de ellas se está hablando, para evitar confundirse y caer en interpretaciones incorrectas (sobre todo, si se interpreta la media muestral como poblacional).

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1 En el trabajo con calculadora, es ideal que se pueda contar con un modelo similar de ellas para cada estudiante, y que puedan trabajar individualmente. Si no es posible, verifique los distintos modelos y si es necesario permítales explorar un momento, utilizando la calculadora para distintas operaciones hasta asegurarse de que la emplean adecuadamente. Si va a usar planilla de cálculo, las distintas versiones de software pueden presentar complicaciones. Por ello, aunque es conveniente que la utilicen ellos mismos, realice un resumen final buscando abarcar todas las formas posibles, recalcando que los procedimientos en cada caso pueden ser diferentes. Considere las preguntas planteadas en la sección Razona y comenta, y permita que los estudiantes las discutan. Pueden quedarse con la idea de que lo único que se debe considerar en un muestreo es que sea aleatorio, siendo que —como en muchas cosas relacionadas con la estadística— es la necesidad particular y la situación que se estudia lo que determina qué es más adecuado.

Errores frecuentes En ocasiones, los estudiantes utilizan métodos para escoger números aleatorios que, en realidad, no son aleatorios. Por ejemplo, si deciden elegir un número al azar y a partir de él contar, por ejemplo, de tres en tres, este procedimiento puede parecer aleatorio ya que el número inicial lo es, pero el procedimiento posterior es sistemático.

Actividades complementarias a) Para los alumnos con mayor dificultad trabaje la siguiente actividad. Interpreta cada situación. Luego, marca con una X en cada caso dependiendo si se describe una población o una muestra. Enunciado

Estatura de todos los estudiantes de un colegio Las calificaciones de 5 estudiantes de un curso con un total 30. Edades de los hijos de los trabajadores de una empresa. Deporte favorito de 40 estudiantes de los colegios de una comuna. Enfermedades crónicas de un grupo de pacientes de un consultorio. Salario promedio de los habitantes de una ciudad. Número de llamadas diarias realizadas por los clientes de una compañía de telefonía móvil.

Muestra Población

X X

2

3

4

b) Dentro de los ejercicios propuestos, y a final de la unidad (en la sección de profundización) se presentan otros tipos de muestreo. Plantee a los estudiantes la discusión, ¿será siempre lo más adecuado extraer la muestra completamente al azar?, si no, ¿en qué casos no lo será? En los casos en que lo conveniente no es extraer la muestra en forma aleatoria, se puede discutir con los estudiantes respecto de los criterios para establecer la forma de extraerla, y si estos criterios no son efectivamente un sesgo. Por ejemplo, puede plantear la situación de una empresa que realizará una encuesta y debe decidir si realizarla por medio de alguna red social o por teléfono. Si escoge hacerla por teléfono, puede abarcar a más personas —los más adultos, por ejemplo, es más probable que utilicen el teléfono a las redes sociales—, pero responder una encuesta telefónica no permite elegir el momento de hacerlo, lo que puede constituir un sesgo. Si se hace por medio de las redes sociales se llegará a un público más joven, acostumbrado a dar su opinión por este medio. Puede pedir a los estudiantes que investiguen respecto de la forma en que se extraen las muestras de encuestas nacionales, y comparen su confiabilidad. Otro aspecto interesante del muestreo aleatorio es la posibilidad de repetición. Al escoger los números al azar, existe la posibilidad de escoger un número determinado más de una vez, lo que implica que un mismo valor se cuenta dos veces y nos hace tener una visión distorsionada de la población. Frente a esto, es preciso aclarar que si la población se considera muy grande (en términos prácticos, infinita), la posibilidad de repetición se torna cada vez menor, y en caso de ocurrir genera una distorsión casi despreciable, por lo que no vale la pena preocuparse. En caso de que la población sea muy pequeña, conviene resguardarse de esto, para obtener resultados más confiables.

X X X X X

Unidad 4 • Datos y Azar

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Propósito

diferencia entre los valores obtenidos, la diferencia en valor absoluto, el producto, o cuántos dados indican el 5, por ejemplo. Esto induce a otras variables aleatorias, con distinto dominio y recorrido, que se pueden analizar. Si desea, a partir del mismo ejemplo presentado puede analizar los descritos anteriormente.

Definir y aplicar una variable aleatoria asociada a un experimento.

Actividades complementarias

Palabras clave

a) Analiza cada situación. Luego, define la variable aleatoria correspondiente y represéntala en un diagrama sagital.

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Variable aleatoria Págs. 280 a 283

Experimento aleatorio, espacio muestral, probabilidad, función, dominio, recorrido

Prerrequisitos §§ Determinación de espacio muestral de un experimento aleatorio. §§ Cálculo de probabilidad de un suceso. §§ Determinación de una función, su dominio y recorrido.

Activación de ideas previas El contenido que se aborda en esta lección es nuevo para los estudiantes, por lo que la activación de ideas previas puede realizarse a partir del concepto de función. Puede preguntar a los estudiantes por situaciones que se han modelado en cursos anteriores por medio de funciones. A partir de ello, señale que a varios elementos del dominio se les puede asignar un mismo valor del recorrido. Por ejemplo, si considera la función que asigna a cada estudiante del curso el número de hermanos que tiene habrá algunos de ellos a los que les corresponde el valor 0 (no tienen hermanos), a otros les corresponderá el 1, etc. En el estudio de las variables aleatorias se enfrentarán, especialmente, a este tipo de funciones.

Orientaciones didácticas Una variable aleatoria es una función que nos permite analizar la probabilidad de sucesos compuestos. En particular, define un valor numérico asociado a ciertos casos del espacio muestral, de los cuales se calcula su probabilidad. Para explicar este contenido, utilice la representación conjuntista de función que se presenta; el apoyo gráfico suele ser de gran utilidad para los estudiantes. Desde un principio, recalque a los estudiantes que, al realizar un experimento, podemos observar distintos tipos de resultados. En el caso de los dados, podría considerarse la

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•

Se elige al azar un número entre 1 y 9, ambos inclusive, y se cuenta el número de letras que tiene al escribirlo con palabras.

•

Se lanza un dado de seis caras y se calcula la diferencia entre el número de puntos obtenidos y el número 6.

b) Se elige al azar una de las letras de la palabra MURCIÉLAGO y se observa si esta es vocal o consonante. Plantea una variable aleatoria y escribe la función de probabilidad asociada. c) Para el experimento aleatorio A: elegir al azar un número natural nde tal forma que 10 < n < 20, se cuenta la cantidad de divisores que tiene. Escribe la función de probabilidad asociada. Respuestas: a) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 3

1 2 3 4 5 6

4 5 6

1 2 3 4 5

b) Se asigna 0 a una vocal. Se asigna 1 a una consonante.



M U R C I E L A G O

0 1



f (0) =

1 2

f (1) =

1 2

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1 c)





11 12 13 14 15 16 17 18 19

2 4 5 6

4 9 2 f (4) = 9 1 f (5) = 9 2 f (6) = 9

f (2) =

Errores frecuentes Como se mencionó, algunos errores de los estudiantes pueden provenir de una inadecuada comprensión del concepto de función. Repase cuidadosamente antes de abordar esta unidad. Puede ser confuso para los estudiantes llamar “variable” a una función; si bien se presta efectivamente para errores señáleles que el valor de la variable independiente es el resultado de un experimento aleatorio, por eso se utiliza ese nombre.

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Medias muestrales Págs. 284 a 287

Propósito Calcular y analizar el comportamiento de las medias muestrales.

Palabras clave Variable aleatoria, muestra, población, Ley de los grandes números, probabilidad

Prerrequisitos §§ Determinación de una variable aleatoria asociada a un experimento aleatorio. §§ Estimación de resultados a partir de la ley de los grandes números. §§ Cálculo de probabilidades teóricas y experimentales utilizando regla de Laplace.

Activación de ideas previas Los estudiantes han analizado y explorado en cursos anteriores la ley de los grandes números en distintos casos y para distintos tipos de experimentos aleatorios, por lo que ya deben estar interiorizados en esto. No está de más recordarles

2

3

4

la naturaleza experimental de la ley de los grandes números, es decir, reiterar que describe una tendencia esperable en los resultados y no garantiza que deba cumplirse en cada caso en particular.

Orientaciones didácticas Como se mencionó, los estudiantes han visto en cursos anteriores la ley de los grandes números en distintos casos, pero siempre asociada directamente al resultado directo o individual de un experimento (“a la larga, un sexto de las tiradas de un dado serán un 6”). Un aspecto central de esta lección es que esta ley puede analizarse también a partir de los medios muestrales. La formulación de la ley de los grandes números conocida por los estudiantes plantea que, por ejemplo, luego de muchos lanzamientos de una moneda, la mitad de ellos aproximadamente serán "cara". Existe también la formulación estadística, que afirma que la media de las medias muestrales se aproxima a la media poblacional. Se busca aquí enlazar ambas formulaciones estimando que los resultados posibles de un experimento pueden considerarse una población infinita, de manera que cada conjunto de resultados constituye una muestra. Recalque estos aspectos en el análisis de la situación presentada.

Actividades complementarias Profundice y conecte con otras áreas por medio de la siguiente actividad. Si tomamos un texto cualquiera, se puede definir la variable aleatoria “frecuencia de cada letra”. Cada texto puede ser considerado una muestra de la población correspondiente a todos los textos escritos en castellano. a) Averigua la frecuencia de cada letra, en un texto cualquiera en castellano. b) Calcula la frecuencia de cada letra en un texto que consigas (de preferencia de algún libro) de más de 300 palabras. Puedes utilizar un procesador de texto. ¿Coinciden tus valores obtenidos con los teóricos? Explica. c) En el cuento “El escarabajo de oro”, de Edgar Allan Poe, un investigador descifra un mensaje encriptado utilizando la frecuencia de cada letra en un texto. Si se considera un texto cualquiera en castellano (lo suficientemente extenso), las letras en él suelen tener las siguientes frecuencias aproximadas:

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157

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Letra

frec

Letra

frec

Letra

frec

A

12,53

J

0,44

R

6,87

B

1,42

K

0,01

S

7,98

C

4,68

L

4,97

T

4,63

D

5,86

M

3,15

U

3,93

E

13,68

N

6,71

V

0,90

F

0,69

Ñ

0,31

W

0,02

G

1,01

O

8,68

X

0,22

H

0,70

P

2,51

Y

0,90

I

6,25

Q

0,88

Z

0,52

Un texto en castellano constituye una muestra de la “población infinita” que constituyen todos los textos en castellano existentes o por existir. En el texto encriptado del cuento de Allan Poe, cada letra había sido remplazada por otra cualquiera (por ejemplo, se remplaza la A por la F, la B por la Q, la C por la N, etc). Sabiendo esto, se puede contar la frecuencia de las letras en el texto encriptado y compararlas con las de la tabla anterior; probablemente la letra que más se repite corresponderá a la E, la segunda con mayor frecuencia, a la A, y así para cada letra (aunque en el texto original, Allan Poe lo realiza en inglés, el razonamiento es el mismo). Otras letras pueden, además, deducirse mediante razonamientos lógicos Puede acceder a este relato completo en: http://es.wikisource.org/wiki/El_escarabajo_de_oro_ (Versi%C3%B3n_para_imprimir)

El problema presentado en esta sección tiene como objetivo modelar situaciones que involucran variable aleatoria, aunque en este caso puntual podría resolverse sin ella. Conviene que ejerciten con problemas de este tipo ya que la verificación de la solución obtenida es sencilla, lo que les permite adquirir mayor seguridad. De todos modos, ínstelos a poner en común las estrategias que hayan seguido y valorar las de cada uno en cuanto apunten correctamente a la resolución del problema.

Para no cometer errores Página 289

El análisis de errores permite, de manera efectiva y concreta, detectarlos y corregirlos. Es importante que estimule a los estudiantes a analizar sus procedimientos constantemente y a desarrollar la capacidad de análisis y autocrítica respecto de los errores cometidos. El primer caso que se aborda se relaciona con la correcta identificación de los casos favorables y los casos totales, especialmente cuando deben diferenciarse o no los casos. Esta confusión es común entre los estudiantes, especialmente porque hacerlo no depende de una regla matemática sino de una adecuada comprensión del problema. El segundo caso constituye un error conceptual, como es asumir que la media muestral es igual, necesariamente, a la poblacional. Es necesario que insista en este punto siempre, al abordar los contenidos y en el análisis de este tipo de problemas, ya que al constatar el error puede quedar más clara la diferencia entre ambas.

Resolución de problemas Página 288

Las estrategias de resolución de problemas permiten trabajar con los estudiantes diversos tipos de pensamiento y fomentar en ellos su capacidad de análisis, creatividad, rigurosidad y flexibilidad para adaptarse a nuevos métodos y validar formas distintas de realizar las tareas. Es muy importante que estimule a los estudiantes a participar activamente en la resolución de problemas. Para esto, puede solicitarles que intenten en primer lugar resolver el problema planteado sin mirar la resolución propuesta, para luego discutir en grupos, analizar la forma planteada en el libro y realizar aportes finales que puedan optimizarla o perfeccionarla.

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1

2

3

4

Integrando lo aprendido Págs. 290 y 291

Indicador

Preguntas asociadas

Utilizar métodos de muestreo aleatorio simple.

1, 2 y 3

Definir y aplicar una variable aleatoria asociada a un experimento.

4, 5, 6 y 7

Remedial

Las dificultades asociadas a este indicador provienen esencialmente de una incorrecta comprensión del muestreo aleatorio simple y, especialmente, de las condiciones necesarias que deben cumplirse para que lo sea. Al revisar los resultados con los estudiantes, enfatice que en el muestreo aleatorio los elementos escogidos en la muestra deben haber sido seleccionados con un método homologable al lanzamiento de un dado, sin condiciones iniciales ni nada que limite su posibilidad de elección. Para este indicador conviene que repase el proceso de definición de una variable aleatoria, desde la observación de un experimento, la determinación de su espacio muestral, la asignación de valores numéricos a los resultados y sus probabilidades. Enfatice en el tratamiento gráfico de la variable aleatoria, utilizando la representación mediante un diagrama sagital. Facilitará mucho la comprensión de los estudiantes.

Calcular y analizar el comportamiento de las medias muestrales.

8, 9 y 10

Verifique que los estudiantes no confundan la media muestral y la poblacional, y distingan que su similitud es probabilística en la medida que el número de repeticiones del experimento aumenta. Para las preguntas 9 y 10, supervise la correcta determinación de la variable aleatoria involucrada, repasando si es preciso las preguntas del indicador anterior.

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Sección 3 Eventos excluyentes, independientes y probabilidades De esto se trata En muchas situaciones de nuestra vida cotidiana, utilizamos las probabilidades pero sin la regla de Laplace, sino a partir de la observación de ciertas regularidades. Así, lo que no nos ocurre frecuentemente (encontrar a una persona a la que no vemos hace mucho tiempo, por ejemplo), lo consideramos algo poco probable, mientras que estimamos el tiempo empleado en desplazarnos desde nuestra casa a nuestro lugar de estudio en forma probabilística, según lo que nos solemos demorar. Por lo mismo, suponemos que si alguien tarda más de lo esperado puede haber tenido algún inconveniente. Un segundo paso es establecer relaciones entre los sucesos que observamos y sus probabilidades. Este procedimiento fue, en la historia de la humanidad, el primer paso en el uso del método científico, al intentar establecer causas y efectos. El ser humano en las cavernas poco a poco fue asociando el aspecto del cielo y su color, la velocidad del viento y la temperatura con las lluvias, por ejemplo, lo que le permitió preverlas. Día a día hacemos estas asociaciones, pero muchas veces que dos sucesos ocurran a la vez no implica, necesariamente, que estén directamente relacionados o que uno influya en la probabilidad del otro. Nuestro afán de anticiparnos a los hechos para prever sus consecuencias muchas veces nos puede llevar a conclusiones equivocadas producto de un análisis apresurado, o de una incorrecta interpretación de las probabilidades involucradas.

¿Qué debes saber? Definir casos, eventos y calcular probabilidades Para este indicador, se sugiere repasar los conceptos de caso y evento —considerando que ya dominan los de experimento aleatorio y espacio muestral—. Es importante que aclare a los estudiantes que, en general, se utiliza “caso” para determinar un resultado individual y “evento” o “suceso” para señalar un conjunto de casos. Debe aclararse que dicho conjunto puede tener un solo elemento (por lo que en rigor

160

un caso también es un evento), ser igual al espacio muestral o ser el conjunto vacío. Puede apoyarse con el ejemplo del lanzamiento de un dado, estableciendo que:

•

los casos de este experimento (es decir, los posibles resultados son 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

• •

el evento “sale un número par” es el conjunto {2, 4, 6} el evento “sale un número primo par” es {2}.

Utilizar el principio multiplicativo para calcular probabilidades Para este indicador, se sugiere utilizar apoyos gráficos en la resolución de los ejercicios, que les permitan a los estudiantes visualizar este principio y con ello recordarlo y aplicarlo. Una forma sencilla de hacerlo es mediante tablas de doble entrada, que permiten observar fácilmente que la operación involucrada es una multiplicación. Así, por ejemplo, para el ejercicio 4, puede mostrar que: Dado

1

2

3

4

5

6

C

(1, C) (2, C) (3, C) (4, C) (5, C) (6, C)

S

(1, S)

Moneda (2, S)

(3, S)

(4, S)

(5, S)

(6, S)

Donde ya es fácil ver que hay 6 • 2 = 12 casos

43

Conjuntos y probabilidades Págs. 294 a 297

Propósito Utilizar conjuntos y su operatoria en el cálculo de probabilidades.

Palabras clave Conjunto, unión, intersección, complemento, espacio muestral, disjunto

Prerrequisitos §§ Aplicación de la regla de Laplace para el cálculo de probabilidades.

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1

2

3

4

Activación de ideas previas

Actividades complementarias

Es posible que los estudiantes no hayan visto la representación y la operatoria de conjuntos de manera formal en cursos anteriores, pero sí cabe esperar que tengan un conocimiento intuitivo de ellos. Plantee especialmente situaciones como las siguientes, para que comiencen a diferenciar algunas expresiones relacionadas con la operatoria de conjuntos:

a) Analiza la información entregada en la tabla y luego responde. Detalle de los estudiantes asistentes al ensayo PSU

Cursos

3º A

3º B

4º A

4º B

Total

Mujeres

16

20

21

21

78

Hombres

20

18

17

19

74

Total

36

38

38

40

152

•

En un curso, los alumnos practican básquetbol o voleibol (unión).

•

En el curso, hay alumnos que practican básquetbol y voleibol (intersección).

•

¿Cuál es la probabilidad de que esta corresponde a la de un estudiante de tercero medio?

•

En el curso, hay alumnos que practican básquetbol pero no voleibol (diferencia).

•

¿Cuál es la probabilidad de que esta corresponde a la de una mujer?

•

¿Cuál es la probabilidad de que de un estudiante que cursa cuarto medio?

•

¿Cuál es la probabilidad de que no sea de un estudiante del 3° B?

•

¿Cuál es la probabilidad de que no sea de un estudiante?

Orientaciones didácticas Analice la situación planteada junto a los estudiantes, siguiendo cada uno de los pasos. Si es necesario, copie el esquema en la pizarra y complételo junto con ellos, haciendo énfasis en la zona respectiva con la que se identifica cada proposición. Es fundamental que los estudiantes sean capaces de relacionar proposiciones en lenguaje de conjuntos con su representación en diagramas de Venn. Por lo tanto, presente a los estudiantes ejercicios en los que deban representar en un dibujo una situación planteada, y ejercicios en los que a partir de la representación en el diagrama deban escribirla en lenguaje de conjuntos. En los ejercicios propuestos (ejercicio 5) se le pide representar gráficamente; puede complementar esta actividad utilizando las representaciones realizadas por los estudiantes y preguntarles qué situación está dibujada en cada caso.

Errores frecuentes Puede ocurrir que los estudiantes, en primera instancia, asuman que la disyunción “o” es excluyente, pues así suele ser en el lenguaje natural. Así, pueden pensar que si decimos que una persona tiene corderos o vacas significa que solo tiene un tipo de animal, no ambos. Conviene aclarar este punto con ellos y mostrarles que la disyunción puede ser incluyente y de hecho lo es en matemática. Existen casos en que la disyunción es excluyente por la naturaleza de la situación (por ejemplo, si hablamos de hombres o mujeres no habrá personas que sean “hombre y mujer”), pero esta no es la norma en el lenguaje matemático.

R: 74 ; 78 ; 78 ; 114 ; 0; 57 152 152 152 152 98 b) Puede extender las propiedades de la operatoria de conjuntos y probabilidades a casos con más conjuntos involucrados y deducir por ejemplo que: P(AUBUCUD) = P(A) + P(A) + P(A) + P(A) –P(A ∩ B) –P(A ∩ C) –P(A ∩ D) –P(B ∩ C) –P(B ∩ D) –P(C ∩ D) + P(A ∩ B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ D) + P(A ∩ C ∩ D) + P(B ∩ C ∩ D) –P(A ∩ B ∩ C ∩ D) Para este caso, puede apoyarse con transparencias que se superpongan, lo que permitirá una mejor comprensión. Se puede observar que las sumas y restas se van alternando en cada caso, lo que se conoce como principio de inclusión y exclusión.

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Producto y suma de probabilidades Págs. 298 a 301

Propósito Resolver problemas utilizando suma y producto de probabilidades.

Palabras clave Principio multiplicativo, árbol, probabilidad, secuencia

Prerrequisitos §§ Aplicación del principio multiplicativo para el cálculo de probabilidades. §§ Identificación de elementos en conjuntos.

Activación de ideas previas Pese a que se utiliza ahora como método para representar situaciones relacionadas con probabilidades, es posible que los estudiantes hayan utilizado antes diagramas de árbol. Puede comenzar de una manera intuitiva pidiéndoles que representen situaciones en las que, en cada paso, puedan distinguirse diferentes alternativas o resultados. La opción más natural resulta ser un árbol, que muestra una suerte de camino con diferentes bifurcaciones.

Orientaciones didácticas Si bien la representación de la situación por medio de un árbol es bastante natural, como se mencionó, en el tercer punto del taller se da un paso importante de abstracción al dejar de representar gráficamente todo el árbol para comenzar a asignar probabilidades a las distintas ramas. Reitere este proceso tantas veces como sea preciso, hasta que pueda verificar que los estudiantes comprenden qué están haciendo y cómo se determina cada una de dichas probabilidades. Realice una puesta en común del taller propuesto escuchando los procedimientos de los estudiantes, especialmente para repasar el quinto punto del taller donde se llega al resultado buscado: la utilización del “árbol resumido” sumando o multiplicando las probabilidades según corresponda. Es esencial modelar en los estudiantes el uso de esta herramienta, por lo que conviene exigirles que apliquen los siguientes pasos en la resolución de un problema de este tipo:

162

• • • •

construir el árbol asociado a la situación. asignar la probabilidad de cada rama. identificar los casos favorables. calcular la probabilidad de los casos favorables, multiplicando las probabilidades involucradas desde la raíz del árbol hasta la “hoja” (el caso señalado).

Se espera que los estudiantes adquieran cada vez mayor soltura, pero hasta entonces es imprescindible un desarrollo sistemático.

Errores frecuentes La mayoría de los errores al utilizar un diagrama de árbol tienen relación con la complejidad que este adquiere cuando tiene muchos casos y por ende muchas ramas que representar. Para evitarlos, pida a los estudiantes que, en cada paso de su construcción, expliciten en qué caso están, y lleven un registro de ellos para asegurarse que los están considerando todos, sin excluir ni repetir alguno.

Actividades complementarias Analiza la siguiente tabla, complétala y luego calcula las probabilidades. Detalle de los estudiantes de ingeniería asistentes a un exámen de cáculo

Especialidad Informática Mujeres Hombres Total

Electricidad Construcción 25

Total

17

54

36

110

15

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y de ingeniería eléctrica? R: 5 22 b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre, pero no de ingeniería en informática? R: 41 110 c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer o de ingeniería en construcción? R: 73 110

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1

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Eventos independientes Págs. 302 a 303

Propósito Identificar sucesos independientes en experimentos aleatorios.

Palabras clave Evento, probabilidad, árbol, disjunto

Prerrequisitos §§ Utilización de diagramas de árbol en el cálculo de probabilidades. §§ Aplicación de la regla de la suma y del producto en el cálculo de probabilidades.

Activación de ideas previas Puede retomar el tema con el que se inicia esta sección, analizando la relación entre dos o más sucesos, y si la observación simultánea o secuencial de ellos permite suponer que están relacionados o no. Puede comenzar la clase comentando la actividad relacionada en dicha ocasión. Para enlazar más directamente con el contenido de esta lección, plantee a los estudiantes preguntas sencillas relacionadas con la independencia de sucesos, asociadas a la repetición de un experimento. Por ejemplo:

•

Si se lanza un dado y sale 6, ¿cuál es la probabilidad de que en el segundo lanzamiento salga un 6?

•

Si se lanza una moneda 5 veces y se obtiene "cara" en todas ellas, ¿cuál es la probabilidad de obtener un "sello" en el siguiente lanzamiento?

Es posible conversar con los estudiantes respecto de algunas creencias erróneas sobre los juegos de azar, pero que suelen considerarse ya sea por ignorancia o superstición. Por ejemplo, si en un juego de azar se gana al acertar a 6 números escogidos de entre 36, puede plantear las siguientes preguntas:

• •

Si se apuesta a la combinación 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6, ¿es más o menos probable ganar que con cualquier otra combinación? Jorge apuesta a la combinación 6 – 12 – 18 – 24 – 30 – 36, mientras que Elisa apuesta a 10 – 11 – 20 – 21 – 30 – 31. ¿Cuál de los dos tiene mayor probabilidad de ganar?

2

3

4

Aclare que en cada caso las probabilidades son las mismas, ya que las bolitas numeradas del sorteo no “saben” lo que ocurre en este.

Orientaciones didácticas En rigor, lo que se plantea en esta lección no puede ser considerado realmente como independencia entre sucesos, pues se trata esencialmente de experimentos distintos. Pero sí nos permite aproximarnos a este concepto. Si se extrae una bolita en el experimento descrito y esta no se repone, la extracción de la segunda bolita es en realidad otro experimento. Ahora, si la bolita es repuesta sí se trata del mismo experimento por lo que se puede afirmar que existe independencia. En este sentido, es conveniente centrarse en el concepto de independencia (que es más evidente) y dejar aparte el de dependencia (solo mencionándolo como opuesto), ya que entrar en él puede provocar problemas y ambigüedades en las definiciones, además de que se requiere de otro tipo de herramientas matemáticas para abordarlo.

Actividades complementarias Al final de la unidad, en la sección Diario Mural (página 312), se presenta el caso de Sally Clark, víctima de un juicio erróneo a causa de una incorrecta interpretación de las probabilidades y, específicamente, de la independencia de sucesos. Puede aprovechar esta lección para abordar el tema, leer el texto y realizar las actividades sugeridas.

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Combinatoria y probabilidades Págs. 304 a 307

Propósito Utilizar herramientas de combinatoria en el cálculo de probabilidades.

Palabras clave Orden, permutación, combinación, variación

Prerrequisitos §§ Utilización de diagramas de árbol en el cálculo de probabilidades. §§ Aplicación de la regla de la suma y del producto en el cálculo de probabilidades.

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Activación de ideas previas Recuerde con los estudiantes algunos problemas de probabilidades que hayan resuelto en casos anteriores (por ejemplo, el ejercicio 3 de la página 300), y verifique con ellos si contaban con métodos sistemáticos para el conteo de casos totales. A partir de ello, puede plantear las preguntas:

•

¿Cómo estar seguros de que se han contabilizado todos los casos?

•

¿Qué cuidados se debe tener respecto del orden?

de dividir por n! la cantidad de variaciones para obtener la de permutaciones. Para el cálculo de variaciones y combinaciones es conveniente que los estudiantes busquen siempre utilizar números más pequeños. Por ello, muéstreles que al desarrollar uno de estos números conviene realizar primero todas las simplificaciones posibles, en lugar de calcular el numerador y el denominador y luego simplificar. Por ejemplo, para 18 calcular   , se tiene que:  5

Los estudiantes plantearán formas de calcular que, en ocasiones, pueden parecer útiles pero muy difíciles de utilizar cuando se requiere trabajar con números más grandes. Esto constituye un buen punto de partida para abordar el contenido.

18!  18    = 5 (18 – 5)! • 5! 18! 13! • 5! 13! •14 •15 •16 •17 •18 = 13! • 5! 14 •15 •16 •17 •18 = 1• 2 • 3 • 4 • 5 =

Orientaciones didácticas La situación presentada en la lección muestra una secuencia de razonamiento que permite a los estudiantes comenzar desde el orden de elementos en fila hasta la deducción de la fórmula de un número combinatorio. Conviene seguir estos pasos junto a los estudiantes para aclarar en conjunto las dudas que puedan surgir, además de escuchar sugerencias y métodos empleados por los propios estudiantes.

Esta es la simplificación más sencilla. Las demás dependen de los factores involucrados. En este caso, se puede descomponer así:  18  14 •15 •16 •17 •18   = 5 1• 2 • 3 • 4 • 5

Puede presentar a los estudiantes la siguiente secuencia a modo de resumen:

•

7 elementos pueden ordenarse de 7 • 6 • 5• 4 • 3• 2 •1= 7! formas.

•

Si solo escogemos 4 de esos 7 y los ordenamos, hay 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 •1 7! 7! = = 7 • 6 •5• 4 = formas de 3 • 2 •1 3! (7 – 4)! hacerlo.

•

Esos 4 elementos pueden ordenarse de 4! formas, por lo que si el orden no es relevante cada uno de esos casos ordenados corresponde en realidad a solo un caso. Por lo tanto, la expresión anterior se divide por 4!: 7! (7 – 4)! 7! = 4! 7 – ( 4)! • 4!

Si a algunos de ellos les resultara más difícil de seguir el razonamiento, puede realizarlo con números algo más pequeños y apoyándose en un diagrama de árbol (que de cualquier manera será grande). Mediante él, puede ser más sencillo que observen las ramas que son iguales si no se considera el orden, y con ello comprender la necesidad

164

2 •7 • 3 • 5 • 4 • 4 •17 •18 1• 2 • 3 • 4 • 5 = 7 • 4 •17 •18 = 8 568 =

Errores frecuentes Es frecuente que los estudiantes confundan los casos en los que el orden debe considerarse y en los que no, lo que producirá errores en sus cálculos. En la resolución de problemas, haga que los estudiantes expliciten sus razonamientos en cada caso, para lo cual puede plantearles preguntas como las siguientes:

• •

¿es lo mismo escoger como compañeros de trabajo a Isabel y Emilio, que a Emilio e Isabel? ¿es lo mismo usan pantalón café y polera negra que pantalón negro y polera café?

Puede ocurrir también que los estudiantes, por la premura de resolver rápidamente los ejercicios, confundan la fórmula de variación y de combinación. Para ello, permítales calcular ambas y constatar que, si el orden no es relevante, es evidente que habrá menos casos en que sí lo es. Por lo mismo, la fórmula para la combinación es la misma que para la variación, pero dividida por n!, pues necesariamente son menos casos.

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1 Actividades complementarias a) ¿Cuántas palabras distintas, con o sin sentido, que comiencen con la letra Zse pueden formar al reordenar las letras de la palabra CALABAZA? R: Si se consideran solo las palabras de 8 letras se podrían formar 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 2 = 1260 palabras. b) Se dispone en una mesa redonda a 4 amigos, ¿de cuántas formas distintas se pueden ordenar si se fija a una de ellas en un puesto? R: 3! = 6 formas 1

2

1

2

1

3

4

3

3

4

2

4

1

3

1

4

1

4

4

2

3

2

2

3

c) De un grupo de 8 profesores y 20 estudiantes, se constituirá un equipo de 2 profesores y 7 estudiantes. ¿Cuántos equipos diferentes se pueden constituir? R: 21 705 600 d) La clave de un maletín de seguridad está compuesto por 5 dígitos. A su dueño se le olvidó la clave, solo sabe que comienza con un número primo. ¿Cuál es la probabilidad de que, al tratar de abrir el maletín, su dueño acierte con la clave al primer intento? R:

1 4000

2

3

4

puede solicitarles que intenten en primer lugar resolver el problema planteado sin mirar la resolución propuesta, para luego discutir en grupos, analizar la forma planteada en el libro y realizar aportes finales que puedan optimizarla o perfeccionarla. El problema que se presenta en esta sección busca desarrollar la capacidad de análisis en los estudiantes, pues para responder la pregunta se debe razonar e interpretar qué es lo que se está pidiendo; no se trata de una respuesta directa. Por lo mismo, puede pedir a los estudiantes que, antes de analizar la resolución propuesta, experimenten con la situación y elaboren sus propias estrategias. Es esencial que los estudiantes comprendan que no todas las situaciones serán directas, es decir, no siempre tendrán datos para calcular una probabilidad sino que en ocasiones a partir de probabilidades será necesario determinar datos. Considerando este ejercicio, puede reforzar esto pidiéndoles que inventen situaciones similares y las presenten a sus compañeros.

Para no cometer errores Página 309

El análisis de errores es una potente herramienta de aprendizaje, ya que permite analizar procesos y reconocer en ellos posibles equivocaciones y las formas de abordarlos para corregirlos. Es importante que estimule a los estudiantes a analizar sus procedimientos constantemente y desarrollar la capacidad de análisis y autocrítica respecto de los errores cometidos. La primera situación apunta a la confusión producida al no considerar que los sucesos presentados no son excluyentes, por lo que debe considerarse la probabilidad de su intersección. Aproveche esta oportunidad para recordar este hecho y verificar si los estudiantes cometen este error.

Resolución de problemas Página 308

Las estrategias de resolución de problemas permiten trabajar con los estudiantes diversos tipos de pensamiento y fomentar en ellos su capacidad de análisis, creatividad, rigurosidad y flexibilidad para adaptarse a nuevos métodos y validar formas distintas de realizar las tareas.

En la segunda situación, el error se produce por una incorrecta interpretación en la operatoria de conjuntos. Si los estudiantes la cometen, repase esto mediante diagramas, pidiendo a los estudiantes que representen gráficamente la situación y puedan así constatar el error.

Es muy importante que estimule a los estudiantes a participar activamente en la resolución de problemas. Para esto, Unidad 4 • Datos y Azar

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Integrando lo aprendido Págs. 310 y 311

Indicador

Utilizar conjuntos y su operatoria en el cálculo de probabilidades.

Preguntas asociadas

1, 2, 3, 4, y 5

Remedial

Verifique que en cada caso los estudiantes leen y comprenden correctamente las situaciones, y aplican correctamente el cálculo de probabilidades. Solicite a los estudiantes que representen las situaciones gráficamente, dibujando los conjuntos e identificando las zonas asociadas a cada probabilidad.

Resolver problemas utilizando suma y producto de probabilidades.

6, 7 y 8

La representación gráfica es, nuevamente, muy útil para este indicador. Procure que especialmente los estudiantes con más dificultades la utilicen, sin perjuicio que para todos la utilización de diagramas de árbol es imprescindible en ocasiones. Repase nuevamente, si es necesario, la interpretación de la conjunción (“y”) y de la disyunción (“o”) en situaciones de probabilidades. Si revisa los ejercicios con el curso, pregunte siempre lo que implica cada una antes de decirlo usted directamente, para fijar la capacidad de los estudiantes de distinguir ambos casos.

Identificar sucesos independientes en experimentos aleatorios.

9, 10 y 11

Repase la definición de sucesos independientes con los estudiantes, y pídales dar ejemplos de ello con distintos experimentos. Luego, pida a los estudiantes que hayan presentado dificultades que realicen nuevamente loes ejercicios.

Utilizar herramientas de combinatoria en el cálculo de probabilidades.

12, 13 y 14

Verifique si las dificultades de los estudiantes se deben a una incorrecta comprensión de los problemas y/o de los conceptos de permutación, combinación y variación, o bien si se debe a problemas de operatoria. En el primer caso, solicíteles repasar la lección 46 y realizar paso a paso el ejemplo dado. Si se trata de problemas de operatoria, verifique que dominan las técnicas de cálculo planteadas en las orientaciones didácticas de dicha lección.

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1

Diario mural Págs. 312 y 313

En esta sección, se presenta un caso judicial en el que el análisis de probabilidades tuvo vital importancia, primero porque condenó a la cárcel a la madre de dos niños y luego porque fue un académico de matemáticas quien reveló los fallos en el caso. Puede analizar esta situación al trabajar la lección 45, como se sugirió, o bien al final de la unidad, a modo de reflexión sobre los contenidos. Esta actividad presenta interesantes conexiones con otras disciplinas como el Derecho —por la necesidad de apelar a las probabilidades para establecer la culpabilidad o inocencia de alguien— y la Filosofía —por el análisis de argumentos y la refutación de los mismos por constituir falacias—. En este sentido, puede plantear a los estudiantes que la matemática está presente en muchas áreas, en ocasiones insospechadas, no solo para realizar cálculos sino como forma de pensamiento analítico, y en ocasiones con mucha menor rigidez que otras disciplinas.

2

3

4

El tema específico de esta unidad —los experimentos de Mendel— es estudiado en ciencias naturales, por lo que los estudiantes pueden tener ideas previas o bien lo aprendido en esta unidad les puede permitir comprenderlo mejor posteriormente. Si es posible, verifique con el docente respectivo si ya lo han estudiado o no.

Reforzar y profundizar Págs. 316 a 319

Para los ejercicios de refuerzo, se recomienda especialmente prestar atención a que los estudiantes puedan explicar los procedimientos empleados en la resolución de los ejercicios y no solo a los resultados obtenidos, con el objetivo de garantizar su comprensión de los conceptos involucrados. Se sugiere por lo mismo al docente revisarlos en conjunto con el curso, permitiendo que los estudiantes resuelvan algunos de ellos en la pizarra con la colaboración de sus compañeros. Mediante esto se pretende que puedan retroalimentarse mutuamente de manera más significativa, al provenir de sus propios pares.

Para sintetizar Págs. 314 y 315

Es de gran importancia, al concluir una unidad, recoger los elementos esenciales de ella y permitir que los estudiantes puedan apreciar los contenidos como conjunto, considerando sobre todo la naturaleza progresiva e integradora de la disciplina. Por lo mismo se sugiere prestar especial atención a la elaboración de la síntesis de la unidad, permitiendo un trabajo individual, grupal y con todo el curso, dando también la posibilidad de resolver las últimas dudas que puedan quedar, poner en común las dificultades y verificar la adecuada comprensión de los conceptos. En estas páginas se retoma, además, el tema presentado en el inicio de la Unidad, con el objetivo de que puedan analizarlo nuevamente incorporando los conocimientos adquiridos.

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Evalúo mis aprendizajes Págs. 320 a 323

Sección

1

2

Indicador

Preguntas asociadas

Remedial

Determinar indicadores de dispersión de un conjunto de datos.

1, 2, 3, 4, 5, 6.

Comparar dos o más conjuntos de datos utilizando distintos indicadores.

7, 8 y 9

Permita a los estudiantes con mayores dificultades utilizar formularios para realizar los cálculos, y rehacer los ejercicios en los que hayan tenido errores con esta ayuda.

Utilizar métodos de muestreo aleatorio simple.

11

Definir y aplicar una variable aleatoria asociada a un experimento.

10, 12, 13, 14

Calcular y analizar el comportamiento de las medias muestrales.

Utilizar conjuntos y su operatoria en el cálculo de probabilidades.

3

168

Resolver problemas utilizando suma y producto de probabilidades.

15 y 16

17, 18, 19, 20, 21, 22,

23, 24, 25

Identificar sucesos independientes en experimentos aleatorios.

26 y 27

Utilizar herramientas de combinatoria en el cálculo de probabilidades.

28 y 29

Solicite a los estudiantes que presenten errores el desarrollo de sus respuestas, para identificar la naturaleza de ellos y encontrar estrategias para remediarlos. Verifique, de todos modos, que utilicen las representaciones gráficas para analizar una variable aleatoria, y que comprendan los conceptos de muestreo aleatorio y media muestral. Para ello, puede solicitarles realizar un resumen de las lecciones 41, 42 y 43, y que luego resuelvan los ejercicios nuevamente. Pida a los estudiantes que presenten dificultades que resuelvan nuevamente los ejercicios y los expliquen detalladamente, paso a paso. De esta manera podrá detectar cuáles son los errores cometidos. Verifique que los estudiantes hayan realizado a conciencia el cuadro resumen presentado en la página 315, y permítales utilizarlo para resolver nuevamente los ejercicios.

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Información complementaria Historia de las encuestas en Chile Las primeras encuestas de opinión pública realizadas en nuestro país estuvieron encabezadas por el sociólogo de la Universidad de Chile, Eduardo Hamuy. Él, junto a Raúl Samuel, preguntó en 1957 a los chilenos qué les parecía el Sputnik, primer satélite ruso en órbita, y por cierto, en 1958, año de elecciones presidenciales, les consultó por las posibilidades de los candidatos a la presidencia Salvador Allende, Eduardo Frei Montalva, Luis Bossay y Jorge Alessandri. Casi un mes antes del proceso eleccionario, Hamuy vaticinó que el ganador sería Alessandri, quien obtuvo la victoria con el 31,6 % de los votos. Claro que entonces sus encuestas fueron conocidas solo por unos cuantos académicos e investigadores. Así, Hamuy dio inicio a un programa de encuestas de opinión pública que se extendió hasta 1973 con más de 40 sondeos referidos al ámbito político, la movilidad social, el comportamiento electoral y percepciones sobre la contingencia nacional. En 1970 Gallup-Chile, el Centro de Estudios Socioeconómicos (CESOC) y el Centro de Opinión Pública (CEDOP) fueron los principales institutos que midieron las intenciones de voto de los chilenos. La Gallup chilena predijo un amplio triunfo para el comando alessandrista. Hamuy, que dirigía entonces el CEDOP fue el único que adelantó el triunfo de Allende, quien obtuvo el 36,3% de los votos. Alessandri alcanzó un 34,9% y Tomic un 27,8%. Tras el golpe de Estado, las encuestas tuvieron un receso hasta mediados de los años ochenta. Entonces, comenzaron a realizarse los primeros intentos por fotografiar la realidad política y social a través de sondeos que pretendían dilucidar las preferencias electorales frente al plebiscito de 1988, en que los chilenos debieron manifestarse frente a la continuidad del general Augusto Pinochet en el poder. Las primeras instituciones dedicadas a analizar la realidad chilena de entonces, mediante las encuestas, fueron la Facultad Latinoamericana de Ciencias Sociales (FLACSO), el Centro de Estudios Públicos (CEP) y el Centro de Estudios de la Realidad Contemporánea (CERC). A comienzos de 1990, las encuestas se tornaron una poderosa herramienta para la política. En la actualidad, en Chile se realizan un promedio de 20 encuestas por mes a cargo de diversas empresas y universidades. Fuente: http://www.fundacionfuturo.cl/index.php?Itemid=54

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Actividad complementaria Nº 1 / Comparación de datos y box-plot Nombre:

Curso:

Fecha:

Lee atentamente y realiza las siguientes actividades. El box-plot es un tipo de gráfico que permite representar la dispersión de un conjunto de datos. En él se indican los valores máximo y mínimo además de la mediana y los cuartiles, como se muestra: Q1

Q3

Med

Min

0

Max

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

1. Construye un box-plot para cada uno de los siguientes conjuntos de datos. 5

10

10

15

20

20

30

35

35

40

40

55

B

10

10

10

15

20

20

25

25

30

30

40

60

Material fotocopiable

A

2. Observa los gráficos anteriores: a) ¿Cuál de los dos conjuntos es más homogéneo? ¿Por qué?

b) En general, si comparas los box-plot de dos conjuntos, ¿cómo puedes determinar cuál de ellos es más homogéneo? Explica.

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Actividad complementaria Nº 2 / Tamaño de una muestra Nombre:

Curso:

Fecha:

Lee atentamente y realiza las siguientes actividades. Para realizar un muestreo aleatorio simple que permita estimar la media de una población, es importante determinar el tamaño adecuado de la muestra, según la precisión que se desee obtener. Para ello, se utilizan algunas suposiciones y valores establecidos:

• • •

Se estima la varianza S2 de la población, o se la supone igual a 0,5. Se asigna un coeficiente de confianza K a la muestra, que se establece a partir de la probabilidad de que los datos de la muestra se ajusten a los valores de la población. Estos coeficientes se encuentran estandarizados en tablas, y algunos de ellos son: Nivel de confianza

Coeficiente (K)

99%

2,576

95%

1,96

90%

1,645

Se asigna un margen de error e permitido.

A partir de ello, se calcula el tamaño n adecuado de la muestra que se debe tomar de una población de tamaño N, mediante la fórmula K 2NS2 n= 2 2 2 Ne +K S Por ejemplo, si se desea estimar la media de la edad de una población de 1 000 habitantes, con un margen de error de 0,5 años, y un nivel de confianza del 95%, el tamaño adecuado de la muestra es (se supone S2 = 0,5): n=

Material fotocopiable

•

Se supone que la población se distribuye en forma simétrica respecto de la media.

1,962 •1000 • 0,5 1920,8 1920,8 = = ≈ 7,6 1000 • 0,52 +1,962 • 0,5 250 +1,9208 251,9208

Este valor se redondea al entero superior (8). Por lo tanto, si se extrae una muestra de tamaño 8 y se calcula su media ( x) podrá asegurarse con un 95% de certeza que la media poblacional es x ± 0,5. 1. Si se supone una población fija de 5 000 personas, y los valores de S2, e y K varían, ¿en qué casos el tamaño de la muestra aumenta? ¿En cuáles disminuye? Ejemplifica.

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Actividad complementaria Nº 3 / Propiedades de la combinatoria Nombre:

Curso:

Fecha:

Lee atentamente y realiza las siguientes actividades. Sabemos que si se tiene un conjunto de m elementos, y se quieren escoger n de ellos sin importar el orden, existen

maneras de hacerlo.

m!  m   = n (m –n)!n!

1. Pamela debe escoger, de entre sus 30 compañeros de curso, a 22 de ellos para invitarlos a su cumpleaños y desea saber de cuántas formas puede hacerlo. Su mamá le dice que cuente la cantidad de formas en que puede descartar a los 8 que no invitará.

Material fotocopiable

a) ¿Son equivalentes las maneras de calcular? Explica.

b) Demuestra que en general, de un conjunto de m elementos, la cantidad de maneras de escoger n de ellos sin importar el orden es igual a la cantidad de maneras de escoger m – n elementos.

2. Explica con palabras —y mediante un ejemplo— la siguiente igualdad, y demuéstrala  m +1  m   m   =  +  n   n   n – 1

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1

Evaluación de la unidad

Nombre:

2

3

4

Curso:

I. Marca en cada caso la alternativa correcta.



Calcular e interpretar medidas de dispersión de conjuntos de datos.

Para responder las preguntas 6, 7 y 8 considera las siguientes tablas que representan las ventas de dos empresas en un período de 5 meses. Empresa 1

1. ¿Cuál es el valor de la varianza de los datos 2, 5, 3, 6, 4 y 3? Redondea a la milésima. A. 1,806

D. 4,709

B. 2,173

E. 6,101

C. 2,474 2. ¿Cuál es el rango de la siguiente distribución de datos?

Meses

Ventas

1

7

2

18

3

4

4

9

5

26

6

25

2 – 7 – 9 – 5 – 4 – 10 – 5 – 7 Empresa 2

D. 8

B. 5

E. 10

C. 7 3. La varianza de un conjunto de datos es 49 m . ¿Cuál es su desviación estándar? 2

A. 2 401 m4

D. 7 m2

B. 49 m2

E.

7m

C. 7 m

Meses

Ventas

1

13

2

23

3

29

4

12

5

19

6

39

Material fotocopiable

A. 2

5. ¿Cuál es el coeficiente de variación de la empresa 1?

4. Un técnico computacional compara el rendimiento de dos equipos para ejecutar ciertos grupos de instrucciones. El tiempo promedio que demoraron los equipos fue el mismo, sin embargo, el primer equipo tuvo una desviación estándar menor que el segundo. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? I. En promedio, el primer equipo fue mejor que el segundo. II. El desempeño del primer equipo fue más homogéneo que el del segundo. III. El segundo equipo realizó las algunas tareas más rápido y otras más lento que el primero. A. Solo I

D. I y II

B. Solo II

E. II y III

A. 39 % B. 43 % C. 45,6 % D. 54,6 % E. Ninguna de las anteriores. 6. ¿Cuál es el coeficiente de variación de la empresa 2? A. 29 % B. 41,67 % C. 69,3 % D. 71 % E. Ninguna de las anteriores.

C. Solo III

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Evaluación de la unidad 7. ¿Cuál presenta mayor dispersión? A. La empresa 1. B. La empresa 2. C. No hay información. D. Ambas presentan la misma dispersión.

10. Una urna contiene cinco fichas rojas y tres negras, todas del mismo tipo. Se extrae al azar una ficha, se anota su color y se devuelve a la urna. Este experimento se repite diez veces. Si la variable aleatoria X asigna la cantidad de fichas rojas obtenidas, entonces los valores que puede tener X son: A. 1, 2, 3, 4 y 5

E. Ninguna de las anteriores.

B. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10

Comprender y aplicar elementos del muestreo aleatorio simple y variable aleatoria.

C. 0, 1, 2, 3, 4 y 5 D. solo el 5

8. ¿Cuál es el valor de k para que la tabla represente una función de probabilidad? X

0

1

2

P(X = x)

1 3

2 5

k

Material fotocopiable

A. 4 15 B. 26 15 C. 0,3 D. 0,4

E. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 11. Respecto del experimento aleatorio “elegir un número entre los 8 primeros números naturales pares”, se define la variable aleatoria X: número de divisores. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)? 3 I. P(6) = 8 3 II. P(impar) = 8 3 III. P(X = 12) = 4

E. Ninguna de las anteriores. (DEMRE, 6/6/2013) 9. En el experimento de lanzar tres monedas, se define una variable aleatoria como el número de caras que se obtienen. Si p es la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor 0 y q es la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor 2, entonces (p + q) es A. 3 8 B. 3 4 C. 1 2 2 D. 3 E. Ninguno de los valores anteriores. DEMRE 28/10/2010

A. Solo I

D. II y III

B. Solo II

E. I, II y III

C. I y II 12. Considera la siguiente variable aleatoria discreta con función de probabilidad f(x):  x , x = 1,2,3, 4,5  f ( x ) = P( X = x ) =  15  0, en otro caso 

¿Cuál es el valor de P( x ≤ 3)? A. 6 15 B. 4 5 C. 3 15 D. 2 5 E. Ninguna de las anteriores.

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1

Evaluación de la unidad Modelar sucesos asociados a experimentos utilizando conjuntos, operaciones y herramientas de combinatoria. 13. La tabla muestra las respuestas de 200 alumnos(as) de cuarto medio de distintos colegios ante la pregunta "¿Fumas?"



Fuman

No fuman

Hombres

68

32

Mujeres

74

26

Con esta información se puede afirmar que: I. El 32% de los hombres encuestados fuman. II. Si se extrae un individuo al azar, la probabilidad de que fume es 0,71. III. Si se extrae un individuo al azar, la probabilidad de que fume sabiendo que es mujer es 0,37. D. II y III

B. Solo II

E. I, II y III

C. Solo III 14. Un club de adultos mayores está compuesto por hombres y mujeres, de los cuales algunos(as) están jubilados(as). Si se sabe que 20 de los hombres están jubilados, 10 de las mujeres aún no jubilan y que el grupo está compuesto de 100 personas de las cuales 45 son hombres, ¿cuál es la probabilidad de que al elegir una persona al azar de este grupo esta sea mujer y que esté jubilada? A. 9 11 B. 9 13 C. 13 20

D. 11 20 E. 9 20

15. Si se escoge una carta de un mazo de 52, ¿cuál es la probabilidad de escoger un corazón o un diamante? A. 0,3

D. 0,75

B. 0,4

E. 0,8

C. 0,5

3

4

16. En una habitación se encuentran 20 personas adultas y 12 adolescentes. De los adultos, 1 es mujer y de los adolescentes 4 son hombres. Si se escoge una persona al azar, ¿cuál(es) de las afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. La probabilidad de que esta persona sea un adulto es 5 . 8 II. La probabilidad de que esta persona sea un hombre es 5 . 16 III. La probabilidad de que esta persona sea una mujer adolescente es 2 . 3 A. Solo I

D. II y III

B. Solo II

E. I, II y III

C. I y II 17. De una tómbola se saca una de 30 bolitas numeradas del 1 al 30. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de la bolita extraída sea múltiplo de 4? A. 23 30 B. 4 30

Material fotocopiable

A. Solo I

2

D. 30 7 30 E. 23

C. 7 30 18. ¿Cuántos números naturales menores que 1 000 se pueden formar con los dígitos menores que 6? A. 90

D. 180

B. 100

E. 215

C. 120 19. Se lanzan dos monedas simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un "sello"? A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2

D. 2 3 E. 3 4

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Evaluación de la unidad 20. Se lanzan dos dados simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de sus resultados sea mayor que 10? A. 1 4 B. 1 18 C. 1 12

D. 3 12 E. 1 36

A. 1 + 1 + 1 62 61 60

Material fotocopiable

B. 12 + 20 + 30 62 61 60

D. 1 • 1 • 1 12 20 30 E. 12 • 20 • 30 62 61 60

D. 3 10 E. 0

23. Al lanzar 4 veces una moneda ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara? D. 1 4 15 E. 16

C. 4 16

176

25. Si se lanzan dos dados comunes, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean números primos? A. 5 36 B. 1 4 1 C. 2

A. 6

22. En una caja hay bolitas numeradas del 1 al 10. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par y mayor que 6?

B. 1 2

D. 5 10 E. 1 6

D. 5 9 E. 7 12

26. En una caja hay 3 poleras, una de color verde, una roja y una amarilla y 3 pantalones, uno de color café, otro negro y uno blanco. Si se saca un pantalón y una polera, ¿cuál es la probabilidad de que la combinación sea polera amarilla, pantalón negro?

C. 1 • 1 • 1 62 61 60

A. 1 16

A. 5 6 B. 5 7 C. 7 10

21. En una bolsa hay 12 bolitas cafés, 20 bolitas amarillas y 30 rojas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar al azar, sin reposición, primero una ficha café, luego una amarilla y luego una roja?

A. 1 5 B. 3 20 C. 1 2

24. Se ha lanzado 10 veces un dado y en 7 de ellas ha salido el número 5, ¿cuál es la probabilidad de que al lanzar el dado nuevamente se obtenga un 5?

B. 9 C. 1 6

D. 1 9 E. 6 9

27. En una caja hay bolitas numeradas del 1 al 10. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una de ellas se obtenga un número par o menor que 3? A. 1 2 B. 1 5 C. 3 5

D. 7 10 E. 3 10

28. Se lanza un dado y se obtiene 3. ¿Qué probabilidad hay de que al lanzarlo nuevamente sume con el primer resultado un número menor que 8? A. 1 9 B. 2 3 C. 5 6

D. 7 36 E. 4 9

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1

Evaluación de la unidad 29. Se puede determinar el porcentaje de mujeres que son médicos en un país si se sabe que: (1) El 52% de la población del país son mujeres. (2) El 0,5% de la población son médicos A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Juntas, (1) y (2).

2

3

4

II. Resuelve los siguientes problemas. 32. ¿Cuál es la desviación estándar de los datos representados en la siguiente tabla? Asistencia de 40 personas a tratamiento médico al mes

Asistencia

0

1

2

3

4

5

6

Frecuencia

4

9

7

6

8

4

2

D. Cada una por sí sola, (1) ó (2). E. Se requiere información adicional. 30. Sean A y B sucesos de un experimento aleatorio donde P(A) = 0,3 y P(B) = 0,2. ¿Cuál es la probabilidad de P(A U B)? (1) #(A U B) = 3 (2) P(A ∩ B) = 0,1 A. (1) por sí sola.

Material fotocopiable

B. (2) por sí sola. C. Juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional. 31. Los sucesos A y B son excluyentes si se sabe que:

33. ¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con los dígitos 3, 4, 5 y 6 sin que estos se repitan?

(1) P(A) + P(B) = 1 (2) P(A) = P(B) A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) ó (2). E. Se requiere información adicional.

Unidad 4 • Datos y Azar

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Solucionario Actividad complementaria Nº3 Propiedades de la combinatoria

Actividad complementaria Nº1 Comparación de datos y box-plot 1.

A Q1 Min

0

1. a) Son equivalentes, pues al escogerlos separa dos grupos disjuntos, por lo que escoger un grupo de compañeros que asistirán al cumpleaños hace que haya otro grupo de los que no irán.

Q3

Med

Max

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

B Q1

Med

Q3

Min

0

Max

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

2. a) El conjunto B es más homogéneo, pese a que presenta un dato extremo (60). b) Los box-plot con una caja más pequeña corresponden a conjuntos de datos menos dispersos.

Actividad complementaria Nº2 Tamaño de una muestra 1. Si S2 aumenta, el tamaño de la muestra aumenta. Si K aumenta, el tamaño de la muestra disminuye.

 m  m! m!  m b)   = = =  n  (m -n)! • n! (m – n)! • (m – (m – n))!  m – n  c) Si de un grupo de 6 personas (m + 1 = 6) queremos escoger a 4 de ellas (n = 4), tenemos dos formas de hacerlo: • de entre las cinco primeras, escoger a 4 (hay  5  maneras de hacerlo), y no escoger a la   4 última persona. • de entre las cinco primeras, escoger a 3 (hay  5  maneras de hacerlo), y escoger a la última   3 persona. Algebraicamente:

m! m!  m  m  + =   +   n  n – 1 n!(m – n)! (n – 1)!(m – (n – 1))! =

m! m! + n!(m – n)! (n – 1)!(m – n +1)!

(m – n +1)m! + n ⋅m! n!(m – n +1)(m − n)! n • (n – 1)!(m – n +1)! (m – n + 1)m! + n • m! = n!(m – n +1)! n!(m – n +1)! =

=

m • m! – n • m!+ m!+ n • m! n!(m – n +1)!

=

m • m! + m! n!(m – n +1)!

= =

178

m!(m +1)

n!((m +1) – n)!

(m +1)! =  m +1   n!((m +1) – n)!  n 

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1

2

3

4

Evaluación de la unidad (Pág. 173) I. Preguntas de alternativas

Indicador Calcular e interpretar medidas de dispersión de conjuntos de datos.

Comprender y aplicar elementos de muestreo aleatorio simple y variable aleatoria.

Modelar sucesos asociados a experimentos utilizando conjuntos, operaciones y herramientas de combinatoria.

Pregunta

Clave

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

A D C E E B A A C B E A D E C A C E E C E A E E B D C B E B E

Unidad 4 • Datos y Azar

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Material fotocopiable II. Preguntas de desarrollo Problema 32

Problema 33

Correcta Interpreta correctamente los datos de la tabla, comprendiendo que se muestra su frecuencia. Calcula con ello da desviación estándar, y obtiene s ≈ 2, 43

Correcta Plantea el problema interpretando que se trata de un problema de variaciones, obteniendo como resultado 12.

Parcialmente correcta Parcialmente correcta Calcula sin considerar la frecuencia de los datos, calcula la varianza Interpreta correctamente el problema, pero comete errores de o comete errores de operatoria. operatoria.

Incorrecta No logra relacionar la expresión entregada en el enunciado del problema.

Incorrecta No considera el orden de los números y calcula utilizando una combinación, obteniendo como resultado 6.

Banco de preguntas (Pág. 181) Pregunta

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Clave

A

B

D

D

C

D

D

D

B

A

11. 2 12. 18

180

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Banco de preguntas

1

2

3

4

Calcular e interpretar medidas de dispersión de conjuntos de datos

Comprender y aplicar elementos de muestreo aleatorio simple y variable aleatoria

1. El percentil 25 es equivalente al:

4. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?

I. primer cuartil. II. segundo quintil. III. tercer decil. A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. I y II E. I y III 2. Dadas las edades de 8 personas: 25 años, 22 años, 24 años, 23 años, 24 años, 25 años, 22 años y 24 años. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. La moda es 25 años. II. La mediana es menor que el promedio. III. La mediana es 24. A. Solo II B. Solo III C. I y II D. I y III E. II y III 3. Para el conjunto de datos: 21 39 35 24 25 35 39 43 29 37 43

¿Cuáles son, respectivamente, su varianza y su desviación estándar?

I. En un muestreo aleatorio simple, cada elemento de la población tiene igual probabilidad de ser escogido en la muestra. II. Al calcular el promedio de una muestra, se obtiene el promedio de la población. III. Para escoger una muestra con muestreo aleatorio simple, pueden numerarse los elementos de la población y escogerlos utilizando números aleatorios. A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. I y III E. II y III 5. Se realiza el experimento “Lanzar dos dados” y se define la variable aleatoria X = diferencia positiva entre los números obtenidos. Si se considera la función de probabilidad asociada a esta variable, ¿cuál es el valor de f(X = 2)? A. 6 36 B. 10 36 C. 8 36 D. 4 36 E. 2 36

A. 50,23 y 8,56 B. 48,19 y 10,15 C. 54,23 y 12,76 D. 54,23 y 7,36 E. 15,67 y 7,36

Unidad 4 • Datos y Azar

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Modelar sucesos asociados a experimentos utilizando conjuntos, operaciones y herramientas de combinatoria 6. Pablo tiene 2 libros de lenguaje y 3 de matemática, los cuales ordena en una biblioteca. Si los ordena en una misma fila ¿Cuál es la probabilidad de que los libros de lenguaje queden juntos? A. 2 48 B. 24 48 C. 2 120 D. 24 120 E. 48 120 7. De un grupo de 6 cartas numeradas del 1 al 6 se saca una y luego sin, reponer la carta extraída, se saca otra. ¿Cuál es la probabilidad de ambas cartas sean un número impar? A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 E. 1 6

8. En un proceso de control de calidad de cierto producto, se sabe que el 90% de ellos no tiene ningún tipo de falla. ¿Cuál es la probabilidad de que, al sacar sucesivamente tres productos, sean los tres defectuosos? A. 0,1 B. 0,9 C. 0,01 D. 0,001 E. 0,729 9. ¿Cuántos números pares de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos menores que 8? A. 1024 B. 1792 C. 2240 D. 2560 E. 2048 10. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener suma menor o igual a 10? A. 11 12 B. 5 6 C. 3 4 D. 5 18 E. Otro valor.

Resolver problemas 11. Determina una expresión para la varianza de 5 números naturales consecutivos. 12. Se lanzan dos dados y se define la variable aleatoria X: producto entre los números obtenidos. ¿Cuántos elementos tiene el recorrido de X?

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Bibliografía

1

•

Govinden Portus, L. (1998). Introducción a la estadística. Mc Graw Hill

•

Saavedra, E. (2005). Contenidos básicos de estadística y probabilidad. Colección ciencias. Santiago: Universidad de Santiago.

•

Spiegel, M. (2006). Estadística. Colección Shawm. Editorial McGraw Hill.

2

3

4

Sitios web

•

Documento que explica los distintos tipos de muestreo http://minnie.uab.es/~veteri/21216/TiposMuestreo1.pdf

•

Ejemplos y ejercicios de probabilidad http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.html

•

La relación entre la probabilidad, el juego y otros contextos reales http://w3.cnice.mec.es/recursos/bachillerato/matematicas/probabilidad/index.html

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Mini ensayo PSU Nombre:

Curso:

Marca en cada caso la alternativa correcta. 1. ¿Para qué números reales la fracción algebraica 2 no es indefinida? 3 a –a A. a ∈  – {0}

D. a ∈  – {1,–1}

B. a ∈  – {1}

E. a ∈  – {–1,0,1}

Material fotocopiable

2. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente con (x2 – 2xy + y2 – z2)? A. (x – y + z)(x + y + z)

D. (x – y + z)(x – y – z)

B. (x – y + z)(x + y – z)

E. (x – y – z)(x – y – z)

C. (x + y + z)(x – y – z) 3. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente 1– p a 4 ? p –1 A. 1 p +1

D. –

1 (p +1)(p2 +1)

B. – 1 p3 +1

E. –

1 (p +1)(p2 –1)

1 (p +1)(p2 +1)

4. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente 1 p – p 4? con p–2 p A. p + 2 4 B.

4 2–p

5. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente 2x 2 y –3 ? con 6x –3 y A. 1 x 5 y 4 3

D. 1 x 5 y –4 3

B. 1 x –1y –4 3

E. 1 x –1y –2 3

C. 1 x 5 y –2 3

C. a ∈  – {–1}

C.

Fecha:

D. –p – 2 4 E.

4 –(p + 2)

6. Si el área de un rectángulo está dada por la expresión (2x2 – 5x – 3) cm2 y uno de sus lados mide (x – 3) cm, ¿cuál de las siguientes expresiones representa su perímetro? A. (x – 3) cm

D. (6x – 2) cm

B. (2x + 1) cm

E. (6x – 4) cm

C. (3x – 2) cm 7. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente 1 con 1– ? a 1– 1 1– a A.

a2 a2 – a +1

2 D. a – a +1 a2

B.

a2 –a2 + a –1

E.

a a – a +1 2

2 C. –a + a +1 a2

8. En la ecuación

2 1 2 , ¿cuál es el valor de x? = – 1– x x x –1

A. –2

D. 2

B. –1

E. La proposición es falsa.

C. 1

C. p – 2 4

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9. Si una llave llena un estanque en 8 horas y otra lo hace en 5 horas, ¿cuánto tiempo se demorarían juntas en llenarlo?

III.

Y

3 2 1

A. 13 horas. 40

X −1

1

2

3

4

5

6

−1

B. 15 horas. 40

−2 −3

C. 16 horas. 40 D. 40 horas. 13

A. Solo I

D. II y III

B. Solo II

E. I, II y III

C. I y II

E. 40 horas. 16 10. Sea f(x) = 2a + x, donde el punto A(2, 8) pertenece a su gráfico. ¿Cuál es el valor de a?

12. ¿En qué punto del plano cartesiano el gráfico de la x  1 función f ( x ) =   + 3 se interseca con el eje Y? 2 A. (0, 3)

D. (4, 0) E. En ningún punto.

A. – 1

D. 2

B. (0, 4)

B. 0

E. 3

C. (3, 0)

C. 1

13. ¿Cuál es el dominio de la función f ( x ) = 1– 2x ?

11. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos corresponde(n) a una función logarítmica? I.

Y

3

 1 A.  –   2 

1  D.  x ∈ / x >  2 

 1 B.  – –   2

1  E.  x ∈ / x ≤  2  

2 1 X −1

1

2

3

4

5

6

−1

1  C.  x ∈ / x =  2 

−2

14. Sean f(x) = x y g( x ) = x, ¿cuál(es) de los siguientes

−3

puntos es(son) intersecciones entre sus gráficas? II.

I. (0, 0)

Y

II. (1, 0)

3 2

III. (1, 1)

1 X −1

1 −1 −2

2

3

4

5

6

A. Solo I B. Solo II

−3

D. I y III E. II y III

C. I y II

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Mini ensayo PSU

15. ¿Cuál(es) de los siguientes pares de valores es (son) soluciones de la ecuación lineal con dos incógnitas 1 x – 2y = 5 ? 2 I. x = 1 e y = -2

19. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa el siste2x + 3y = –9 ? ma de ecuaciones x – y = –2 A.

Y

5

II. x = 2,5 e y = 0

4 3

III. x = 0 e y = -2,5

2 1

A. Solo I

X

D. I y III

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

−1

B. Solo II

E. I, II y III

−2 −3

C. Solo III

−4 −5

16. ¿Qué valor debe tener k para que las coordenadas del punto A(–2, –1) sean solución de la ecuación 1 lineal con dos incógnitas xk + 3y = 0 ? 2 A. 3 B. 6

B.

Y

5 4 3 2

D. –6

1 X −5

E. 1,5

−4

−3

−2

−1 −1 −2

C. –3

−3 −4

17. La diferencia de las edades de Roberto y su hija es 29 años. Si en 5 años más el doble de la edad de su hija será igual a la edad que tendrá Roberto disminuida en 3 años, ¿cuáles son sus edades?

−5

C.

Y

5 4 3

A. 18 y 47 años.

D. 21 y 50 años.

B. 19 y 48 años.

E. 22 y 51 años.

2 1 X −5

−4

−3

−2

−1 −1

C. 20 y 49 años.

−2 −3 −4

18. ¿Cuál de los siguientes puntos es intersección de las rectas del sistema 1 x – 2y = –4 ? 2 3y – x = 5

−5

D.

Y

5 4 3

A. (3, 4)

D. (–4, 3)

B. (4, 3)

E. (–4, –3)

C. (–3, 4)

2 1 X −5

−4

−3

−2

−1 −1 −2 −3 −4 −5

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E.

22. Respecto del experimento aleatorio “lanzar un dado de 6 caras”, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

Y

5 4 3 2 1 X −5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

I. Un suceso seguro es obtener 6 puntos en su cara superior. II. Un suceso posible es obtener un número par de puntos en su cara superior.

−1 −2 −3

III. Un suceso posible es obtener un número de puntos en su cara superior que sea divisible por 15.

−4 −5

20. ¿Para qué valor de k el sistema

2x – ky =1 no tiene y – 3x = 4

solución? A. – 3 2

D. 2 3

B. – 2 3

E. 3 2

C. – 1 3 21. Valeria tiene $ 1450 entre monedas de $ 50 y de $ 100. Si en total tiene 17 monedas, ¿cuántas tiene de cada valor?

A. Solo I

D. I y II

B. Solo II

E. II y III

C. Solo III 23. La siguiente tabla muestra el tiempo que demoran dos modelos de automóviles en alcanzar los 100 km/h. ¿Cuál es la desviación estándar (S) para cada caso? Redondea a la milésima.

Tiempo que demora el modelo A y B en alcanzar los 100 km/h Tiempo Nº de prueba Modelo A Modelo B

1 2 3 4 5

A. 5 de $ 50 y 12 de $ 100. B. 7 de $ 50 y 10 de $ 100. C. 10 de $ 50 y 7 de $ 100.

7 6 8 9 7

5 9 9 8 6

D. 12 de $ 50 y 5 de $ 100. E. 14 de $ 50 y 3 de $ 100.

A. SA = 1,3 y SB = 3,3

D. SA = 1,14 y SB = 2,64

B. SA = 1,02 y SB = 1,625

E. SA = 1,299 y SB = 1,817

C. SA = 1,625 y SB = 1,02 24. Respecto de los tiempos logrados por el modelo A de la pregunta anterior, ¿cuál es su coeficiente de variación? Redondea a la décima. A. 0,2%

D. 138,01%

B. 1,38%

E. No se puede calcular.

C. 13,8%

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25. ¿Cuántos números pares de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos menores que 8? A. 1024

D. 2560

B. 1792

E. 2048

C. 2240

2, 3, 4, 3, 3, 2, 1, 6, 5, 5, 6, 1, 2, 5, 6, 4, 3, 3, 4, 1, 1, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 2, 1, 1. ¿Cuál es la frecuencia relativa del suceso A: obtener un número de puntos mayor que 3? A. 0,5

D. 0,46

B. 0,6

E. 0,63

C. 0,43

II. #A + #B = #(A ∪ B)

A. Solo I

D. I y II

B. Solo II

E. I, II y III

C. Solo III 29. Se confeccionará una bandera con tres franjas horizontales de colores. Si estos serán elegidos entre 5 colores sin que se repita ninguno, ¿cuántas banderas distintas se pueden confeccionar? A. 10

D. 100

B. 30

E. 120

C. 60

27. Si se lanza 100 veces una moneda no cargada, obteniéndose cara en los últimos 5 lanzamientos, ¿cuál es la probabilidad de que en el siguiente lanzamiento se obtenga cara? A. 0

D. 0,8

B. 0,2

E. 1

C. 0,5

188

I. A ∩ B = 0 III. #A – #B = #(A ∩ B)

26. Se lanza un dado 30 veces, obteniéndose los siguientes puntajes:



28. Si dado un experimento aleatorio los sucesos A y B son mutuamente excluyentes, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

30. Si la probabilidad de que ocurra el suceso A es 0,4 y la probabilidad de que ocurra el suceso B, independiente de A, es 0,3, ¿cuál es la probabilidad de que ocurran ambos sucesos simultáneamente? A. 0,1

D. 0,9

B. 0,5

E. 0,12

C. 0,6

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Tabla de especificaciones

Pregunta

Eje

Contenido

Habilidad

Respuesta correcta

1

Álgebra

Expresiones algebraicas

Analizar

E

2

Álgebra

Factorización

Aplicar

B

3

Álgebra

Fracciones algebraicas

Comprender

D

4

Álgebra

Fracciones algebraicas

Aplicar

D

5

Álgebra

Fracciones algebraicas

Aplicar

A

6

Álgebra

Fracciones algebraicas

Comprender

E

7

Álgebra

Fracciones algebraicas

Aplicar

A

8

Álgebra

Ecuaciones racionales

Analizar

E

9

Álgebra

Ecuaciones racionales

Aplicar

D

10

Álgebra

Funciones

Analizar

C

11

Álgebra

Funciones

Recordar

D

12

Álgebra

Funciones

Aplicar

B

13

Álgebra

Funciones

Analizar

E

14

Álgebra

Funciones

Analizar

D

15

Álgebra

Ecuaciones lineales con dos incógnitas

Evaluar

C

16

Álgebra

Ecuaciones lineales con dos incógnitas

Analizar

C

17

Álgebra

Sistemas de ecuaciones lineales

Aplicar

D

18

Álgebra

Sistemas de ecuaciones lineales

Aplicar

B

19

Álgebra

Sistemas de ecuaciones lineales

Comprender

D

20

Álgebra

Sistemas de ecuaciones lineales

Analizar

D

21

Álgebra

Sistemas de ecuaciones lineales

Aplicar

A

22

Datos y azar

Probabilidad

Evaluar

B

23

Datos y azar

Desviación estándar

Aplicar

D

24

Datos y azar

Coeficiente de variación

Aplicar

C

25

Datos y azar

Combinatoria

Analizar

B

26

Datos y azar

Frecuencia relativa

Comprender

D

27

Datos y azar

Probabilidad

Comprender

C

28

Datos y azar

Probabilidad

Evaluar

D

29

Datos y azar

Combinatoria

Aplicar

C

30

Datos y azar

Probabilidad

Comprender

E

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Indice temático Contenido

Página

A Amplificación Ángulo del centro Ángulo inscrito Aproximación Argumento Asíntota

Escala 105, 106, 108, 109 69, 71 69 17, 19, 20, 22, 40 30, 31, 69, 117 115, 116, 131

Circunferencia Coeficiente

21, 25, 31, 114 69, 70, 79 117, 119, 120, 121, 123

Combinatoria

163, 172

Compatible

120, 123

Congruencia

58, 59, 60, 69

Conjuntos numéricos

Evento

58, 60 154, 156, 160 160, 163

Exceso 19 Experimento aleatorio Exponente Expresión algebraica

154, 156, 157 24, 26, 27, 105 103, 110

18, 21

Fracción algebraica Función afín

103, 104, 106, 107, 108, 109 112, 120

Función exponencial

24, 112, 115, 117

Función logarítmica

116

Función racional

131

Función raíz cuadrada

114

H

Contracción

114, 115, 116

Crecimiento

115, 116

Heterogéneo

150, 151, 153

69, 70, 71

Homogéneo

150, 151, 153

Cuerdas

I

D Decrecimiento

115, 116

Defecto 19 Determinado Diagrama de árbol

162, 164 114, 115, 116

Dispersión

150, 151, 152, 153

Dominio

61, 65 112, 113, 114, 116, 156

Ecuaciones lineales Ecuaciones logarítmicas Ecuaciones radicales Error absoluto

Indeterminado

120, 123 120, 121, 123, 125

L Ley de los grandes números Logaritmo

157 31, 32, 33, 34, 116

M Máximo 150

E Ecuaciones exponenciales

Incompatible

120, 121, 123, 125

Dilatación División de trazos

190

Espacio muestral

Página

F

C Cantidad subradical

Contenido

32, 115 119, 120, 121, 123, 124 33 28, 34, 114 19

Máximo común divisor

105

Medias muestrales

157

Medidas de dispersión

150

Método de igualación

121

Método de reducción

121, 123

Matemática 2.º Medio - Guía didáctica del docente

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Contenido Método de sustitución

Página 121, 123

Mínimo 150 Mínimo común múltiplo

105

Secantes Semejanza de triángulos Sistema de ecuaciones lineales

Números irracionales

17, 18, 19, 20

Números racionales

17, 18, 20, 32 17, 21, 114

Suceso

70, 71, 120 58, 59, 60, 63, 66 75 106, 164 119, 120, 121, 123 160, 163, 163

T Teorema de Euclides

P

Página

S

Simplificación

N

Números reales

Contenido

Teorema de Pitágoras

66 63, 66

Pantógrafo 76

Teorema de Thales

63, 65, 67

Paralelas

Teoremas de semejanza

63, 65, 67

Pendiente

60, 63, 120 119, 120

Términos semejantes

25

Permutación 163

Transversal 63

Población

Truncamiento

Potencia Principio multiplicativo Probabilidad

154, 157 24, 25, 26, 27, 31, 32, 115, 116 160, 162 154, 156, 157, 160, 162, 163

Problemas geométricos

18

Progresión geométrica

34, 41

Promedio Propiedades de las potencias Propiedades de los logaritmos Proporción

17, 19

150, 151

V Variable aleatoria

156, 157

Variación 163 Varianza 151

24, 25, 27, 31, 32 32 58, 63, 70

R Racionalizar 27 Raíz cuadrada

24, 29, 114

Raíz enésima

24, 27

Rango

150, 152

Razón

58, 59, 60, 65

Recorrido

112, 113, 114, 115, 116, 156

Recta numérica

17, 20

Redondeo

17, 19

Índice temático

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