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• Patricia Sobarzo H

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APUNTES SOBRE LA DIDÁCTICA DE LA Advertencia: Estos apuntes han sido elaborados con comentarios personales y fragmentos de otros autores, para una mejor comprensión de lo aquí expuesto se debería consultar la bibliografía reseñada al final

OPERACIÓN ARITMÉTICA:

LA DIVISIÓN EN LA EDUCACIÓN PRIMARIA

Antonio Ramón Martín Adrián (Tony) Colegio público Aguamansa C/El Velo s/n La Orotava Tenerife Islas Canarias [email protected] Enero 2003 (1ª edición) 1

INTRODUCCIÓN Dentro de las matemáticas escolares, uno de los temas que más dolores de cabeza produce tanto a alumnas y alumnos, como a profesoras y profesores , es el de LA DIVISIÓN. Es frecuente oír a algunos profesores cuando reciben alumnos que pasan de un nivel/etapa a la siguiente expresiones como: “es que no saben dividir por una cifra” . También podemos escuchar a algunas madres y padres, diciendo muy orgullosos a algún amigo o familiar: “mi hijo sabe dividir por dos cifras”. Aunque luego sea incapaz de resolver un sencillo problema donde aparezca esa operación. Comenzamos este trabajo aclarando los términos “dividir” y “algoritmo de la división”. La gran mayoría de las personas cuando hablan de “dividir” lo que están es haciendo referencia –sin saberlo- al algoritmo de la división. “Durante mucho tiempo el aprendizaje de las operaciones aritméticas ha estado ligado a su algoritmo de una manera tan fuerte que, con frecuencia, se ha producido una identificación entre ambos conceptos. Es más, por el énfasis que se pone en el algoritmo, parece que es éste el objetivo de aprendizaje y se da más importancia al automatismo que a la comprensión” (ROA, 2001) DIVIDIR Y ALGORITMO DE LA DIVISIÓN Debemos empezar por conocer lo que es un algoritmo. Veamos algunas definiciones: 1ª) “Un algoritmo es una secuencia lineal de acciones que deben ser ejecutadas”. Utilizar el teléfono, por ejemplo, responde a este esquema: descolgar el auricular, esperar el tono, marcar, etc. 2ª) Los algoritmos son procedimientos que resuelven un determinado problema matemático. Se caracterizan fundamentalmente por describir una secuencia lineal de instrucciones de forma que cumpliendo etapa tras etapa se llegue a la solución requerida (Hierber y Lefevre, 1986) Cuando las profesoras y profesores, ejecutan en las pizarras las instrucciones indicadas más abajo no están enseñando a DIVIDIR, están enseñando el algoritmo tradicional de la división. Lo denominamos tradicional porque es el que se ha estado haciendo desde toda la vida en nuestro sistema educativo. Instrucciones sobre el algoritmo tradicional de la división, sacadas de un libro de texto: - “ Cuando efectuamos divisiones con un divisor de 2 ó más cifras, hemos de separar tantas cifras, de la izquierda del dividendo como tenga el divisor. Si el número resultante es igual o menor que el divisor, podemos hacer la división como ya sabemos…” - “Si al separar las cifras de la izquierda del dividendo, nos da un número menor que el divisor, tenemos que separar una cifra más para poder iniciar la división…”

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ALGORITMO TRADCICIONAL DE LA DIVISIÓN Entonces, ¿qué es dividir? Para los psicólogos educativos y los matemáticos este concepto tiene más significados, pero nosotros los utilizaremos en la escuela principalmente como REPARTIR EN PARTES IGUALES. Por lo tanto, cuando alguien hace referencia al término dividir en el ámbito escolar, está refiriéndose al algoritmo tradicional de la división (ATD). En algunas ocasiones, algunas profesoras y profesores suelen plantear el siguiente interrogante: ¿QUÉ MÉTODO UTILIZO PARA EL ALGORITMO DE LA DIVISIÓN? En la gran mayoría de los centros educativos se explica el ATD, o bien el algoritmo de la división en el que se muestran las restas parciales (ADR). Es frecuente, encontrarnos con cierta controversia en los colegios, sobre las ventajas e inconvenientes de explicar uno u otro.

Si nos fijamos atentamente vemos que son el mismo algoritmo. Lo que ocurre es que en ATD sólo se pone el resultado de las restas. Lo cual parecía lógico hace varios cientos de años, porque se ahorraba tinta y papel, materiales que no siempre han sido tan abundantes como en la actualidad. En relación al ADR, que parece algo novedoso, diremos que hay textos de 1850 donde viene el algoritmo de la división con las restas parciales. Ver: - SAIZ, I: “Didáctica de las matemáticas”. Capitulo Veamos lo que dicen algunos investigadores a este respecto. -

“...debe resultar obvio que a estas alturas que el aprendizaje es más significativo porque se apoya en los dos recursos con que cuenta el alumno en este momento; una forma más o menos esquematizada de resolver la división a través de la suma o resta reiterada, y una concepción de la división como operación inversa de la multiplicación. Algunos maestros tienen a prescindir con suma rapidez de la resta en el dividendo pero, con la misma 3

celeridad, ello lleva a olvidar el fundamento de lo que se está haciendo: encontrar un múltiplo del divisor que se acerque lo más posible al dividendo.” (MAZA GÓMEZ, 1991) -

“Incluso más que en el caso de la multiplicación, conviene subrayar la necesidad de utilizar un procedimiento y una disposición espacial que permita al niño encontrar, sin vacilación, el punto en que se encuentran: 1. El cuadrado cuadriculado para el dividendo y el cociente. 2. La escritura completa de las sustracciones necesarias. 3. La eventual indicación de los cálculos accesorios para la búsqueda de la cifra que conviene al cociente; para esto, una poderosa ayuda consiste en establecer previamente la tabla de los productos del divisor por los números del 1 al 9.” (VERGNAUD, 1991)

Después de analizar las citas anteriores, podemos decir que estos investigadores defienden la idea de que hay que dejar las restas escritas en el dividendo. Nosotros confirmamos su hipótesis. En las investigaciones (grabadas en video) realizadas en el colegio público de Aguamansa de La Orotava (Tenerife), los alumnos reconocen que entienden y “comprenden” mejor el método ADR. A las profesoras y profesores nos llevó varios años abandonar el ATD, y adoptar el ADR, aunque hubo un período de tiempo en el que convivían los dos en el trabajo del alumno, por los temores y dudas que teníamos las profesoras y profesores a este respecto. Ahora bien, el paso del tiempo y las investigaciones sucesivas, nos ha llevado en la actualidad a desechar por completo los dos métodos. Ninguno de los dos tiene utilidad en la actualidad ¿Cuáles han sido nuestras razones para ello? Razones que justifican el abandono de el ATD y el ADR 1. Porque esas operaciones con bolígrafo y papel no se realizan en la vida diaria, y en el caso de tener que hacerla, emplearíamos la calculadora; que tiene la ventaja de ser más rápida y equivocarse menos. 2. No es habitual tener que hacer la operación 67.897: 76. A los lectores les costará recordar cuando fue la última vez que tuvo que hacer un cálculo parecido fuera de la escuela. 3. La práctica repetida de estos algoritmos no mejora ni aporta conceptualmente nada a la capacidad matemática de las alumnas y alumnos. 4. Un gran cantidad de alumnas y alumnos tienen más fallos que aciertos cuando realizan estas operaciones. 5. Al estudiante que no sabe hacer divisiones largas con muchos dígitos se le considera un fracasado en la escuela. Se le impide hacer nuevos progresos en matemáticas y se le aleja de ellas para siempre, y no porque el estudiante carezca de las capacidades necesarias para ser un competente aprendiz y usuario de las matemáticas, sino porque así es como está estructurado el programa de matemáticas en la escuela” (MAIER, E.;1987)

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6. Estos algoritmos son destrezas de supervivencia escolar, las alumnas y alumnos deben conocerlos para poder progresar en el sistema educativo, no porque les sean útiles en su futura ocupación laboral. Se trabajan estos algoritmos en los centros educativos, sólo porque vienen en los programas de matemáticas. ¡Programas, que tienen que cambiar y adaptarse a la realidad del siglo XXI! 7. El ATD y el ADR fuerzan a las niñas y niños a renunciar a su propio pensamiento. (KAMII,1989) 8. El ATD y el ADR permiten a las niñas y niños producir respuestas correctas, pero con el efecto secundario de erosionar la confianza que tienen en sí mismos. Los niños de clases constructivistas, no han aprendido a depender del lápiz y papel, ni de la distribución espacial de las cifras ni de otras personas. (KAMII,1989) 9. En el pasado fue imprescindible sacrificar tiempo y energía en impartir estas destrezas algoritmicas, pero en la actualidad no tienen nada que ver con formación matemática el adiestrar seres humanos en algo que las máquinas hacen mucho mejor. (GUZMÁN ROJAS, 1979) 10. En la mayoría de los niveles de enseñanza primaria y gran parte de la secundaria un 80% del tiempo y del esfuerzo de aprendizaje se dedica a ganar destrezas en los diversos algoritmos de las operaciones aritméticas.(GUZAMÁN ROJAS, 1979). Teniendo esta actividad poca repercusión en el desarrollo de capacidades en las alumnas y alumnos. 11. Un argumento que se oye con frecuencia en muchos docentes y madres y padres que quieren seguir justificando lo injustificable, la enseñanza de algoritmos tradicionales, es: “¿y si los alumnos cuando van a hacer un cálculo no tienen calculadora, qué hacen? La respuesta es obvia: ¿y si cuando van a hacer un cálculo no tienen lápiz y papel, qué hacen? Hoy en día lo que se lleva es el CÁLCULO MENTAL, y dentro del mismo LA ESTIMACIÓN, el exacto lo dan las calculadoras. En definitiva, el ATD y el ADR deben desaparecer de la práctica escolar y de los programas de matemáticas. ¿Y entonces, qué haremos las profesoras y profesores?

Enseñaremos otros algoritmos, destinados a desarrollar CÁLCULO MENTAL en nuestras alumnas y alumnos.

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Antes de comentar como hacemos ahora el lenguaje simbólico (los otros algoritmos) de la división, debemos dedicar unas líneas a las etapas del aprendizaje y al valor de posición.

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ETAPAS DEL APRENDIZAJE PROPUESTAS POR BRUNER Según este investigador, el proceso de aprendizaje de los conceptos matemáticos debe respetar las siguientes etapas: 1. MANIPULATIVA. Hay que presentar a las alumnas y alumnos los objetos, los materiales, en la situación real y concreta que se quiere resolver, para que opere en un contexto significativo. “La manipulación”, “La concretización”, es precisa para que los alumnos perciban, a través de sus acciones concretas, cuáles son las operaciones aritméticas que deben utilizar. Es conveniente, que los alumnos traduzcan, de manera verbal, lo que ha realizado de manera manipulativa. 2. GRÁFICA. Representar lo realizado, de manera manipulativa, en forma de dibujos o esquemas gráficos. 3. SIMBÓLICA. Valiéndose de los símbolos numéricos y del texto escrito. Desde el punto de vista didáctico y metodológico, una de las principales contribuciones del profesorado al fracaso escolar en el área de matemáticas es “ que no se respetan estas fases del aprendizaje”. La tendencia general ha sido dedicar a las dos primeras fases un tiempo demasiado escaso, comenzando en la gran mayoría de las ocasiones el aprendizaje en la etapa simbólica, y por lo tanto abusando de las actividades de lápiz y papel (trabajo simbólico). El discurso que recoge este párrafo, ha sido pronunciado en múltiples oportunidades por muchos investigadores. Sin embargo, la situación se sigue repitiendo, la pregunta a responder es, ¿cuándo va a empezar a cambiar esta situación? SISTEMA DECIMAL.VALOR DE POSICIÓN Antes de emprender el aprendizaje de cualquier algoritmo, es necesario dominar con soltura su fundamento: unidades, decenas, centenas, etc., y las relaciones que existen entre estos agrupamientos. Para esta tarea se hace necesario respetar las etapas del aprendizaje de Bruner y utilizar materiales físicos, que los alumnos puedan manipular: bloques multibase, regletas,... Nosotros empleamos mucho en nuestras clases LAS REGLETAS DE CUISENAIRE. Ignorar lo anterior, significa entrar en un camino árido y con múltiples dificultades. Si hemos tenido en cuenta las cuestiones anteriores, estamos en condiciones de presentar otros algoritmos. En este trabajo presentaremos dos, pero no son los únicos. Pueden haber tantos, como personas se dediquen a reflexionar y analizar este tema. ALGORITMOS DE LA DIVISIÓN: EL ÁRBOL Y LA ARAÑA Nunca presentaremos las operaciones descontextualizadas, siempre irán dentro de la resolución de problemas. Cuando las alumnas y alumnos tengan claro el

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significado y utilidad del lenguaje simbólico, descontextualizadas al desarrollo del cálculo mental.

podemos

dedicar

sesiones

Son las nueve de la mañana, hoy es día 4 de enero del 2003. Arístides, Salomé y Carmen Rosa quieren repartirse 370 eruros en partes iguales. ¿Cuánto dinero le toca a cada uno?. A Carmen Rosa le dejaron Los Reyes Magos dos muñecas y una pistola. FASE MANIPULATIVA Las alumnas y alumnos con las regletas de Cuisenaire realizaran el problema. Antes de manipular el material, harán un estimación del resultado. FASE GRÁFICA Una de las ventajas de las regletas es que nos permite ahorrar esta fase, porque a nuestro entender está incluida en la manipulación de las mismas.

FASE SIMBÓLICA ALGORITMO EN ÁRBOL

ALGORITMO DE LA ARAÑA

Cuatro personas compraron una finca de 8435 metros cuadrados, y la quieren dividir en cuatro parcelas equivalentes. ¿Cuál es el área de cada parcela? Una de las personas se llama José Luis y tiene 45 años.

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ALGORITMO EN ÁRBOL

ALGORITMO DE LA ARAÑA

ALGORITMOS CON DOS O MÁS CIFRAS En el caso de sea necesario realizar operaciones con estas cantidades, las haremos sin duda alguna con LA CALCULADORA. Pero, antes de accionar las teclas, no olvidaremos hacer LA ESTIMACIÓN del resultado. La estimación es lo que me va a permitir decidir si el resultado que sale en la pantalla es coherente o no. Las estimaciones las haremos por 10, 100 ó 1000, o por sus mitades 5, 50 y 500, las escribiremos para que los alumnos puedan desarrollar sus capacidades intelectuales. Ahora bien, cuando estén adiestrados en estas técnicas, no será necesario estar escribiendo el proceso que nos llevó a la estimación, porque sería una tarea aburrida y absurda. Por ejemplo: Una peña de cincuenta y tres personas, han obtenido jugando en la lotería primitiva un premio de 84.032 euros, deciden repartírselo en partes iguales y enteras. ¿Cuánto le tocó a cada uno? ¿Sobraron más o menos de 30 euros? Para hacer la estimación procederíamos así:

Después de haber realizado el cálculo aproximado, podemos concluir que el resultado está entre 1500 y 1600, más cerca de este último que del primero. A continuación pasamos a calcular el exacto con la calculadora: 84032 : 53 = 1585,509 Por lo tanto, le corresponde a cada miembro de la peña 1.585 euros. ¿Cómo calculamos el RESTO sin hacer el algoritmo tradicional o con restas? ¡¡Muy fácil!! Al haber una parte decimal, quiere decir, que ha sobrado alguna cantidad. Cogemos la parte entera del cociente y la multiplicamos por el divisor. 8

1585 x 53 = 84.005 Luego restamos este producto del dividendo 84032-84005= 27, y la diferencia obtenida es el RESTO. R = 27 euros. Contestando a la pregunta inicial, diremos que sobran menos de 30 euros. CONCLUSIONES E IMPLICACIONES EDUCATIVAS 1. Hoy en día, en el siglo XXI e invadidos por la tecnología; el hacer divisiones largas o multiplicaciones con muchos dígitos NO tiene ningún sentido en la escuela, ni fuera de ella. 2. En el campo de los cálculos aritméticos, la escuela no responde a las necesidades de la sociedad actual, tanto en las situaciones cotidianas como en el mundo laboral. 3. Es necesario un reciclaje en los cálculos aritméticos de todos los agentes que intervienen en el procesos educativo (madres y padres, profesoras y profesores, autoridades educativas, etc.) 4. Debemos enseñar a los alumnos que antes de hacer un cálculo con la calculadora, deben realizar la estimación del resultado. 5. En la escuela no debemos trabajar divisiones, con más 4/5 cifras en el dividendo y no más de 2 cifras en el divisor. Si necesitamos hacer operaciones con números mayores, procederíamos directamente con la calculadora , teniendo en cuenta la estimación. CURIOSIDAD Los dos puntos como signo de la división en la forma conocidad “a:b” los empleó por primera vez G. Leibniz (1684). Algunos años antes el matemático inglés del siglo XVII, John Pell, empleo un signo parecido que aún utilizan los ingleses: dos puntos separados por una raya . Los hindúes colocaban el divisor debajo del dividendo. - VARIOS: “Didáctica de la matemática en la Educación Primaria”. Síntesis. Madrid (2001). Página 204 BIBLIOGRAFÍA 1. CASTRO, E. (Editor): “didáctica de la matemática en al Educación Primaria”. Síntesis. Madrid (2001) 2. DICKSON, L. Y otros: “El aprendizaje de las matemáticas”. Labor. Madrid (1991) 3. LERNER, D.: “La matemática en la escuela”. Aique. Buenos Aires (1994) 4. KAPITOWSKI, A.: “Enseñanza de la matemática”. Aique. Buenos Aires (1999)

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