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DIFERENCIA ENTRE LINEAL y NO LINEAL Un análisis lineal es aquel en donde las fuerzas son directamente proporcionales a los desplazamientos y tal como su nombre lo indica hay una relación lineal entre estas dos variables. Podemos decir sencillamente que {F} = [k]{D}; podríamos utilizar una analogía con la línea recta, la curva que describe este comportamiento es una línea recta. Podemos estar en el rango elástico (se cumple la ley de Hook) o podemos también estar en el rango inelástico, pero la linealidad se conserva. Las ecuaciones de equilibrio las obtienes a partir de la geometría no deformada (en su estado inicial) y por esto se llama "de primer orden" En cambio en un análisis no lineal ya no existe esta proporcionalidad y dependiendo del problema o caso a analizar, la relación deja de ser una "recta" y pueden ser relaciones polinómicas, trigonométricas, exponenciales, radicales, hiperbólicas, etc. Esto se ve reflejado en la matriz de rigidez. En realidad casi todas las estructuras se comportan de manera no lineal pero los ingenieros realizamos una simplificación e idealización al problema y casi siempre hacemos análisis lineales. Las ecuaciones de equilibrio en el análisis no lineal las obtienes a partir de una geometría deformada inicial que será tu punto de partida y a partir de ese momento dando incrementos de carga obtienes otra geometría deformada la cual servirá de base para la siguiente...y así sucesivamente hasta llegar al nivel de precisión deseado. Por esto se llama "de segundo orden". Entre muchas "no-linealidades" las más comunes son:  No linealidad geométrica  no linealidad del material  efectos P Delta (mayúscula)  efectos P delta (minúscula)  los efectos de las conexiones semi-rígidas, etc. Como es un proceso iterativo demanda mucho tiempo y capacidad, por lo que obligatoriamente se requieren de programas de computación que utilizan muchos algoritmos para buscar la solución dependiendo de lo que se necesite. Esto es el pushover. Hay algoritmos como el Newthon-Rapshon, el Runge Kutta, que son métodos que tratan de seguir la no linealidad pero al mismo tiempo linearizando el problema. El análisis no lineal puede estar en el rango elástico (se cumple la ley de hooke) o puede estar en el rango inelástico.        

En resumen puede haber: Análisis lineal elástico estático (más común) Análisis lineal elástico dinámico (más común) Análisis lineal inelástico estático Análisis lineal inelástico dinámico Análisis no lineal elástico estático Análisis no lineal elástico dinámico Análisis no lineal inelástico estático Análisis no lineal inelástico dinámico

Para estudiarlos todos necesitaríamos una maestría y un doctorado y tal vez toda una vida para entender bien todo el problema. Realmente son pocos los libros existentes acerca de este tema, por que como te dije aunque es una teoría muy antigua, actualmente por la potencia de las computadoras se ha empezado a usar. Puedes buscar en internet estos dos métodos:  

Pushover (análisis estático no lineal) Time-history (análisis dinámico no lineal)

En lo que respecta al Análisis Estructural que usamos está concebido en el rango elástico. Por igual, el Diseño Estructural, aunque considera la posible plastificación, no considera normalmente la degradación de la rigidez ni de las propiedades de los materiales debido a la plastificación. De manera similar, en el Diseño Sismo resistente

se trabaja en el rango elástico tanto en el método simplificado, cuasi estático y el de combinación modal con espectro de respuesta. Por esa razón cuando empezamos un capítulo de Resistencia de Materiales, Análisis Estructural, Diseño Estructural o Análisis Modal nos plantean que se deben cumplir las condiciones: -Esfuerzos proporcionales a las deformaciones. (Rango Elástico). -Secciones planas se mantienen planas. -Etc. Cuando estamos trabajando en el rango elástico podemos asumir reglas de 3 que es lo que hacemos en las ecuaciones constitutivas y eso simplifica el trabajo. Para poner un ejemplo que todos entenderán imaginemos que viajamos desde una ciudad a otra por una carretera a velocidad constante. Si el recorrido son 100 km y viajamos a 100 km/h se supone que llegaremos aproximadamente en una hora y si viajamos a 50 km/h llegaremos en dos horas. Podemos aplicar regla de tres. Asimismo podemos hacerlo con los esfuerzos y deformaciones porque son proporcionales. Pero si realizamos el mismo viaje a velocidades diferentes y nos paramos varias veces será más difícil establecer un patrón. Este ejemplo aunque muy diferente de lo que estamos tratando nos da una idea de cómo podemos o no simplificar las cosas. Los famosos teoremas energéticos de Maxwell y Betti, Castigliano se basan en el comportamiento elástico. Curva de Capacidad típica Los métodos tradicionales de Diseño Estructural son aproximados y no pueden captar el efecto de las excitaciones en el tiempo y menos cuando esta estructura incursiona más allá del rango elástico. Por ejemplo, cuando estamos diseñando un elemento estructural y usamos un valor único de la sección o de los materiales no estamos tomando en cuenta la posibilidad del cambio de la sección en el tiempo y con el aumento de los parámetros de fuerza, aceleración, cortante o desplazamiento.

Sin embargo, cuando analizamos en el rango no lineal debemos elaborar para cada material un modelo de su comportamiento en función de la magnitud de los esfuerzos. O sea, que no usamos un dato constante sino un historial, un comportamiento. Más aun, debemos conocer el comportamiento de cada material cuando es sometido a ciclos de carga y descarga como ocurre cuando se presenta un sismo. Curva de histeresis idealizada de un material. Curva histeretica real de un material Ya con esa información más detallada que la que se usa tradicionalmente debemos conocer la reacción o comportamiento de la estructura ante solicitaciones diversas versus desplazamientos en un punto determinado. A esta grafica le llamamos curva de capacidad (1).

Curva esfuerzo deformación La información anterior la sometemos a una excitación sísmica representativa de la zona y con una gama de amortiguamientos que vayan del rango elástico al inelástico. Finalmente realizamos la curva de desempeño cuyo corte a la curva de capacidad de la estructura (1) nos definirá el punto de desempeño el cual podemos definir como el punto limite en la curva de capacidad de uso de la reserva de energía de la estructura. A partir de ese punto en la curva de capacidad el desempeño de la estructura no se considerara adecuado.

Curva de desempeño (amarilla) En realidad la ubicación de este punto y el término adecuado es de uso relativo y dependerá de la importancia o categoría de la edificación o de hasta qué punto querremos limitar los daños en ella.

Decíamos en el último párrafo del artículo anterior que la selección de la ubicación del punto de desempeño es algo relativo y lo explicaremos a continuación. Punto de desempeño (Circulo color lila) Para las características en el tiempo de los materiales y secciones constitutivas de una edificación al ser sometida a una excitación elegida como representativa de la zona (Espectro de Respuesta) y de acuerdo a los resultados de la Curva de Capacidad y la Curva de Desempeño obtenemos un punto donde ambas curvas se intersectan. A ese punto le denominamos punto de desempeño y es la unión de dos coordenadas: Periodo y amortiguamientos en el rango inelástico correspondiente a ese punto. A esas dos coordenadas les llamamos Teff y betta eff. Si esas coordenadas que definen el punto de desempeño caen al final de la curva de capacidad interpretamos que la estructura llego a ese punto agotando su reserva de energía de la cual poseerá poca. Eso implica que la estructura habrá sufrido un extenso deterioro y podría convertirse en un peligro para los ocupantes. Si esa estructura correspondiese a una edificación por ejemplo, el Palacio Presidencial trataríamos de obtener un punto en que la estructura no sufra danos o que se mantenga trabajando en el rango elástico por lo que el punto tendríamos que correrlo hacia la izquierda, lo cual trae como consecuencia una disminución de Teff y betta eff en el rango de trabajo. Esto implica adecuar secciones, tipologías, calidades de materiales o uso de secciones compuestas para aumentar inercias y resistencias. En la medida que la edificación sea menos estratégica dejaremos correr el punto a la derecha. Igual ocurre con la curva de capacidad: Si los cortantes admisibles son menores que los reales deberemos ocuparnos de que la relación Cortante-Desplazamiento aumente en coordenadas.

Imaginemos un reactor nuclear que si se agrietara podría dejar pasar partículas radioactivas, deberemos diseñarlo para que se desempeñe en el rango elástico. Algo similar, pero en menor escala ocurre con las estaciones de Policía y Bomberos, los refugios, etc. Sé que alguien estará pensando: ¿Porque no las diseñamos todas para que se mantengan trabajando en el rango elástico? La respuesta es que si se hiciera así las edificaciones serían muy costosas y pocos accesarian a ellas. Lo que se hace es aprovechar ciertas propiedades que pueden lograrse para aumentar las deformaciones sin pérdida de resistencia de manera que la edificación no colapse repentinamente. EL ANALISIS NO LINEAL Y LOS MECANISMOS DE FALLA Hemos escrito varios artículos sobre el ANL. En este hablaremos sobre la disipación de energía de la estructura y la manera adecuada de efectuarse. Recordemos que la ecuación de equilibrio dinámico plantea: M.d2x/dt2+C.dx/dt+K.x = P (t) En esta ecuación existe energía elástica y plástica (más allá de la fluencia) pero también tenemos energía cinética y potencial (de deformación). Podemos reducir lo anterior a: We+Wp+Wh=E La energía total es la suma de la energía elástica, la plástica acumulada y la consumida por el amortiguamiento. El amortiguamiento es el responsable de reducir la demanda de la excitación sísmica. Algo similar al trabajo que realizan los disipadores de energía. Este último concepto se refleja en la formación de las rotulas y por ende en el desempeño de una edificación. Sabemos que al acercarse una sección a la fluencia y sobrepasarla se inicia un proceso de plastificación en el lugar donde esté presente el mayor momento flexor en la longitud del elemento. En este proceso de plastificación el momento plástico puede exceder un poco más el momento de fluencia. Este aumento no es el mismo siempre, pues dependerá del material constitutivo y forma de la sección pero podemos decir que oscila entre 12 y 25% aproximadamente, aunque existen casos que llegan a 100%. Tampoco el área o zona de plasticidad es igual porque depende de la geometría de la sección transversal. Cuando la sección agota ese incremento entre el Momento Plástico y el de Fluencia (Mp-My) se genera como producto del deterioro de la sección y de la plastificación del acero una discontinuidad en una zona de la longitud del elemento. En esa discontinuidad ya la sección no tiene más resistencia y solo se genera rotación. Sin embargo, quedan a ambos lados de la discontinuidad momentos iguales y contrarios. Es a ese punto o lugar que se le denomina rotula plástica o articulación plástica. La rotula es un mecanismo de disipación de energía que puede originarse en cada elemento de la estructura. También puede ser originada por cortante pero creando efectos indeseables de rotura frágil por lo que deberá chequearse la estructura a fin de evitar este patrón. Cuando las cargas son gravitacionales (verticales), por ejemplo, cuando tenemos una viga simplemente apoyada con carga distribuida, el momento máximo ocurrirá en el centro del vano y de valor Wl.l/8 (parecido a la gráfica, que ocurre en el centro), generándose la rótula en ese punto pero cuando la estructura está sometida a cargas laterales los momentos máximos ocurrirán cercanos a los nudos entre vigas y columnas.

Distribución de momentos para cargas laterales En este caso las rotulas se originaran en los puntos cercanos a los nudos, nunca dentro del nudo porque el momento y el cortante máximos siempre se generaran de la cara hacia afuera de las columnas. El lugar interno del nudo se considera infinitamente rígido.

Como las columnas son elementos oscilantes en un evento sísmico, deben poseer estabilidad por lo que inicialmente se debe evitar la formación de rotulas en ellas. Las columnas son los elementos que ante la excitación provocan el desplazamiento lateral. Por esa razón se recomienda adoptar un patrón de disipación de energía a través de la formación de rotulas en las vigas, pero llegara un momento en que cada rotula generada no podrá disipar más energía y se habrán agotado todas las rotulas disponibles. A partir de ahí comenzaran a formarse rotulas en las columnas. Habrán casos en que las rotulas se originaran en las columnas y no en las vigas. En este caso la estructura perderá su estabilidad de manera inmediata por lo que no se disipara mucha energía y la estructura colapsara. Esto es un comportamiento típico de columnas con menor inercia que las vigas o menos resistentes en general. Como contraparte este patrón genera muchas deformaciones y desplazamientos y poca capacidad de absorción de cortante en la base.

Mecanismo de Falla nunca aconsejable Por lo anterior, el ACI propone en las uniones vigas-columnas una relación de resistencia a flexión en el que las columnas deberán superar al menos en un 20% la de las vigas (6/5). Esto para evitar la disipación en las columnas que podrían generar inestabilidad que junto al de fallas frágiles por adherencia y cortante son factores a evitar. Cuando oímos hablar de piso suave estamos frente a la formación de rotulas en las columnas de entrepisos que generan rotaciones excesivas. Por último, a nivel etimológico, no deben considerarse no linealidad y segundo orden, son cosas diferentes, como ya lo hemos explicado.