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PROBLEMAS RESUELTOS DE CONCRETO ARMADO PROBLEMA 4: Determine el diagrama Momento-Curvatura de las secciones mostradas. Considere f’c=280kgf/cm2, fy=4200kgf/cm2, ɛcu=0.003, Es=2.1x106kgf/cm2. Además, considere la sección como no confinada, recubrimiento de r=4cm y estribos de ½".

SOLUCIÓN: Se realiza el cálculo solo para la sección con 4 varillas de refuerzo. El diagrama Momento-Curvatura que se calcula en el presente ejercicio consta de 3 puntos importantes los cuales se calculan a continuación. Punto A: Agrietamiento

Esfuerzo de agrietamiento: 𝑓𝑟 = 2√𝑓𝑐′ = 2√280 = 33.46𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2 Elasticidad del concreto: 𝐸𝑐 = 15100√𝑓𝑐′ = 15100√280 = 252671.32𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2 Peralte efectivo: 1 1 𝑑 = ℎ − 𝑟 − ∅1/2" − ∅1" = 65 − 4 − 0.95 − (2.54) = 58.78𝑐𝑚 2 2 Ing. Waldo José Inga Gutiérrez/Docente UNI-FIC/CIP: 194293

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PROBLEMAS RESUELTOS DE CONCRETO ARMADO Relación de módulos: 𝑛=

𝐸𝑠 2100000 = = 8.31 𝐸𝑐 252671.32

Área de acero a flexión: 𝐴𝑠 = 4𝐴∅1" = 4(5.07) = 20.28𝑐𝑚2 Profundidad al agrietamiento: ℎ 65 (𝑏ℎ) ( ) + (𝑛 − 1)𝐴𝑠 𝑑 (25𝑥65) ( ) + (8.31 − 1)(20.28)(56.24) 2 2 𝑐= = = 34.70𝑐𝑚 (𝑏ℎ) + (𝑛 − 1)𝐴𝑠 (25𝑥65) + (8.31 − 1)(20.28) Inercia con respecto al centro geométrico: 𝐼𝐶𝐺 = 𝐼𝐶𝐺 =

𝑏ℎ3 ℎ 2 + 𝑏ℎ (𝑐 − ) + (𝑛 − 1)𝐴𝑠 (𝑑 − 𝑐)2 12 2

25𝑥653 65 2 + 25𝑥65 (34.70 − ) + (7.31)(20.28)(58.78 − 34.70)2 = 6.66𝑥105 𝑐𝑚4 12 2

Momento de agrietamiento: 𝑴𝒄𝒓 =

𝑓𝑟 𝐼𝐶𝐺 (33.46)(6.66𝑥105 ) = = 7.35𝑡𝑜𝑛𝑓 − 𝑚 ℎ−𝑐 65 − 34.70

Curvatura por agrietamiento: 𝝋𝒄𝒓 =

𝑓𝑟 33.46 = = 4.37𝑥10−6 𝑟𝑎𝑑/𝑐𝑚 𝐸𝑐 (ℎ − 𝑐) (252671.32)(65 − 34.70)

Punto B: Fluencia del acero en tracción

𝐸𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜: 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 (𝐶) = 𝑇𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 (𝑇): 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑:

𝑓𝑐 𝑐𝑏 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 2

𝜀𝑦 𝜀𝑐 = 𝑐 𝑑−𝑐

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PROBLEMAS RESUELTOS DE CONCRETO ARMADO 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠: 𝑓𝑐 = 𝐸𝑐 𝜀𝑐 ; 𝑓𝑦 = 𝐸𝑠 𝜀𝑦 ; 𝑓𝑐 ≤ 0.70𝑓′𝑐 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑙𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎: 𝑐 𝑎 𝑀𝑦 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − ) 𝑠𝑖 𝑓𝑐 ≤ 0.70𝑓 ′ 𝑐 ; 𝑀𝑦 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − ) 𝑠𝑖 𝑓𝑐 > 0.70𝑓 ′ 𝑐 3 2 𝜀𝑦 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑙𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎: 𝜑𝑦 = 𝑑−𝑐 De las ecuaciones anteriores se obtiene: 𝑏𝑐 2 + 2𝐴𝑠 𝑛𝑐 − 2𝑑𝐴𝑠 𝑛 = 0 (𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑒𝑛 𝑐) (25)𝑐 2 + 2(20.28)(8.31)𝑐 − 2(58.78)(20.28)(8.31) = 0 → 𝑐 = 22.21𝑐𝑚 De la compatibilidad y constitutiva: 𝜀𝑐 = 0.00121 → 𝑓𝑐 = 306.85𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2 ≫ 0.70𝑓′𝑐 Como el esfuerzo máximo en el concreto (𝑓𝑐 ) es mayor al límite (0.70𝑓′𝑐 ), entonces se toma solamente para el cálculo de los momentos como si fuera una distribución rectangular y no triangular. Profundidad del bloque en compresión: 𝛽1 = 0.85 (𝑣𝑒𝑟 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝐴𝐶𝐼) 𝑎 = 𝛽1 𝑐 = 0.85𝑥22.21 = 18.88𝑐𝑚

Momento de fluencia: 𝑎 18.88 𝑴𝒚 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − ) = (20.28)(4200)(58.78 − ) = 42.03𝑡𝑜𝑛𝑓 − 𝑚 2 2 Curvatura por fluencia: 4200 ( 𝜀𝑦 6) 2.1𝑥10 𝝋𝒚 = = = 5.47𝑥10−5 𝑟𝑎𝑑/𝑐𝑚 𝑑 − 𝑐 58.78 − 22.21 Punto C: Deformación última

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PROBLEMAS RESUELTOS DE CONCRETO ARMADO 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜: 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 (𝐶) = 𝑇𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 (𝑇): 0.85𝑓′𝑐 𝑏𝑎 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 Profundidad del bloque en compresión: 𝑎=

𝐴𝑠 𝑓𝑦 20.28𝑥4200 = = 14.32𝑐𝑚 0.85𝑓′𝑐 𝑏 0.85𝑥280𝑥25

Profundidad del eje neutro: 𝑐=

𝑎 14.32 = = 16.84𝑐𝑚 𝛽1 0.85

Verificamos que la deformación del acero es mayor que la deformación por fluencia. 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑:

𝜀𝑐𝑢 𝜀𝑠 𝜀𝑐𝑢 0.003(58.78 − 16.84) (𝑑 − 𝑐) = = → 𝜀𝑠 = = 0.00747 𝑐 𝑑−𝑐 𝑐 16.84

Momento último: 𝑎 14.32 𝑴𝒖 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − ) = (20.28)(4200)(58.78 − ) = 43.97𝑡𝑜𝑛𝑓 − 𝑚 2 2 Curvatura última: 𝝋𝒖 =

𝜀𝑐𝑢 0.003 = = 1.78𝑥10−4 𝑟𝑎𝑑/𝑐𝑚 𝑐 16.84

A continuación, se grafican los diagramas Momento-Curvatura para cada sección:

𝝋

Ductilidad por curvatura (𝝁𝝋 ): 𝝁𝝋 = 𝝋𝒖 𝒚

𝟑.𝟓𝟔𝒙𝟏𝟎−𝟒

Sección 1: 𝝁𝝋𝟏 = 𝟒.𝟕𝟕𝒙𝟏𝟎−𝟓 = 𝟕. 𝟒𝟕, menor resistencia, pero mayor ductilidad. 𝟐.𝟑𝟖𝒙𝟏𝟎−𝟒

Sección 2: 𝝁𝝋𝟐 = 𝟓.𝟏𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟓 = 𝟒. 𝟔𝟐 𝟏.𝟕𝟖𝒙𝟏𝟎−𝟒

Sección 3: 𝝁𝝋𝟑 = 𝟓.𝟒𝟕𝒙𝟏𝟎−𝟓 = 𝟑. 𝟐𝟔, mayor resistencia, pero menor ductilidad.

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