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DIAGRAMA DE INTERACCION DE UNA COLUMNA

ASIGNACIÓN #1 PROYECTOS ESTRUCTURALES DE CONCRETO Prof: Ing. Joel Curreri Integrantes: Arcia Andreina CI 23793733 Hernández Ana CI 25332312 Méndes María CI 23649255 Cas%llo Luis CI 21444315

Caracterís%cas de la Sección de Columna: Base de la Sección de Columna: b ≔ 50 Altura de la Sección de Columna: h ≔ 80 Recubrimiento del Acero de Refuerzo de la Columna: r ≔ 5 2 Área gruesa: Ag ≔ b ⋅ h = ? Materiales: Concreto:

F`c ≔ 280 ―― 2

Acero de Refuerzo: Minoración:

b2 ≔ h = 80 h2 ≔ b = 50 Ag2 ≔ Ag = ? r2 ≔ r = 5

εcu ≔ 0.003

Fy ≔ 4200 ―― 2

εs ≔ 0.002

6

Es ≔ 2.1 ⋅ 10 ―― 2

ϕ ≔ 0.65

F`c2 ≔ F`c = 280 ―― εcu2 ≔ εcu = 0.003 2 2

Fy2 ≔ Fy = 4200 ―― 2

εs2 ≔ εs = 0.002

6 Es2 ≔ Es = ⎛⎝2.1 ⋅ 10 ⎞⎠ ―― 2

ϕ2 ≔ ϕ = 0.65

Distribución del Acero de Refuerzo en Columnas:

Distribución del Acero de Refuerzo en Columnas: 1 1⎤ 0 1⎥ 0 1⎥ 0 1⎥ 1 1 ⎥⎦ 2.54 0 0 0 2.54

⎡1 1 ⎢1 0 barras ≔ ⎢ 1 0 ⎢1 0 ⎢⎣ 1 1 ⎡ 2.54 ⎢ 2.54 barras = ⎢ 2.54 ⎢ 2.54 ⎢⎣ 2.54

⎡1 1 1 1 1⎤ ⎢1 0 0 0 1⎥ barras2 ≔ barras = ⎢ 1 0 0 0 1⎥ ⎢⎣ 1 1 1 1 1 ⎥⎦ ⎡ 2.54 2.54 2.54 2.54 2.54 ⎤ ⎢ 2.54 0 0 0 2.54 ⎥ barras2 = ⎢ 2.54 0 0 0 2.54 ⎥ ⎢⎣ 2.54 2.54 2.54 2.54 2.54 ⎥⎦ T

2.54 0 0 0 2.54

2.54 ⎤ 2.54 ⎥ 2.54 ⎥ 2.54 ⎥ 2.54 ⎥⎦

k ≔ rows (barras) = 5 n ≔ cols (barras)) = 4

k2 ≔ rows ⎛⎝barras2⎞⎠ = 4 n2 ≔ cols ⎛⎝barras2⎞⎠ = 5

Área de acero por barra: ⎡ 5.07 ―――→ ⎢ 5.07 2 barras As ≔ ⋅ ―――= ⎢ 5.07 4 ⎢ 5.07 ⎢⎣ 5.07

5.07 0 0 0 5.07

⎡ 5.07 ――――→ 2 ⎢ 5.07 barras2 As2 ≔ ⋅ ―――= ⎢ 5.07 4 ⎢⎣ 5.07

5.07 0 0 0 5.07

5.07 0 0 5.07

5.07 ⎤ 5.07 ⎥ 5.07 ⎥ 5.07 ⎥ 5.07 ⎥⎦

5.07 0 0 5.07

5.07 0 0 5.07

2

5.07 ⎤ 5.07 ⎥ 5.07 ⎥ 5.07 ⎥⎦

2

k

⟩

Área de acero por fila de barras: i

⟨

Asf ≔ ∑ As = [ 25.34 10.13 10.13 25.34 ]

2

i=1 ⟩

k2

i2

⟨

Asf2 ≔ ∑ As2 = [ 20.27 10.13 10.13 10.13 20.27 ]

2

i2=1

Área de acero total y cuan2a: n

Ast ≔ ∑ Asf

1,i

i=1

= 70.94

n2

Ast2 ≔ ∑ Asf2 i2=1

1 , i2

= 70.94

2

2

Ast ρ ≔ ―― ⋅ 100 = 1.77 Ag Ast2 ρ2 ≔ ―― ⋅ 100 = 1.77 Ag2

Ubicación de las filas de acero y separación entre barras:

Ubicación de las filas de acero y separación entre barras: barras2

barras 1,n d ≔ r + ―――― = 6.27 1 2

d` ≔ r2 + ―――― = 6.27 1 2

h−2⋅d 1 Sep ≔ ―――= 22.49 n−1

h2 − 2 ⋅ d` 1 Sep2 ≔ ―――― = 9.37 n2 − 1

1 , n2

Vector “d” con la ubicación de las filas de acero:

i≔2‥n d ≔ d + Sep i

i−1

⎡ 6.27 ⎤ ⎢ 28.76 ⎥ d=⎢ 51.24 ⎥ ⎢⎣ 73.73 ⎥⎦

i2 ≔ 2 ‥ n2 d` ≔ d` i2

i2 − 1

+ Sep2

⎡ 6.27 ⎤ ⎢ 15.64 ⎥ ⎥ d` = ⎢ 25 ⎢ 34.37 ⎥ ⎢⎣ 43.73 ⎥⎦

1.- Compresión pura: Po ≔ 0.85 ⋅ F`c ⋅ ⎛⎝Ag − Ast⎞⎠ + Ast ⋅ Fy = ? Po2 ≔ 0.85 ⋅ F`c2 ⋅ ⎛⎝Ag2 − Ast2⎞⎠ + Ast2 ⋅ Fy2 = ? ϕPn.max ≔ ϕ ⋅ 0.80 ⋅ Po = ?

ϕPn.max2 ≔ ϕ2 ⋅ 0.80 ⋅ Po2 = ?

2.- Compresión y flexión: ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ F`c β1 ≔ max ⎜min ⎜0.85 , 1.05 − ―――― ⎟ , 0.65⎟ = 0.85 1400 ――⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎝ ⎠ ⎠

a c (a) ≔ ― β1

⎛ ⎞ ⎞ ⎛ F`c2 β1.2 ≔ max ⎜min ⎜0.85 , 1.05 − ―――― ⎟ , 0.65⎟ = 0.85 1400 ――⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎝ ⎠ ⎠

a2 c2 ⎛⎝a2⎞⎠ ≔ ―― β1.2

2.1.- Esfuerzos en cada fila de acero: ‖ | c (a) − d i ‖ | fs (i , a) ≔ εs ← εcu ⋅ ――― ‖ | c (a) ‖ sign ⎛ε ⎞ min ⎛E ⋅ |ε | , F ⎞ ⎝ s⎠ ⎝ s | s| y⎠ | ‖ ‖

( ) d

|

‖ | c2 ⎛⎝a2⎞⎠ − d` i2 ‖ | fs2 ⎛⎝i2 , a2⎞⎠ ≔ εs2 ← εcu2 ⋅ ―――― ‖ | c2 ⎛⎝a2⎞⎠ ‖ | ‖ sign ⎛⎝εs2⎞⎠ min ⎛⎝Es2 ⋅ ||εs2|| , Fy2⎞⎠ | ‖

⎛ ⎞

d`

|

‖ | c (a) − d i ‖ | f`s (i , a) ≔ εs ← εcu ⋅ ――― ‖ | c (a) ‖ sign ⎛ε ⎞ min ⎛E ⋅ |ε | , F ⎞ ⎝ s⎠ ⎝ s | s| y⎠ | ‖

‖ | c2 ⎛⎝a2⎞⎠ − d` i2 ‖ | f`s2 ⎛⎝i2 , a2⎞⎠ ≔ εs2 ← εcu2 ⋅ ―――― ‖ | c2 ⎛⎝a2⎞⎠ ‖ | | | ‖ sign ⎛⎝εs2⎞⎠ min ⎛⎝Es2 ⋅ |εs2| , Fy2⎞⎠ |

2.2.- Factor de minoración:

dt ≔ max (d) = 73.73

d`t ≔ max (d`) = 43.73

‖ | c (a) − dt ϕ (a) ≔ ‖ εt ← εcu ⋅ ――― | ( ) c a ‖ | ||εt|| − εs ⎞ ⎛ ⎛ ⎞| ‖ ϕ ← max ⎜min ⎜0.9 , 0.65 + 0.25 ⋅ ―――― ⎟ , 0.65⎟ ‖ 0.005 − ε ⎝ ⎝ ⎠ ⎠| s ‖ ‖ | c2 ⎛⎝a2⎞⎠ − d`t ϕ2 ⎛⎝a2⎞⎠ ≔ ‖ εt2 ← εcu2 ⋅ ―――― | c2 ⎛⎝a2⎞⎠ ‖ | ||εt2|| − εs2 ⎞ ⎛ ⎞| ⎛ ‖ ⎟ , 0.65⎟ ‖ ϕ2 ← max ⎜min ⎜0.9 , 0.65 + 0.25 ⋅ ―――― 0.005 − εs2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠| ‖ ‖ c (a) − dt | ϕ` (a) ≔ ‖ εt ← εcu ⋅ ――― | c (a) | ‖ ‖ϕ←1 |

‖ c2 ⎛⎝a2⎞⎠ − d`t | ϕ`2 ⎛⎝a2⎞⎠ ≔ ‖ εt2 ← εcu2 ⋅ ―――― | c2 ⎛⎝a2⎞⎠ | ‖ ‖ ‖ ϕ2 ← 1 |

3.- Capacidad axial minorada de la columna: n ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ( ) ( ) ϕPn a ≔ min ⎜ϕ a ⋅ ⎜0.85 ⋅ F`c ⋅ a ⋅ b + ∑ ⎛Asf ⋅ fs (i , a)⎞⎟ , ϕPn.max⎟ 1,i ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎠ i=1 ⎝ n2 ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ϕPn2 ⎛⎝a2⎞⎠ ≔ min ⎜ϕ2 ⎛⎝a2⎞⎠ ⋅ ⎜0.85 ⋅ F`c2 ⋅ a2 ⋅ b2 + ∑ ⎛Asf2 ⋅ fs2 ⎛⎝i2 , a2⎞⎠⎞⎟ , ϕPn.max2⎟ 1 , i2 ⎠⎠ ⎝ ⎝ i2=1 ⎝ ⎠

3.1.- Capacidad axial nominal de la columna: n ⎛ ⎞ P`n (a) ≔ ϕ` (a) ⋅ ⎜0.85 ⋅ F`c ⋅ a ⋅ b + ∑ ⎛Asf ⋅ f`s (i , a)⎞⎟ 1,i ⎝ ⎠⎠ i=1 ⎝ n2 ⎛ ⎞ P`n2 ⎛⎝a2⎞⎠ ≔ ϕ`2 ⎛⎝a2⎞⎠ ⋅ ⎜0.85 ⋅ F`c2 ⋅ a2 ⋅ b2 + ∑ ⎛Asf2 ⋅ f`s2 ⎛⎝i2 , a2⎞⎠⎞⎟ 1 , i2 ⎠⎠ ⎝ i2=1 ⎝

4. Momento resistente minorado:

4.- Momento resistente minorado: n ⎛ ⎛h a⎞ ⎛h ⎞⎞⎞ ⎛ (i , a) ⋅ ―− d ⎟ + ϕMn (a) ≔ ϕ (a) ⋅ ⎜0.85 ⋅ F`c ⋅ a ⋅ b ⋅ ⎜―− ― ∑ A ⋅ f sf s ⎜⎝ 2 i⎟⎟ ⎝ 2 2 ⎟⎠ i=1 ⎜⎝ 1 , i ⎠⎠⎠ ⎝

⎛ ⎛ h2 a2 ⎞ n2 ⎛ ⎛ h2 ⎞⎞⎞ ϕMn2 ⎛⎝a2⎞⎠ ≔ ϕ2 ⎛⎝a2⎞⎠ ⋅ ⎜0.85 ⋅ F`c2 ⋅ a2 ⋅ b2 ⋅ ⎜― − ―⎟ + ∑ ⎜Asf2 ⋅ fs2 ⎛⎝i2 , a2⎞⎠ ⋅ ⎜― − d` ⎟⎟⎟ 1 , i2 i2 2 ⎠ i2=1 ⎝ ⎝2 ⎝2 ⎠⎠⎠ ⎝ 4.1.- Momento resistente nominal: n ⎛ ⎛h a⎞ ⎞⎞⎞ ⎛ ⎛h (i , a) ⋅ ―− d ⎟ M`n (a) ≔ ϕ` (a) ⋅ ⎜0.85 ⋅ F`c ⋅ a ⋅ b ⋅ ⎜―− ― + ∑ A ⋅ f` sf s ⎜⎝ 2 i⎟⎟ ⎝ 2 2 ⎟⎠ i=1 ⎜⎝ 1 , i ⎠⎠⎠ ⎝

⎛ ⎛ h2 a2 ⎞ n2 ⎛ ⎛ h2 ⎞⎞⎞ M`n2 ⎛⎝a2⎞⎠ ≔ ϕ`2 ⎛⎝a2⎞⎠ ⋅ ⎜0.85 ⋅ F`c2 ⋅ a2 ⋅ b2 ⋅ ⎜―− ―⎟ + ∑ ⎜Asf2 ⋅ f`s2 ⎛⎝i2 , a2⎞⎠ ⋅ ⎜―− d` ⎟⎟⎟ 1 , i2 i2 2 ⎠ i2=1 ⎝ ⎝2 ⎝2 ⎠⎠⎠ ⎝ 5.- Rango de valores de "a": h2 a2 ≔ 0 , ―― ‥ h2 1000

h a ≔ 0 , ――‥ h 1000

6.- Gráfica de los diagramas de interacción nominales y minorados de la columna en ambos ejes:

1200 1050 900 750 600 450

ϕPn (a) (

300 150 0

)

ϕPn2 ⎛⎝a2⎞⎠ ( 0

15

30

45

60

75

90

105

120

135

-150

150

165

P`n (a)) (

-300

P`n2 ⎛⎝a2⎞⎠ ( ϕMn (a)) ( ϕMn2 ⎛⎝a2⎞⎠ ( M`n (a) ( M`n2 ⎛⎝a2⎞⎠ (

)

⋅

)

⋅ )

⋅ ⋅

)

)

180

) )

NOTA: La gráfica anterior representa los diagramas de interacción de la columna mostrada en un princio, de la siguiente manera:

7.- Comparación de resultados de la misma sección con diagramas de interacción generados en SAP2000 v19: 7.1.-Establecer la sección en SAP2000 v19:

7.2. Generar diagramas de interacción se la sección en ambos ejes:

7.2.- Generar diagramas de interacción se la sección en ambos ejes: Minorado alrededor del eje X:

Nominal alrededor del eje X:

Minorado alrededor del eje Y:

Nominal alrededor del eje Y:

8.- tablas generadas en SAP2000 v19: Alrededor del eje X: Minorado ϕPnXSAP ϕMnXSAP (

)

(

⋅

Nominal PnXSAP )

(

)

MnXSAP (

⋅

694.9052

0

1069

0

684.2019

49.6409

1053

76.3706

590.1349

72.5484

907.8998

111.6129

489.4604

89.5428

753.016

137.7581

374.1685

102.2504

575.6438

157.3082

236.065

112.4801

363.1769

173.0463

187.7989

134.0606

231.6854

165.3891

90.8313

132.9304

100.9237

147.7005

−32.8545

106.4735

−36.505

118.3039

−171.8073

65.9853

−190.897

73.317

−361.2047

0

−401.3386

0

)

Alrededor del eje Y: Minorado ϕPnYSAP ϕMnYSAP (

)

(

⋅

Nominal PnYSAP )

(

)

MnYSAP (

⋅

694.9052

0

1069

0

678.2186

31.0193

1043

47.722

584.0262

44.6041

898.5018

68.6216

477.2466

55.186

734.2255

84.9016

357.1656

62.581

549.4856

96.2784

206.5061

68.4642

317.7017

105.3296

163.2924

79.7786

201.452

98.422

68.0854

77.4882

75.6505

86.098

−61.1691

59.3784

−67.9657

65.976

−218.603

29.5853

−242.8922

32.8725

−361.2047

0

−401.3386

0

)

9.- Comparación de digramas de interacción generados en SAP2000 v19 vs Mathcad Prime 3.0: Alrededor del eje X: Minorado:

700 600 500 400 300 200

ϕPnXSAP (

100 0

0

15

30

45

60

75

90

105

120

135

150

ϕPn (a) (

-100

) )

-200 -300 -400

ϕMnXSAP (

)

⋅

ϕMn (a) (

⋅

)

Nominal:

1200 1050 900 750 600 450 300

PnXSAP (

)

P`n (a) (

)

150 0

0

15

30

45

60

75

90

105

120

-150 -300 -450

MnXSAP (

⋅

)

M`n (a) (

⋅

)

135

150

165

180

Alrededor del eje Y: Minorado:

700 600 500 400 300 200

ϕPnYSAP (

100 0

0

8

16

24

32

40

48

56

64

72

80

-100

)

ϕPn2 ⎛⎝a2⎞⎠ (

)

-200 -300 -400

ϕMnYSAP (

)

⋅

ϕMn2 ⎛⎝a2⎞⎠ (

)

⋅

Nominal:

1200 1050 900 750 600 450

PnYSAP (

300

)

150 0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

-150 -300 -450

MnYSAP ( M`n2 ⎛⎝a2⎞⎠ (

)

⋅ ⋅

)

90

100

110

P`n2 ⎛⎝a2⎞⎠ (

)

10.- Comentarios comparación de digramas de interacción generados en SAP2000 v19 vs Mathcad Prime 3.0: Una vez realizadas las comparaciones gráficas se puede observar que la similitud entre los diagramas generados por SAP 2000 v19 y Mathcad Prime 3.0 se acercan bastantes. De esta manera se puede deducir que la formulación creada en Mathcad es bastante aceptable, dichas diferencias se pueden asumir como consideraciones que toma SAP2000 de manera automá%cas al momento de generar los diagramas (Ejemplo: parámetros por defecto del %po de acero o la norma aplicada por el programa).