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• Luis Angel Lopez Pompa

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

1. Para la viga representada, graficar los diagramas de fuerza cortante y momento flector.

SOLUCION A. CALCULO DE LAS REACCIONES A.1. Diagrama de cuerpo libre.

A.2. Ecuaciones de equilibrio. 

↺ ∑ 𝑀𝐴 = 0 ⇨ −20 𝑇𝑛 ∗ 2.5 𝑚 + 15 𝑇𝑛 ∗ 9 𝑚 + 3𝑇𝑛 ∗ 𝑚 − 12𝑇𝑛 ∗ 13 𝑚 + 𝐵𝑣 ∗ 15 𝑚 = 0 ⇨ 𝐵𝑣 = 4.533 𝑇𝑛



∑ 𝐹𝑦 = 0 → 𝐴𝑣 + 15 𝑇𝑛 + 4.533 𝑇𝑛 − 20 𝑇𝑛 − 12 𝑇𝑛 = 0 ⇨ 𝐴𝑣 = 12.467 𝑇𝑛



∑ 𝐹𝑥 = 0 → 𝐴𝐻 = 0

B. DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECIONANTE B.1. Tramo AC; 0 ≤ X < 5 m 

∑ 𝐹𝑦 = 0 → 12.467 𝑇𝑛 + 𝑉 − 4𝑥 𝑇𝑛 = 0 → 𝑉 = 4𝑥 𝑇𝑛 − 12.467 𝑇𝑛



↺ ∑ 𝑀𝑋 = 0 → −12.467𝑥 𝑇𝑛 ∗ 𝑚 + 4𝑥 ∗ 𝑥 𝑇𝑛 ∗ 𝑚 + 𝑀 = 0 2

→ 𝑀𝑋 = 12.467𝑥 𝑇𝑛 ∗ 𝑚 − 2𝑥 2 𝑇𝑛 ∗ 𝑚

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B.2. Tramo CD; 5 ≤ X < 9 m



∑ 𝐹𝑦 = 0 → 12.467 𝑇𝑛 + 𝑉 − 20 𝑇𝑛 = 0 → 𝑉 = 7.533 𝑇𝑛



↺ ∑ 𝑀𝑋 = 0 → (−12.467 ∗ 𝑥)𝑇𝑛 ∗ 𝑚 + 20 ∗ (2.5 + 𝑋 − 5)𝑇𝑛 ∗ 𝑚 + 𝑀 = 0 → 𝑀𝑋 = −7.533𝑋 𝑇𝑛 ∗ 𝑚 + 50 𝑇𝑛 ∗ 𝑚

B.3. Tramo DE; 9 ≤ X < 11 m



∑ 𝐹𝑦 = 0 → 12.467 𝑇𝑛 + 15 𝑇𝑛 + 𝑉 − 20 𝑇𝑛 = 0 → 𝑉 = −7.467 𝑇𝑛



↺ ∑ 𝑀𝑋 = 0 → (−12.467 ∗ 𝑥)𝑇𝑛 ∗ 𝑚 + 20 ∗ (𝑋 − 2.5)𝑇𝑛 ∗ 𝑚 −15 ∗ (𝑋 − 9)𝑇𝑛 ∗ 𝑚 + 3 𝑇𝑛 ∗ 𝑚 + 𝑀 = 0 → 𝑀𝑋 = 7.467𝑋 𝑇𝑛 ∗ 𝑚 − 88 𝑇𝑛 ∗ 𝑚

B.4. Tramo EB; 0 ≤ X < 4 m



∑ 𝐹𝑦 = 0 → 4.533 𝑇 − 𝑉 − 3𝑋 𝑇𝑛 = 0 → 𝑉 = 4.533 𝑇𝑛 − 3𝑋 𝑇𝑛



↺ ∑ 𝑀𝑋 = 0 → 4.533𝑋 𝑇𝑛 ∗ 𝑚 − 3𝑋 ∗ (𝑋/2)𝑇𝑛 ∗ 𝑚 − 𝑀 = 0 → 𝑀𝑋 = 4.533𝑋 𝑇𝑛 ∗ 𝑚 −

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3𝑋2 𝑇𝑛 ∗ 𝑚 2

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B.4. Diagramas

2. Para la viga representada, graficar los diagramas de fuerza cortante y

momento flector, si en la viga se genera un momento de 30 KN-m.

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SOLUCION A. CALCULO DE LAS REACCIONES A.1. Diagrama de cuerpo libre.

A.2. Ecuaciones de equilibrio. 

↺ ∑ 𝑀𝐴 = 0 ⇨ −30 𝐾𝑁 ∗ 𝑚 − 36𝐾𝑁 ∗ 13.5 𝑚 + 𝐶𝑣 ∗ 18 𝑚 − 18𝐾𝑁 ∗ 21 𝑚 = 0 ⇨ 𝐶𝑣 = 49.667 𝐾𝑁



∑ 𝐹𝑦 = 0 → −𝐴𝑣 − 36𝐾𝑁 + 49.667𝐾𝑁 − 18𝐾𝑁 = 0 ⇨ 𝐴𝑣 = −4.333𝐾𝑁

B. DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECIONANTE B.1. Tramo AB; 0 ≤ X < 9 m  ∑ 𝐹𝑦 = 0 → 4.333 𝐾𝑁 + 𝑉 = 0 → 𝑉 = −4.333 𝐾𝑁  ↺ ∑ 𝑀𝑋 = 0 → −30𝐾𝑁 ∗ 𝑚 − 4.333𝐾𝑁 ∗ 𝑋𝑚 + 𝑀 = 0 → 𝑀𝑋 = 4.333𝑥𝐾𝑁 ∗ 𝑚 + 30𝐾𝑁 ∗ 𝑚 B.2. Tramo BC; 9 ≤ X < 18 m



∑ 𝐹𝑦 = 0 → 4.333 𝐾𝑁 + 𝑉 − (𝑋 − 9) ∗ 4 𝐾𝑁 = 0 → 𝑉 = 4𝑋 − 40.333 𝐾𝑁

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

↺ ∑ 𝑀𝑋 = 0 → −30𝐾𝑁 ∗ 𝑚 − 4.333 ∗ 𝑋 𝐾𝑁 ∗ 𝑚 + (𝑋 − 9)4 2

→ 𝑀𝑋 =

𝑋−9 2

𝐾𝑁𝑚 + 𝑀 = 0

−𝑋 + 26.66𝑋 − 21 2

B.3. Tramo DC; 0 ≤ X < 9 m

 ∑ 𝐹𝑦 = 0 → −

2𝑋 2 𝐾𝑁 9

𝑋 3

−𝑉 = 0

 ↺ ∑ 𝑀𝑋 = 0 → − 𝑚 ∗

2𝑋2 →𝑉=− 𝐾𝑁 9 2𝑋 2 𝐾𝑁 9

→𝑀=

−𝑀=0

2𝑋3 𝐾𝑁 ∗ 𝑚 27

B.4. Diagramas

3. Para la viga representada, graficar los diagramas de fuerza cortante y

momento flector.

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SOLUCION A. CALCULO DE LAS REACCIONES A.1. Diagrama de cuerpo libre.

A.2. Ecuaciones de equilibrio. 

↺ ∑ 𝑀𝐵 = 0 ⇨ 22.5 𝐾𝑁 ∗ 𝑚 − 600𝐾𝑁 ∗ 2.5 𝑚 − 35 𝐾𝑁 ∗ 10 𝑚 − 40 𝐾𝑁 ∗ 𝑚 + 𝐵𝑣 = 0 ⇨ 𝐷𝑣 = 124.5 𝐾𝑁



∑ 𝐹𝑦 = 0 → 𝐵𝑣 − 600 𝐾𝑁 + 124.5 𝐾𝑁 − 35𝐾𝑁 = 0 ⇨ 𝐵𝑣 = 510.5 𝐾𝑁

B. DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECIONANTE B.1. Tramo AB; 0 ≤ X < 5 m  ∑ 𝐹𝑦 = 0 → −40𝑋 𝐾𝑁 + 𝑉 = 0 → 𝑉 = 40𝑋 𝐾𝑁  ↺ ∑ 𝑀𝑋 = 0 → 22.5𝐾𝑁 ∗ 𝑚 + 40𝑋 ∗ → 𝑀𝑋 =

𝑋 𝐾𝑁𝑚 + 𝑀 = 0 2 −20𝑋2 𝐾𝑁 ∗ 𝑚 − 22.5𝐾𝑁𝑚

B.2. Tramo BC; 5 ≤ X < 15 m



∑ 𝐹𝑦 = 0 → 510.5 𝐾𝑁 − 40𝑋 𝐾𝑁 + 𝑉 = 0

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→ 𝑉 = 40𝑋 𝐾𝑁 − 510.5 𝐾𝑁 

↺ ∑ 𝑀𝑋 = 0 → 22.5𝐾𝑁 ∗ 𝑚 + 40𝑋 ∗ → 𝑀𝑋 =

−20𝑋2

𝑋 𝐾𝑁𝑚 2

− 510.5𝐾𝑁 ∗ (𝑋 − 5) + 𝑀 = 0

𝐾𝑁 ∗ 𝑚 ∗ 510.5𝑋𝐾𝑁 ∗ 𝑚 − 2575𝐾𝑁 ∗ 𝑚

B.3. Tramo DC; 0 ≤ X < 5 m 

∑ 𝐹𝑦 = 0 → 124.5 𝐾𝑁 − 𝑉 = 0 → 𝑉 = 124.5 𝐾𝑁



↺ ∑ 𝑀𝑋 = 0 → 124.5𝑋 𝐾𝑁 ∗ 𝑚 − 𝑀 = 0 → 𝑀𝑋 = 124.5𝑋 𝐾𝑁 ∗ 𝑚

B.4. Diagramas

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4. Para la viga representada, graficar los diagramas de fuerza cortante y

momento flector.

SOLUCION A. CALCULO DE LAS REACCIONES A.1. Diagrama de cuerpo libre.

A.2. Ecuaciones de equilibrio. 

↺ ∑ 𝑀𝐴 = 0 ⇨ −35 𝑇𝑛 ∗ 2 𝑚 + 40 𝑇𝑛 ∗ 𝑚 − 20𝑇𝑛 ∗ 6 𝑚 + 𝐷𝑣 ∗ 8 𝑚 = 0 ⇨ 𝐷𝑣 = 18.74 𝑇𝑛



∑ 𝐹𝑦 = 0 → 𝐴𝑣 + 18.74 𝑇𝑛 − 35 𝑇𝑛 − 20 𝑇𝑛 = 0 ⇨ 𝐴𝑣 = 36.26 𝑇𝑛

B. DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECIONANTE

B.1. Tramo AC; 0 ≤ X < 2 m

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

∑ 𝐹𝑦 = 0 → 36.26 𝑇𝑛 + 𝑉 = 0 → 𝑉 = −36.26 𝑇𝑛



↺ ∑ 𝑀𝑋 = 0 → −36.26𝑇𝑛 ∗ 𝑋𝑚 + 𝑀 = 0 → 𝑀𝑋 = 36.26𝑥 𝑇𝑛 ∗ 𝑚

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B.2. Tramo CD; 2 ≤ X < 4 m



∑ 𝐹𝑦 = 0 → 36.26 𝑇𝑛 + 𝑉 − 35 𝑇𝑛 = 0 → 𝑉 = −1.26 𝑇𝑛



↺ ∑ 𝑀𝑋 = 0 → (−36.26 ∗ 𝑥)𝑇𝑛 ∗ 𝑚 + 35 ∗ (𝑋 − 2)𝑇𝑛 ∗ 𝑚 + 𝑀 = 0 → 𝑀𝑋 = 1.26 𝑋 𝑇𝑛 ∗ 𝑚 + 70 𝑇𝑛 ∗ 𝑚

B.3. Tramo DC; 0 ≤ X < 4 m 

∑ 𝐹𝑦 = 0 → 18.74 𝑇𝑛 − 𝑉 − 10𝑥 𝑇𝑛 = 0 → 𝑉 = 18.74𝑇𝑛 − 10𝑥 𝑇𝑛



↺ ∑ 𝑀𝑋 = 0 → 18.74𝑇𝑛 ∗ 𝑋𝑚 − 10𝑥 𝑇𝑛 ∗ 𝑥 𝑚−𝑀 =0 2

→ 𝑀𝑋 = (18.74𝑥 − 5𝑥 2 )𝑇𝑛 ∗ 𝑚

B.4. Diagramas:

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5. Calcular el esfuerzo máximo inducido por el momento sobre la viga que se

muestra.

SOLUCION A. Formula del esfuerzo máximo. 𝜗𝑚𝑎𝑥 =

|𝑀|𝑐 𝐼𝑍

B. Calculo del centro de gravedad.

Como la sección es simétrica el centro de gravedad es:

C. Calculo del momento de inercia. Aplicando el teorema de Steiner se tiene: 

𝐼𝑍1 =



𝐼𝑍2 =



𝐼𝑍3 =

6∗13 + 6 ∗ 1 ∗ 3.52 12 1∗63 = 18 𝑚4 12 6∗13 + 6 ∗ 1 ∗ 3.52 12

= 74 𝑚4

= 74 𝑚4

→ 𝐼𝑍𝑇 = 166 𝑚4

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C. Esfuerzo máximo. 𝜗𝑚𝑎𝑥 =

|200 𝑁 ∗ 𝑚|(4 𝑚) = 4.82 𝑁/𝑚2 166 𝑚4

D. Grafica del esfuerzo.

6. Graficar el diagrama de esfuerzos normales si se sabe que la línea de acción del momento biseca a la sección transversal de cubo.

SOLUCION A. Formula del esfuerzo máximo. 𝜗𝑚𝑎𝑥 =

|𝑀|𝑐 𝐼𝑍

B. Calculo del centro de gravedad.

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C. Calculo del momento de inercia.



𝐼𝑍 =

25∗323 12

= 68266.667 𝑐𝑚4

D. Esfuerzo máximo. 𝑀 = 22.5𝑇𝑛 − 𝑚 ∗ 𝜗𝑚𝑎𝑥 =

103 𝐾𝑔 100 𝑐𝑚 ∗ = 22.5 ∗ 105 𝐾𝑔 − 𝑐𝑚 1 𝑇𝑛 1𝑚

(22.5 ∗ 105 𝐾𝑔 − 𝑐𝑚) ∗ 16𝑐𝑚 = 527 𝐾𝑔/𝑐𝑚2 68266.667 𝑐𝑚4

E. Grafica del esfuerzo.

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