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CONTENIDO

1. Introducción............................................................................................................... 3 2. Despacho económico sin considerar las pérdidas de la red....................................3 2.1.

Formulación del problema.................................................................................3

2.2.

Solución sin considerar límites de generación......................................................4

2.3 Solución considerando los límites en las potencias generadas..................................8 3. Despacho económico considerando las pérdidas en la red...................................10 3.1.

Formulación del problema..................................................................................11

3.2.

Solución sin considerar límites de generación....................................................11

3.3.

Solución considerando los límites de generación............................................13

3.4.

Cálculo de las pérdidas en la red.....................................................................15

4. Despacho económico ambiental en sistemas térmicos..........................................18 4.1.

Despacho económico.........................................................................................18

4.1.1.

Función objetivo en sistema térmico.........................................................18

4.1.2.

Restricciones...............................................................................................19

4.2.

Despacho económico ambiental.......................................................................19

4.3.

Método propuesto.............................................................................................20

4.3.1.

Algoritmo de solución................................................................................21

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1. Introducción La operación económica de los Sistemas de Potencia es muy importante para recuperar y obtener beneficios del capital que se invierte. Las tarifas que fijan las instituciones reguladoras y la importancia de conservar el combustible presionan a las compañías generadoras a alcanzar la máxima eficiencia posible, lo que minimiza el costo del kWh a los consumidores y también el costo que representa a la compañía esta energía. La operación económica que involucra la generación de potencia y el suministro, se puede subdividir en dos partes: una, llamada despacho económico, que se relaciona con el costo mínimo de producción de potencia y otra, la de suministro con pérdidas mínimas de la potencia generada a las cargas. Para cualquier condición de carga, el despacho económico determina la salida de potencia de cada central generadora que minimizará el costo de combustible necesario. En este Capítulo, sólo se considerará la aproximación clásica al despacho económico. 2. Despacho económico sin considerar las pérdidas de la red Se trata de una formulación simplificada del problema general que proporciona una visión física de la solución. Es directamente aplicable al reparto de potencias entre generadores de una misma central.

2.1.

Formulación del problema

Dado un sistema con n nudos y m generadores y dadas todas las potencias demandadas por las cargas SDi, con i=1,2,...,n; determinar la potencia activa que debe generar cada generador Pi, cuyo costo de operación es Ci(Pi), con i=1,2,......,m, para minimizar el costo total CT. Es decir:

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Se observa que en la ecuación (4.2) la restricción de igualdad entre la potencia activa demandada por las cargas PD y la potencia total generada es simplemente el enunciado del principio de conservación de la potencia activa en el caso de un sistema sin pérdidas en las líneas de transmisión. Desempeña el mismo papel que las ecuaciones de los flujos de potencias en la formulación general. 2.2.

Solución sin considerar límites de generación

La Figura 4.1 muestra la característica de entrada típica del grupo turbina-generador i en función de la potencia de salida Pi, donde Hi corresponde a la entrada de combustible por cada hora de funcionamiento y Ci al costo del combustible necesario, que se puede obtener multiplicando los valores de la curva de Hi, por el costo del combustible. En la curva de costo Ci, es posible definir el denominado “costo incremental” CIi de la unidad generadora i como la derivada de la función de costo respecto de la potencia activa generada, esto es:

 Unidades de H: Se mide habitualmente en Mbtu/h o en kcal/h, donde:  1 Btu (British thermal unit) se define como la cantidad de calor necesario para elevar en 1º F la temperatura de una lb de agua a la presión atmosférica normal.  1 kcal es la cantidad de calor necesario para elevar en 1º C la temperatura de un kg de agua a la presión atmosférica normal.

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El costo incremental (Costo Marginal) CIi representa la pendiente de la curva de costo Ci y se puede interpretar como el costo adicional por hora que tiene aumentar la salida de la máquina i en un MW. Si las unidades de Ci(Pi) son UM/h (UM=Unidades Monetarias), las unidades de CIi, son UM/h/MW ó UM/MWh. En este caso especial, el problema se reduce a resolver solamente las ecuaciones (4.1) y (4.2), lo que se puede plantear de la siguiente forma: El valor mínimo de CT se da cuando el diferencial de la función de costos dCT es cero, es decir: Como el costo

de operación de cada máquina Ci depende sólo de la potencia generada por ella misma Pi y no de las potencias generadas por las otras, el diferencial anterior queda:

Por otro lado, suponiendo que la potencia demandada por las cargas PD es constante (debido a los cambios relativamente lentos en la demanda, que puede considerarse constante en períodos de 2 a 10 minutos), su diferencial será:

Multiplicando la expresión (4.7) por un número real λ (multiplicador de Lagrange) y restando el resultado al de (4.6), se obtiene:

La ecuación anterior se satisface cuando cada uno de los términos entre paréntesis es igual a cero. Esto es, cuando:

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Por lo tanto, el costo mínimo de operación se tendrá cuando todas las unidades generadoras funcionan con el mismo costo incremental y se cumple el balance de potencia dado por la ecuación (4.2). El sistema de m+1 ecuaciones permite calcular las m potencias a generar y el costo incremental λ del sistema.

Ejemplo 4.1: Las curvas de costo de funcionamiento de dos generadores son: C1(P1)=900+45P1+0.01P12 y C2(P2)=2500+43P2+0.003P22. La carga total PD que debe ser suministrada es de 700 MW. Determine la potencia que debe entregar cada máquina, el costo incremental y el costo total. Resolución: En este caso sencillo se puede obtener la solución en forma analítica (forma directa). En efecto, se debe cumplir que: λ=CI1=CI2 y que la suma de las potencias entregadas por los generadores sea de 700 MW; es decir, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Cuya solución es: P1=84,6 MW; P2=615,4 MW; CI1=CI2=λ= 46,69 UM/MWh La Figura 4.2 muestra gráficamente que el generador 2 (que tiene un costo incremental menor) toma la mayor parte de la potencia demandada.

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El costo total de operación (mínimo) del sistema se determina usando la expresión (4.1); es decir: CT = C1 + C2 = 900 + 45P1 + 0.01P12 + 2500 + 43P2 + 0.003P22 = 34876.92 UM/h En general, el problema se puede resolver mediante un proceso iterativo, denominado Método de Iteración en λ, cuyo procedimiento es el siguiente: Paso 1: Elegir un valor inicial de λ Paso 2: Hallar las correspondientes potencias de los generadores, P1, P2, ....,Pm Paso 3:

El valor de ε es un valor positivo que corresponde a la tolerancia aceptable para la solución.

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2.3 Solución considerando los límites en las potencias generadas Para la obtención de las ecuaciones de despacho económico se ha supuesto que las potencias generadas estaban dentro de sus límites prácticos; o lo que es lo mismo, se ha supuesto que se respetan las restricciones expresadas por la ecuación (4.3). Considérese ahora un sistema ejemplo con tres generadores, con las curvas de costos incrementales mostradas en la Figura 4.3, donde se señalan los límites máximos y mínimos de funcionamiento. Supóngase que para una potencia demandada PD el sistema funciona en la condición de igualdad de costos incrementales con un valor λ=λ1 para todas las máquinas. A partir de esa situación, a medida que aumenta la demanda, aumenta el valor de λ común, hasta que se alcanza la potencia máxima en alguna de las unidades de generación. En el ejemplo se aprecia cómo se alcanza primero el límite de la unidad 3, para λ=λ2. Un incremento adicional en la potencia demandada tendrá que ser satisfecho por un incremento en la generación de las unidades 1 y 2, funcionando con la condición de igualdad de costos incrementales; esta situación corresponde por ejemplo al valor λ3 de la figura. Este razonamiento, aunque sin una demostración matemática rigurosa, conduce a la siguiente solución expresada en palabras: si en el proceso de búsqueda de la solución uno o varios generadores alcanzan alguno de sus límites, sus correspondientes potencias quedan fijadas en los límites alcanzados; los generadores restantes deben funcionar con igual costo incremental. El costo incremental del sistema es igual al costo incremental común de estos últimos generadores.

El procedimiento iterativo para hallar λ será, en este caso, el siguiente: Elegir un valor inicial de λ tal que todos los generadores operen con el mismo costo incremental y dentro de sus límites. Si la elección de λ no es coherente con satisfacer la demanda, ajustarlo

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igual que en los casos en los que no se consideran límites. Si en este proceso una unidad de generación alcanza uno de sus límites, fijar la potencia a generar por la unidad en ese límite (máximo o mínimo) y continuar el proceso de ajuste de λ con el resto de las unidades. Ejemplo 4.2: Considere un rango de valores posibles para PD de 100 a 800 MW para las unidades de generación del Ejemplo 4.1, sujetas a los límites: 50 MW ≤ P1 ≤ 200 MW; 50 MW ≤ P2 ≤ 600 MW. Represente P1 y P2 en función de la potencia demandada para el despacho económico. En la Figura 4.4 se representan las curvas de costos incrementales de los generadores. En la Tabla 4.1 se aprecia que para valores de λ hasta 46, P1=50 MW (límite inferior), mientras que el generador 2 con P2=PD-50 MW suministra el resto de la carga. Cuando λ1=λ2=46, la máquina 2 suministra 500 MW, por lo que la carga total a servir en estas condiciones es de 550 MW. Para valores de λ comprendidos entre 46 y 46,6 (46≤ λ ≤ 46,6), ninguna de las unidades alcanza sus límites y se puede hallar P1 y P2 haciendo uso de las fórmulas de Costo Incremental del Ejemplo 4.1. Para λ1=λ2=46,6; la máquina 2 suministra su potencia máxima, 600 MW y la máquina 1 entrega 80 MW, por lo que la carga total a servir en estas condiciones es de 680 MW. Para valores de λ mayores que 46,6; P2=600 MW (su límite superior) y P1=PD-600 MW. Si λ1=49; ambas máquinas entregan su potencia máxima (200 MW y 600 MW respectivamente), con lo que se alcanza a servir la carga total de 800 MW. Los resultados se muestran gráficamente en la Figura 4.5.

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3. Despacho económico considerando las pérdidas en la red Si todos los generadores están situados en una misma central o están próximos geográficamente, es razonable despreciar las pérdidas en las líneas para calcular el despacho económico. En cambio, si las centrales están separadas geográficamente, se deben considerar las pérdidas en las líneas de transmisión, con lo que el reparto económico determinado en el apartado anterior cambia. En un caso sencillo supóngase que todas las unidades de generación del sistema son idénticas. Entonces, al considerar pérdidas en las líneas, es de esperar que sea más barato suministrar más potencia desde los generadores más próximos a las cargas. La forma más generalizada de abordar el problema del despacho económico considerando pérdidas en las líneas parte del supuesto de que se tiene una expresión para esas pérdidas Pp, en función de las potencias de salida de los generadores, de la forma:

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3.1.

Formulación del problema

Se trata de encontrar las potencias Pi para minimizar el costo total CT:

sujeto a:

La restricción en forma de igualdad es simplemente una manifestación del principio de conservación de la potencia (activa).

Del mismo modo que en el caso de red sin pérdidas, considérese primero la situación en la que no existen límites de generación. El valor mínimo de CT se da cuando el diferencial de la función de costos dCT es cero, es decir:

3.2.

Solución sin considerar límites de generación

Como el costo de operación de cada máquina Ci depende sólo de la potencia generada por ella misma Pi y no de las potencias generadas por las otras, el diferencial anterior queda:

Por otro lado, el diferencial del balance de potencias activas suponiendo que la potencia demandada por las cargas PD es constante será:

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Mu ltiplicando la expresión (4.18) por un número real λ (multiplicador de Lagrange) y restando el resultado al de (4.17), se obtiene:

La ecuación (4.19) se satisface cuando cada uno de los términos entre paréntesis es igual a cero. Esto es, cuando:

El coeficiente ∂Pp/∂Pi corresponde a las pérdidas incrementales de transmisión de la máquina i. Designando al Factor de penalización Li para el i-ésimo generador como:

Se tiene que como dCi/dPi representa el costo incremental del i-ésimo generador, el sistema operará a costo mínimo, cuando el producto del costo incremental de cada unidad generadora por su Factor de Penalización Li sea el mismo para todas ellas. Por lo tanto, la solución del problema queda determinada por las m+1 ecuaciones siguientes, que permiten calcular las potencias a generar y el costo incremental del sistema:

Se observa que ya no es condición de óptimo que cada generador funcione con el mismo costo incremental. Los CI están ahora ponderados por los factores de penalización Li. Un

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factor de penalización elevado hace a la correspondiente unidad generadora menos atractiva. Es de esperar que las centrales alejadas de los centros de consumo tengan factores de penalización mayores que las más próximas a dichas cargas.

3.3.

Solución considerando los límites de generación

Si se consideran los límites de generación, se tiene una solución análoga a la del caso sin pérdidas; es decir, hacer funcionar a todos los generadores que estén dentro de sus límites de tal forma que se cumpla que LiCIi=λ. Si en este proceso una unidad de generación alcanza uno de sus límites, fijar la potencia a generar por la unidad en ese límite (máximo o mínimo) y continuar el proceso de ajuste de λ con el resto de las unidades. Ejemplo 4.3: Considere las características de costo de los generadores del Ejemplo 4.1; es decir, C1(P1) = 900 + 45P1+0.01P12 y C2(P2) = 2500+43P2+0.003P22. La carga total PD que debe ser suministrada es de 700 MW. La expresión simplificada de las pérdidas es de la forma: Pp= (0,00003P12 + 0,00009P22) MW. Determine, utilizando el método de iteración en λ, la potencia que debe entregar cada máquina, las pérdidas en el sistema, el costo incremental y el costo total. Resolución: Las ecuaciones a considerar son:

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Para comenzar el proceso iterativo se puede considerar como valor de partida para λ, el determinado en el Ejemplo 4.1, es decir; λ=46,69. La Tabla 4.2 muestra el desarrollo del proceso y los resultados obtenidos.

Al comparar estos resultados con los del Ejemplo 4.1, se aprecia que: 

Los costos incremental y total son ahora mayores, por que se han considerado las pérdidas.  La potencia entregada por la máquina 1 aumentó y la entregada por la máquina 2 disminuyó, a pesar de que el costo incremental de esta última es menor. Ello se debe a que su Factor de Penalización es mayor.

Iteración en la potencia de los generadores: Una manera diferente de resolver este problema es la siguiente: 1. Elegir valores de Pi tales que ,es decir, en este paso, no se consideran las pérdidas. 2. Con los valores de Pi, calcular Li y Pp 3. Resolver el sistema de ecuaciones (4.26), para determinar λ y nuevos valores para Pi:

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4. Comparar los nuevos valores de Pi con los anteriores. Si hay una diferencia importante, volver al paso 2. En caso contrario, terminar el proceso Otros Métodos de búsqueda de la solución son: Gradiente de Primer Orden y Gradiente de Segundo Orden. 3.4.

Cálculo de las pérdidas en la red

El método expuesto para optimizar la repartición de carga entre los generadores de un sistema, requiere desarrollar una expresión que permita determinar las pérdidas totales de transmisión en función de la potencia generada por ellos. Se aborda esta cuestión indicando uno de los métodos más importantes, aproximado pero sencillo. Según este método, para unas condiciones dadas de funcionamiento del sistema (o “caso base”) las pérdidas de transmisión son función cuadrática de las potencias de los generadores, lo que se puede escribir según las ecuaciones (4.27) o (4.28):

Donde los términos Bij son los llamados Coeficientes B o Coeficientes de pérdidas y [B] es la matriz de coeficientes de pérdida. Los coeficientes Bij no son verdaderamente constantes sino que varían según el estado de carga del sistema y se obtienen a partir de los resultados de un Cálculo de Flujos de Potencia (caso base). Una vez determinados los coeficientes se tendrá una expresión para las pérdidas del sistema en función de las potencias generadas que, en rigor, sólo es válida para las condiciones correspondientes a esos valores concretos de las potencias de los generadores Pi. En la práctica, estos coeficientes pueden considerarse constantes, siempre que las condiciones del sistema no difieran drásticamente de las del caso base, respecto del cual han sido calculados. En un sistema real, dada la variación en la potencia demandada a lo largo de un día, la diferencia entre las condiciones de funcionamiento del sistema llegan a ser tan grandes que se hace necesario utilizar más de un conjunto de coeficientes B durante el ciclo de carga diario. A partir de una fórmula de pérdidas explícita, el cálculo de ∂Pp/∂Pi es simple, suponiendo que Bij=Bji.

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Existen varios métodos para la obtención de los coeficientes B. Para entender la formulación, se presenta, a manera de ejemplo, el caso de un sistema simple (Figura 4.6) formado por dos generadores, un sistema de transmisión y una carga.

Sean a, b y c las líneas de transmisión con resistencias Ra, Rb y Rc por las que circulan las corrientes cuyos módulos son |i1|, |i2|e|i1+i2|, respectivamente. La potencia activa total perdida en el sistema de transmisión Pp se puede escribir como:

Escribiendo los módulos de las corrientes simplemente como: I1, I2 e I3, respectivamente, se tiene que las pérdidas se pueden escribir como:

Si P1 y P2 son las potencias trifásicas de salida de las máquinas, con factores de potencia fp1 y fp2 y V1 y V2 son los módulos de los voltajes entre líneas en las barras de los generadores, las corrientes I1 e I2 son:

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Si los voltajes se expresan en kV, las resistencias en Ω/fase, las unidades de los coeficientes B son 1/MW y la potencia perdida Pp queda expresada en MW. Por supuesto que es posible hacer el cálculo en por unidad. Para el sistema en el cual han sido deducidos y con la suposición de que 1 2 I e I & & están en fase, estos coeficientes entregan las pérdidas en forma exacta, por medio de la ecuación (4.35), solamente para los valores particulares de P1 y P2 que resultan de las tensiones y factores de potencia utilizados en las ecuaciones (4.36). Los coeficientes B son constantes al variar P1 y P2, sólo mientras las tensiones en las barras de los generadores mantengan un valor constante y los factores de potencia sean también constantes.

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4. Despacho económico ambiental en sistemas térmicos 4.1.

Despacho económico

El objetivo del despacho económico clásico es asignar la generación total entre unidades generadoras en servicio de modo de minimizar el costo de abastecer la carga total, incluyendo perdidas y respetando restricciones operativas de las unidades del sistema. Modela funciones de producción de las unidades generadoras, perdidas de transmisión y limites operativos de las unidades. Típicamente asume tensiones constantes en cada barra y factores de potencia constante y no se modelan las restricciones de transmisión. 4.1.1. Función objetivo en sistema térmico La función objetivo FT es igual al costo total e abastecer la carga total, y está dada por:

Donde

FT: costo total de generación del sistema Fi: costo de generación de la unidad i N: número de unidades generadoras del sistema

Los costos de operación de las centrales térmicas se dividen en fijos y variables. Los costos variables son, básicamente los costos de combustible y dependen del tipo de combustible y del rendimiento de la maquina. El consumo de combustible (Hi(Pi)) se mide en unidades de calor, [Kcal/h] o [BTU/h] y la curva de consumo de modela frecuentemente por una función de segundo grado P. El costo de generación de cada unidad se obiene muktiplicando os cotos de operación por el valor de combustible utilizando por la unidad, por lo que se tiene:

Donde αi es el precio del combustible utilizando por la unidad i, y a i, bi y ci se determina en base a la información del funcionamiento de la unidad generadora, utilizando ternicas de identificación de parámetros, con datos almacenados de potencia de salida versus combustible de entrada a la unidad.

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4.1.2. Restricciones La principal restricción en la operación del sistema es que la suma de las potencias generadas sea igual al consumo mas las perdidas, pero en caso, se simplificara obviando las perdidas. La ecuación del balance de potencia resulta:

Donde

PL: potencia demandada por la carga del sistema Pi: Potencia generada por la unidad i

Otras restricciones que deben imponerse al sistema de generación son los límites máximos y mínimos de potencia generada por cada unidad, esto es:

Las restricciones de transmisión no se incluyen, asumiendo que el voltaje en las barras no variará en forma significativa y que los niveles de carga de las líneas de transmisión no serán violados. Con las ecuaciones y restricciones anteriores es posible definir el problema de despacho económico.

4.2.

Despacho económico ambiental

El problema de despacho económico ambiental es una extensión del problema de despacho económico expuesto anteriormente. Se agregan restricciones ambientales del contaminante que se quiere disminuir, tales como óxidos de azufre, óxidos de nitrógeno, dióxido de carbono y material particulado. La neta es encontrar la potencia generada Pi por cada unidad que minimice el costo de operación total mientras que los requerimientos de carga, la capacidad de generación y las restricciones de emisiones de contaminantes se encuentren satisfechos.

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Para incluir las emisiones en el despacho de la generación se han propuesto diferentes métodos:  Minimizar la emisiones total de contaminantes, utilizando como función objetivo una función de las emisiones del contaminante o contaminantes que desee disminuir.  Incluir el control de emisiones en el despacho económico convencional sumando funciones de emisiones a la función de costo de combustibles de las unidades.  Resolver el problema de minimización clásico incorporando las funciones de emisiones como restricciones. El primer método solo es útil para efectos de estudio ya que no considera ls costos de combustibles. Su solución entrega el valor mínimo de emisiones, que es la ideal, ambientalmente hablando, pero es la más costosa económicamente. En el segundo, las emisiones se incluyen ya que sea como ponderador para cada función o con el costo por polución de cada tipo de contaminantes incluido. La dificultad, en este caso, se presenta en el cálculo de los costos por emisiones de contaminantes, puesto que estos costos no siempre se pueden especificaren términos monetarios, o no existen parámetros para cuantificar monetariamente los efectos de la contaminación. El último métodos es mas adecuado cuando existen leyes que restringen las emisiones de algún contaminante, debido a que existe un problema similar al anterior, puesto que es difícil conocer cuál es el mejor valor al cual restringir las emisiones. 4.3.

Método propuesto

La formulación matemática del problema es:

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En la formulación anterior, el método de ponderaciones se usa para definir la importancia relativa del costo y las emisiones, Debe notarse que los ponderadores Wc y Ws no son valores fijos, son herramientas para observar la relación entre las dos funciones objetivo ya que no es posible minimizar las dos funciones a la vez. Las funciones de emisión de SO2 se modelan con ecuaciones cuadráticas dependiendo de la potencia generada por la central. 4.3.1. Algoritmo de solución En el lazo inicial se calcula el despacho que minimice la función objetivo con ponderadores definidos. En el Lazo posterior se corrigen los ponderadores de acuerdo a la restricción de emisiones de SO2. El esquema de algoritmo se muestra en la siguiente figura.

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El algoritmo se puede resumir en dos pasos: a. Método de iteraciones en λ El despacho se calcula, primero, ignorando la restricción de emisiones de SO2. Los ponderadores iníciales son Wc= 1 y Ws= , por lo que se minimiza la función de costos en la primera iteración. El algoritmo iterativo utilizado es el método de iteración en λ, cuyo diagrama de flujo se muestra en la figura. Para la primera iteración de este algoritmo, se debe entregar un valor inicial λ al modelo, y para la segunda se utiliza este valor ponderado por una constante. En las iteraciones restantes, el algoritmo calcula el nuevo valor de λ interpolando con sus dos valores anteriores y los errores £ correspondiente a estas iteraciones.

b. Revisión de emisiones de S02 y corrección de ponderadores Durante el proceso, los ponderadores Wc y Ws (que deben sumar uno) se modifican en una péquela cantidad δw, vairandolos desde 1 y 0 y entre 0 y 1, respectivamente, lo que entrega el despacho económico ambiental para todo el universo de ponderadores. Esta operación es equivaente a aumentar la influencia de las emisiones de SO 2 en la función objetivo.

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Se define la tasa de disminución de emisiones R como sigue:

El valor de R corresponde a la tasa marginal de costos respecto a las emisiones de SO 2.

Inicialmente (wc=1, Ws=0), R es pequeño debido a que un pequeño aumento en los costos produce una gran disminución en las emisiones, y a medida que Wc disminuye, R aumenta. Esto se puede observar claramente en la figura, donde se muestra una curva de equilibrio (trade off) típica.

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