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• Eliezer Sanchez Galvan

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1. CONDUCTIVIDAD TÉRMICA La conductividad térmica es una propiedad física de los materiales que mide la capacidad de conducción de calor. En otras palabras la conductividad térmica es también la capacidad de una sustancia de transferir la energía cinética de sus moléculas a otras moléculas adyacentes o a substancias con las que está en contacto. En el Sistema Internacional de Unidades la conductividad térmica se mide en W/(K·m). También se le expresa en J/(s·°C·m). La inversa de la conductividad térmica es la resistencia térmica, que es la capacidad de los materiales para oponerse al paso del calor. La transferencia de calor por conducción se aplica necesariamente a un medio inmóvil, y por lo tanto en la práctica a un sólido, en este caso el calor no es vehículado por su soporte si no que se desplaza lentamente por propagación progresiva de la agitación molecular. Por este motivo y contrariamente a la convección se trata de un sistema de transferencia interno y lento. Consideremos un medio inmóvil limitado por dos placas paralelas de superficie A y de anchura infinitesimal dx. Una diferencia de temperatura dT entre las dos caras de la placa provocará una corriente térmica desde la cara caliente hasta la cara fría. La velocidad de transporte correspondiente va ha estar dada por la ley de fourier dT En la medida en que Q se expresa en valor absoluto, el signo negativo que aparece dx en otro lado de la ecuación tiene en cuenta que el gradiente de temperatura es negativo puesto que el calor se desplaza en el sentido de las temperaturas decrecientes.

•

Q = −λA

En donde el factor λ es conocido como la constante de conductividad térmica y es intrínseca de la materia conductora de calor y esta dado en W/mºC y se puede localizar en tablas especificas de cada material. Ahora bien la conductividad térmica en los alimentos es mas difícil de determinar ya que se trata de medios con estructuras heterogéneas. Así pues en el caso de la carne el valor de λ es distinto si se considera la transferencia de calor de forma paralela o perpendicular a las fibras musculares, en cuanto a la conductividad térmica de los alimentos, se consideran los siguientes puntos: Es poco dependiente de la temperatura Aumenta sensiblemente con la humedad del producto La presencia de aire reduce la conductividad En un producto congelado la conductividad se multiplica por 3.5 a 4 La conductividad térmica de un producto λ y su espesor ∆ x se globalizan a menudo en un solo factor: k=λ /∆ x así pues por definición k es el coeficiente de transferencia de calor. Con las mismas dimensiones que el coeficiente de transferencia de calor W/m2ºC. la velocidad de transporte puede escribirse de forma análoga a la de transferencia por convección: •

Q = kA ( ∆T )

Hay que tener presente, que los alimentos contienen agua y sólidos y las relaciones deben incorporar las conductividades térmicas del agua y sólidos. Riedel propuso para jugos de frutas y solucionas de azúcar la siguiente relación:

Una expresión que tiene un campo de aplicación más amplia es la de Maxwell:

Donde:

Esta relación la aplicó Long a salmón que se estaba congelando y los resultados predichos concordaron bien con los experimentales. También Lentz la aplicó con éxito a carne y productos cárneos, aunque era este producto por tener fibras se tiene dos conductividades una paralela y otra perpendicular a la fibra, siendo la paralela 20% mayor que la perpendicular, Kopelrnan propuso la siguiente relación para un sistema de dos componentes isótropo.

Donde M es la fracción volumétrica de sólidos o fase discontinua en el alimento y que la conductividad térmica de la fase continua o líquida es mayor que la de la fase discontinua o sólida. Si no es el caso se puede aplicar:

Donde: Para el caso de materiales anisótropos y que tienen conductividad térmica dependiente de la dirección del flujo de calor, se tiene: a) conductividad térmica paralela a las fibras

Donde

es la fracción de volumen de sólidos o fase discontinua.

b) conductividad térmica perpendicular a las fibras

También existen las siguientes relaciones para material fibroso: a) conductividad térmica paralela a las fibras

donde P es la fracción volumétrica de sólidos o fase discontinua. b) conductividad térmica perpendicular a la fibra

Para sólidos porosos llenos de gas se tienen varias relaciones; pero, la de más uso es la siguiente aunque tiene un 5% de error.

donde

es la fracción de huecos del lecho de partículas.

Ejercicio: Comparar las ecuaciones de Maxwell y Kopelman para predecir las conductividades térmicas de carne de buey con 74% de humedad a 45ºF. Suponer que la conductividad térmica de la fracción sólida de la carne es: 0,15 Btu/h pie2 ºF/pie

Solución: Primero hay que calcular la masa de la fracción sólida. Si la densidad de la carne es la del agua es El volumen especifico del agua es.

y el volumen especifico del sólido es:

Luego, la ecuación de Maxwell es:

Si la conductividad del agua es:

Luego

Reemplazando en la ecuación de Maxwell, se tiene:

y

La ecuación de Kopelman para conducción de calor paralelo a la fibra es:

y para conducción de calor perpendicular a la fibra es:

Luego

Método para calcular la conductividad térmica por conducción transiente. Ball y Olson han deducido un método para calcular los cambios de temperatura en estado transiente:

Donde: f: Reciproco de la pendiente de la asíntota a la curva de calentamiento. Si el papel semilogarítmico es invertido y el comienzo de la línea es numerado con 1º bajo la temperatura de la autoclave, con la temperatura en el eje logarítmico y el tiempo en la escala lineal, entonces "f" es numéricamente igual a1. número de minutos necesarios para que la parte recta de la curva cruce un cielo logarítmico J: Factor de forma de la curva de calentamiento. Ta: Temperatura ambiental. Tiempo de estar expuesto a esa temperatura. T: Temperatura medida al tiempo q en la posición controlada.

Tb: Temperatura inicial uniforme a través del cuerpo. A partir de la relación temperatura tiempo de un cilindro finito con alto coeficiente de transmisión de calor, es posible calcular la difusividad térmica del reciproco de la asintota de la curva de calentamiento "f" por medio de

donde: a: radio del cilindro finito b: mitad de la longitud del cilindro que está sometido al proceso térmico. Si se calienta un cilindro infinito, se tiene:

donde: a: radio del cilindro infinito. Conocidos

se puede calcular la conductividad térmica.

Ejemplo: Una muestra de puré de arvejas en un envase cilíndrico de 0,122 pie de radio y 0,333 pie de alto, se está calentando con vapor a 24ºF. La temperatura inicial es 86ºF. Los datos temperatura tiempo fueron tomados por una termocupla en el centro del cilindro. Tiempo (min)

Temperatura (ºF)

0

86

17

146

20

160

25

176

30

193

35

205

40

213

45

219

Si la humedad riel producto es 86%, la densidad es y el contenido de grasa es cero. Calcular la difusividad y la conductividad térmica del producto. Solución: Los datos temperatura tiempo de la tabla se llevan a un gráfico semilog invertido

Fig. 16 Gráfico semilogarítmico girado para calcular "f". La temperatura en el máximo es 1º bajo la temperatura del vapor y de la Figura 16 se tiene que "f" es 43 min. Se aplica la ecuación (i) con "f" en horas.

Además:

Calculo experimental de los coeficientes de transmisión de calor en los congeladores. Se plantea el método deducido por Ball y Olson en que la ecuación que relaciona el coeficiente de superficie con la pendiente de la curva de calentamiento es:

Empleando las Tablas de funciones de Bessel (Anexo 4) o los gráficos (Anexo 5) se pueden calcular m1 y l1 Se puede emplear un cilindro de hielo, por ejemplo a –20ºF y se coloca en un medio de OºF. Se construya la curva de calentamiento en un gráfico semilogarítrnico invertido y de la pendiente de la curva se evalúa "f" (Ver Pág. 34) A su vez son funciones de h, que al ser reemplazados en la ecuación (iii) permiten calcular h por iteración.

Ejemplo: Se desea conocer el coeficiente de transmisión de calor h de un congelador a 0ºF y para ello se realiza la siguiente experiencia. Una lata cilíndrica de hielo de 1,3 pulgadas de radio y 4,0 pulgadas de largo está a -40ºF y se coloca en el congelador a 0ºF. Se sigue la variación de la temperatura versus tiempo, del centro del cilindro de hielo, por medio de una termocupla. TABLA: TIEMPO-TEMPERATURA DEL CILINDRO DE HIELO Tiempo (min.) 1 8 13 19 23 27 35 44 51 58 68 79

Temperatura (0ºF) -40,5 -34,5 -29,0, -25,0 -22,5 -20,0 -15,5 -13,0 -11,0 -9,0 -7,5 -5,0

Solución:

fig. 17 Cálculo de f Se construye el gráfico semilogarítmico de acuerdo al procedimiento indicado en la página 34. De la pendiente de la curva se encuentra que

Reemplazando en la ecuación (iii) se tiene

Al considerar

de los gráfico se Anexo 5 se tiene

y para

Primer valor de la iteración de la h=1 Luego:

De la figura 2 del anexo 5 se tiene que para m = 0,1406 y para m

análogamente para µ 1

De la figura 2 del anexo 5 se tiene que para m´ = 0,092 y para m´ Luego

Reemplazando en (i), se tiene

Esto es diferente de 38,08 Segundo paso de la iteración h..= 2

Luego, para

De la figura 1 Anexo 5

Para µ 1

Luego:

que es distinto de 38,08 tercer paso de la iteración h = 1,5 Para

que es distinto de 38,08. Por lo tanto, se construye el gráfico

Fig. 18 Iteración para conocer h Del gráfico se logra

versus h

A su vez la ecuación

Permite calcular k. Se deben colocar los cilindros (por ejemplo) uno de hielo y otro del alimento en un medio a temperatura constante. El de hielo permite calcular h; con este valor y el valor f del alimento reemplazando en la ecuación, permite por iteración conocer la conductividad térmica.

2. DENSIDAD En física, la densidad de una sustancia, simbolizada habitualmente por la letra griega , es una magnitud referida a la cantidad de masa contenida en un determinado volumen. La densidad puede obtenerse de forma indirecta y de forma directa. Para la obtención indirecta de la densidad, se miden la masa y el volumen por separado y posteriormente se calcula la densidad. La masa se mide habitualmente con una balanza, mientras que el volumen puede medirse determinando la forma del objeto y midiendo las dimensiones apropiadas o mediante el desplazamiento de un líquido, entre otros métodos. Entre los instrumentos más comunes para la medida de densidades tenemos: El densímetro, que permite la medida directa de la densidad de un líquido El picnómetro, es un aparato que permite la medida precisa de la densidad de sólidos, líquidos y gases picnómetro de gas. La balanza de Mohr es una variante de balanza hidrostática que permite la medida precisa de la densidad de líquidos. Otra posibilidad para determinar las densidades de líquidos y gases es utilizar un instrumento digital basado en el principio del tubo en U oscilante En algunos casos, en lugar de la densidad se determina el denominado cociente de peso sumergido, que se obtiene dividiendo el peso sumergido de la muestra a investigar por el de la sustancia de referencia que generalmente es agua en presencia de aire. El valor obtenido se expresa como índice adimensional conocido como densidad relativa, matemáticamente se expresa como: ρ 20º/20º = ρa/ρref

Donde: ρ 20º/20º: Densidad relativa a 20ºC ρa: Densidad de alimento ρref: Densidad de referencia (generalmente agua) Esta se determina picnometricamente en el caso de alimentos como bebidas, zumos de frutas, vino, cervezas y otras bebidas alcohólicas. En el caso de la leche la densidad relativa es la relación entre las masas de volúmenes iguales de leche y agua destilada ambas a 15 °C. El ensayo consiste en homogenizar una muestra de leche a una temperatura de 20ºC y sumergir en ella un lactodensímetro, midiéndose el valor de la densidad relativa de la leche. Para el cálculo de la densidad también se han planteado algunas correlaciones matemáticas resultado de investigaciones realizadas por largos periodos de tiempo, entre ellos tenemos: •

Para la leche, por técnicas de regresión múltiple y considerando 146 observaciones de muestras de leche analizadas durante 5 años, en un intervalo de 10 ºC a 80 ºC, Alvarado (1987) obtuvo una primera ecuación que considera como variable dependiente a la densidad y como variables independientes el porcentaje de sólidos totales y a la temperatura.

DL = 1011 - 0,7184*T + 2,5893*S (II) Donde: DL: Densidad de la leche (Kg/m3) T: Temperatura de la leche (ºC) S: Porcentaje de sólidos totales de la leche •

Para jugos: Con 96 observaciones, entre 5 y 25 ºBrix, que cubre los valores más probables que se encuentran los jugos naturales, y entre 10 y 40 ºC, Alvarado y López (1.986) establecen la siguiente ecuación que permite el calculo de la densidad de jugos de frutas y de jarabes, como función del contenido de sólidos solubles y de la temperatura:

Dj = 1008 + 4.15 Br - 0.6*T Donde: Dj: densidad en (kg/m3) Br: grados Brix (°Brix) T: Temperatura

3. CALOR ESPECÍFICO Es la cantidad de energía, en forma de calor, que gana o pierde un sistema por unidad de masa, para que se produzca en él un cambio de temperatura de un grado, sin que haya cambio de estado.

Donde q es el calor ganado o perdido en Julios o Kilojulios (KJ) m es la masa (Kg) DT es el cambio en la temperatura (ºC ó K) Cp es el calor específico (KJ/KgºC) ó (J/KgºC). El subíndice p significa "a presión constante". En la práctica, sólo cuando se trabaja con gases es necesario distinguir entre el calor específico a presión constante y el calor específico a volumen constante Cv.

El valor del calor específico de un alimento se obtiene mediante la experimentación; varía ligeramente con la temperatura.

5. DIFUSIVIDAD TÉRMICA: Es la conductividad térmica dividida por el producto del calor específico y la densidad. Sus unidades SI son m2/s.

Se usa para la determinación de las velocidades de transferencia de calor en alimentos sólidos de distintas formas. Caracteriza la rapidez con la que varía la temperatura del material ante una solicitud térmica, por ejemplo, ante una variación brusca de temperatura en la superficie. Se puede calcular mediante la siguiente expresión: Existen distintos sistemas para conseguir la simulación de los tratamientos térmicos aplicados a los alimentos. Cuando el alimento está envasado en un recipiente con una figura geométrica sencilla: cilindro, paralelepípedo, esfera, la simulación puede realizarse mediante la resolución de la ecuación diferencial de transmisión de calor por conducción por un método numérico como pueden ser las diferencias finitas. El paso siguiente es emplear esta simulación en el sistema de control del equipo en el que se produce el tratamiento térmico. La resolución de la ecuación diferencial de transmisión de calor por conducción exige el conocimiento de la difusividad térmica del producto, lo que no siempre es fácil de conseguir en la bibliografía. El sistema de control desarrollado parte de las temperaturas del centro térmico del alimento y del recinto donde se produce el tratamiento térmico y a partir de estos datos establece la curva de penetración de calor, elige la rama descendente y calcula el factor de pendiente y la difusividad térmica del alimento. Conocida la difusividad térmica, se simula tanto el resto del calentamiento como el enfriamiento posterior del alimento y se toma la decisión de detener la calefacción en el momento en que el tratamiento total previsto ha alcanzado la intensidad prefijada. Es decir, se detiene el proceso cuando la suma del tratamiento dado junto con el que se recibirá durante el enfriamiento alcanza el valor previsto. Todo el desarrollo se puede realizar mediante el programa LabVIEW 6.1, que ha mostrado ser muy eficaz para resolver todos los problemas planteados para estos casos. El empleo de modelos matemáticos para simular los tratamientos térmicos de alimentos envasados es una práctica generalizada gracias al uso de ordenadores cuya potencia permite realizar los cálculos necesarios en tiempo real. El paso siguiente es emplear esta simulación para establecer el tiempo de tratamiento de un determinado alimento. Gill et al. (1989) comprobaron que se obtienen mejores resultados empleando métodos numéricos que cuando se establece el tiempo de esterilización mediante el Método de la Fórmula (Ball y Olson, 1957).

Mulvaney et al. (1990) vieron que el uso de simuladores permite utilizar en el tratamiento térmico cualquier perfil de temperaturas, consiguiéndose así ajustar la variación de la temperatura del producto a la que propicie la máxima retención de nutrientes y el mínimo consumo energético. Simpson et al. (1993) obtuvieron también buenos resultados con el programa de control “online” que desarrollaron para la esterilización de envases cilíndricos empleando el criterio de alcanzar la suficiente letalidad (Fo). De acuerdo con Gill et al. (1989) cualquier sistema que pretenda alcanzar más exactitud que la obtenida mediante el Método de la Fórmula de Ball o con el uso de un baremo de esterilización práctico cualquiera, necesita disponer del conocimiento exacto de la difusividad térmica del producto y realizarse en un equipo que asegure una elevada homogeneidad en el tratamiento térmico recibido por cada uno de los envases. Sin el conocimiento de la difusividad térmica del producto no se puede resolver la ecuación diferencial para la conducción de calor:

Siendo: T = temperatura del producto t = tiempo α = difusividad térmica r = posición radial en el cilindro h = posición vertical en el cilindro Los mejores resultados de la simulación se obtienen cuando la difusividad térmica se calcula a partir del factor de pendiente de la curva de penetración de calor de acuerdo con Ball y Olson (1957):

Siendo: R = radio del cilindro H = semialtura del cilindro fh = factor de pendiente de la curva de penetración de calor

Problema Se diseño un alimento nuevo con la siguiente composición proximal: 79.4 % -------------------- H2O 2% ------------------------ Proteína 0.1%---------------------- Grasa 17.6 % ------------------- Carbohidrato 0.9 % --------------------- Cenizas Calcular las propiedades térmicas a 20° C A) Densidad: Agua 997.18 + (0.0031429)(20° C) + (0.0054731)(20° C)2 997.8 + 0.062858 + 2.18924 = 1000.52 Kg. /m3 Método 1 (1000.52*79.4)/100 = 794.04 Método 2 Fracción másica de la i-esima macromolécula/ Densidad de la i-esima macromolécula (Kg m3). 0.794/ 1000.52 = 0.00079

Proteína 1329.9 – (0.5185)(20° C) 1329.9 – 10.37 = 1319.53 Kg. /m3 Método 1 (1319.53*2)/100 = 26.3903 Método 2 0.02/ 1319.53 = 0.00001515 Grasa

925.59 – (0.41757) (20° C) 925.59 – 8.3514 = 917.2386 Kg. /m3 Método 1 (917.2386*0.1)/100 = 0.9172 Método 2 0.001/ 917.2386 = 0.00000109

Carbohidrato 1599.1 – (0.31046) (20° C) 1599.1 –6.2092 = 1592.89 Kg. /m3 (1592.89*17.6))/100 = 280.34 0.179/ 1592.89 = 0.0001124

Cenizas 2423.8 – (0.28063) (20° C) 2423.8 – 5.6126 = 2418.19 Kg. /m3 (2418.19 *0.9))/100 = 21.7637 0.009/ 2418.19 = 0.000003721 Método 1 ρ = 794.04 + 26.3903 + 0.9172 + 280.34 + 21.7637 = 1123.45 Kg. /m3 Método 2 1/ρ = 0.000003721 + 0.0001124 + 0.00000109 + 0.00001515 + 0.00079 = 0.000922361 ρ Alimento = 1/ 0.000922361 = 1082.70 Kg. /m3 B) Conductividad térmica:

Agua k = 0.57109 + (0.0017625)(20° C) - (6.7036x10-6)(20° C)2 k = 0.57109 + 0.03525 - 0.00268 = 0.60366 W/m ° C

k = [(1082.70 Kg. /m3)(0.794)/(1000.52 Kg. /m3)][0.60366 W/m ° C] k = (0.8592)(0.60366) = 0.5187 W/m ° C Proteína k = 0.17881 + (0.0011958)(20° C) - (2.7178x10-6)(20° C)2 k = 0.17881 + 0.023916 - 0.001087 = 0.2017 W/m ° C

k = [(1082.70 Kg. /m3)(0.02)/( 1319.53 Kg. /m3)][ 0.15598 W/m ° C] k = (0.01641)(0.2017) = 0.00331 W/m ° C Grasa k = 0.18071 - (0.0027604)(20° C) - (1.7749x10-7)(20° C)2 k = 0.125 W/m ° C

k = [(1082.70 Kg. /m3)(0.001)/( 917.2386 Kg. /m3)][ 0.125 W/m ° C] k = 1.48X10-4 W/m ° C

Carbohidrato k = 0.20141 + (0.0013874)(20° C) - (4.33x10-6)(20° C)2

k = 0.227 W/m ° C

k = [(1082.70 Kg. /m3)(0.176)/( 1592.89 Kg. /m3)][ 0.227 W/m ° C] k = 2.72X10-2 W/m ° C Ceniza k = 0.32962 + (0.0014011)(20° C) - (2.9069x10-6)(20° C)2 k = 0.356 W/m ° C

k = [(1082.70 Kg. /m3)(0.009)/( 2418.19 Kg. /m3)][ 0.356 W/m ° C] k = 1.44X10-3 W/m ° C

k Alimento = 1.44X10-3 + 2.72X10-2 + 1.48X10-4 + 0.5187 + 0.00331 = 0.5508 W/m ° C

C) Calor especifico

Agua Cp = 4176.2 – (0.090864)(20° C) – (5.47E-03)(20° C)2 Cp = 4172.2 J/Kg° C

Cp = [0.794 x 4.17E+03] = 3312.7 J/Kg° C

Proteína

Cp = 2008.2 + (1.2089)(20° C) – (0.0013129)(20° C)2 Cp = 2031.9 J/Kg° C

Cp = [0.02 x 2031.9] = 40.64 J/Kg° C

Grasa

Cp = 1984.2 + (1.4733)(20° C) – (0.0048008)(20° C)2 Cp = 2011.7 J/Kg° C

Cp = [0.001 x 2011.7] = 2.012 J/Kg° C

Carbohidrato Cp = 1548.8 + (1.9625)(20° C) – (0.0059399)(20° C)2

Cp = 1585.7 J/Kg° C

Cp = [0.176 x1585.7] = 279.1 J/Kg° C

Ceniza

Cp = 1092.6 + (1 1.8896)(20° C) – (0.0036817)(20° C)2 Cp = 1128.9 J/Kg° C

Cp = [0.009 x1128.9] = 10.16 J/Kg° C

Cp Alimento = 10.16 + 279.1 + 2.012 + 3312.7 + 40.64 = 3644.61 J/Kg° C

D) Difusividad térmica

α Alimento = (0.5508 W/m ° C)/(1082.70 Kg. /m3)(3644.61 J/Kg° C) = 1.39584E-07

Bibliografía

http://www.cresca.upc.es/eba2005/docs/cristian-maggiolo.pdf http://mazinger.sisib.uchile.cl/repositorio/lb/ciencias_quimicas_y_farmaceuticas/castroe 02/ www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/.../r41977.DOC http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4070035/lecciones/cap3/leccion 3_2.htm http://www.docstoc.com/docs/26285936/PR%EF%BF%BDCTICA-N%EF%BF%BD1-Determinaci%EF%BF%BDn-de-Densidad-en-los-Alimentos/ http://www.acyja.com/documentos/Comunicaciones_Congresos/Comunicaciones/Cesia _2004/ACP-12.PDF http://www.miliarium.com/prontuario/Tablas/Quimica/PropiedadesTermicas.htm http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4070035/lecciones/cap3/leccion 3_5.htm Operaciones unitarias en la ingeniería de alimentos, Albert Ibraz, Gustavo V. BarbozaCánovas, 2005, pag. 347

Sánchez Galván Francisco Eliezer