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Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial) v =v x i  y j z  k La divergencia de un campo vectorial  Es el límite del flujo del campo vectorial a través de una superficie cerrada s que guarda un volumen u:

v d s ∫ div v = lim  u0 s  0

u

Recuérdese que la integral es una suma de infinitos sumandos, o una suma de de finitos sumandos pero de valores infinitesimales. Az ¿Cómo es la expresión para la superficie que encierra este cubo?

Ay

Ax

Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial) 3

Vp

− y  z i

P''

Vp'

∆z

− x i 2

P'

p

Supongamos que conocemos el valor de la función en el punto p y los valores de sus derivadas parciales. Se puede encontrar el valor aproximado del vector en los puntos p' y p'' y por tanto el flujo en las caras Ax y su opuesta -Ax. v v v

 y  z i

x  i 2

Vp''

1 Ax

-Ax

∆y

2



 

 

vx x 2 x v xp  vy  x v ' '= ∇ v d r ' ' v = p  p v yp − 2 x v zp vz x 2 x



x

x

x vy ∇v = x  vz x

y vy y vz y

z v y z vz z

  

x − x d r '= 2 d r ' ' = 2 0 0 0 0

∆x

 vx x v xp  vy vp '= ∇ v d r 'vp = v yp  x v zp vz x

  x

x 2 x 2 x 2

   

 x z − x  z d s' x = d s ' ' x = 0 0 0 0

Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial)

   

v xp  ' x = ∇ v d  r ' vp  d s' x = v yp v zp

vx x x 2  vy  x  x 2  vz  x x 2

v xp  ' ' x = ∇ v d r ' ' vp  d s ' ' x = v yp v zp

 vx  x x 2  vy x − x 2 vz  x x 2



 

 

 y z vx  x =v xp  y  z  yz 0 x 2 0



− y  z  vx  x =−v  y  z  y z 0 xp x 2 0

Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial)

vx  x  ' x =v xp  y  z  yz x 2 v  x  ' ' x =−v xp  y  z x  yz x 2 3

Sumando los flujos de las dos caras, el flujo en ellas es:

Vp

− y  z i

P''

Vp'

∆z

− x  i 2

P'

p

x  i 2

Vp''

1 Ax

-Ax ∆x 2

 y  z i

∆y

 vx  ' ' x  ' ' x =  x  y z x

Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial)

 

vx x  vy ∇ v= x vz x

Flujo en las caras paralelas al plano z=0 3

 x  y k

Vp'

P' A3

 z  Vp k 2 ∆z

vx z  vy z  vz z

  

0 0 0 0 d r ' = d r ' ' = z − z 2 2

p

− z  k 2

1 ∆y

P'' ∆x 2

vx y  vy y vz y

− x  y k V p''

 

 

 vx  z vx  z z 2 z 2 v xp  vy  z  vy  z  vp ' ' = ∇ v d r ' ' vp = v yp − z 2 z 2 v zp vz  z  vz  z z 2 z 2



v xp vp ' = ∇ v d r ' vp = v yp v zp

   

0 0 d s' z= d s ' ' z = 0 0  x y − x  y



Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial) Flujo en las caras paralelas al plano z=0

   

vx  z z 2 v xp  vy z  ' z = ∇ v d r 'vp  d s' z= v yp  z 2 v zp vz  z z 2



v xp  ' ' z = ∇ v d r ' 'vp  d s ' ' z = v yp v zp

 vx  z z 2 vy  z − z 2  vz  z z 2

 

 

0  vz  z =v zp  x  y x  y 0 z 2  x y



0 vz  z =−v  x  y  x y 0 zp z 2 − x  y

Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial) Flujo en las caras paralelas al plano z=0 3

 x  y k

Vp'

P' A3

 vz  z  ' z =v zp  x  y  x y z 2

 z  Vp k 2 ∆z

 vz  z  ' ' z =−v zp  x  y  x y z 2

p

− z  k 2 P'' ∆x 2

− x  y k V p''

1 ∆y

vz  ' ' z ' ' z=  x  y z z

Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial)

 

vx x  vy ∇ v= x vz x

Flujo en las caras paralelas al plano y=0 3

− x  z j Vp''

Vp ∆z

− y p j 2  x  z j

A''z

1

   

0 0 d s' z=  x  z d s ' ' z = − x  z 0 0

∆y

A'z ∆x 2

  

y j 2

Vp'

vx z  vy z vz z

0 0 d r ' =  y d r ' '= − z 2 2 0 0

P''

P'

vx y  vy y vz y



v xp vp '= ∇ v d r ' vp = v yp v zp

 

 

 vx  y vx  y y 2 y 2 v xp  vy  y vy  y  vp ' ' = ∇ v d r ' ' vp = v yp − y 2 y 2 v zp vz  y  vz  y y 2 y 2



Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial) Flujo en las caras paralelas al plano y=0

   

 vx  y y 2 v xp  vy  y  ' y = ∇ v d  r '  vp  d s' y = v yp  y 2 v zp vz  y y 2



v xp  ' ' y = ∇ v d  r ' '  vp  d s  ' ' y = v yp v zp

 vx  y y 2 vy  y − y 2  vz  y y 2

 

 

0  vz  y x  z  x  z =v zp  x  z y 2 0



0 vz  y  x z − x  z =−v zp  x  z y 2 0

Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial) Flujo en las caras paralelas al plano y=0 3

− x  z j Vp''

Vp ∆z

− y p j 2 P'

 x  z j

Vp'

A'z ∆x 2

vz  y  ' y =v zp  x  z  x z y 2

P''

y j 2

 ' ' y =−v zp  x  z A''z ∆y

1

vy  ' ' y  ' ' y =  x y z y

 vz  y  x z y 2

 vx  ' ' x  ' ' x =  x  y z x vz  ' ' z ' ' z=  x  y z z vy  ' ' y  ' ' y =  x y z y

3

Az -Ay

Ay 1 -Ax

-Az

Ax

2





 vx  v y  vz = ' ' x  ' ' x ' ' y  ' ' y  ' ' z ' ' z =    x y  z x  y z





 vx  v y  vz = ' ' x  ' ' x ' ' y  ' ' y  ' ' z ' ' z =    x y  z x  y z 3 Az -Ay Ay -Ay x A

-Az

2

v d s ∫ div v = lim = lim  u 0 s  0



u

 u 0 s 0



Ax

1

  = lim  u  u 0  x  y  z s 0

vx v y vz   x  y z  vx  v y  vz x  y z div v = lim =   xyz x  y z  u 0 s  0

vx v y vz div v =   x  y z

teorema de la divergencia o teorema de Gauss o teorema de GaussOstrogradsky

vx v y vz div v =   x  y z Multiplicando por el delta de volumen

v d s v d s ∫ ∫ div v = lim ⇒ div v  u= lim u⇒  u0 s  0

u

u  0 s  0

u

div v  u= lim ∫ v d s =d  ⇒ s  0

v d s =∫ v d s ∫ div v d u=∫ slim ∫ 0 ∫ div v d u=∫ v n d s ∰ div v d u=∯ v n d s=

Donde:

n ⊥ ds