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• Jose Luis Estupiñan

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f (x)

TEOREMA: Si

es una función par, entonces

∫ f ( x ) dx

es una función

impar.

f ( x) Par cumple que:

F(x)

f (−x )=f ( x) F (−x ) =−F ( x )

Impar cumple que:

Utilizando el teorema fundamental del cálculo desde la derivada, se evalúa

f ( x)

en los intervalos de [-x, 0] y [0, x] en una igualdad.

0

x

−x

x

d d f ( t ) dt= ∫ f ( t ) dt ∫ d x −x dx 0 −d d f ( t ) dt= ∫ f ( t ) dt ∫ dx 0 dx 0

[

]

u

x

du −d du d u=−x =−1 f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt ∫ dx du 0 dx dx 0

[

]

u

x

−d d − f (t ) dt = ∫ f ( t ) dt ∫ du 0 dx 0 −[−f ( u ) ] =f ( x ) f ( u ) =f ( x ) f (−x )=f ( x ) f ( x)

Es una función par.

A hora, utilizando el teorema fundamental del cálculo desde la anti derivada, se evalúa

f (x)

en los intervalos de [-x, 0] y [0, x] en una igualdad.

0

x

∫ f ( t ) dt=∫ f ( t ) dt 0

−x

x

−x

−∫ f ( t ) dt=∫ f ( t ) dt 0

0

−[ F (−x )−F (0) ] =F ( x )−F (0) −F (−x ) + F( 0)=F ( x )−F (0)

F ( 0 ) =0

Entonces si

−F (−x )=F ( x )

F (−x ) =−F ( x )

∫ f ( x ) dx

Es una función impar.

f (x)

TEOREMA: Si

es una función Impar, entonces

∫ f ( x ) dx

es una

función Par.

f ( x)

Impar cumple que:

F(x)

Par cumple que:

f (−x )=−f ( x ) F (−x ) =F ( x )

Utilizando el teorema fundamental del cálculo desde la derivada, se evalúa

f ( x)

en los intervalos de [-x, 0] y [0, x] en una igualdad.

0

x

−x

x

d −d f ( t ) dt= ∫ ∫ f ( t ) dt d x −x dx 0 −d −d f ( t ) dt= ∫ ∫ f ( t ) dt dx 0 dx 0

[

u

]

x

du −d d u −d u=−x =−1 f (t )d t = ∫ ∫ f (t ) d t dx du 0 d x dx 0

[

]

u

x

−d −d − f (t ) d t = ∫ ∫ f (t) d t du 0 dx 0 −[− f ( u ) ]=−f ( x ) f ( u ) =−f ( x ) f (−x )=−f ( x ) f ( x)

Es una función Impar.

A hora, utilizando el teorema fundamental del cálculo desde la anti derivada, se evalúa

f (x)

0

en los intervalos de [-x, 0] y [0, x] en una igualdad.

x

∫ f ( t ) dt=−∫ f ( t ) dt 0

−x

x

−x

−∫ f ( t ) dt=−∫ f (t ) dt 0

0

−[ F (−x )−F ( 0 ) ]=−[ F ( x )−F( 0) ] −F (−x ) + F ( 0 ) =−F ( x ) + F (0) −F (−x )=−F ( x ) F (−x ) =F ( x )

∫ f ( x ) dx

Es una función Par.

El anterior teorema comprueba la validez de los teoremas del cálculo para integrales definidas en un intervalo [-a, a] en funciones pares e impares. Si

f ( x)

es una función par, entonces:

a

a

∫ f ( x ) d x=2∫ f ( x ) d x 0

−a

Demostración apoyada en el teorema anterior: a

0

a

∫ f ( x ) d x=∫ f ( x ) d x+∫ f ( x ) d x −a

0

−a

a

a

−a

∫ f ( x ) d x=−∫ f ( x ) d x +∫ f ( x ) d x 0

−a

0

*Del teorema anterior se tiene la siguiente igualdad: x

−x

−∫ f ( t ) dt=∫ f ( t ) dt 0

0

*Reemplazando términos tenemos: a

−a

−∫ f ( x ) dx =∫ f ( x ) dx 0

0

A hora reemplazando en la demostración tenemos: a

a

a

∫ f ( x ) dx=∫ f ( x ) dx+∫ f ( x ) dx −a

a

0

0

a

∫ f ( x ) dx=2∫ f ( x ) dx −a

0

El anterior teorema comprueba la validez de los teoremas del cálculo para integrales definidas en un intervalo [-a, a] en funciones pares e impares.

f ( x)

Si

es una función impar, entonces:

a

∫ f ( x ) d x=0 −a

Demostración apoyada en el teorema anterior: a

0

a

∫ f ( x ) d x=∫ f ( x ) d x+∫ f ( x ) d x −a

0

−a

a

a

−a

∫ f ( x ) d x=−∫ f ( x ) d x +∫ f ( x ) d x 0

−a

0

*Del teorema anterior se tiene la siguiente igualdad: x

−x

−∫ f ( t ) d t=−∫ f ( t ) d t 0

0

*Reemplazando términos tenemos: a

−a

−∫ f ( x ) d x=−∫ f ( x ) d x 0

0

A hora reemplazando en la demostración tenemos: a

a

a

∫ f ( x ) d x=∫ f ( x ) d x −∫ f ( x ) d x −a

0

a

∫ f ( x ) d x=0 −a

0