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• Antonio Mendoza

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ESCUELA  SUPERIOR  POLITÉCNICA  DEL  LITORAL   FACULTAD  DE  CIENCIAS  NATURALES  Y  MATEMÁTICAS   DEPARTAMENTO  DE  MATEMÁTICAS   CURSO  DE  NIVELACIÓN  2015  –  1S   CAPÍTULO:    FUNCIONES  DE  UNA  VARIABLE  REAL   D  E  B  E  R          4    

 

  3.1  Funciones  de  una  variable  real     1) Defina:   a) Función  de  una  variable  real.   b) Dominio  de  una  función  de  variable  real.   c) Rango  de  una  función  de  variable  real.     2) En   base   a   los   siguientes   enunciados   identifique   la   variable   independiente   y   la   variable   dependiente.   a) El  costo  de  transporte  de  arroz  y  la  cantidad  de  kilogramos  de  arroz.   b) La  tarifa  de  agua  y  los  metros  cúbicos  de  agua  usados.   c) Distancia  recorrida  y  el  tiempo  usado  para  el  recorrido.     3) El   máximo   dominio   posible   de   la   función   de   variable   real   con   regla   de   correspondencia  

4 − x2 ,  es  igual  a:   2−x [−2,2)   (−∞,−2] ∪ (2,+∞)   (−2,2)   {−2,−1,0,1}   (−∞,−2) ∪ (2,+∞)  

f ( x) = a) b) c)

€

€ € € €4) €

d) e)

Respuesta:  a)     Determine  el  domino  de  las  siguientes  funciones  de  variable  real:   a) 𝑓 𝑥 = 4𝑥 − 1           ! b) 𝑔 𝑥 = −4𝑥 − 5𝑥           c) ℎ 𝑥 = −7             d)

5)

𝑖 𝑥 =

!!!

!! ! !!

   

 

 

 

  Determine  el  dominio  de  las  siguientes  funciones  de  variable  real:   a)

𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥 !  

b)

𝑔 𝑥 =

c)

ℎ 𝑥 =

d)

𝑖 𝑥 =

e)

𝑗 𝑥 =  

!!!! !!!

− 2  

!!! ! !! !!! !! !!!

 

!!!!! !!!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3𝑥 + 2 − 2 − 5 − 𝑥  

 

 

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6)

Si  una  función  de  variable  real  tiene  como  dominio   x x ≥ 7  y  dicha  función  contiene  al  

{

}

( )

)

punto   7,5 ,    entonces  el  rango  de  la  función   f  es   "#5, + ∞ .   a)  Verdadero  

7)

 

b)  Falso  

Respuesta:  b)     ! ¿La  función  𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 5𝑥 + 7  puede  tener  un  valor  negativo  en  su  rango?  Justifique   su  respuesta.   a)  Verdadero     b)  Falso   Respuesta:  b)  

8)

Cree,  de  ser  posible,  una  función  en  donde  su  dominio  sea  todos  los  números  reales  y  su   rango  un  subconjunto  de  los  números  reales  positivos     9) Cree,   de   ser   posible,   una   función   en   donde   su   dominio   sea   un   subconjunto   de   los   números  reales  negativos  y  su  rango  un  subconjunto  de  los  números  reales  positivos.     10) Determine  algebraicamente  el  rango  de  las  siguientes  funciones:   a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 4               ! b) 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 8               c) ℎ 𝑥 = 5                 !!!!

d)

𝑓 𝑥 =

e) f)

𝑔 𝑥 = − 𝑥 + 2 + 5     ℎ 𝑥 = −2𝑥 ! − 4𝑥 − 3      

!!!!

     

11) Si  𝑅𝑒 = ℝ  y  𝑝 𝑥 : a)     −2,2    

 

! ! !! !! !

 

 

 

   

   

   

   

   es  un  número  real,  entonces  Ap(x)  es  igual  a:  

b)   −2,2  

c)  [2, +∞)  

d)   0,1  

e)   1,2   Respuesta:  b)    

12) Si   f   es   una   función   de   variable   real   cuya   regla   de   correspondencia   es   𝑓 𝑥 = Entonces  su  dominio  es  el  intervalo:   ! ! !

a)   − ,

! !

 

b)   −3,3 !  

! ! !

c)   − ,

! !

 

d)   −2,2 !  

! !

e)   − ,

  13) El  mayor  dominio  de  la  función  de  variable  real    f    definida  por:     1 1 1 𝑓 𝑥 = + +   𝑥+2 𝑥 ! + 5𝑥 + 6 𝑥−1 𝑥−2 es  igual  a:   a) (−2,3]   b) (−2,1) ∪ [2, +∞)   c) 1, +∞   d) (−2,1) ∪ (2, +∞)   e) (1,2)  

! !

! ! !! ! ! !!

.  

  Respuesta:  a)  

Respuesta:  d)  

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14) Si  𝑅𝑒 = ℝ  y  𝑝 𝑥 : a) 2,3   b) −∞, 3   c) 3, +∞   d) (2,3]!   e) (-­‐∞, 2]  

!!! !!!

 es  un  número  real,  entonces  Ap(x)  es  igual  a:  

Respuesta:  e)     3.2  Representación  gráfica  de  funciones       15) Defina:  Gráfica  de  una  función  de  variable  real.     16) Enuncie  el  teorema  de  la  recta  vertical.     17) Una  función  puede  tener  dos  intersecciones  con  el  eje  Y.   a)  Verdadero     b)  Falso   Respuesta:  b)     18) Una  función  puede  tener  dos  o  más  intersecciones  con  el  eje  X.   a)  Verdadero     b)  Falso   Respuesta:  a)     19) Una  función  debe  tener  intersecciones  con  el  eje  X.   a)  Verdadero     b)  Falso   Respuesta:  b)     20) ¿La   relación   existente   entre   la   edad   de   una   persona   y   su   estatura,   es   una   función?   Bosqueje  la  gráfica  de  esta  relación.     21) ¿La  relación  existente  entre  la  edad  de  una  persona  y  su  peso,  es  una  función?  Bosqueje   la  gráfica  de  esta  relación.     22) Utilices   las   6   últimas   facturas   del   consumo   de   energía   eléctrica   de   su   casa.   Elabore   una   gráfica  para  este  comportamiento  y  deduzca  una  relación  entre  las  variables  presentes.     23) Se  tiene  la  gráfica  de  la  función  f,  determine:   a) El  dominio  de    f   b) El  rango  de    f   c) Intersecciones  con  el  eje  X  y  el  eje  Y     d) El  valor  numérico  de  

!(!!)!!(!!) ! ! !!(!)

 

                Página  3  de  43  

24) Solamente   una   de   las   siguientes   gráficas   corresponde   a   la   de   una   función   de   ℝ   en   ℝ,   identifíquela.   a)                     b)                     c)                   d)                     e)                   Respuesta:  b)     4 y

3

2

1

x

0

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

-1

-2

-3

-4

4 y

3

2

1

x

0

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

-1

-2

-3

-4

4 y

3

2

1

x

0

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

-1

-2

-3

-4

4 y

3

2

1

x

0

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

-1

-2

-3

-4

4 y

3

2

1

x

0

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-1

-2

-3

-4

Página  4  de  43  

25) Determine  si  las  siguientes  gráficas  representan  una  función:     a)                       b)                       c)                     Respuesta:  a)  No,  b)  No,  c)  Sí     26) Una  de  las  gráficas  adjuntas  NO  representa  una  función  de  variable  real.  Identifíquela.     a)                         Página  5  de  43  

  b)                         c)                           d)                         e)                           Respuesta:  c)   Página  6  de  43  

27) Se  tiene  la  gráfica  de  la  función  g,  determine:   a) El  dominio  de  g   b) El  rango  de  g   c) Intersecciones  con  el  eje  X  y  el  eje  Y   d) El  valor  numérico  de    𝑔 −5 − 𝑔 2 + 𝑔(4)                     28) Se  tiene  la  gráfica  de  la  función  h,  determine:   a) El  dominio  de  h   b) El  rango  de  h   c) Intersecciones  con  el  eje  X  y  el  eje  Y   d) El  valor  numérico  de    ℎ −5 − ℎ −1 + ℎ(1)                       29) Se  tiene  la  gráfica  de  la  función   f ,  determine:  

 

a)

El  dominio  de   f  

b)

El  rango  de   f  

c) d)

Intersecciones  con  el  eje  X  y  el  eje  Y   El  valor  numérico  de    𝑓 −3 − 𝑓 −1 + 𝑓(2)  

 

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3.3  Tipos  de  funciones       30) Defina:   a) Función  inyectiva.   b) Función  sobreyectiva.   c) Función  creciente.   d) Función  estrictamente  creciente.   e) Función  decreciente.   f) Función  estrictamente  decreciente.   g) Función  monótona.   h) Función  par.   i) Función  impar.   j) Función  periódica.   k) Período  fundamental  de  una  función  periódica.   l) Función  acotada.     31) Enuncie  el  teorema  de  la  recta  horizontal.     32) Sea  una  función   f : ! " ! ,  identifique  la  proposición  VERDADERA.   a) Si   f  es  impar,  entonces   f  no  es  acotada.   b) Si   f  es  par,  entonces   f  no  es  inyectiva.   c) Si   f  es  biyectiva,  entonces   f  no  es  sobreyectiva.   d) Si   f  es  inyectiva,  entonces   f  es  sobreyectiva.   e) Si   f  es  periódica,  entonces   f  es  acotada.   Respuesta:  b)     33) Si   f  es  una  función  de  variable  real,  cuyo  gráfica  es:  

Entonces  es  VERDAD  que:   a) f  es  inyectiva   b) c) d) e)

f  es  impar   f  no  es  sobreyectiva   f  es  creciente  en  el  intervalo  (–1,4)   ∀𝑥 ∈ −∞, −1 𝑓(𝑥) > 0   Respuesta:  e)   Página  8  de  43  

34) Si  la  gráfica  adjunta  corresponde  a  la  de  una  función  de  variable  real  de  ℝ  en  ℝ:                           Determine  el  valor  de  verdad  de  cada  proposición:   a) La  función  no  es  par,  ni  impar.   b) La  función  es  creciente  en  el  intervalo  (-­‐2,4)   c) No  es  cierto  que,  la  función    es  inyectiva  o  sobreyectiva.   d) La  función  es  monótona  en  todo  su  dominio.   e) La  función  no  es  acotada.   Respuesta:  a)  1,  b)  0,  c)  1,  d)  0,  e)  0     35) Una  de  las  siguientes  gráficas  de  funciones  de  ℝ  en  ℝ    tiene  asociada  una  proposición   FALSA,  identifíquela:   a) ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ     𝑥 > 𝑦 → 𝑓 𝑥 ≥ 𝑓 𝑦                           b) ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ     𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑓 𝑥 ≠ 𝑓 𝑦    

   

 

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c)

∀𝑥 ∈ ℝ     𝑓 𝑥 ≤ 3  

d)

  ∀𝑥 ∈ ℝ     𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 2  

e)

  ∀𝑥 ∈ ℝ     𝑓 −𝑥 = 𝑓 𝑥                                  

 

 

Respuesta:  e)     36) Si   f  es  una  función  de  ℝ  en  ℝ    cuya  gráfica  es:                         Página  10  de  43  

Entonces  es  VERDAD  que:   a) f  es  una  función  monótona  creciente.   b) f  es  sobreyectiva.   c) f  es  una  función  impar.   d) f  es  una  función  inyectiva.   e) f (–2)  +   f (0)  +   f (2)  =  7     Respuesta:  b)     37) Si   f  una  función  de  ℝ  en  ℝ  cuyo  gráfica  es:    

Entonces  es  FALSO  que:   a) f  es  estrictamente  decreciente  en  el  intervalo   −∞, −2  

 

b) f  es  creciente  en  el  intervalo   4, +∞   c) ∀𝑥 ∈   0,3 2 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 6   d) f  es  creciente  en  el  intervalo   3, +∞   e) f  es  creciente  en  el  intervalo  [3, +∞)   Respuesta:  e)     38) Utilizando  las  definiciones,  analice  si  las  funciones  dadas  son  pares  o  impares:   a) 𝑓 𝑥 = 5𝑥 + 𝑥 !   b) 𝑔 𝑥 = 𝑥 ! − 𝑥   c) ℎ 𝑥 = 2 − 𝑥 − 𝑥 + 2   d) 𝑗 𝑥 = 3𝑥 ! − 4𝑥 !   e) 𝑚 𝑥 = 5   Respuesta:  Pares:  b),  e).  Impares:  a),  c)     39) Considere  la  gráfica  adjunta  de  una  función  de  variable  real  𝑓 :                     Página  11  de  43  

Justificando  su  respuesta,  determine  el  valor  de  verdad  de  cada  proposición:   a)

! !! !! ! !!(!)

= −6  

!(!)

b) c) d) e)

𝑓  es  impar.   ∀𝑥 ∈ 0,2 , 𝑓  es  creciente.   ∀𝑥 ∈ 2,6 , 𝑓  es  decreciente.   ∀𝑥! , 𝑥! ∈ −6,2     𝑥! < 𝑥! → 𝑓(𝑥! < 𝑓(𝑥! ))   Respuesta:  a)  0,  b)  0,  c)  0,  d)  1,  e)  0     40) Sea  f  una  función  de  ℝ  en  ℝ  .  Si  se  definen  las  funciones  g  y  h,  tales  que:   𝑓 𝑥 + 𝑓(−𝑥) 𝑓 𝑥 − 𝑓(−𝑥) 𝑔 𝑥 =  𝑦  ℎ 𝑥 =   2 2 Es  FALSO  que:   a) ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑔 𝑥 = ℎ(−𝑥)   b) ℎ  es  impar   c) 𝑓 𝑎 = 𝑔 −𝑎 − ℎ(−𝑎)   d) 𝑔  es  par   e) –  𝑔  es  par   Respuesta:  a)     41) Dada  la  gráfica  de  la  función   f : X ! Y :                         Determine:   a) El  conjunto   X  para  que   f  sea  una  función.   b) El  conjunto   Y  para  que   f  sea  una  función  sobreyectiva.   c) Los  intervalos  de  monotonía  de   f .     42) Si   f es  una  función  de  ℝ  en  ℝ  impar  estrictamente  creciente  y   g  es  una  función  tal  que   y

2

1

x

0

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-1

-2

-3

-4

𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥),  entonces  el  valor  de:   a) 5/3  

 

b)  –5/2      

!! ! !!!(!)

 !!!

c)  –5/3      

!! !!(!!)

d)  1  

 

   

e)  –1    

Respuesta:  a)  

  43) Considerando   las   operaciones   con   funciones   de   variable   real,   identifique   la   proposición   FALSA:   a) La  SUMA  de  dos  funciones  PARES  es  PAR.   b) La  DIFERENCIA  de  dos  funciones  IMPARES  es  PAR.   c) El  COCIENTE  entre  una  función  PAR  y  una  función  IMPAR  es  IMPAR.   d) La  SUMA  de  dos  funciones  CRECIENTES  también  es  CRECIENTE.   e) El  PRODUCTO  de  dos  funciones  IMPARES  es  PAR.   Respuesta:  b)   Página  12  de  43  

  44) Considere  la  siguiente  gráfica  de  una  función  de  variable  real:                           Justificando  su  respuesta,  determine  el  valor  de  verdad  de  cada  proposición:   a) f es  par.     b) f no  es  inyectiva.     c) f es  periódica.     d) f es  acotada  inferiormente.     e) f es  estrictamente  creciente  en   2,+∞ .     Respuesta:  a)  0,  b)  1,  c)  0,  d)  1,  e)  1     3.4  Asíntotas  de  la  gráfica  de  función  de  variable  real     45) Defina:   a) Asíntota  horizontal.   b) Asíntota  vertical.     4 y

3

2

1

x

0

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-1

-2

-3

-4

(

46) Si   f (x) =

)

# 1& 3x −1 ; x ∈ ! − $− ' ,  especifique  dominio  y  rango  de   f −1  y  grafíquela.   2x +1 % 2(

  47) Para   cada   una   de   las   siguientes   funciones,   determine   las   asíntotas   horizontales   y   verticales   de   sus   gráficas   si   hubieren;   además,   determine   las   intersecciones   con   los   ejes   coordenados.   ! a) 𝑓 𝑥 =   ! b)

𝑔 𝑥 =

c)

ℎ 𝑥 =

d)

𝑗 𝑥 =

 

!!! !

! ! !! !! ! ! !! !! ! !!! !

 

 

 

48) Sea   f : X ! "    la  función  definida  por   f x =

()

x 2 −1   x 2 +5x + 6

Bosqueje  la  gráfica  de    𝑓    y  determine:   a) El  conjunto   X  que  tenga  la  mayor  cardinalidad  posible.   b) En  caso  de  existir,  las  asíntotas  horizontales  y  verticales.    

Página  13  de  43  

3x − 5 ,  identifique  la  proposición  FALSA:   x−2 a) Cuando   x  tiende  a   −∞ ,  el  valor  de   f x  es  cercano  a  3.  

()

49) Dada  la  función  de  variable  real   f x =

()

b) f  tiene  asíntota  vertical  en   x = 2  y  asíntota  horizontal  en   y = − 3   c) f  tiene  solo  una  asíntota  vertical.  

()

d) Cuando   x  se  acerca  a  2,  entonces   f x  tiende  a   +∞  o  tiende  a   −∞   e) f  tiene  asíntota  vertical  en   x = 2  y  asíntota  horizontal  en   y = 3   Respuesta:  b)  

()

50) Sea   f : ! " !  definida  por   f x =

kx −1 .   x2 + a

Si  el  punto  𝑃 (1,2) ∈ 𝑓,  calcule  el  valor  de  2𝑎 − 𝑘.     51) Dada  la  función  de  variable  real  𝑓 𝑥 = a) b) c) d) e)

!!! ! ! !!!! ! ! !!!! ! ! !!

,  identifique  la  proposición  FALSA:  

La  función  tiene  una  asíntota  vertical  y  dos  asíntotas  horizontales.   La  función  tiene  una  asíntota  horizontal  y  dos  asíntotas  verticales.   Cuando  𝑥 → ∞,  el  valor  de  f(x)  es  muy  cercano  a  cero.   La  función  tiene  una  asíntota  vertical  en  x=−2   Cuando   el   valor   de   x   está   muy   cercano   a   3,   el   rango   de   la   función   es   un   valor   que   tiende  a  infinito.   Respuesta:  a)  

  52) Sea   𝑓 𝑥 =

!! ! ! ! !!!!

  una   función   de   variable   real.   Considerando   las   restricciones   del  

dominio,  entonces  es  VERDAD  que  la  gráfica  de  𝑓  tiene:   a) 2  asíntotas  horizontales  y  una  vertical.   b) 2  asíntotas  horizontales  y  2  verticales   c) 2asíntotas  verticales  y  una  horizontal   d) 0  asíntotas  horizontales   e) 0  asíntotas  verticales   Respuesta:  c)     53) Determine,  de  ser  posible,  las  asíntotas  verticales  y  horizontales  de  la  función  de  variable  

()

real  cuya  regla  de  correspondencia  es   f x = Bosqueje  la  gráfica  de   f .  

x−2   9x 2 − 4

 

x 3 − 64 f x = f : X ! " 54) Considere  la  función    definida  así   ( ) x 2 − 20x + 91 .    

¿Cuál  es  el  conjunto   X  que  tiene  la  mayor  cardinalidad  posible?   Determine  si:     a) 𝑓  es  par.   b) 𝑓  es  impar.   Página  14  de  43  

  55) Usando   la   gráfica   adjunta,   determine   de   manera   aproximada   una   regla   de   correspondencia  que  se  ajuste  a  una  función  racional.                           Respuesta:  𝑓 𝑥 =

!! ! !!"

    56) Usando   la   gráfica   adjunta,   determine   de   manera   aproximada   una   regla   de   correspondencia  que  se  ajuste  a  una  función  racional.                           !!!! Respuesta:  𝑓 (𝑥) =   !!!   57) Usando   la   gráfica   adjunta,   determine   de   manera   aproximada   una   regla   de   correspondencia  que  se  ajuste  a  una  función  racional.                               !!!" Respuesta:  𝑓 (𝑥) = !   ! ! !!"

! !!!!

Página  15  de  43  

3.5 Funciones  definidas  por  tramos                              𝑥 ! ;    𝑥 < 0 58) Si  𝑓 𝑥 =                          2;    𝑥 = 0    ;  determine:          2𝑥 + 1;      𝑥 > 0 a) f(–2)     b)      f(0)     c)     f(2)   Respuesta:  a)  4,  b)  2,  c)  5     59) Dadas  las  funciones    f    y  g    tales  que:  

# 2 #% 2x −1, x > 1 %% x + 4, x > 2 f x =$ g x = $ x + 4, − 2 ≤ x ≤ 2    entonces  es  FALSO  que:   %& 2x +1, x ≤ 1 % %& x − 4, x < −2

()

()

(

) (

)

a)

f 1− π / π + g π −1/ π > 0  

b) c) d) e)

Si  a  >  0,  entonces  f  (a)  >  0   Si  a  <  0,  entonces  f  (a)  +  g  (a)  <  5   Si   a ≥ 1 ,  entonces  f  (a  -­‐  1)  >  0   Si  a  <  1,  entonces  g  (a  –  2)  >  0   Respuesta:  e)    

60) Bosqueje  la  gráfica  de  las  siguientes  funciones:                     𝑥 ;  −2 < 𝑥 < 0 1;    𝑥 = 0 a) 𝑓 𝑥 =    𝑥 ! ;      𝑥 > 0                  3 + 𝑥;  −3 < 𝑥 < 0 3;    𝑥 = 0 b) 𝑓 𝑥 =     𝑥;      𝑥 > 0              1;  𝑥  𝑒𝑠    𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜  𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 c) 𝑓 𝑥 =                −1; 𝑥  𝑒𝑠  𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜  𝑛𝑜  𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜          4 − 𝑥 ! ;   𝑥 ≤ 2 d) 𝑓 𝑥 =          𝑥 ! − 4;     𝑥 > 2  

61) Dada  la  función  𝑓  de  ℝ  en  ℝ  tal  que  𝑓 𝑥 =       a) 𝑓 1 + 𝑓 −1   b) 𝑓 −3 + 𝑓 3 − 𝑓 2   c) 2𝑓 −2 + 5𝑓 0 − 3𝑓 2  

𝑥 ! − 1;  𝑥 ≥ 0    ,  determine  el  valor  de:    𝑥 + 3;    𝑥 < 0

Respuesta:  a)  2,  b)  5,  c)  –12  

 

             2;  𝑥 < 4            6; 𝑥 = 4  en  𝑥 = 4  ?  Justifique  su  respuesta.    𝑥 − 2;      𝑥 > 4 Respuesta:  Es  discontinua  en  𝑥 = 4.     𝑥 + 1; 𝑥 < 1 63) ¿Es   continua   la   función   la   función   𝑔 𝑥 =     en   𝑥 = 1   ?   Justifique   su   2; 𝑥 ≥ 1 respuesta   Respuesta:  Es  continua  en  𝑥 = 1.   62) ¿Es  continua  la  función  𝑓 𝑥 =

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64) Determine  si  cada  una  de  las  siguientes  funciones  dadas  es  par.  Justifique  su  respuesta:     𝑥 ! + 4;  𝑥 ≠ 2 a) 𝑓 𝑥 =                        6;    𝑥 = 2   𝑥 ! + 4;  𝑥 < 2 b) 𝑓 𝑥 = −𝑥 ! + 4;  𝑥 > 2                        5;    𝑥 = 2 Respuesta:  a)  No  es  par,  b)  No  es  par.     65) Explique  con  sus  propias  palabras  el  concepto  de  continuidad  de  funciones.    

66) Si  una  función  es  continua,  tiene  intersecciones  con  el  eje  X.   a)  Verdadero     b)  Falso   Respuesta:  b)     67) Si  una  función  tiene  intersecciones  con  el  eje  X,  es  continua.   a)  Verdadero     b)  Falso   Respuesta:  b)     68) Las  funciones  definidas  por  tramos  no  son  sobreyectivas.   a)  Verdadero     b)  Falso   Respuesta:  b)     69) Las  funciones  definidas  por  tramos  no  son  inyectivas.   a)  Verdadero     b)  Falso   Respuesta:  b)     70) Dada  la  función  de  variable  real   f  tal  que:  

# 7, x < −4 %% f x = $ 3− x, −4 ≤ x ≤ 4   % −1, x>4 %&

()

Determine  el  valor  de  verdad  de  cada  proposición:   a) b) c) d) e)

rg f = "#−1,7$%   f  es  una  función  par.   f  es  una  función  creciente.   f  es  una  función  inyectiva.   f  es  una  función  sobreyectiva.   Respuesta:  a)  1,  b)  0,  c)  0,  d)  0,  e)  0  

 

()

#% 2 x + 2x, x ≤ 0

71) Si   f  es  una  función  de   !  en   !  definida  por:   f x = $

%&

−2x,

x>0

 

Identifique  la  proposición  FALSA:   a) f  no  es  inyectiva.  

b) f  es  sobreyectiva.   c) f  es  creciente  en  el  intervalo   −1,0  

(

)

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d) f  es  decreciente.   e) Los  puntos  de  intersección  de   f  con  el  eje   X  son   −2,0  y   0,0  

(

) ( )

Respuesta:  d)   3.6  Técnicas  de  graficación  de  funciones       72) Si   la   función   𝑓     es   creciente   en   todo   su   dominio   entonces   la   función −𝑓   será   también   creciente  en  todo  su  dominio.   a)  Verdadero     b)  Falso   Respuesta:  b)     73) Considere   la   gráfica   de   una   función   de   variable   real   f : ! " !   e   identifique   la   proposición  VERDADERA.   a) La  gráfica  de  función   f ( 2 − x ) consiste  en  un  desplazamiento  de  2  unidades  hacia  la     izquierda,  de  la  gráfica  de   f .   b) La   gráfica   de   función   f ( 2x ) + c consiste   en   un   desplazamiento   de   2   unidades   hacia     abajo,  de  la  gráfica  de   f .   c) La   gráfica   de   función   f (−x ) consiste   en   una   reflexión   respecto   al   eje   X ,   de   la   gráfica     de   f .  

( )  consiste  en  una  reflexión  de   f  respecto  al  eje   Y ,  cuando  

d) La  gráfica  de  función   f x

x > 0 ,  de  la  gráfica  de   f .   e) La  gráfica  de  función   f ( kx ) consiste  en  un  alargamiento  vertical,  cuando   0 < k < 1 ,  de     la  gráfica  de   f .   Respuesta:  d)     74) Considere  la  siguiente  gráfica  para  una  función  g:           entonces  la  gráfica  de   f (x ) = 1 − 2 g (1 − x ) es:                  (a)                            (b)    

           

 

 

 

                 (c)  

         (d)  

    Respuesta:  d)   Página  18  de  43  

  75) Utilice   la   gráfica   de   la   función   𝑓   que   se   muestra   a   continuación   para   graficar   las   nuevas   funciones:   a) 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 3   b) 𝑔 𝑥 = 𝑓 −𝑥     c) 𝑔 𝑥 = −𝑓 𝑥   d) 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 2   ! e) 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥   !    

76) Sean  las  gráficas  de  f    y  g,  respectivamente,  mostradas  a  continuación.  Entonces  la  gráfica   de  g  está  representada  por:  

y

() () g ( x ) = 4 − f ( x )   g ( x ) = 2 − f ( x − 2)   g ( x ) = − f ( x ) + 2   g ( x ) = f ( x + 2) − 2  

a) g x = f x   b) c) d) e)

y

g

f

x

x

Respuesta:  d)     77) Basándose  en  la  gráfica  de  la  función    f    proporcionada  a  continuación,  bosqueje  la  gráfica   de:       a) 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥     b) ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑥                     78) Dada  la  gráfica  de  la  función  de  variable  real   f :                         4 y

3

2

1

x

0

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-1

-2

-3

-4

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Bosqueje  las  gráficas  de  las  nuevas  funciones:  

() ( ) h ( x ) = f ( x )  

a) g x = 2 f −x  

b)  

79) Basándose   en   la   función   𝑓 𝑥 = 𝑥 ! .   Escriba   la   nueva   regla   de   correspondencia   de   la   función  𝑔,  de  acuerdo  a  cada  una  de  las  especificaciones:   a) Desplazada  a  la  derecha  4  unidades.   b) Reflejada  con  respecto  al  eje  Y.   c) Reflejada  respecto  del  eje  X.   d) Alargada  en  forma  vertical  por  un  factor  de  4.   e) Alargada  en  forma  horizontal  por  un  factor  de  4.   Respuesta:  a)  𝑔 𝑥 = (𝑥 − 4)! ,  b)  𝑔 𝑥 = −𝑥 ! ,  c)  𝑔 𝑥 = 𝑥 ! ,  d)  𝑓 𝑥 = 4𝑥 ! ,     e)  𝑔 𝑥 = 𝑥 ! /64     80) Si  a  una  función  se  le  aplica  el  valor  absoluto  a  su  rango,  será  solamente  positiva.   a)  Verdadero     b)  Falso   Respuesta:  b)     81) Relacione  las  gráficas  que  se  muestran  a  continuación  con  las  reglas  de  correspondencia   de  funciones  dadas.                                                                 Página  20  de  43  

𝑦 =  𝑥 ! + 2     𝑦 =   −𝑥 ! + 2     𝑦 = 𝑥 + 2     = − 𝑥 + 2   𝑦 = 𝑥 − 2 !   𝑦 = − 𝑥 − 2 !   𝑦 = 𝑥 − 2   𝑦 = − 𝑥 + 2   𝑦 = 2𝑥 !   𝑦 = −2𝑥 !   𝑦 = 2 𝑥   𝑦 = −2 𝑥   Respuesta:  a)  6,  b)  1,  c)  8,  d)  4,  e)  2,  f)  9,  g)  11,  h)  3,  i)  5,  j)  10,  k)  12,  l)  7    

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

()

(

)

82) Dada  la  gráfica  de  la  función   g x = − f 1− 2x ,  bosqueje  la  gráfica  de   f .   4 y

3

2

1

x

0 -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-1

-2

-3

-4

 

3.7  Funciones    lineales     83) Defina:  Función  lineal.    

()

84) La  función  lineal   f x = −0.5x + 2  se  interseca  con  el  eje  X  en   0.5 .   a)  Verdadero  

 

b)  Falso   Respuesta:  b)  

  85) Sea   f   una   función   lineal,   donde   f ( 2 ) = k +1   y   f ( 5) = 1 ,   entonces   el   valor   de   su   pendiente,  en  términos  de   k ,  es  igual  a:   a)   k − 3  

           

b)   k                                  c)

k                                 2

d)  

k     3

e)   −

k   3

Respuesta:  e)  

 

()

(

86) Sea  la  función  de  variable  real  definida  por   f x = − 2x + 1 ,  tal  que   rg f = −7 , 5"# .     Entonces,  el  conjunto   dom f  es  igual  a:   a)     "#−4, 2   b)   −4, 2"#   c)   "#−2, 4$%  

)

(

(

d)   −2, 4"#  

)

e)   "#−2, 4   Respuesta:  e)   Página  21  de  43  

87) Dada  la  gráfica  de  la  función  lineal   f ( x ) = mx + b ,  la  cual  contiene  los  puntos   A (−2, 4)   y   C ( 5, −3) :  

y

                        el  valor  de   m + b ,  es  igual  a:   a) –1     b)  0    

A

x

C

c)  1  

 

d)  2  

 

e)  3   Respuesta:  c)  

  88) Sea  la  función   f : ! " !   definida  así:     f ( x +1) = entonces  el  valor  de   f (101)  es  igual  a:   a)  50  

 

b)  51    

c)  52  

 

2 f ( x ) +1 ,  si  se  sabe  que   f (1) = 2 ,   2

d)  102    

e)  103    

Respuesta:  c)       89) La   relación   entre   grados   Celsius   (°𝐶)   y   grados   Fahrenheit   (°𝐹)     para   medir   la   temperatura   es  lineal.  Encuentre  la  ecuación  que  relacione    °𝐶  y  °  𝐹  si  0  °𝐶  corresponden  a  32  °  𝐹    y   100  °𝐶  corresponden  a  212  °  𝐹.  Utilice  la  ecuación  para  hallar  la  medida  en    °𝐶    de  70  °  𝐹.    

 

 

Respuesta:  a)  ℃ =  

! !

℉ − 32 ,  b)   ≈ 21.1  ℃  

  90) Cada  domingo  un  canillita  vende  𝑥  copias  de  cierto  periódico  a  $1.00  cada  una.  El  costo   de  distribuidor  es  de  $0.50  por  periódico  y  se  paga  un  costo  fijo  de  almacenaje  y  envío,  de   $100.00  cada  domingo.   a) Escriba  la  ecuación  que  relacione  la  ganancia  𝑝  con  el  número  de  copias  vendidas   b) ¿Cuál  es  la  ganancia  si  se  venden  1000  copias?             Respuesta:   a)  𝑝 = 0.50  𝑥 − 100,    b)  400     91) Sean   las   funciones   𝑓   y   𝑔   tales   que   𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3, 𝑥   ∈ ℝ    𝑦  𝑔 𝑥 = −3𝑥 + 4, 𝑥   ∈ ℝ.   Determine:   a) Las  intersecciones  de  cada  función  con  los  ejes  de  coordenadas.   b) Los  valores  de  𝑥 ∈ ℝ  tal  que  𝑓 𝑥 < 𝑔(𝑥).  

!3 $

(

)

#

7& 5'

Respuesta:  a)  Intersecciones  de  𝑓 :   P1 # ,0 & ,   P2 0,−3 .    

"2 %

!4 $

( )

Intersecciones  de  𝑔:   P1 # ,0 & ,   P2 0,4 .  b)   % −∞, (    

"3 %

$

Página  22  de  43  

92) Bosqueje   la   gráfica   de   una   función   de   variable   real   f   que   tenga   las   siguientes   caracteristicas:  

( )

()

()

( )

•

f −4 = 3 ,   f 5 = −5 ,   f 8 = 5 ,   f 10 = 5  

•

f  es  decreciente  en  el  intervalo   (− ∞,-4)  

•

f  no  es  inyectiva.  

•

f  es  constante  en  intervalo   (5,8)  

•

f  es  lineal  en  intervalo   (8, + ∞)  

  93) En  el  año  2010,  una  compañía  suministró  electricidad  en  los  meses  de  verano  a  clientes   residenciales   por   un   cargo   mensual   de   $9,06   más   $0,10819   por   cada   Kilowatt-­‐hora   de   consumo.     a) Escriba   una   ecuación   lineal   que   relacione   el   cargo   mensual   𝐶   con   el   número   𝑥   de   kilowatts-­‐hora  consumidos  en  el  mes.   b) ¿Cuál  es  el  cargo  por  consumir  300  kilowatts-­‐hora?   c) ¿Cuál  es  el  consumo,  expresado  en  kilowatts-­‐hora,  si  la  planilla  muestra  un  cargo  de   $500?  

()

Respuesta:  a)   C x = 9.06 + 0.10819x ,  b)  $41.517,  c)  4537.75  Kwh     94) Al  analizar  el  voltaje  de  un  circuito  V,  se  conoce  que:   • V  es  una  función  del  tiempo  t.   • El  voltaje  se  mantiene  constante  en  un  valor  de  10  voltios  desde  t  =  0  seg.  hasta  t  =  5   seg.   • Desde  t  =  5  seg.  hasta  t  =  10  seg.  el  voltaje  satisface  la  ecuación  V  =  2(10  -­‐  t)   • V  crece  linealmente  desde  t  =  10  seg.  hasta  t  =  20  seg.  hasta  que  V(20)  =  10  voltios   • V  es  periódica  con  período  fundamental  T  =  20  seg.     Grafique  la  evolución  del  voltaje  desde  t  =  0  seg.  hasta  t  =  1  minuto.     3.8  Funciones  cuadráticas     95) Defina:  Función  cuadrática.    

(

()

)

2

96) Sea   f : −∞,4 ! "   tal   que   f x = −x + 8x −13 ,   entonces   f   es   estrictamente   creciente.   a)  Verdadero  

 

b)  Falso   Respuesta:  a)  

  2

97) Sea   la   función   cuadrática   f : ! " !   tal   que   f ( x ) = 3x + 2x + k ,   el   intervalo   de   valores   de   k  para  los  que  la  gráfica  de   f NO  tiene  puntos  de  intersección  con  el  eje   X es:      

"1 #3

% &

a)     $ , +∞'  

# 1 $ 3

& '

# $

1& 3'

b)   % − , +∞(   c)   % −∞, (  

# $

1& 3'

# $

1& 3'

d)   % −∞, − (   e)   % −∞, (   Respuesta:  a)   Página  23  de  43  

# x +1, x>0 %% 98) Sea  la  funcion  de  variable  real   f  definida  por   f x = $ x 2 −1 ≤ x ≤ 0     % 2 x < −1 %& Bosqueje  la  gráfica  de   f .  

()

  99) Encuentre  el  vértice,  el  eje  de  simetría  y  las  intersecciones  con  el  eje   X  y  el  eje   Y,  si  las   hay;  para  las  siguientes  funciones:   a) 𝑓 𝑥 = 𝑥 ! + 2𝑥 − 8   b) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 ! − 𝑥 + 2   c) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 ! + 6𝑥 + 2   d) 𝑓 𝑥 = −2𝑥 ! + 2𝑥 − 3   e) 𝑓 𝑥 = −𝑥 ! − 3𝑥 + 4     100) La  gráfica  de  la  función  𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 ! + 𝑏𝑥 + 𝑐  tiene  vértice  en   x  =  0  y  contiene  los  puntos   (0,  2)  y  (1,  8).  Encuentre  los  valores  de  𝑎 ,  𝑏  y  𝑐 .   Respuesta:  𝑓 𝑥 = 6𝑥 ! + 2     101) Un  fabricante  de  cierto  artículo  ha  encontrado  que  cuando  el  precio  por  unidad  es  de   p   dólares,  el  ingreso  R  (en  dólares)  es:  𝑅 =   −4𝑝 ! + 4000𝑝.   a)  ¿Qué  precio  debe  establecerse  para  maximizar  el  ingreso?   b)  ¿Cuál  es  el  ingreso  máximo?   Respuesta:  a)  $500,  b)  $1,000,000.oo     102) Un   puente   colgante   con   peso   distribuido   uniformemente   a   lo   largo   de   su   longitud   tiene   dos   torres   gemelas   que   se   alzan   75   metros   sobre   una   carretera   y   están   separadas   400   metros.   Los   cables   de   forma   parabólica   están   suspendidos   de   la   parte   superior   de   cada   torre  y  tocan  la  carretera  en  el  centro  del  puente.  Encuentre  la  altura  de  los  cables  en  un   punto  a  100  metros  del  centro.  (Suponga  un  camino  plano.)   Respuesta:  75/4  m.     103) Considere  la  función  𝑓 𝑥 = 𝑥 ! + 2𝑥 + 𝑘,      𝑥 ∈ ℝ.  Determine  el  valor  de   𝑘  de  tal  manera   que  el  rango  de  𝑓  sea   −3, +∞ .   Respuesta:  𝑘 = −2     104) Determine   la   regla   de   correspondencia   de   la   función   cuadrática   𝑓   si   se   conoce   que   las   raíces  de  𝑓  son  los  puntos  𝑥 = 1  y  𝑥 = 3  y  𝑃 (2, 3) ∈ 𝑓.   Respuesta:  𝑓 𝑥 = −3𝑥 ! + 12𝑥 − 9     105) Determine   el   valor   de   𝑘   de   tal   manera   que   la   recta   con   ecuación   𝑦 = −2𝑥 − 1   sea   tangente  a  la  función  con  regla  de  correspondencia  𝑓 𝑥 = 𝑥 ! + 2𝑥 + 𝑘,      𝑥 ∈ ℝ.   Respuesta:  𝑘 = 3     106) Toda  función  cuadrática  de   ! " !  es  simétrica  respecto  al  eje  X.   a)  Verdadero     b)  Falso   Respuesta:  b)    

107) Las  funciones  cuadráticas  de   ! " ! no  son  inversibles.   a)  Verdadero     b)  Falso   Respuesta:  a)   Página  24  de  43  

  2

()

108) Sea   la   función   f : ! " !   definida   por   f x = x ,   bosqueje   las   gráficas   de   las   nuevas   funciones:  

()

(

()

"x% '   #2&

)

a) g x = f x +1 −1   b) h x = − f $

  109) Las  funciones  cuadráticas  de   ! " ! no  son  acotadas.   a)  Verdadero     b)  Falso   Respuesta:  a)     2

()

110) Dada  la  función   f : ! " !  definida  por   f x = x − 6x + 5 .   Identifique  la  proposición  FALSA.   a) La  función  no  es  par.   b)

rg f < 0 cuando   x ∈ "#1,5$%  

  c) La  función  es  monótona  en  el  intervalo   −∞,3#$  

(

d) La  función  no  es  inyectiva.   e) La  función  no  es  sobreyectiva.   Respuesta:  b)    

# x2 , %% 111) Sea   f : ! " !   definida   así   f x = $ 1, % 2 %& −x + 4,

()

x ≤ −1 −1< x ≤ 2 ,   entonces   es   VERDAD   x>2

que:   a) f  es  impar.   b) rg f = !   c)

( ) $%( x < x ) → ( f ( x ) < f ( x ))&'   ∈ (0,2) %&( x < x ) → ( f ( x ) ≤ f ( x ))'(  

∀x1 , x2 ∈ 2,3

d) ∀x1 , x2 e)

1

2

1

2

1

2

1

2

f  es  acotada.   Respuesta:  d)    

3.9  Operaciones  con  funciones  de  variable  real     112) Demuestre,  de  ser  posible,  si:   a) La  suma  de  dos  funciones  pares  es  otra  función  par.   b) La  multiplicación  de  funciones  impares  es  una  función  par.   c) La  multiplicación  de  una  función  par  y  una  función  impar  es  impar.   d) La  suma  de  funciones  crecientes  es  una  función  creciente.      

Página  25  de  43  

113) Sea  la  función   f ,  de  la  cual  se  conoce  que   f (10 ) = 1  y   f ( xy ) = f ( x ) + f ( y ) ,  entonces   el  valor  de   f (100 )  es  igual  a:   a)  0  

 

b)  1  

 

c)  2  

 

d)  3  

 

e)  4   Respuesta:  c)    

114) Halle  la  funcion  

f ! g  si   f  y   g  son  funciones  de   !  en   ! ,  tal  que:  

#% 2 "$ x +1 , x > 2 x −4 ,x ≥ 4 f x =#                                 g x = $   ,x ≤ 2 %& 2x + 2 , x < 4 %$ 2

()

()

 

()

a)  Verdadero  

( ( ( ) ) ) = 3  

()

x − 3  y   h ( x ) = x 2 −9 ,  entonces   f g h 4

 

b)  Falso  

115) Si   f x = x +1 ,   g x =

Respuesta:  a)    

116) Dadas  las  funciones  de  variable  real   f ,   g  y   h  definidas  por:  

# 3− x, x < −2 % f x = $ x 2 , − 2 ≤ x ≤ 1     %−2, x >1 &

()

# − x, % g x =$ %& − 2,

()

x ≤1 x >1

()

            h x = x +1 − 2  

De  ser  posible,  calcule:     a) b) c) d) e) f) g) h) i)

j)

( f + g ) (1)   (h − g ) (0)   ( g ⋅ h) (−1)   ( f / h) (−2)   (h / g ) (−1)   ( g + f ) (0)   ( g + h) (−1)   ( f ⋅ h) (−2)   ( g / h) (−1)   ( f / g ) (−1)   2

117) Dadas   las   reglas   de   correspondencia   de   dos   funciones   de   variable   real:   f ( x ) = x −1   y  

!1$ g ( x ) = 2x − a ,   para   que   se   cumpla   que   ( f ! g) # & = ( g ! f ) ( a +1) ,   la   suma   de   los   "2% valores  que  puede  tomar   a  es  igual  a:     a)  –5  

 

b)  –3    

c)  2  

 

d)  3  

 

e)  5   Respuesta:  a)  

Página  26  de  43  

x +1 ,   y   x−2 " 1% x−2 g : (−∞, −1) ∪ (−1, +∞) ! "   tal   que   g ( x ) = ,   el   valor   numérico   de   ( g ! f ) $ − '   es   # 2& x +1

118) Sean   las   funciones   racionales   f : (−∞, 2 ) ∪ ( 2, +∞) ! "   tal   que   f ( x ) =

igual  a:   a)   −3  

 

b)   −

11     4

c)  

4     7

d)   1  

 

e)  

11   4

Respuesta:  b)  

 

119) Dadas  las  funciones  f(x)  =  x  –  1,    g(x)  =  x  +  1.  Obtenga  las  reglas  de  correspondencia  de:   a) 3f  –  2g   b) f g     120) Sea   f  una  función  de  variable  real  definida  como:       f(𝑥)  =   m  𝑥  –   n  ,  si   f(1)  =  5  ,   f(3)  =  3  ,  el   valor  de  m  +  n  es  igual  a:   a) –7                       b)  5                      c)  –5                   d)  7   Respuesta:  a)     121) Dadas  las  funciones  de  variable  real:   𝑥 + 1      𝑠𝑖  𝑥 < −2 𝑓(𝑥) =  4      𝑠𝑖   − 2 ≤ 𝑥 ≤ 1                                           1 − 𝑥  𝑠𝑖    𝑥 > 1 2            𝑠𝑖    𝑥 ≤ 0 𝑔(𝑥) = 𝑥 !        𝑠𝑖  0 < 𝑥 ≤ 1                                           2𝑥 − 1    𝑠𝑖  𝑥 > 1                                                         a)  Grafique  la  función  h,  donde  h(x)  =  g(x)  –  f(x).   b)  Calcule  el  valor  de:          

 ! !! !!!(!) !(!)

   

  122) Determine  la  regla  de  correspondencia  de  la  función  de  variable  real   f  si  se  conoce  que   $ 4x , x ≤ −1 #% 4x && , x ≤ −1 2 f +g x =% 5x , −1< x < 0  y   g x = $   2 % 5x −1 , x > −1 & 2 & x≥0 &' 5x + 2x + 2 ,

(

)( )

()

123) Dadas  las  funciones  de  variable  real:      1 𝑥 − 2      𝑠𝑖  𝑥 < −1 ! 3            𝑓(𝑥) =             𝑔(𝑥) = 1 − 𝑥      𝑠𝑖    𝑥 < 0    1 − 4𝑥      𝑠𝑖   − 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑥 + 2      𝑠𝑖    𝑥 ≥ 0 𝑥 + 1        𝑠𝑖    𝑥 > 2   Determine  el  valor  de  verdad:   a)  [f(2)  –  g(0)]g(1)  =  –27   b)  g(–3)  f(0)  +  2f(–2)  =  –40/3     Respuesta:  a)  1,  b)  1     124) Sean  las  funciones  f(x)  =  3mx  –  n,    g(x)  =  mx  +  n,  si  (f + g)(1)=  8  ,  el  valor  de  m  es  igual  a  2.   a) Verdadero                                                          b)  Falso   Respuesta:  a)   Página  27  de  43  

  125) Dadas  las  funciones   f : ! " !  y   g : ! " ! .  Demuestre,  de  ser  posible  que:  

(

)

a) Si   f  y   g  son  impares,  entonces   f ⋅ g  es  par.  

) ( )  es  par.  

(

b) Si   f  es  par  y   g  es  impar,  entonces   f ! g x

3

126) Sean   f ,   g  y   h    funciones  de  variable  real  tales  que:     • • •

f x = 2x 2 − 2x  

() g ( x ) = 1− 2x   ( f + g ) ! h ( x) = 3− 2x 2

2

 

Determine  la  regla  de  correspondencia  de  la  función   h  y  bosqueje  su  gráfica.     127) Sean  las  funciones  de   ! " !  tales  que:  

#% x, x < −2 f x =$   &% 2x, x ≥ −2

()

 

#% −x +1, x < 1 g x =$   &% x − 3, x ≥ 1

()

 

Entonces  es  VERDAD  que:   a)

b)

c)

d)

e)

"$ 1,

( f + g ) ( x) = #$ ( g + f ) ( x) ( f + g ) ( x) ( f − g ) ( x) ( g − f ) ( x)

% $ && =% & &' $ && =% & &' $ && =% & &' $ && =% & &'

x>0

2x, x ≤ 0 1,

 

x < −2

x +1, −2 ≤ x < 1   3x − 3, x ≥1 2x +1,

x < −2

3x +1, −2 ≤ x < 1   3x − 3, x ≥1 2x +1, x < −2 3x +1, −2 ≤ x < 1   3x − 3, x ≥1 −2x +1, x < −2 3x −1, −2 ≤ x < 1   x − 3, x ≥1 Respuesta:  b)  

  128) Dadas  las  funciones  de  variable  real   f  y     g  con  reglas  de  correspondencia:  

"$ x, x > 1 f x =# $% 1, x ≤ 1  

()

 

# % 3− x, g x =$ % x +1, &

()

 

(

x ≤4 x >4

 

)

Determine  la  regla  de  correspondencia  de  la  función   3 f − 2g  y  bosqueje  su  gráfica.   Página  28  de  43  

129) Sean   f ,   g  y   h    funciones  de  variable  real  tales  que:     • • •

f x = x 2 − x  

() g ( x ) = 4 − 2x   h ( x ) = x −1

x ≥ 1  

( (

Determine,  de  ser  posible,  la  regla  de  correspondencia  de  la  función   h ! f ! g

)) .  

 

130) Dadas  las  funciones  de  variable  real   f  y     g  con  reglas  de  correspondencia:  

#% 1+ x, x ≥ 2 g x =$   %& 2 − x , x < 2

#% 2 x + 2x −1, x ≤ 0 f x =$ x>0 %& 2x + 3,  

()

()

  Determine,  de  ser  posible,  la  regla  de  correspondencia  de  la  función   g ! f    

(

)

131) Dadas  las  funciones  de  variable  real:  

# − x, % g x =$ f x =x %& − 2,                      

()

2

()

x ≤1 x >1

()

              h x = x +1  

(

)

Determine,  de  ser  posible,  la  regla  de  correspondencia  de   f ! g ! h   132) Dadas   las   funciones   f : ! " !   y   g : ! " ! ,   determine   el   valor   de   verdad   de   la   siguiente  proposición.  Justifique  su  respuesta.    

(

)

 “Si   f + g  es  inyectiva,  entonces   f  es  inyectiva  o   g  es  inyectiva.”     133) Dadas   las   funciones   f : ! " !   y   g : ! " ! ,   determine   el   valor   de   verdad   de   la   siguiente  proposición.  Justifique  su  respuesta.    

(

)

 “Si   f  es  inyectiva  y   g  es  sobreyectiva,  entonces   f + g  es  biyectiva.”   134) Dadas   las   funciones   f : ! " !   y   g : ! " ! ,   determine   el   valor   de   verdad   de   la   siguiente  proposición.  Justifique  su  respuesta.    

(

)

“Si f  y   g  son  biyectivas,  entonces   f + g  también  es  biyectiva.”   135) Dadas   las   funciones   f : ! " !   y   g : ! " ! ,   determine   el   valor   de   verdad   de   la   siguiente  proposición.  Justifique  su  respuesta.    

(

)

 “Si   f − g  es  sobreyectiva,  entonces   f  es  sobreyectiva  o   g  es  sobreyectiva.”   3.10  Funciones  especiales      

#% !4 − x 2 , !!!!! x ≤ 2 136) Sea   la   función   f : ! " !   tal   que   f ( x ) = $ ,   el   conjunto   de   valores   &% ! − 2, !!!!!!!!!! x > 2

(

)

para  el  cual  se  cumple  que   µ f ( x ) = 1 ,  es  el  intervalo:   a) b)

(−4, 4)   [0, 4)   Página  29  de  43  

c) d) e)

(−∞, 2) ∪ [2, +∞)   (−∞, −2] ∪ (2. + ∞)   (−2, 2)  

Respuesta:  e)     137) Se   definen   las   funciones   de   variable   real   ua   y   f   con   las   siguientes   reglas   de   correspondencia:  

"1, x > a   ua ( x ) = # $0, x ≤ a

()

()

()

f x = u2 x − u5 x  

y  

Identifique  la  proposición  VERDADERA.   a) El  rango  de   f  es  el  intervalo   [ 0,1] .   b) f  es  creciente  en  todo  su  dominio.   c) f (3) + f (−3) = 0   d) ∀x1, x2 ∈ dom f $% f ( x1 ) = f ( x2 ) → ( x1 = x2 )&'   e) f  es  acotada.  

(

)

Respuesta:  e)    

()

(

)

138) El  rango  de  la  función   f x =sgn x − 2 + 3  es  el  intervalo   2,4   a)  Verdadero  

 

( )

b)  Falso   Respuesta:  b)  

 

⎪⎧3sgn ( x − 1) , 139) Bosqueje  la  gráfica  de  la  función  de  variable  real  dada  por   f ( x ) = ⎨ ⎪⎩ µ ( x ) − 1 ,  

x>0   x≤0

()

140) La  gráfica  de  la  función    f    tal  que   f x = x −1 − x , x ∈ !  es:                     (a)                    

   

   

 

 

 

 

       (d)    

 (b)  

 

 

 

 

 

 

             (e)  

                     (c)  

Respuesta:  d)   Página  30  de  43  

141) Dadas  las  funciones  de  variable  real  f,  g  y  h  ,  tal  que:  

"$ x +1 , x > 0 #% −x , x > 1 f x = µ x                                       g x = #                       h x = $   ,x ≤ 0 $% 2 %& 1- x , x ≤ 1

()

()

()

()

Determine  la  regla  de  correspondencia  de  la  función:  (2f  –  3(g +  h)).   Respuesta:   2𝑓  –  3 𝑔   +  ℎ

(𝑥) =

  142) Determine  el  valor  de  verdad  de:  

3𝑥 − 9      𝑠𝑖  𝑥 ≤ 0 −4      𝑠𝑖  0 < 𝑥 ≤ 1       −1        𝑠𝑖    𝑥 > 1

( ( ))

a) sgn µ −1 > 0  

(

)

b) µ sgn(0) = 1  

( ( ( ))) = −1  

c) sgn sgn µ 2

d) Para  x ∈ "#0,1$% ,     !" x #$ > 0   Respuesta:  a)  0,  b)  0,  c)  0,  d)  0     143) Calcule:  

(

)

( )  

µ 3− 17 + sgn e 2 1− 2 − 3 − 4

Respuesta:  1/4  

−

()

( )

( ) 1 + µ (3) −5 + 2sgn (5)

144) Al  calcular:  

9 a)       4

1 + µ e − sgn −π 2 −3 + µ −π

7 b)       4

3 c)       4

se  obtiene:     d)  

1     4

e)

5       4

 

145) Sea  la  función   f : ! " !  definida  por   f x = 1− x

()

a) b) c) d)

f f f f

e)

rg f = −∞,1  

Respuesta:  e)  

( ) .  Entonces  es  VERDAD  que:  

1+sgn x

 es  creciente.    es  impar.    es  inyectiva.    es  acotada  superiormente.  

(

)

Respuesta:  d)    

146) Sean  las  funciones  de   ! " !  tales  que:  

# x ≤ −2 % x −1, % f x = $ x + 2, −2 < x ≤ 1   % x >1 % 2sgn x , &

()

()

 

# x≤0 % 1− x , % g x = $ x 2 + x, 0 < x ≤ 2   % 4, x>2 % &

()

Página  31  de  43  

Entonces  es  VERDAD  que   a)     −

5   4

 

()

( ) ( )  es  igual  a:   ( f g ) (−4)

g 4 − 2g 0 + f 1

b)   − 1    

c)   −

3     4

d)  

1     3

e)  

2   3 Respuesta:  d)  

  147) Sea  la  función   f : ! " ! ,  tal  que   f x = x 2 + 3x  

()

Determine  la  regla  de  correspondencia  y  la  gráfica  de:  

( ) ( ( )) h ( x ) = µ ( f ( x ))  

a) g x = sgn f x  

b)

  148) Si  se  definen  las  funciones   f : ! " !  y   g : ! " ! :  

()

()

f x = sgn x  

 

 

#% 2 x −1, x < −1   g x =$ %& x +1, x ≥ −1

()

Entonces  es  VERDAD  que:   a) g ! f  no  existe.   b) g ! f  es  una  función  par.   c)

"$ 2, x ≥ 0 x =#   %$ 1, x < 0

(g ! f )( )

! 0, x < 0 ## x = " 1, x = 0   # 2, x > 0 #$

d)

(g ! f )( )

e)

( g ! f ) (0) = 0   Respuesta:  d)  

 

# 5, x < −3 % % 2x , x = −3 149) Sea  la  función   f : X ! "  definida  por   f x = $ .     % −2x − 4, −3 < x < 1 % 2 x ≥1 & −x + 4x −1,

()

Determine  el  valor  de  verdad  de  las  siguientes  proposiciones,  justificando  su  respuesta:   a) b)

( X = ! ) ∧ {rg f = (−∞,6!"}   ∀x ∈ (−3,1) , $%(−x − 6) < f ( x ) < 2&'   2

Respuesta:  a)  0,  b)  1    

150) Dada  la  función  de  variable  real:    𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥 !   a) Realice  el  análisis  necesario  y  bosqueje  la  gráfica  de   f ,  si   x ∈ #$−2,3%&   b) Determine  el  rango  de  la  función  para  el  intervalo  del  dominio  especificado  e  indique   si  la  función  es  periódica,  acotada  o  par.   Página  32  de  43  

  151) Dada  la  función  de  variable  real:    𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑥   a) Realice  el  análisis  necesario  y  bosqueje  la  gráfica  de   f ,  si   x ∈ #$−2,3%&   b) Determine  el  rango  de  la  función  para  el  intervalo  del  dominio  especificado  e  indique   si  la  función  es  periódica,  acotada  o  par.     3.11  Función  inversa  de  una  función  biyectiva       152) Defina:   a) Función  biyectiva.   b) Función  inversible.     153) Es  necesario  que  la  función  sea  inyectiva  para  que  sea  inversible,  pero  no  es  suficiente.   a)  Verdadero     b)  Falso     154) Las  gráficas  de  una  función  y  su  inversa  son  simétricas  respecto  a  la  recta   y = x   a)  Verdadero  

 

b)  Falso   Respuesta:  a)  

  155) La  

inversa  

()

f −1 x =

de  

la  

()

f x =

función  

x+3 , x ∈ 0,+∞   4

(

)

es  

la  

función  

$3 ' 4x , x ∈ & ,+∞)   3 %4 (

a)  Verdadero  

 

b)  Falso   Respuesta:  b)  

  156) Sea   f  una  función  que  tiene  la  siguiente  regla  de  correspondencia:  

# x−2 ,x > 4 %   f x =$ 2 %& − x − 4 + 2 , x ≤ 4

()

(

)

Determine,  de  ser  posible,  la  regla  de  correspondencia  de   f  

−1

 

 

157) Sea   f   una   función   biyectiva,   si   f

−1

  es   la   función   inversa   de   f ,   se   cumple   que  

( f ! f ) ( x) = x   −1

a)  Verdadero                                                    b)  Falso   Respuesta:  a)     158) Sea   f  una  función  biyectiva,  si   f

−1

()

   es  la  función  inversa  de   f ,    si   f a = b ,  entonces    

()

f −1 b = a   a)  Verdadero                                                    b)  Falso   Respuesta:  a)    

Página  33  de  43  

159) Sea   f   una   función   biyectiva,   si   f

−1

    es   la     función   inversa   de   f ,     dom f = rg f −1   y  

rg f = dom f −1   a)  Verdadero                                                    b)  Falso   Respuesta:  a)     160) Dadas   las   funciones   de   variable   real   f   y   g   ,   definidas   como   f(x)   =   –x   +   2,   g(x)   =   1   –   x,   determine  el  valor  de  verdad  de:   a) (f-­‐1  +  g-­‐1)  (x)  =  3  +  2x   b) (f-­‐1  +  g-­‐1)  (x)  =  2  –  3x   c) (f-­‐1  +  g-­‐1)  (x)  =  3  –  2x   d) (f-­‐1  +  g-­‐1)  (x)  =  2  +  3x   Respuesta:  a)  0,  b)  0,  c)  1,  d)  0     161) Dada  la  función   f : ! " !  con  regla  de  correspondencia:    

# 1 % + 3, x>2   f x =$ x−2 % 2 & −x + 4x −1, x ≤ 2

()

a) Determine,  de  ser  posible,  la  regla  de  correspondencia  de  la  función  inversa   f −1 .   b) Considerando   el   resultado   obtenido   previamente,   bosqueje   en   el   mismo   plano   cartesiano  las  gráficas  de  la  función  identidad  y  las  funciones   f  y   f −1 .    

()

" $ x 3 + 1,

162) Dada   la   función   de   variable   real   f x = # correspondencia  de   f a) f

b) f

c) f

d) f

−1

−1

−1

−1

( x) ( x) ( x) ( x)

# % =$ % & # % =$ % & # % =$ % & # % =$ % &

x −1 , 3 3

−1

x≤0

$ % 3x + 1, x > 0

,   entonces   la   regla   de  

 es:  

x >1

 

x −1, x ≤ 1

x −1 , 3 3

x≥0

 

x −1, x < 0

x −1 , 3 3

x 1 &

# !!!!!! −1, !!!!!!!!!!!!!x < −1 % 2 % !!!x + 3x, !!! −1 ≤ x < 0 −1 c) ( f + g ) ( x ) = $   % !!!!!!4x, !!!!!!!!!!!0 ≤ x ≤ 1 %−x 2 + x −1, !!!!!!!x > 1 & # !!!2x +1, !!!!!!!!x < −1 % 2 % !!x − 5x, ! −1 ≤ x < 0 −1 d) ( f + g ) ( x ) = $ 2   %2x + 4x, !!!0 ≤ x ≤ 1 % x 2 − x +1, !!!!!!!x > 1 & # !!!2x −1, !!!!!!!!x < −1 % 2 % !!x − 5x, ! −1 ≤ x < 0 −1 e) ( f + g ) ( x ) = $ 2   %2x − 4x, !!!0 ≤ x ≤ 1 % x 2 + x −1, !!!!!!!x > 1 & Respuesta:  b)     3.12  Funciones  polinomiales       166) Defina:   a) Función  polinomial.   b) Función  potencia.   c) Cero  de  multiplicidad  m  para  una  función  polinomial.   d) Función  racional.     167) Enuncie  los  siguientes  teoremas   a) Valor  intermedio.   b) Residuo.   c) Factor.   d) Número  de  ceros.   e) Regla  de  los  signos  de  Descartes.   f) Ceros  racionales.     3

2

168) Sea   f  una  función  polinomial  tal  que   f ( x ) = x − 3x + Ax + B .  Si  dos  de  sus  raíces  son  

x = 0  y   x = 1 ,  entonces  el  valor  de:   ( A + B ) ,  es  igual  a:   a)  2  

 

b)  –3    

c)  5  

 

d)  –1    

e)  –5   Respuesta:  a)  

  169) Si   una   función   polinomial   f   tiene   tres   ceros   reales   y   diferentes,   entonces   f   es   de   grado   tres.   a)  Verdadero     b)  Falso   Respuesta:  b)   Página  36  de  43  

4

2

170) Si   una   de   las   raíces   de   la   función   polinomial   f ( x ) = x − ax − 5x + b   es   2   y   se   cumple   que   f (1) +10 = 0 ,  entonces  el  residuo  de  dividir   f ( x )  entre   ( x − 3)  es  igual  a:   a)    

160     3

b)   60    

c)  

244   3

d)   120    

e)   150  

Respuesta:  b)     171) Determine   de   ser   posible   un   polinomio   p(x)   de   tercer   grado   que   cumpla   las   siguientes   especificaciones:   a) 1  es  un  cero  del  polinomio.   b) El  término  independiente  es  6.   c) Al  dividir  el  polinomio  para  (x+1)  se  obtiene  9  de  residuo.     172) Si  se  tiene  dos  polinomio  p(x)  y  q(x),  tales  que  el  grado  de  [p(x)]2[q(x)]3  es  igual  a  18  y  el   grado  de  [p(x)]4[q(x)]2  es  28,  entonces  el  grado  de  p(x)  es  6.   a)  Verdadero     b)  Falso   Respuesta:  a)     173) Considere  el  polinomio  p(x):    4x⁴  –  ax²  –  5x  +  b,    a,  b  ϵ  R.  Una  raíz  de  p(x)  es  2,  además                             p(1)  +  10  =  0.  Entonces  el  residuo  de  dividir  p(x)  entre  (x  –  3)  es:   a)  5     b)  150     c)  180      d)  160     e)  190                     Respuesta:  c)     174) Al   preguntar   a   Wendy   cuál   será   su   nota   en   el   primer   examen   de   Matemáticas,   ella   respondió     “Será   igual   al   valor   de   k   para   que     (x   –   1)   sea   factor   de   5x¹⁰   –   kx⁷   -­‐   x⁶   +   13.   Entonces  la  nota  de  Wendy  será:   a)  5     b)  13     c)  17     d)  1     e)  20                Respuesta:  c)     175) Obtener   el   valor   de   la     suma       k₁   +   k₂     para   que   el   polinomio   p(x):     x⁴  –   5x³   +   2x²   +   k₁x   +   k₂,     sea  divisible  para  el  trinomio  q(x):    x²  –  5x  +  6.                    Respuesta:    –4   176) Carlos   le   pregunta   a   Carmen:   “¿Cuándo   es   el   día   de   tu   cumpleaños?”.   Ella   le   contesta:   “Las  raíces  positivas  del  polinomio    x⁴  –  4x³  –  2x²  +  12x  +  9    tienen  el  día  y  el  mes  de  mi   cumpleaños”.  Por  lo  tanto  el  onomástico  de  Carmen  es:     a)  1  de  enero              b)  3  de  enero              c)  3  de  marzo                d)  1  de  marzo                e)  4  de  abril   Respuesta:    c)     177) Determine  la  regla  de  correspondencia  de  una  función  polinomial  que  tenga  los  siguientes   ceros:  2,  3,  –1,  –4.     178) Exprese  en  forma  anidada  el  polinomio  que  obtuvo  en  el  numeral  anterior.     179) La  suma  de  los  valores  de   m  y   n  para  que  la  función  polinomial   f x = x 3 + mx 2 + n  sea  

()

divisible  para  la  función  polinomial   g x = x 2 − 2x − 3 ,  es  igual  a:  

()

a)   −

9   2

 

b)   −

7     2

c)   1  

 

d)  

7     2

e)  

9   2 Respuesta:  c)   Página  37  de  43  

180) Dada  la  función  polinomial   p x = x 5 − mx 4 +17x 3 −17x 2 + kx  

()

()

(

)

Si   se   conoce   que   p x   es   divisible   por   x − 2   y   x = 1   es   una   raíz   de   multiplicidad   2,   determine  de  ser  posible  los  valores  de  m  y  k.    

()

181) Construya  un  polinomio   f x  que  cumpla  las  siguientes  condiciones:   •

f  es  de  grado  5.  

• El  coeficiente  de   x 5  es  diferente  de  1.   •

()

f 0 = 0  

x = 1  es  una  raíz  de  multiplicidad  2.   • f x  es  divisible  para   x − 2 .   •

()

•

(

)

( x + 2)  es  un  fcator  de   f ( x) .   ()

(

)

• El  residuo  que  se  obtiene  al  dividir   f x  para   x +1  es  –36.     3.13  Funciones  exponenciales       182) Defina:   a) Función  exponencial.   b) Función  exponencial  natural.    

!!!!

183) Si   Re = !  y  el  predicado  𝑝(𝑥):   !!! = 16!! ,  entonces  su  conjunto  de  verdad  es  igual  a:   ! a)  {1}     b)  {–1}       c)  {–5}     d)  {–2}     e)  {2}                                                                    Respuesta:  b)     184) Sea  𝑝 𝑥 : 2 ! + 0,5

!!!!

− 6 0,5

!

()

= 1  y   Re = ! ,  determine   Ap x .  

()

"$ −1+ 17 &$ '   2 $% $(

Respuesta:   Ap x = #1,

  185) Bosqueje  la  gráfica  de  la  función  𝑦 = 2  

! !!!

186) Sean  𝑓  𝑦  𝑔  funciones  tales  que  :  𝑓 𝑥 = que   ! a) 𝑓 2 + 𝑔 −1 = −   !

 

! ! !

− 2    y    𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2,  entonces  es  falso  

!

b) 𝑓𝑜𝑔 −1 =     !

c)

𝑓𝑜𝑔 −2 = 0  

d)

! !

−2 = 0  

e) 𝑔𝑜𝑓 0 = 3   Respuesta:  a)    

187) Considerando  a  los  números  reales  como  conjunto  referencial,  determine  la  solución  de   ! 9 ! !!!!!.! > 3     Respuesta:   −∞,−5 ∪ 1,+∞  

(

) (

)

Página  38  de  43  

188) Sea  𝑓  una  función  de  variable  real,  tal  que    𝑓 𝑥 = 2 !!! − 1,  entonces  es  VERDAD  que:   a)    𝑑𝑜𝑚  𝑓 = −1, ∞   b)    𝑓  es  decreciente   c)    𝑓no  es  inyectiva   d)    𝑓  es  par   e)    𝑟𝑔  𝑓 = (−1, +∞)                     Respuesta:  e)     189) Sea   Re = !  y   p x : 4 x−1 + 2 x+2 = 48 ,  entonces  se  cumple  que:   a) b) c) d) e)

() Ap ( x ) ⊆ #$−1,0)   Ap ( x ) ⊆ "#0,1)   Ap ( x ) ⊆ "#1,2)   Ap ( x ) ⊆ "#2,3)   Ap ( x ) ⊆ "#3,4)  

Respuesta:  d)     190) Determine  el  conjunto  de  verdad  del  siguiente  predicado.  Considere   Re = ! .   𝑝 𝑥 = 𝑒 ! − 𝑒 !! = 1  

') ! + 1± 5 $&) # Respuesta:   Ap x = (ln # &,   *) " 2 %)-

()

  2

# 1& % x− ( $ 2'

191) Sea   el   conjunto   referencial   Re = !   y   el   predicado   p x : 4 = 2 x ⋅ 4

()

() c)   !"0,1)  

,   la   suma   de   los  

elementos  del  conjunto  de  verdad   Ap x  pertenece  al  intervalo:  

)

)

a)     "#−2,−1  

b)   "#−1,0  

)

d)   !"1,2  

)

e) !"2,3    

Respuesta:  a)  

  192) Sea  la  función  de  variable  real  cuya  regla  de  correspondencia  es:  

%e x −1, ' f ( x ) = & x, ' 2 ( −x ,

x ≥1 0 < x < 1   x ≤0

Sobre  su  función  inversa   f  se  puede  afirmar  lo  siguiente:   a) Es  impar.   b) Es  par.   € c) Es  estrictamente  creciente  en   [1,+∞ )   −1

€

d) Es  estrictamente  decreciente  en   [1,+∞ )   e) No  está  definida  para   ! −  

  € 3.14  Funciones  logarítmicas   €   193) Defina:   a) Función  logarítmica.  

Página  39  de  43  

b) c)

Función  logaritmo  natural.   Función  logaritmo  común.  

 

194) Demuestre  todas  las  propiedades  de  los  logaritmos  que  están  en  el  texto  guía  del  curso.    

195) Si  se  conoce  que   #$a, x ∈ 1,+∞ %& ∧ ( b  es  un  número  real),  el  valor  de   x  en  la  expresión  

(

)

! b $ a( ) && logarítmica:   ## = b 2b ,  es  igual  a:   " log x ( a ) % a)   a 2b     b)   a 2 b     c)   a b     log x

d)   b a    

e)   b   Respuesta:  c)  

  !1$ ( ! + log5 # & 1 $ "2% * 196) El  valor  numérico  de   ln # + log 1 100 -  es  igual  a:   & − 25 *) " 3 e % -, 100

( )

a)   −

19     12

b)   −

11   12

c)   −

11   6

d)  

10     3

e)  

16     3 Respuesta:  a)  

 

()

(

( ( ))

()

)

197) Sea   Re = !  y   p x : log 4 x −1 = 1−1og 2 x ,  entonces   N Ap x  es  igual  a:   a) 0  

 

b)  1  

 

c)  2  

 

d)  3  

 

e)  4  

'! 1 $! 1 $! 1 $! 1 $ * &# &# &# &!, ,  es  aproximadamente  igual  a:   (" 2 %" 4 2 %" 8 2 %" 16 2 % +            b)   1− log 2 (3)   c)   log 2 (3)          d)   1                        e)   −1  

198) El  valor  numérico  de:   log 2 )# a)   1+ log 2 (3)  

Respuesta:  e)  

( ( ))

(

(

199) Si   log 2 log 3 x +1 = 0  y   log 3 log 2 3− y a:   a)  1  

 

b)  2  

 

c)  3  

)) = 0 ,  entonces  el  valor  de   (2x − y )  es  igual  

 

d)  4  

 

e)  5   Respuesta:  c)  

 

(

200) Si   f (x ) = log a (x ),   g (x ) = log a (2 x ),   donde   x ∈ !

⎛ 1 ⎞ ⎝ x ⎠

+

)

∧

(0 < a < 1) ,   y   se   define   la  

⎛ x ⎞ ⎝ 2 ⎠

función  de  variable  real   h(x ) = f ⎜ ⎟ + g ⎜ ⎟ ,  la  regla  de  correspondencia  de   h  es:   a) h ( x ) = 0, x ∈ !   +

1 , x ∈ ! +   2 + c) h ( x ) = 1, x ∈ !   b) h ( x ) =

!1$ "2% !a$ + e) h ( x ) = log a # &, x ∈ ! ∧ 0 < a < 1   "2%

+ d) h ( x ) = log a # &, x ∈ ! ∧ 0 < a < 1  

Respuesta:  a)   Página  40  de  43  

 

()

201) El  máximo  dominio  posible  para  la  función  de  variable  real   f x = ln intervalo:  

" #

1% 2&

a)     $ −2, − '  

" 3 # 2

1% 2&

b)   $ − , − '   c)   (−1,1)  

( 1− x +1 )

 es  el  

d)   (−2, −1) ∪ (−1, 0 )   e)   (−2, 0 )  

Respuesta:  e)     202) Halle  el  conjunto  de  verdad  del  siguiente  predicado  q(x):  log(x²  -­‐  4)  –  log(x  +  2)  =  3log(x-­‐2),   considere   Re = ! .     Respuesta:  Aq(x)  =  {3}     203) Obtenga  Ap(x)  si  p(x):  log₁₆(x)  +  log₄(x)  +  log₂(x)  ≤  7  y   Re = ! .   Respuesta:  Ap(x)=  {x/0 1,  entonces   Ap( x )  e€ s  igual  a:  

€ € €   € €

a)

€

C

[1,3]   b) (0,1] ∪ ( 3,+∞ )   c) € ( −∞,−3) ∪ ( 3,+∞ )   d) ( −∞,−3) ∪ ( −1,1) ∪ ( 3,+∞ )   e) ( −1,1)  

€

Respuesta:  d)  

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210) Sea   f

−1

# % 1+ log 3 1− x x =$ %& 2 − ex

(

()

)

,x≤0 ,x>0

  la   regla   de   correspondencia   de   la   función  

()

inversa  de   f .  Determine   f x  y  luego  grafíquela.      

211) Sea   f

−1

# % −2 + ln 1− x x =$ %& −1− 2 x

(

()

)

,x≤0

 la  regla  de  correspondencia  de  la  función  

,x>0

()

inversa  de   f .    Determine   f x  y  luego  grafíquela     212) Bosqueje  la  gráfica  de  la  función   f : ! " !  con  regla  de  correspondencia:   ln 𝑥 + 1    ;        𝑥 ≥ 0                                                                                                    f(x)=     1 − 𝑒 !      ;        𝑥 < 0   2 !1$ ! $ 213) Sea   p x : # log 1 x & = 3log 1 # 2 & ,  en  donde   Re = ! .  Determine   Ap x .   " % 2 8 "x %

()

()

()

  2

! ! 1 $$ 214) Sea   q x : # ln # && log e = 2log " " x + e %%

()

()

(

)

()

e + x ,  en  donde   Re = ! .  Determine   Aq x .  

 

()

! "

215) Sea   r x : # log 2

2 ! 1 $ $ x & = 4log 3 # & ,  en  donde   Re = ! .  Determine   Ar x .   % 2" x%

()

()

3

 

()(

)

216) Sea   s x : 2 x −1 log 2 x +1 ≤ 0 ,  en  donde   Re = ! .  Determine   As x .  

(

()

)

 

"! $ x % 1 217) Sea   t x : $# & −1' log 3 x +1 ≥ 0 ,  en  donde   Re = ! .  Determine   At x .   $" 3 % ' # &

()

(

)

()

  218) Sean   𝑓   y   𝑔   funciones   de   variable   real   tal   que,     =     𝑓 𝑥 = 𝑒 !! + 3    𝑦    𝑔 𝑥 = ln 3𝑥   ,   entonces  la  REGLA  DE  CORRESPONDENCIA  de   𝑓  𝑜  𝑔  es:   a) 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑥 ! + 3  ; 𝑥 > 0   b) 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑥 + 3  ; 𝑥 > 0   c) 𝑓𝑜𝑔 𝑥 =   9𝑥 ! + 3  ; 𝑥 > 0   d) 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 8𝑥  ; 𝑥 > 0   e) 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = ln 3 ! + 3  ; 𝑥 > 0   Respuesta:  c)   !

219) Sea  𝑓 𝑥 =  

!! !"#  (!!!)

.  Halle  su  máximo  dominio  posible.    

 

 

Respuesta:  x  ϵ  [0,2)  U  (2,3)  

  220) Si  una  función  logarítmica   f  cumple  con  las  condiciones  descritas  a  continuación:   • La  función   f  es  par.  

(

(

• La  función   f  es  estrictamente  decreciente  para  el  intervalo   −∞, −1#$ ∪ 0, 1#$   Página  42  de  43  

(

)

• La  función  posee  una  asíntota  vertical  en  el  intervalo   −1 , 1   •

()

)

∀x ∈ !, f x ∈ #$0 , + ∞  

Entonces,   la   regla   de   correspondencia   de   la   función   logarítmica   f   que   cumple   con   las   condiciones  antes  mencionadas,  es:  

()

a) f x = log 1− x ,

()

b) f x = log

() f ( x) =

1 10

∀x ∈ ! − {1}  

x − 1 , ∀x ∈ ! − {1}  

c)

f x = log 2x , ∀x ∈ ! − {0}  

d)

log x , ∀x ∈ ! − {0}  

()

e) f x = log

() 1 10

x , ∀x ∈ ! − {0}   Respuesta:  e)  

 

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