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• Felipe Guerra

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Andrés Miniguano Trujillo

19 de marzo de 2013

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS Materia: PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA Deber N. 6: Distribuciones Continuas de Probabilidad (Uniforme. Exponencial, Normal, etc.) 1. El tiempo del viaje de camiones que transportan concreto está distribuido uniformemente en un intervalo de 50 a 70 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea mayor a 65 minutos dado que la duración del viaje es mayor a 55 minutos?

X U [ 50,70 ] 1 f ( x )= , a ≤ x ≤ b 20 0 , x 65|X > 55 )= = = P ( X >55 ) 1−F ( 55 ) 3

{

2. El tiempo de utilización de una computadora para realizar cierto tipo de trabajo está distribuido uniformemente entre 30 y 90 minutos.

X U [ 30,9 0 ] 1 f ( x )= ,30 ≤ x ≤ 90 60 0 , x 30 )=

P ( X >60 ) 1−F ( 60 ) 1 = = P ( X >30 ) 1−F ( 30 ) 2

c) Si para utilizar la computadora se debe pagar C=1000−30 X + 2 X 2 (en dólares), donde X es el tiempo de utilización de la computadora, halle el ingreso esperado

( ) (

2

)

( b−a ) b+ a b+a E [ X ] =E [ 1000−30 X+ 2 X ]=1000−30 E [ X ] +2 E [ X ]=1000−30 +2 + =1000−30 2 12 2 2

3. Si

X

2

tiene distribución exponencial

X sobrepase su media P ( X > μ )=P ( X >θ )=1−F (θ )=e−1 ≈ 0.3679 b) Halle P (|X −μ|≤2 σ ) P (|X −μ|≤2 σ ) =P ( μ−2 σ ≤ X ≤ μ+2 σ )=P (−θ ≤ X ≤ 3 θ )=F (3 θ )−F (−θ )=F (3 θ )=1−e−3 ≈ 0.9502 c) Halle c para que P ( X ≤ cμ )=3 P ( X >cμ ) a) Halle la probabilidad de que

Andrés Miniguano Trujillo

19 de marzo de 2013

P ( X ≤ cθ )=3 P ( X >cθ ) P ( X ≤ cθ )=3 [ 1−P ( X ≤ cθ ) ] 4 P ( X ≤ cθ ) =3 3 F ( cθ )= 4 −cθ 3 1−e θ = ⇒ c=ln ( 4 ) 4 4. La duración de vida de una válvula de radio es aleatoria. Se supone que la probabilidad de que una válvula esté activa durante un intervalo de tiempo después de ser puesta en servicio está dada por una distribución exponencial. Se admite que la vida media de una válvula es de 1000 horas, ¿Cuál es la probabilidad de que de 4 válvulas de este tipo 2 funciones a lo más 1200 horas?

X E ( 4000 ) −x

F ( x )=1−e 4000 , x ≥0 −3

P ( X ≤ 1200 )=F ( 1200 )=1−e 10 ≈ 0.2592 5. Se sabe que el tiempo de atención a cualquier cliente de un supermercado tiene distribución exponencial con varianza 400 minutos al cuadrado.

X E ( 20 ) −x

F ( x )=1−e 20 , x ≥ 0 a) Halle la esperanza del tiempo de atención a cualquier cliente y la probabilidad de que tenga que esperar hasta ese tiempo para ser atendido.

E ( X )=θ=20 P ( X ≤ 20 ) =F ( 20 )=1−e−1 ≈ 0.6321 b) Halle la probabilidad de que tenga que esperar entre 30 y 40 minutos para ser atendido.

P (30 ≤ X ≤ 40 )=F ( 40 ) −F ( 30 ) ≈ 0.08779 c) Halle la probabilidad de que tenga que esperar hasta 50 minutos dado que ya se ha esperado mas de 25 minutos.

P ( X ≥ 25+25∨X ≥ 25 )=P ( X ≥25 )=1−F ( 25 ) ≈ 0.2865 d) De entre 5 clientes tomados al azar, cual es la probabilidad de que a lo más 3 de ellos tengan que esperar al menos 15 minutos para ser atendidos. −15 20

P (Y ≤ 3 )=B ( 3,5,1−e )=0.7761 6. Si X es una variable aleatoria distribuida uniformemente sobre ( 0,1 ) , halle la probabilidad de que X tome cualquier valor tal que la distancia entre ese valor y la media no sea mayor que la desviación estándar.

X U ( 0,1 ) f ( x )=1 , 0 ≤ x ≤1 0 , x s +t ∩ X > t ) P ( X >s +t ) 1−P ( X ≤ s +t ) 1−F ( s+ t ) e θ P ( X >s +t| X >t )= = = = = −t =e θ =1−1+e θ = P ( X >t) P ( X >t ) 1−P ( X ≤ t ) 1−F ( t ) eθ

X tiene distribución normal con media 71.8 y varianza 31.36. Halle X tome un valor:

9. Una variable aleatoria la probabilidad de que

X N ( 71.8,5.6 2 ) a) Menor que 78.8

(

P ( X 60.6 )=1−P Z ≤

60.6−71.8 =1−F (−2 )=0.9772 5.6

)

c) Entre 74.6 y 80.2

P (74.6< X