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• Javier Terreros Galarza

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CONSTRUCCIÓN DE TABLAS DE FRECUENCIAS DE DATOS NO AGRUPADOS Para construir un tabla de distribución de frecuencias, se debe: 1. Identificar el Menor Valor y el Mayor Valor de las variables. 2. Anotar ordenadamente de Menor a Mayor los distintos “valores de la variable”, en la columna del mismo nombre, sin repetición. 3. Contar el número de veces que se repite cada dato y anotar la cantidad en la columna “Frecuencia Absoluta” (fi) 4. Anotar la frecuencia total (n) Ejemplo 1: Construir una tabla de distribución de frecuencias con las notas obtenidas por el 4° año E de un colegio, en una prueba de biología. Las notas fueron:

4 4 3 1. 2.

7 6 5

6 5 7

7 4 5

6 2 6

5 2 5

4 7 6

6 3 7

7 5

1 7

6 4

2 6

4 5

6 7

5 6

4 7

Se identifica que la menor nota obtenida es un uno (1) y la mayor nota un siete (7), además estamos hablando de variables cuantitativas discretas. Se construye la tabla, anotando los distintos valores de la variable, sin repetición.

Notas P. Biología 4°E 1 2 3 4 5 6 7 3.

Contar la cantidad de veces que se repite cada nota en la columna de Frecuencia Relativa (fi).

Notas P. Biología 4°E Frecuencia Absoluta fi 1 1 2 3 3 2 4 7 5 8 6 10 7 9

4.

Finalmente se debe anotar la Frecuencia Total (n), que se obtiene sumando todas las frecuencias absolutas, este número debe coincidir con el número de la población o muestra a estudiar.

Notas P. Biología 4°E Frecuencia Absoluta fi 1 1 2 3 3 2 4 7 5 8 6 10 7 9 Frecuencia Total (n)

40

Ejercicios… 1. Con los siguientes datos, que se obtuvieron al consultar las edades de los alumnos de un curso de 40 alumnos, construye una tabla de distribución de frecuencias absolutas, de datos no agrupados.

16 17 16 17

17 16 16 17

16 17 17 18

16 15 16 16

Edades de Alumnos

17 17 16

17 16 16

16 18 16

17 16 16

18 16 15

17 18 18

15 16 17

17 16 16

Frecuencia Absoluta fi

15 16 17 18 Frecuencia Total (n) 2.

Cantidad de personas que componen el grupo familiar en una encuesta realizada a 50 hogares.

6 2 6 8 3.

4 5 7 4

4 4 5 9

3 3 4 5

2 4 5 5

5 7 6

7 3 10

6 4 7

4 7 6

6 3 8

6 5 7

3 5 4

4 5 5

4 1 3

4 5 6

Rendimiento (en kilómetros por litro de bencina) de 120 vehículos controlados por una compañía.

8 14 16 12 13 18

9 15 14 20 11 16

12 13 14 16 17 12

14 8 17 15 15 9

19 17 10 17 12 9

9 14 17 18 13 15

16 9 14 9 8 10

14 17 15 14 11 13

9 13 20 13 12 11

10 17 16 18 14 13

12 12 13 18 19 13

15 10 16 15 16 8

17 16 9 15 14 8

11 13 19 19 14 13

18 10 16 8 10 10

13 20 17 11 17 12

15 12 18 13 10 19

11 19 17 11 16 10

11 11 11 13 12 14

16 12 15 12 17 8

CONSTRUCCIÓN DE TABLAS DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE DATOS AGRUPADOS Cuando los valores de la variable de un conjunto de datos son muy numerosos y sus frecuencias también lo son (Cuantitativo Continuo), es conveniente agrupar los valores de la variable en Intervalos de Clases. Un Intervalo de Clases es un par de valores de la variable (extremos) que agrupa a todos los valores que están entre ellos. Los valores extremos de un intervalo de clase, se conocen como Límite Inferior y Límite Superior. Por Ejemplo…

11

-

20

Límite Inferior

Límite Superior

Para determinar los intervalos de una distribución de frecuencias, es necesario seguir los siguientes pasos. 1. 2.

Determinar la Longitud de Clase (Rango); se refiere a la diferencia entre el mayor y el menor de la variable. Determinar el número de intervalos. Se refiere a la cantidad de intervalos de clases en los cuales se agruparán los datos. La cantidad es arbitraria, aunque generalmente se usan 10 o un número cercano a 10. Al elegir muchos intervalos (más de 25), es poco lo que se gana con la agrupación y al elegir pocos intervalos (menos de 5) se pierde parte de la información o se distorsiona. Determinar el Tamaño de los Intervalos, se refiere al cuociente entre la Longitud de Clase y el Número de Intervalos. Fijar el Límite Inferior y Superior de cada intervalo. Determinar la Marca de Clase y Completar la Tabla de Frecuencias Relativas y Acumuladas, con sus Porcentajes.

3. 4. 5. Ejemplo…

Construir una tabla de Distribución de Frecuencia en intervalos de clase con las estaturas, en centímetros, de 80 alumnos de un colegio.

150 153 154 156 158 162 163 167 154

152 169 155 157 161 162 165 169 157

153 154 158 152 161 165 166 172 156

153 155 157 153 162 166 168 160 161

154 156 152 153 165 168 172 161 166

155 157 153 154 162 172 159 162 155

156 150 153 155 168 159 161 163 152

157 152 154 155 170 161 167 166 165

150 153 155 154 158 174 163 162

1° Paso: Determinar Longitud de Clase (Rango): R = Mayor Valor - Menor Valor R = 174 - 150 = 24 2° Paso: Determinar el Número de Intervalos: Consideremos el Valor 8 (Además es Factor de 24) 3° Paso: Determinemos el Tamaño de los Intervalos (c):

c =

R 24 ➔ = 3 N  de Intervalos 8

Nota: Si el tamaño del intervalo no resulta ser un número entero, a veces, si la variable es cuantitativa discreta, conviene aproximarlo al entero que corresponda.

4° Paso: Fijar el Límite Inferior y el Límite Superior de cada Intervalo.

Límite Inferior de la Variable. Luego se va sumando el tamaño de los intervalos ( 3 )

Intervalo de Clases 150 - 153 153 - 156 156 - 159 159 - 162 162 - 165 165 - 168 168 - 171 171 - 174

Límite Superior de cada intervalo es igual al Límite Inferior del Intervalo siguiente

Con esto se obtienen intervalos “cerrados – abiertos”, es decir, un dato igual al Límite superior de un intervalo corresponderá al intervalo siguiente. Por ejemplo, el valor 153 corresponde al intervalo 153 - 156 y no al interalo 150 - 153. 5° Paso: Determinar la Marca de Clase y completar las frecuencias. Para facilitar el manejo de una tabla de distribución de frecuencias de datos agrupados en intervalos de clases, se acostumbra a trabajar con un solo valor de cada intervalo, llamado Marca de Clase (x i), que corresponde a la semi-suma de los límites de cada intervalo.

xi =

Límite Inferior + Límite Superior 2

Intervalo de Clases 150 153 156 159 162 165 168 171

- 153 - 156 - 159 - 162 - 165 - 168 - 171 - 174 Totales ➔

xi

fi

fac

%fi

151,5 154,5 157,5 160,5 163,5 166,5 169,5 172,5

8

8 30

10%

%fac 37,5%

12 11,25%

63,75%

9 70

12,5%

80 n = 80

100%

Ejercicios…

1.

2.

Completa la tabla de distribución de frecuencias que muestra el número de veces que salió cada puntuación en el lanzamiento de un dado y luego contesta las preguntas.

N° en los Dados 1

fi 332

2

fac a.

¿Cuál fue el número total de lanzamientos?

336

b.

¿Cuántas veces salió una puntuación menor que 3?

3

323

c.

¿Cuántas veces salió una puntuación menor que 5?

4

340

d.

¿Cuántas veces salió una puntuación menor o igual

5

331

6

338 n=

que 5?

Completa la tabla y luego contesta las preguntas. Notas obtenidas por 45 alumnos en una Prueba de Castellano (aproxima a tres decimales)

Intervalo de Clases

fi

%fac

1

1

2

4

3

5

4

6

d. e. f.

5

9

g.

6

12

7 n ➔

8

fac

a.

%fi b. c.

h.

¿Cuántos alumnos obtuvieron nota igual o inferior a 5? ¿Cuántos alumnos obtuvieron nota inferior a 4? ¿Cuántos alumnos obtuvieron nota 7? ¿Qué % de alumnos obtuvo nota 3? ¿Qué % de alumnos obtuvo nota 6? ¿Qué % de alumnos obtuvo nota igual o inferior a 5? ¿Qué 5 de alumnos obtuvo nota igual o inferior a 6? ¿Qué % de alumnos obtuvo nota inferior a 4?

Las edades de 195 alumnos de un colegio son las siguientes…

3.

13

15

19

14

15

17

17

18

16

14

17

14

19

14

15

15

13

16

17

18

19

17

13

17

13

20

16

17

16

15

16

18

17

20

16

14

18

14

17

18

16

16

13

14

15

16

18

17

15

19

16

17

19

18

14

14

13

16

15

17

15

16

15

18

16

14

15

13

18

16

15

14

15

17

16

15

20

17

16

17

13

18

17

13

15

14

18

17

14

14

16

17

16

15

15

18

14

17

15

19

17

13

15

18

18

14

17

16

19

16

16

13

18

18

18

16

17

19

13

17

14

17

13

17

14

15

15

19

17

17

14

15

15

17

14

15

18

13

16

15

16

19

17

15

16

17

16

16

17

19

16

15

13

17

17

16

16

17

14

15

17

15

15

18

17

14

16

15

13

18

16

18

15

18

16

20

17

18

16

16

14

18

19

14

18

13

16

17

14

15

19

17

18

16

15

Construye una tabla de distribución de frecuencias y contesta las siguientes preguntas (aproxima a tres decimales) a. ¿Cuántos alumnos tienen 17 años? b. ¿Cuántos alumnos tienen 16 años o menos de 16? c. ¿Cuantos alumnos tienen menos de 15 años? d. ¿Qué % de alumnos tiene 14 años? e. ¿Qué % de alumnos tiene 20 años? f. ¿Qué % de alumnos tienen menos de 19 años? g. ¿Qué % de alumnos tienen 17 años o menos?

4.

Recoge los datos correspondientes a las estaturas (en cm) de tus compañeros de curso y luego construye una tabla de distribución de frecuencia de datos agrupados en intervalos de clases.

5.

En un Conjunto Habitacional, se pretende hacer un estudio acerca del número de personas que habita cada bloque. A través de una encuesta a las familias que habitan los departamentos de los 80 bloques del conjunto, se obtuvieron los siguientes datos:

a.

6.

63

69

83

85

93

73

80

94

104

125

114

152

115

120

127

139

105

114

123

121

128

90

75

137

131

73

62

100

109

117

124

103

133

138

143

110

60

91

87

156

147

134

129

96

99

72

104

97

84

98

78

71

113

63

69

76

86

88

77

124

116

119

102

107

106

111

119

107

100

109

83

85

93

118

116

117

133

150

143

93

Realiza una tabla de frecuencia dividiendo los datos en clases de longitud 8 y otra dividiendo en clases de longitud 12. En una clase en un colegio español hay 50 alumnos. (la escala de notas es de 1 a 10). Las notas obtenidas por los alumnos en la asignatura de matemática son:

4

7

5

3

5

10

5

1

4

9

2

5

5

6

6

5

5

7

5

1

4

3

6

7

4

10

6

6

4

7

8

2

5

7

6

8

5

3

8

5

4

10

5

6

7

2

4

9

8

4

a.

7.

Realiza una tabla de frecuencia, señalando la frecuencia de cada nota. Completa la tabla de frecuencia, señalando las marcas de clases, y luego responde las siguientes preguntas: i. ¿Cuántos alumnos obtuvieron nota 5 ó 6? ii. ¿En qué clase se concentró el mayor número de alumnos? iii. ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo nota inferior a 5? iv. ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo nota superior a 5? v. ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo nota superior a 8? vi. ¿Cuántos alumnos obtuvieron notas inferiores a 6? vii. ¿Cuántos alumnos obtuvieron notas superiores a 8?

8.

La tabla siguiente muestra longitudes en cm. de 42 tornillos. Construir una distribución (tabla) de frecuencia, utilizando intervalos de clases adecuados. Señala también la marca de clase en cada caso?. 7,36

7,29

7,43

7,40

7,36

7,41

7,35

7,31

7,26

7,37

7,28

7,37

7,36

7,35

7,24

7,33

7,42

7,36

7,39

7,35

7,45

7,36

7,42

7,40

7,28

7,38

7,25

7,33

7,34

7,32

7,33

7,30

7,32

7,30

7,39

7,34

7,38

7,39

7,27

7,35

7,35

7,32

295 322 323 313 319

Completa la tabla de distribución de frecuencias con los datos correspondientes a la duración en horas de 80 ampolletas fabricadas por una industria.

305 304 321 315 319

308 304 322 312 305

291 299 313 314 309

Intervalo de Clases 290 295 300 305 310 315 320 325

298 324 310 318 306 xi

323 299 317 311 314

328 320 311 310 309 fi

300 320 318 310 310

297 302 301 314 319 fac

297 320 310 317 315

294 300 308 317 312

295 324 303 306 308 %fi

295 300 312 307 313

294 301 306 318 316 %fac

- 295 - 300 - 305 - 310 - 315 - 320 - 325 - 330 Totales ➔

De acuerdo con la tabla anterior, contesta las siguientes preguntas… a. ¿Cuántas ampolletas tuvieron una duración entre 300 y 305 horas? b. ¿Cuántas tuvieron una duración menor que 305 horas? c. ¿Cuántas tuvieron una duración menor que 320 horas? d. ¿Qué porcentaje representan las ampolletas que duraron entre 310 y 315 horas? e. ¿Qué porcentaje representan las ampolletas que duraron entre 300 y 325 horas? f. ¿Qué porcentaje representan las ampolletas que duraron menos de 310 horas? g. ¿Qué porcentaje representan las ampolletas que duraron menos de 325 horas?

299 311 314 319 311

290 304 307 317 319