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Contenido INTRODUCCIÓN................................................................................................... 3 CURVAS VERTICALES........................................................................................... 4 GEOMETRIA DE LAS CURVAS VERTICALES PARABOLICAS....................................5 CURVAS VERTICALES SIMETRICAS....................................................................5 ELEMENTOS DE UNA CURVA VERTICAL SIMETRICA..........................................6 CURVA VERTICAL SIMETRICA PUNTO MAXIMO................................................12 CURVAS EN CRESTA O EN CIMA:.....................................................................14 TIPO I:......................................................................................................... 14 TIPO II:........................................................................................................ 14 CURVAS EN COLUMPIO................................................................................... 17 TIPO III:....................................................................................................... 17 TIPO IV:....................................................................................................... 17 CURVAS VERTICALES ASIMETRICAS...................................................................19 CURVA ASIMETRICA PUNTO MAXIMO..............................................................21 LONGITUD VERTICAL......................................................................................... 24

INGENIERIA DE CAMINOS -USS

INTRODUCCIÓN En esta oportunidad me enfocare a otra consideración del diseño geométrico en planta y perfil, me refiero a las CURVAS VERTICALES. La función de las curvas verticales consiste en reconciliar las tangentes verticales de las gradientes. Las curvas parabólicas se usan casi exclusivamente para conectar tangentes verticales por la forma conveniente en que pueden calcularse las ordenadas verticales. Por otra parte las curvas verticales, se dividen en SIMETRICA y ASIMETRICA según LONGITUD VERTICAL; CONCAVAS Y CONVEXAS de acuerdo a la pendiente de entrada y salida. Esperamos que dicho trabajo sea de lo más fructífero para la investigación y desarrollo intelectual.

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CURVAS VERTICALES

Las curvas verticales son las que enlazan dos tangentes consecutivas del alineamiento vertical, para que en su longitud se efectúe el paso gradual de la pendiente de la tangente de entrada a la de la tangente de salida. Deben dar por resultado una vía de operación segura y confortable, apariencia agradable y con características de drenaje adecuadas. El punto común de una tangente y una curva vertical en el origen de ésta, se representa como PCV y como PTV el punto común de la tangente y la curva al final de ésta. Al punto de intersección de dos tangentes consecutivas se le denomina PIV, y a la diferencia algebraica de pendientes en ese punto se le representa por la letra A. Para una operación segura de los vehículos al circular sobre curvas verticales, especialmente si son convexas, deben obtenerse distancias de visibilidad adecuadas, como mínimo iguales a la de parada. Debido a los efectos dinámicos, para que exista comodidad es necesario que la variación de pendiente sea gradual, situación que resulta más crítica en las curvas cóncavas, por actuar las fuerzas de gravedad y centrífuga en la misma dirección. Debe también tenerse en cuenta el aspecto estético, puesto que las curvas demasiado cortas pueden llegar a dar la sensación de quiebre repentino, hecho que produce cierta incomodidad. Se ha comprobado que la curva que mejor se ajusta a estas condiciones es la parábola de eje vertical. P á g i n a 3 | 30

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GEOMETRIA DE LAS CURVAS VERTICALES PARABOLICAS CURVAS VERTICALES SIMETRICAS Las curvas verticales son diseñadas como parábolas, su longitud se deriva de varios factores, como son: distancia de visibilidad de parada, distancia de visibilidad de rebase, comodidad del usuario, etc. Estas distancias dependen de la pendiente de entrada, la pendiente de salida y si la curva es cóncava o convexa. Se efectúan todos los controles y se aplica la longitud que salga mayor. Por supuesto, si el terreno obliga a una longitud mayor, se coloca la longitud que se adapte mejor a éste, siempre y cuando sea mayor que la de los controles mencionados con anterioridad. Cabe destacar que, la parábola es la curva en la cual la razón de variación de su pendiente es una constante, y segunda; en proyección horizontal, el punto de intersección de las tangentes está a media distancia entre las proyecciones de los puntos de tangencia), las siguientes propiedades son de importancia al calcular los elementos de la parábola:

I.

En una parábola de eje vertical, los elementos verticales entre la tangente y la curva son proporcionales a los cuadrados de las proyecciones horizontales de los elementos de tangente comprendidos entre el punto de tangencia y el elemento vertical.

II.

En una parábola de eje vertical, el coeficiente angular (pendiente) de la recta que une dos puntos de la curva es el promedio de los coeficientes angulares de las tangentes en esos puntos.

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INGENIERIA DE CAMINOS -USS ELEMENTOS DE UNA CURVA VERTICAL SIMETRICA Los principales elementos que caracterizan a esta parábola son:

ELEMEN TO A = PIV B = PCV C = PTV BC = Lv VA = Ev VD = f P(x1,y1) Q(x1,y1)

QP = y BE = x α β

DESCRIPCION Punto de intersección vertical. Es el punto donde se interceptan las dos tangentes verticales. Principio de curva vertical. Donde empieza la curva. Principio de tangente vertical. Donde termina la curva. Longitud de la curva vertical, medida en proyección horizontal. Externa vertical. Es la distancia vertical del PIV a la curva. Flecha vertical. Punto sobre la curva de coordenadas (x1,x2). Punto sobre la tangente de coordenadas (x1,x2), situado sobre la misma vertical de P. Corrección de pendiente. Desviación vertical respecto a la tangente de un punto de la curva P. Valor a calcular. Distancia horizontal entre el PCV y el punto P de la curva. Angulo de pendiente de la tangente de entrada. Angulo de pendiente de la tangente de salida. P á g i n a 5 | 30

INGENIERIA DE CAMINOS -USS Ψ m = tan α n = tan β I = tan Ψ

Angulo entre las dos tangentes. Angulo de deflexión vertical. Pendiente de la tangente de entrada. Pendiente de la tangente de salida. Diferencia algebraica entre las pendientes de la tangente de entrada y salida.

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INGENIERIA DE CAMINOS -USS Se tiene entonces una parábola de eje vertical coincidiendo con el eje Y y el vértice V en el origen (0,0), según el sistema de coordenadas X versus Y. La ecuación general para esta parábola es:

y=k x 2 La ecuación de la tangente de entrada, dados su pendiente m y un

punto B, es:

(

y− y 3=m x−

m=

dy dx

Lv 2

)

, donde,

, evaluada en el punto B,

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INGENIERIA DE CAMINOS -USS m=2 kx=2 k

( Lv2 )=kLv

Para la parábola en el punto B se tiene: y 3=k

Lv k Lv = 2 4

( )

2

Reemplazando y3 y m en la ecuación de la tangente y evaluando para el punto A(0,y4), se tiene: y 4−

k Lv2 Lv −k Lv2 =kLv 0− = 4 2 2

(

)

−k Lv 2 k Lv 2 y 4= + 2 4

, de

donde, −k Lv 2 y 4= 4 Obsérvese que los valores absolutos de y3 – y4 son iguales, por lo tanto:

VA = VD La anterior igualdad es una importante propiedad de la parábola, la cual dice que:

EXTERNA = FLECHA La ecuación de la tangente también puede darse considerando su pendiente m y el punto Q: y− y 2=m ( x−x 1 ) y− y 2=kLv ( x−x 1 ) Evaluándola en el punto B: y 3− y 2=kLv

( Lv2 −x 1)

Reemplazando y3 y despejando y2, se tiene: P á g i n a 8 | 30

INGENIERIA DE CAMINOS -USS k Lv 2 k Lv 2 − y 2= −k ( Lv∗x 1 ) 4 2

y 2=k ( Lv∗x 1 )+

k Lv 2 k Lv 2 − 4 2

y 2=k ( Lv∗x 1 )−

k Lv 2 4

Y efectuando la diferencia entre y1 y y2 que es la que se quiere calcular, resulta: y 1− y 2=k x 12−k ( Lv∗x 1 ) +

y 1− y 2=k x 12−k

k=

(

k Lv 2 Lv2 =k −Lv∗x 1+ x 12 4 4

(

2 Lv −x1 =y 2

)

)

, pero,

4∗y 4 4∗VA 4∗Ev = = Lv 2 Lv 2 Lv 2

Lv −x 1=BE=x 2 y=

4 Ev 2 ∗x Lv 2

y=Ev

x Lv 2

2

( )

Esta es la ecuación de la corrección de pendiente en función de la externa Ev, y con origen el punto B o PCV. También se observa que: y=∝+ β

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INGENIERIA DE CAMINOS -USS Para el caso de perfecta simetría, y=∝+∝=2 ∝

∝

debe ser igual a

β :

y , esto es ∝= 2

y tan y tan ∝=tan = 2 2 Reemplazando los valores de las tangentes : m≈

i 2 y=

Regresando a :

y=

(

2 Ev Lv 2

y=tan α

y=

AB 1 () Lv1 )∗x = BD ( Lv )∗x 2

2

, esto es,

( Lv1 )∗x =m( Lv1 )∗x = 2i ( Lv1 )∗x 2

( 2 Lvi )∗x

Para que Ev=

4 Ev 2 ∗x 2 , y reordenando, Lv

2

2

2

(❑ ❑)

, se tiene que: y = Ev, entonces,

Lv∗i 8

Ahora considérese el punto P´ sobre la segunda mitad de la curva. Para situarlo desde el punto C o PTV interesa conocer la distancia x´ y la altura y´. Entonces: y ´ = y − y 1− y 2

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INGENIERIA DE CAMINOS -USS y=

( 2 Lvi )∗x

2

, referido al PCV

(

Lv 2

(

Lv Lv =m x− 2 2

y 1=m x−

y 2=n x −

)

) (

)

, pues aquí m = n, entonces,

y´=

( 2 Lvi )∗x −2 m ( x− Lv2 )

y´=

( 2 Lvi )∗x −i ( x− Lv2 )= 2 iLv [ x −2 Lv ( x − Lv2 )]

y´=

i ( x 2−2 Lv∗x + Lv 2 )= i ( Lv2−2 Lv∗x + x 2 )= i ( Lv −x )2 2 Lv 2 Lv 2 Lv

Pero y´=

2

2

2

Lv−x=x ´ , entonces,

( 2 Lvi ) ( x ´ )

2

Las expresiones de las ecuaciones (4-2) y (4-4) para las correcciones de pendiente y y y´ indican que la primera mitad de la curva se calcula desde el PCV y la segunda desde el PTV respectivamente.

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INGENIERIA DE CAMINOS -USS CURVA VERTICAL SIMETRICA PUNTO MAXIMO Un elemento geométrico importante de ubicar en curvas verticales es su punto máximo (el punto más alto de la curva), o su punto mínimo (el punto más bajo de la curva). Así por ejemplo, en la figura 4.5 el punto P representa el punto máximo de una curva vertical convexa.

La cota de P a partir de la cota del PCV es: Cota P = Cota P’.y

, donde,

Cota P’ = Cota PCV + mx

y=

( 2 Lvi ) x

2

, entonces,

Cota P = Cota PCV +mx .

( 2 Lvi ) x

2

, pero.

Cota P – Cota PCV =z , esto es,

Z = mx .

( 2 Lvi ) x

2

La expresión anterior es la ecuación de la parábola, la cal define la posición exacta de P. mediante sus coordenadas (x , z) y de cualquier otro punto sobre la curva. La pendiente de P á g i n a 12 | 30

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la tangente a cualquier punto de la curva dada por la primera derivada de

dz dx , que para el punto máximo es igual a cero.

i d ⌊ mx− x2 ⌋ dz 2 Lv dx = =0 dx

( )

m-

( 2 Lvi ) x =0

x=

( mi ) Lv

2

.

, donde,

Quiere decir que para determinar la posición horizontal x o abscisa del punto máximo, referido al PCV, simplemente se multiplica la longitud de la curva Lv por el cociente de dividir a m entre i. esta misma expresión también es válida para el cálculo del punto mínimo de una curva vertical cóncava.

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INGENIERIA DE CAMINOS -USS CURVAS EN CRESTA O EN CIMA: Son las curvas que se asemejan a un segmento superior de una circunferencia. Las curvas en crestas se clasifican en: TIPO I: Se consideran curvas verticales tipo I, si la cota del punto de intersección de curva vertical "PIV" se encuentra por encima de la cota del principio de curva vertical "PCV" y de la cota del principio de tangente vertical "PTV" y la curva se abre en la parte inferior de las tangentes.

TIPO II: Se consideran curvas verticales tipo II, si la cota del punto de intersección de curva vertical "PIV" se encuentra entre la cota del principio de curva vertical "PCV" y la cota del principio de tangente vertical "PTV". Pueden darse dos casos, en el primero las pendientes de las tangentes son positivas y la curva se abre en la parte inferior de las tangentes, de tal manera que la cota del PCV es menor que la cota del PIV y la cota del PIV es menor que la cota del PTV (PCV < PIV < PTV o PTV > PIV > PCV); en el segundo caso las pendientes de las tangentes son negativas y la curva se abre en la parte inferior de las tangentes, de tal manera que la cota del PCV es mayor que la cota del PIV y la cota del PIV es mayor que la cota del PTV (PCV > PIV > PTV o PTV < PIV < PC)

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INGENIERIA DE CAMINOS -USS CURVAS EN COLUMPIO Son las curvas que se asemejan a un segmento superior de una circunferencia. Las curvas en crestas se clasifican en TIPO III: Se consideran curvas verticales tipo III, si la cota del punto de intersección de curva vertical "PIV" se encuentra por debajo de la cota del principio de curva vertical "PCV" y de la cota del principio de tangente vertical "PTV" y la curva se abre en la parte en la parte superior de las tangentes.

TIPO IV: Se consideran curvas verticales tipo IV, si la cota del punto de intersección vertical "PIV" se encuentra entre el principio de curva vertical "PCV" y el principio de tangente vertical "PTV". Pueden darse dos casos, en el primero las pendientes de las tangentes son negativas y la curva se abre en la parte superior de las tangentes, de tal manera que la cota del PCV es mayor que la cota del PIV y la cota del PIV es mayor que la cota del PTV (PCV > PIV >> PTV o PTV < PIV < PCV); en el segundo caso las pendientes de las tangentes son positivas y la curva se abre en la parte superior de las tangente, de tal manera que la cota del PCV es menor que la cota del PIV y la cota del PIV es menor que la cota del PTV (PCV < PIV < PTV o PTV > PIV > PCV).

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CURVAS VERTICALES ASIMETRICAS Una curva vertical es asimétrica cuando las proyecciones horizontales de sus tangentes son de distinta longitud. Esta situación se presenta cuando la longitud de curva en una de sus ramas está limitada por algún motivo. La figura que se muestra a continuación, ilustra este caso para una curva vertical cóncava. De acuerdo con la ecuación (4-1), las correcciones de pendiente para cada rama se calculan como:

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x1 L1

2

y 1=Ev

( ) x2 L2

2

y 2=Ev

( )

Para las cuales la externa Ev, se calcula así: a+ c+ Ev=d Pero, la flecha c es igual a la externa Ev, entonces, Ev=

d−a 2

, donde, P á g i n a 22 | 30

INGENIERIA DE CAMINOS -USS d=mL 1 a=pL 1=

, pero, L1 ( L a+b 1+ L 2 )

a+b=b−e=mL 1−nL 2

, pero, , esto es,

2 L1 ( mLL 1−nL 1+ L2 ) mL 1−( mL 1+nL 2 ) L1 =

mL 1− Ev= Ev=

2

2 ( L1+ L 2 )

m L12 −mL 1 L 2−m L12 +nL 1 L 2 2 ( L 1+ L 2 )

L1+ L 2=Lv Ev=

( m+n ) L 1 L 2 2 Lv

m+ n=i , por lo tanto, iL 1 L 2 Ev= 2 Lv

Pero

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INGENIERIA DE CAMINOS -USS CURVA ASIMETRICA PUNTO MAXIMO Como se vio anteriormente es importante ubicar en curvas verticales su punto máximo o su punto mínimo. Así por ejemplo, en la figura 4.7 el punto P representa el punto mínimo de una curva vertical cóncava asimétrica.

La Cota P es: Cota =Cota P’ + y

, donde,

Cota P’ = Cota PTV . nx

Y=

Ev

X L2

2

( )

, entonces,

Cota P = Cota PTV – nx + Cota PTV – Cota P = z

Z =nx .

Ev

X L2

Ev

X L2

2

( )

, pero,

, esto es,

2

( )

La expresión anterior es la ecuación de la parábola asimétrica, la cual define la posición exacta de P, mediante sus coordenadas (x , z, y de P á g i n a 24 | 30

INGENIERIA DE CAMINOS -USS cualquier otro punto sobre la curva. La pendiente de la tangente a cualquier punto de la curva está dada por la primera derivada

dz dx . Que

para el punto mínimo es igual a cero: 2

X d ⌊ nx−Ev ⌋ dz L2 dx = =0 dx

( )

n-

( 2LEy2 ) x

x=

nL2 2 Ev

2

, de donde,

2

Esta expresión defina la posición horizontal x p abscisa del punto mínimo, referida al PTV, para el caso en que el, punto mínimo se encuentre en la segunda rama de la curva. Si el punto mínimo se encuentra en la primera rama de la curva, la posición horizontal x referida al PCV, se calcula de con la siguiente expresión:

x=

m L12 2 Ev

Estas mismas expresiones también son validas para el cálculo del unto máximo de una curva vertical convexa asimétrica.

COEFICIENTE ANGULAR DE UNA CURVA VERTICAL El coeficiente angular Kv de una curva vertical, defina la curvatura de la parábola como una variación de longitud por unidad de pendiente así: Kv =

Lv (mts 1 ) i

Si i = 1%

→ Kv = Lv/1% (mts 1%)

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INGENIERIA DE CAMINOS -USS Entonces Kv es la distancia horizontal en metro, necesario para que se efectue un cambio del 1% en la pendiente de la tangente a lo largo de la curva, tal como se ilustra en la figura 4.8.

Asa si kv es la distancia horizontal para que se produzca un cambio de pendiente del 1% la longitud necesaria para que se produzca un cambio total de pendiente del 1% será la longitud total Lv de la curva, esto es:

Lv = Kv. i Mediante esta expresión, como se verá más adelante, se puede determinar la longitud mínima de una curva vertical para un coeficiente P á g i n a 26 | 30

INGENIERIA DE CAMINOS -USS angular Kv dado, , según los criterios de seguridad, drenaje, comodidad y apariencia, de acuerdo al tipo de vía a proyectarse.

LONGITUD VERTICAL Los factores que afectan la longitud de una curva vertical son, (a) efecto centrifugo (b) visibilidad. Según (Fonseca Rodrigues, 2010), la condición que se considera optima para la conducción de un vehículo en una curva, corresponde a un movimiento con una componente horizontal de la velocidad constante: Vx=

dx =C dt

Por lo que la componente horizontal de la aceleración es: ax=

dVx d 2 x = 2 =0 dt dt

Para cumplir con lo anterior, normalmente se utiliza una parábola, cuya ecuación general es: y=K x 2 Si llamamos A ala diferencia algebraica entre las pendientes de la tangente de entrada y de salida y L a la longitud de la curva vertical, como fracción de 20 metros: K=

A ; A=P 2−P 1 10 L P á g i n a 27 | 30

INGENIERIA DE CAMINOS -USS La expresión de la parábola: 2

x Y = ∗K ; en donde 2L X: distancia horizontal variable, medida desde el PCV o el PTV en dirección al PIV. Y:

ordenada medida verticalmente, correspondiente a la distancia x, desde la tangente hasta la curva vertical.

L:

longitud de la curva vertical.

K: diferencia algebraica de la pendiente, posterior menos la anterior (m2-m1). Este valor se conoce también “el grado cambio de pendiente”. Considerando la curva parabólico plana que se muestra en la figura, se puede ser que el eje y pasa por el PVC y el eje x también, formando un sistema de coordenadas de referencia. En la curva se tiene que: L=Longitud de curva. P1=pendiente de entrada. P2= Pendiente de salida.

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INGENIERIA DE CAMINOS -USS La razón de cambio de la pendiente de la parábola es contante, por lo que, al segunda derivada Y con respecto a X es una constante: 2

d y =r =constante dx Integrando se obtiene la primera derivada o pendiente de la curva expresada por: dy =rx+ H dx Ahora, cuando x=0, la pendiente es P1 y cuando x=L, la pendiente de la parábola es P2, obteniéndose:

P1=0+H P2=rL + H Sustituyendo 3 en 4 y despejando r se tiene: r=

P 2−P 1 L

Donde: R= razón de cambio de la pendiente en porcentaje por unidad de longitud Sustituyendo 5 en 2: dy ( P 2−P 1 ) = x+ P 1 dx L∗2 Integrando 6 se tiene la altura de la curva y en cualquier punto:

y=

( P2−P1 ) x 2 + P 1 x +c L∗2

Cuando x=0, el valor de y es equivalente a la elevación de PCV, por lo tanto se obtiene lo siguiente: P á g i n a 29 | 30

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C=Y*pcv Quedando la ecuación 7 en su expresión final:

r 2 y=Ypcv+ P 1 x+ x 2 Esta ecuación es la que definió como general para el cálculo de las elevaciones sobre la parábola.

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